Notas de Aula 3 Hidr+íulica e Hidrologia

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Material de Apoio 3 de Hidráulica e Hidrologia 
 
- Hidrodinâmica: Viscosidade 
- Hidrodinâmica: Vazão 
- Hidrodinâmica: Tipos de Escoamento 
- Hidrodinâmica: Número de Reynolds 
- Hidrodinâmica: Equação da Continuidade 
- Hidrodinâmica: Equação da Quantidade de Movimento 
- Hidrodinâmica: Equação da Energia - Bernoulli 
 
 
VISCOSIDADE 
 Fluidos que estejam submetidos a uma tensão externa cedem a esta tensão rapidamente, o 
que faz com que suas moléculas deslizem umas sobre as outras, resultando em uma ação de 
cisalhamento. 
 Entretanto, os fluidos apresentam certa resistência à essa tensão de cisalhamento. Essa 
resistência é denominada VISCOSIDADE. 
A viscosidade pode ser descrita como a capacidade das moléculas de um fluido de escoarem 
próximas umas às outras. Quanto mais viscoso um fluido for, mais lentamente ele irá escoar. 
Ela não tem, pois, qualquer relação com a densidade. Um bom exemplo é o do óleo com a 
água. A maioria dos óleos é menos densa que a água (possui menor massa específica, ρ, que a água). 
Entretanto, os óleos são mais viscosos que a água. 
Essa propriedade intrínseca do fluido, de escoar com menor ou maior velocidade (ou seja, de 
resistir à tensão de cisalhamento), ilustrada pelo exemplo do óleo com a água, é chamada 
VISCOSIDADE ABSOLUTA ou VISCOSIDADE DINÂMICA (µ). 
A unidade da Viscosidade Absoluta é N.s/m² no S.I. (que equivale à Pa.s. No S.I). Também se 
usa a medida Poise, sendo 1 Poise = 0,1Pa.s. No sistema americano, sua unidade é lbf.s/pés². 
O valor da viscosidade absoluta (ou dinâmica) da água, a 20°C, é de 1,003x10-3N.s/m² (no S.I.) 
 
Viscosidade Cinemática 
Além da viscosidade dinâmica (ou seja, a capacidade dos fluidos em resistirem à tensão 
cisalhante), existe um outro tipo de viscosidade, denominada VISCOSIDADE CINEMÁTICA (ν). 
A Viscosidade Cinemática é a razão entre a viscosidade dinâmica do fluido (µ) e a sua massa 
específica (densidade, ρ): 
𝜈 =
µ
ρ
 
A unidade de medida da viscosidade cinemática é dada em m²/s no S.I, e em pés²/s no sistema 
americano de medidas. 
A viscosidade cinemática da água é tida como 1,0x10-6 m²/s a 20°C, situação bastante comum 
no Brasil. 
A tabela abaixo traz alguns valores da viscosidade cinemática da água em outras temperaturas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem retirada de disciplinas.stoa.usp.br/mod/resource/view.php?id=83619 
 
 
 
Lei da Viscosidade de Newton 
Observem a imagem abaixo, com um fluido colocado entre duas placas: 
 
 
 
 
 
 
 Se a placa de cima for deslocada por uma força F a uma velocidade v, e a placa de baixo 
permanecer parada, então a porção do fluido que estiver em contato com a placa de baixo não irá se 
movimentar, enquanto a parte de cima do fluido, em contato com a placa superior, começará a fluir 
com uma velocidade v. Entre a “camada” superior do fluido e a sua “camada” inferior, haverá um 
gradiente de velocidade como o demonstrado na imagem acima. 
 A tensão de cisalhamento (τ) que existe no deslocamento demonstrado na figura acima, como 
já sabemos, é: 
𝜏 =
F
A
 
 Onde: τ = tensão de cisalhamento (N/m²); F = força aplicada (N); A = área da placa (m²). 
 Se observamos a figura acima, podemos ver que a variação da velocidade do fluido será dv/dy. 
 Por experiência, sabe-se que a força F necessária para manter a velocidade v é proporcional à 
velocidade (v) e à área (A) das placas, e inversamente proporcional à distância entre elas (y). 
 Logo: 
𝐹 ∝
vA
y
 
