2a Lista Respostas (1)

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RESPOSTAS – SUGESTÕES – SOLUÇÕES 
01. 𝑇 é l inear . 02. 𝑇 não é l inear . 03. 𝑇 é l inear . 
04. 𝑇 é l inear . 05. 𝑇 não é l inear . 06. 𝑇 não é 
l inear . 
07. 𝑇 não é l inear . 08. 𝑇 é l inear . 09. 𝑇 não é 
l inear . 
10. 𝑇 é l inear . 11. 𝑇 não é l inear . 12. 𝑇 é l inear . 
13. 𝑇 é l inear . 14. 𝑇 é l inear . 15. 𝑇 é l inear . 
16. 𝑇 não é l inear . 17. 𝑇 é l inear . 18. 𝑇 é l inear . 
19. Como 𝛼 é base de 𝑈, ∀𝑣 ∈ 𝑈, tem-se 𝑣 = 𝑎1𝑢1 + 𝑎2𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑢𝑛. Assim, segue que 
𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑎1𝑢1 + 𝑎2𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑢𝑛) 
= 𝑎1𝑓(𝑢1) + 𝑎2𝑓(𝑢2) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓(𝑢𝑛) ( 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑓 é 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) 
= 𝑎1𝑔(𝑢1) + 𝑎2𝑔(𝑢2) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑔(𝑢𝑛) ( 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑢𝑖) = 𝑔(𝑢𝑖), ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ) 
= 𝑔(𝑎1𝑢1 + 𝑎2𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑢𝑛) (𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑔 é 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) 
= 𝑔(𝑣). 
20. 𝑇 ∶ ℘1(𝑥) → ℘2(𝑥) definida por 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥
2 +
𝑎−𝑏
2
𝑥 −
𝑎+𝑏
2
 . 
21. 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ3 dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (−𝑦, −2𝑦, 0). 
22. Este problema tem uma quantidade inf ini ta de respostas . Uma delas é 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ3 dada por 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 2𝑥, 𝑦 − 2𝑥, 0). 
Esta resposta é ob tida a par t ir das seguintes considerações: 
a) O conjunto 𝛼 = {(1, 2)} é uma base do núcleo da transformação l inear 𝑇 que se deseja 
encontrar . 
b) Pode-se inser i r mais um vetor no conjunto 𝛼, de modo a obter -se um conjunto 𝛽 que seja 
base do ℝ2. Considere, então, 𝛽 = {(1, 2), (0, 1)}. 
c) Veri f ica -se que 𝛽 é um conjunto L.I , logo uma base do ℝ2, e , respe itando -se o fa to de 
que 𝑇(1, 2) = (0, 0, 0), def ine -se, por exemplo, 𝑇(0, 1) = (1, 1, 0). 
23. 𝑇 ∶ ℘2(𝑥) → ℘2(𝑥) definida por 𝑇(𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = (2𝑎 − 𝑏)𝑥2 + (𝑎 + 𝑐)𝑥 + 𝑏. 
24. Uma das resposta s possíve is é 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ2 dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 𝑦, −2𝑦). 
25. Estão no núcleo da t ransformação os vetores (−2, 4), (100, −200) e , evidentemente, (0, 0). 
26. O conjunto 𝛼 = { [
1 0
1 0
] , [
0 1
0 1
] } é base de 𝑁(ℎ) e 𝑑𝑖𝑚𝑁(ℎ) = 2. 
O conjunto 𝛼 = { [
 1 0
−2 0
] , [
0 1
0 −2
] } é base de 𝐼𝑚(ℎ) e 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(ℎ) = 2. 
27. 𝑁(𝑓) = [ 1 ] e 𝐼𝑚(𝑓) = [ 2𝑥, 1]. 
28. a) Sim. b) Não. c) Sim. 
d) O conjunto 𝛼 = {−2𝑥2 + 𝑥 − 1} é base de 𝑁(𝑇) e 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 1. 
 O conjunto 𝛽 = { 𝑥, 1 } é base de 𝐼𝑚(𝑇) e 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑡) = 2. 
e) 𝑇 não é injetora , nem sobrejetora. 
