Transferência de Calor em Superfícies Estendidas

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Condução 
Unidimensional em 
Regime Permanente:
Transferência de Calor em Superfícies 
Estendidas (Aletas)
Prof. Hélio Teotônio Alves Filho
Conceito de Superfícies Estendidas
 O termo superfície estendida é comumente usado para
descrever um caso especial importante envolvendo a
transferência de calor por condução no interior de um
sólido e a transferência de calor por convecção (e/ou
radiação) na fronteiras de um sólido.
 Esta superfície difere das outras pela direção em que
ocorre a transferência de calor nas fronteiras, sendo ela
perpendicular a direção principal do fluxo por condução
no interior do sólido.
Conceito de Superfícies Estendidas
 Seja um suporte que une duas paredes
a diferentes temperaturas, sobre o
qual há um escoamento cruzado de um
fluido.
 Com T1>T2, gradientes de temperatura
na direção x mantêm a transferência
de calor por condução no suporte.
 Com T1>T2>T∞ , há ao mesmo tempo
transferência de calor por convecção
para o fluido, com o aumento de x, o
qx diminui e, consequentemente, o
grandiente de temperatura (dT/dx)
também.
Conceito de Superfícies Estendidas
 Se TS é fixa, há duas formas nas quais a
taxa de transferência de calor pode ser
aumentada. Para aumentar a taxa, o
coeficiente de transferência de calor (h)
deve ser aumentado das seguintes formas:
 Aumento da velocidade do fluido;
 Diminuição da temperatura do fluido
(T∞).
 Ainda assim, o coeficiente atingido pode
ser insuficiente para atingir a taxa
necessária ou os custos se tornam
inviáveis.
 Tais custos estão relacionados à exigência
de potência nos sopradores ou nas bombas
necessária para elevar o h através do
aumento da movimentação do fluido.
 Já a diminuição da temperatura do fluido,
muita é frequentemente impraticável.
Conceito de Superfícies Estendidas
 Na figura (b), está disponível a
terceira opção. A utilização de
superfícies estendidas, também
chamadas de Aletas, aumentam a área
de contato com fluido.
 Com isso, a taxa de transferência de
calor é elevada.
 A condutividade térmica do material
da aleta pode ter um grande efeito na
distribuição de temperaturas ao longo
da aleta, consequentemente, melhora
ainda mais a taxa de transferência de
calor.
Exemplos de Aplicações de Aletas
 Dispositivos para resfriar cabeçote de
motores de motocicletas e de
cortadores de grama, ou para resfriar
transformadores de potência elétrica.
 Tubos aletados usados para promover
a troca de calor entre ar e o fluido de
trabalho em um aparelho de ar
condicionado.
Diferentes configurações de Aletas
 Uma aleta plana é qualquer
superfície estendida que se encontra
fixada a uma parede plana. Pode ter
uma área de seção transversal
uniforme (a) ou variando (b) com a
distância x da parede.
 (c) Uma aleta anular é aquela que se
encontra fixada circunferencialmente
a um cilindro e sua seção transversal
varia com o raio a partir da parede do
cilindro.
 (d) Uma aleta piniforme, ou pino, é
uma superfície estendida de área de
seção transversal circular, sendo ela
uniforme ou não.
r
A escolha da aleta
depende:
Do espaço
disponível, do
peso, da
fabricação e
custo, entre
outros pontos
importantes.
Análise Geral da Condução em uma Aleta
 Para determinar a taxa de transferência de calor associada a uma aleta, em
primeiro lugar, deve-se obter a distribuição de temperaturas ao longo da
aleta.
 Deve-se considerar as seguintes condições em um balanço de energia:
 Condução unidimensional na direção x longitudinal;
 Temperatura uniforme ao longo da espessura da aleta (direção y);
 Regime permanente;
 Propriedades constantes (k = constante);
 Radiação na superfície desprezível;
 Sem geração de calor;
 Coeficiente de transferência de calor por convecção (h) uniforme ao longo da
superfície da aleta.