 Onde: F = força aplicada; v = velocidade; A = área das placas; y = distância entre as placas. O 
símbolo “ ∝ ” significa “proporcional a”. 
 Reajustando essa equação, temos: 
𝐹
𝐴
∝
dv
dy
 
 Dessa forma: 
𝜏 ∝
dv
dy
 
F
v
y
v = 0
Fluido dy
dv
 Newton estabeleceu que a constante de proporcionalidade dessa equação é a viscosidade 
dinâmica (µ). Dessa forma, a equação acima assume a seguinte forma: 
𝜏 = µ
dv
dy
 
 Onde: τ = tensão de cisalhamento; µ = viscosidade dinâmica; e dv/dy é o gradiente de 
velocidade do fluido. 
Essa equação é conhecida como Lei da Viscosidade de Newton. 
Fluidos que obedecem a Lei de Viscosidade de Newton são denominados FLUIDOS 
NEWTONIANOS. A viscosidade de um fluido newtoniano não varia com a tensão de cisalhamento ou 
com o gradiente de velocidade resultante. Para este tipo de fluido, a viscosidade só varia devido a 
fatores intrínsecos ao próprio fluido, como por variações de temperatura desse fluido. 
Alguns exemplos de fluidos newtonianos são a água, o óleo, o ar. A maioria dos fluidos 
encontrados na engenharia são fluidos newtonianos. 
Por outro lado, fluidos cuja viscosidade é variável, aquele que não obedecem à Lei de Newton 
da Viscosidade, são ditos FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS. Exemplos de fluidos não newtonianos são o 
ketchup, tinta, glicerina. 
 
VAZÃO 
 É um dos dois parâmetros fundamentais utilizados para descrever o deslocamento da água em 
uma tubulação. 
 A vazão também é comumente denominada descarga, e será representada pela letra “Q”. Ela 
corresponde ao parâmetro que descreve a quantidade de água que passa em um plano imaginário por 
unidade de tempo, em uma posição específica dentro da tubulação, ou em sua saída. A vazão Q é, 
também, muitas vezes, utilizada como sinônimo de fluxo (transporte de uma determinada grandeza 
por unidade de tempo). 
 A vazão é um conceito utilizado praticamente em todos os estudos da hidrodinâmica. Esse 
parâmetro precisa ser conhecido, por exemplo, em estudos de instalações hidráulicas de 
abastecimento, de geração de energia através de turbinas, e de drenagem, entre outros. 
 
 
 
 
 
Retirada de Gribbin (2008) 
Vazão Volumétrica (QV) 
 O conceito de vazão volumétrica é o próprio conceito de vazão: ela é o volume de fluido que 
atravessa uma seção transversal de uma tubulação por unidade de tempo: 
𝑄𝑉 =
V
t
 
 Onde: Qv = vazão volumétrica; V = volume; t = tempo. 
 A vazão volumétrica é expressa no S.I., geralmente, em metros cúbicos por segundo (m³/s), 
podendo também ser expressa em metros cúbicos por hora (m³/h); litros por hora (L/h), litros por 
segundo (L/s), etc. 
 A vazão pode ser calculada pela fórmula acima, ou então pela velocidade, se levarmos em 
consideração que: 
𝑉 = 𝑑. 𝐴 
 Onde: V = volume; d = distância entre dois pontos me uma tubulação; A = área da tubulação. 
 Substituindo na fórmula da vazão volumétrica: 
𝑄𝑉 =
V
t
=
𝑑. 𝐴
𝑡
 
 Mas como a distância dividida pelo tempo é igual à velocidade (d/t = v): 
𝑄𝑉 = v. A 
 Onde: Q = vazão; v = velocidade; A = área transversal da tubulação. 
 Portanto, a vazão tanto pode ser calculada pela divisão do volume do fluido pelo tempo, 
quanto pela multiplicação da velocidade do fluido pela área da tubulação. 
 É importante lembrar que: 
 1m³ = 1000L 
 1h = 3600s 
 1min =60s 
 
 Vazão em Massa (Qm) 
 A vazão em massa (Qm) é a quantidade de massa de um fluido que atravessa uma seção 
transversal de uma tubulação por unidade de tempo: 
𝑄𝑚 =
m
t
 