29. a) 𝑁(𝑇) = {(0, 0)} , 𝐼𝑚(𝑡) = ℝ2 e T é um iso morfismo. 
b) 𝑁(𝑇) = [(1, −3, −5)] , 𝐼𝑚(𝑇) = ℝ2. 
c) 𝑁(𝑇) = [(0, 1, 0)] , 𝐼𝑚(𝑇) = ℝ2. 
d) 𝑁(𝑇) = [(3, 1, 1)] , 𝐼𝑚(𝑇) = [(1, −1,1), (−1, 2, 0)] . 
e) 𝑁(𝑇) = [ (
0 0
1 0
) , (
0 0
0 1
) ] , 𝐼𝑚(𝑇) = ℝ2. 
f) 𝑁(𝑇) = {(0, 0)} , 𝐼𝑚(𝑇) = [(−2, −3, 2), (1, 2, 1)] . 
g) 𝑁(𝑇) = [ (
1 0
0 1
) , (
0 1
1 1/2
) ] , 𝐼𝑚(𝑇) = [ (
0 −2
2 0
) , (
2 0
1 −2
) ] . 
30. a) Defina 𝑓 ∶ ℝ2 → 𝑊 por 𝑓(𝑥 , 𝑦) = ( 𝑥, 𝑦, 0), e mostre que 𝑓 é l inear e bi jeto ra. 
b) Defina 𝑓 ∶ ℝ3 → ℘2(𝑥) por 𝑓(𝑎 , 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, e mostre que 𝑓 é l inear e bi jeto ra . 
c) Defina 𝑓 ∶ 𝑀2×2 → ℝ
4
 por 𝑓 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = (𝑎 , 𝑏, 𝑐, 𝑑), e mostre que 𝑓 é l inear e b i jetora . 
31. a) Se 𝑇 fosse sobrejetora , então 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑉. Assim, como 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 e 
𝑑𝑖𝑚𝑈 < 𝑑𝑖𝑚𝑉, ter íamos 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 − 𝑑𝑖𝑚𝑉 < 0 , o que ser ia absurdo. 
b) Se 𝑇 fosse injetora , então 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 0. Assim, como 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 > 𝑑𝑖𝑚𝑉, 
ter íamos 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 − 0 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 > 𝑑𝑖𝑚𝑉, o que ser ia absurdo. 
c) Se 𝑇 é inje tora, então 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 0. Como 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑑𝑖𝑚𝑉, 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 
acarre ta 0 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑉, ou seja , 𝑇 é sobrejetora. 
Reciprocamente, sendo 𝑇 sobrejeto ra, 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑉. Ass im, 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) =
𝑑𝑖𝑚𝑈 f ica 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 e , como, 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 segue que 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 0. 
d) Se 𝑇 é um isomorf ismo, 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 0 e 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑉. Logo, 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 
f ica 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈. 
32. Se t ivéssemos 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) > 𝑑𝑖𝑚𝑈, como 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 − 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇), chegar íamos à conclusão 
de que 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) < 0, o que ser ia absurdo. 
33. [ 𝑇 ]𝛽
𝛼 = [ 
0 2 1
0 −1 4
 ]. 
34. 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑧 − 2𝑦, 𝑦 − 𝑥), 𝛼 = {(1, 1, 2)} é base do núcleo de 𝑇 e 𝑑𝑖𝑚𝑁(𝑇) = 1. 
𝛽 = {(0, −1, (1, 0)} é base da imagem de 𝑇 e 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝑇 = 2. 
𝑇 não é injetora , nem sobrejetora. 
35. 𝛽 = {(1, −1), (2, 6)}. 
36. [𝑇(−1, 1, 0)]𝛽 = [ 
 1
−1
 ] , 𝑇(−1, 1, 0) = (0, 3) e 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧). 
37. Se 𝛼 é a base canônica de ℝ3, então [𝑇]𝛼
𝛼 = [ 
1 −1 0
0 2 0
0 1 1
 ] . Como 𝑑𝑒𝑡[𝑇]𝛼
𝛼 = 2 ≠ 0, segue que 𝑇 
é um isomorf ismo. 
Nesse caso, [𝑇−1]𝛼
𝛼 = [ 
1 1/2 0
0 1/2 0
0 − 1/2 1
 ] . 
38. a) Falsa. b) Verdadeira. c) Falsa. d) Falsa. e) Verdadei ra. 
39. [ 𝑇 ]𝛽
𝛼 = [ 
1 0
0 1/2
0 1/2
 ]. 40. 𝑇(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥. 
 
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