Equação Geral da Condução em uma Aleta
𝑑
𝑑𝑥
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−
ℎ
𝑘
𝑑𝐴𝑆
𝑑𝑥
𝑇 − 𝑇∞ = 0
𝑑2𝑇
𝑑𝑥²
+
1
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−
1
𝐴𝑡𝑟
ℎ
𝑘
𝑑𝐴𝑆
𝑑𝑥
𝑇 − 𝑇∞ = 0
OU
OBS: Sua solução, com condições de contorno
apropriadas, fornece a distribuição de temperaturas, que
pode ser usada junto com a Lei de Fourier para calcular
a taxa de condução em qualquer x.
Perímetro
Área Transversal
Análise da Condução em uma Aleta
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑇 − 𝑇∞ = 0
Em geral, a área transversal varia com x, o que
torna a equação anterior de difícil resolução.
No caso para uma seção transversal constante e
condutividade térmica constante, temos:
𝑑2𝜃
𝑑𝑥2
−𝑚2𝜃 = 0
Ou
𝑚2 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
excesso de temperatura
𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞
excesso de temperatura
na base da aleta
t
b
𝑃 = 2𝑡 + 2𝑏
𝐴𝑡𝑟 = 𝑡. 𝑏
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑥
Solução Geral da Eq. Diferencial da Aleta
Para uma Aleta de seção transversal constante e
condutividade térmica constante, apresenta-se
a seguinte solução geral para equação diferencial
anterior:
𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥
Para resolver esta equação, precisaremos de duas
condições de contorno: uma será a temperatura
especificada na base da aleta, a outra será na
ponta da aleta.
𝜃 0 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ Primeira condição (1): x = 0
𝑚 =
2ℎ
𝑘𝑡
Para aletas 
retangulares:
𝑇∞𝑇𝑏
L
x
Condições de Contorno em uma Aleta
A segunda Condição de Contorno (2) é que poderá variar. A seguir,
veremos condições de contorno na ponta da Aleta.
1. Condição de Contorno: Aleta infinitamente comprida
Neste caso, a temperatura na ponta da aleta é considerada igual
a temperatura do fluido T∞ (T(L) = T∞).
Resolvendo na equação, teremos:
𝜃 𝐿 = 𝑇 𝐿 − 𝑇∞ = 0
𝑒−𝑚𝑥 =
𝑇 𝑥 − 𝑇∞
𝑇𝑏 − 𝑇∞
𝑞 = (𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟 (W)
Condições de Contorno em uma Aleta
A segunda Condição de Contorno (2) é que poderá variar. A seguir,
veremos condições de contorno na ponta da Aleta.
2. Condição de Contorno: Perda de calor desprezível a partir da
ponta da aleta (ou ponta isolada, ou ponta adiabática)
Neste caso, a ponta da aleta pode ser considerada adiabática, ou
seja:
Resolvendo na equação, teremos:
𝑑𝜃 𝐿
𝑑𝑥
= 0
𝑇 𝑥 − 𝑇∞
𝑇𝑏 − 𝑇∞
=
cosh[𝑚 𝐿 − 𝑥 ]
cosh(𝑚𝐿)
𝑞 = (𝑇𝑏 − 𝑇∞) tanh(𝑚𝐿) ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟 (W)
Exemplo 1
Considere uma aleta retangular muito longa fixada a superfície plana, de
tal forma que a temperatura na sua ponta seja essencialmente a mesma do
ar circundante, ou seja, 20°C. Sua largura é de 5,0 cm; espessura 1,0 mm;
condutividade térmica 200 W/m.K; e temperatura da base 40°C. O
coeficiente de transferência de calor é h = 20 W/m².K. Estime a
temperatura da aleta à distância de 5 cm da base e a taxa de perda de
calor em toda a aleta.
Condições de Contorno em uma Aleta
A segunda Condição de Contorno (2) é que poderá variar. A seguir,
veremos condições de contorno na ponta da Aleta.
3. Condição de Contorno: Temperatura especificada
Neste caso, a temperatura da ponta da aleta foi especificada ou
dada as condições para calculá-la. Note que a temperatura em L,
T(L), é diferente da temperatura T∞.
Resolvendo na equação, teremos:
𝑇 𝑥 − 𝑇∞
𝑇𝑏 − 𝑇∞
=
[
(𝑇𝐿 − 𝑇∞)
(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
]𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝑥 + senh[𝑚 𝐿 − 𝑥 ]
senh(𝑚𝐿)
𝑞 = (𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟(
cosh 𝑚𝐿 −[
(𝑇𝐿−𝑇∞)
(𝑇𝑏−𝑇∞)
]
𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚𝐿)
) (W)
𝜃 𝐿 = 𝜃𝐿 = 𝑇 𝐿 − 𝑇∞
Condições de Contorno em uma Aleta
A segunda Condição de Contorno (2) é que poderá variar. A seguir,
veremos condições de contorno na ponta da Aleta.
4. Condição de Contorno: Convecção a partir da ponta da aleta
Considerando o casode convecção APENAS na ponta. A condição na ponta da aleta pode
ser obtida a partir do seu balanço de energia (qcond = qconv):
Resolvendo na equação, teremos:
𝑇 𝑥 − 𝑇∞
𝑇𝑏 − 𝑇∞
=
cosh 𝑚 𝐿 − 𝑥 + Τ(ℎ 𝑚𝑘) senh 𝑚 𝐿 − 𝑥
cosh 𝑚𝐿 + Τ(ℎ 𝑚𝑘) senh(𝑚𝐿)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = (𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟[
senh 𝑚𝐿 + Τ(ℎ 𝑚𝑘) cosh 𝑚𝐿
cosh 𝑚𝐿 + Τ(ℎ 𝑚𝑘) senh 𝑚𝐿
] (W)
−𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= ℎ𝐴𝑡𝑟[𝑇 𝐿 − 𝑇∞]
Condições de Contorno em uma Aleta
4. Condição de Contorno: Convecção a partir da ponta da aleta
• Uma outra forma de calcular a solução geral da aleta com
convecção na ponta é considerando a sua ponta isolada, de
forma que, a transferência de calor seja equivalente ao caso da
convecção na ponta apenas com o aumento do comprimento da
aleta. Esta convenção é feita por causa da complexidade dos
cálculos do caso de convecção na ponta da aleta.
• Dessa forma, podem ser usadas as duas equações do caso da
ponta isolada, apenas substituindo o comprimento real (L) da
aleta pelo comprimento corrigido (LC). O LC pode ser calculado
de 3 formas:
𝐿𝐶 = 𝐿 +
𝐴𝑡𝑟
𝑃
𝐿𝐶 = 𝐿 +
𝑡
2
𝐿𝐶 = 𝐿 +
𝐷
4
Aleta Retangular
t é a espessura da aleta
Aleta Cilíndrica
D é o diâmetro
𝒕
w
Aaleta
Eficiência de Aletas
Transferência de calor em uma Aleta ideal
A distribuição de temperatura é uniforme em todo
comprimento da aleta, resultando em uma transferência
de calor máxima.
𝑨𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 2𝑤𝐿 + 𝑤𝑡
= 𝟐𝒘𝑳
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = h𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
Eficiência de Aletas
Na realidade, a temperatura diminui ao longo da aleta,
portanto, a transferência de calor é menor por causa da
diminuição da diferença de temperatura T(x) - T∞ em
direção à ponta da aleta.
Portanto, a eficiência da aleta é dada pela seguinte
equação:
Caso a eficiência de uma aleta seja conhecida, é possível
determinar a transferência de calor a partir da aleta
real:
η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =
𝑞𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
𝑞𝑟𝑒𝑎𝑙 = η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎ℎ𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
Eficiência de Aletas
Para aletas com seção transversal uniforme e não uniforme e de
diferentes formas, as áreas e eficiências variarão de acordo com a
tabela a seguir:
Eficiência de Aletas
Eficiência de Aletas
Eficiência de Aletas
Em algumas aletas, é percebida as funções I e K, elas são chamadas de
funções de Bessel modificadas, seus valores são tabelados.
𝒆−𝒙𝑰𝟏(𝒙)𝒆
−𝒙𝑰𝟎(𝒙) 𝒆𝒙𝑲𝟎(𝒙) 𝒆
𝒙𝑲𝟏(𝒙)𝒙
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑇𝑏
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑇𝑏
Desempenho de Aletas
O desemprenho de aletas é avaliado com base no
rendimento da transferência de calor em relação ao
caso sem aleta. Assim, poderá saber se o aumento da
transferência de calor justificará o aumento dos
custos da adição de aletas.
O desempenho da aleta é expresso por meio de sua
efetividade/eficácia εaleta definhada por:
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
=
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 1
Adição da aleta não afeta a transferência de 
calor
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 < 1
Adição da aleta age como um isolante térmico, 
diminui a transferência de calor
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 > 1
Adição da aleta aumenta a transferência de 
calor
Eficiência x Eficácia de Aletas
Note que tanto a eficiência da aleta, quanto sua eficácia estão
relacionadas com o desempenho, com isso, podem ser relacionadas:
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
=
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎/𝑟𝑒𝑎𝑙
ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
=
η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎ℎ𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
A taxa de transferência de calor a partir de uma aleta
suficientemente longa de seção transversal uniforme (Ab=Atr) sob
condições permanentes é dada por:
𝜀𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =
𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
=
(𝑇𝑏 − 𝑇∞) ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟
ℎ𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
=
𝑘𝑃
ℎ𝐴𝑡𝑟
Eficiência Global da Superfície 
A diferença da eficiência global (𝜂𝑜) para a eficiência da aleta
(𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎) é quantidade de aletas. A eficiência global irá considerar um
conjunto de aletas. O qmáx é para uma aleta ideal, onde a
temperatura é constante para toda superfície da aleta, mas neste
caso, irá utilizar uma Área Total.
A área total é calculada somando as áreas das aletas mais as áreas
não aletadas. Sendo N o número de aletas, temos:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
η𝑜 =
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑞𝑚á𝑥
=
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
Eficiência Global da Superfície 
Relacionando com a eficiência de uma aleta, temos que a taxa total
de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície não
aletada, pode ser escrito da seguinte forma:
Com isso, a eficiência global fica:
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑇𝑏 − 𝑇∞ 1 −
𝑁𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1 − η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
η𝑜 = 1 −
𝑁𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1 − η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
Exemplo 2
O cilindro do pistão do motor de uma motocicleta é construído em liga de alumínio 2024-T6,
tendo uma altura H = 0,15 m e um diâmetro externo de D = 50 mm. Sob condições típicas de
operação, a superfície externa do cilindro está a uma temperatura de 500 K e encontra-se
exposta ao ar ambiente a 300 K, com um coeficiente convectivo de 50 W/(m²K).
Aletas anulares são fundidas integralmente
com o cilindro para aumentar a
transferência de calor para a vizinhança,
cada aleta possui uma eficiência η𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =
95%. Considere cinco destas aletas, com
espessura t = 6 mm, comprimento L = 20
mm e igualmente espaçadas. Qual é o
aumento na taxa de transferência de calor
devido ao uso das aletas?
Exemplo 3
Uma parede plana com temperatura de superfície de 350°C está ligada a aletas retangulares
retas (k = 235 W/(mK)). As aletas são expostas à condição do ar ambiente a 25°C, e o
coeficiente de transferência de calor por convecção é de 154 W/(m²K). Cada aleta tem
comprimento de 50 mm, base de 5mm de espessura e largura de 100 mm. Determine a
eficiência , a taxa de transferência de calor e a eficácia de cada aleta.