 Onde: Qm = vazão em massa; m= massa do fluido; t = tempo. 
 Como sabemos que: 
𝑚 = 𝜌. 𝑉 
 Onde: m = massa do fluido; ρ = massa específica do fluido; V = volume do fluido. 
Então podemos estabelecer a seguinte relação entre a vazão em massa (Qm) e a vazão 
volumétrica (QV): 
𝑄𝑚 =
m
t
=
𝜌. 𝑉
𝑡
 
 Portanto: 
𝑄𝑚 = 𝜌. 𝑄𝑉 
 
E, também: 
𝑄𝑚 = 𝜌. 𝑣. 𝐴 
 Onde: Qm = vazão em massa; v = velocidade do fluido; A = área transversal da tubulação; ρ= 
massa específica do fluido. 
As unidades de medida utilizadas para a vazão em massa (Qm) no S.I.são quilogramas por 
segundo (Kg/s) ou quilogramas por hora (Kg/h). 
 
 Vazão em peso (QP) 
 A vazão em peso (QP) é a quantidade de peso de um fluido que atravessa uma seção transversal 
de uma tubulação por unidade de tempo: 
𝑄𝑚 =
P
t
 
 Onde: Qm = vazão em massa; P = peso do fluido; t = tempo. 
 Como sabemos que: 
𝑃 = 𝜌. 𝑔. 𝑉 
 Onde: P = peso do fluido; ρ = massa específica do fluido; V = volume do fluido; g = gravidade. 
Então podemos estabelecer a seguinte relação entre a vazão em massa (Qm) e a vazão 
volumétrica (QV): 
 
𝑄𝑚 =
P
t
=
𝜌. 𝑔. 𝑉
𝑡
 
 Portanto: 
𝑄𝑚 = 𝜌. 𝑔. 𝑄𝑉 = 𝛾. 𝑄𝑉 
 E, também: 
𝑄𝑚 = 𝛾. 𝑣. 𝐴 
 Onde: Qm = vazão em massa; v = velocidade do fluido; A = área transversal da tubulação; ɣ = 
peso específico do fluido. 
 Da mesma forma: 
𝑄𝑃 = g. 𝑄𝑚 
 Onde: QP = vazão em peso; Qm = vazão em massa; g = gravidade. 
As unidades de medida utilizadas para a vazão em peso (QP) no S.I. são Newton por segundo 
(N/s) ou Newton por hora (N/h). 
 
MEDINDO A VAZÃO POR MEIO DE APARELHOS 
 Ao longo dos anos, muitos métodos foram desenvolvidos para as medições da vazão escoando 
em uma tubulação. 
 A escolha do dispositivo de medição a ser utilizado depende, em grande parte, do tipo de 
tubulação que transporta o fluido. 
 Os tipos mais comuns de medidores de vazão são o tubo de pitot, o medidor de Venturi e o 
molinete. 
 
 Tubo de Pitot 
 Em sua forma mais simples, o tubo de pitot consiste em um tubo com a extremidade final 
aberta, com uma curva de 90° perto da outra extremidade. 
 Ao observarmos a imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
Adaptada de Brunetti, 2008. 
 
(1) 
 Se considerarmos que os pontos 1 e 2 estão à mesma profundidade. As velocidades desses 
pontos serão diferentes. Isso porque quando o fluido se chocar a ponta do tubo de Pitot, ela sofrerá 
uma redução brusca devido ao seu encontro com o aparelho. 
 Quando o tubo de pitot é colocado em um fluxo com a extremidade aberta voltada à 
montante, (a), a água se ergue no tubo e uma altura acima da superfície do fluxo igual a: 
ℎ =
𝑣2
2𝑔
 
 Onde: v²= velocidade ao quadrado do fluido; g = gravidade. 
 Se a altura h for medida, então a velocidade v pode ser encontrada. 
Caso a extremidade do tubo de pitot for apontada para a jusante (b), uma sucção é criada no 
tubo, resultando em um nível de água inferior à altura do escoamento, a uma distância h’. Pesquisas 
recentes demonstram que: 
ℎ′ ≅ 0,43
𝑣2
2𝑔
 
Outras versões mais novas e sofisticadas do tubo de Pitot foram desenvolvidas com o passar 
dos anos, que fornecem medições mais precisas da vazão. 
 
 
 
 
 
Imagem retirada de Gribbin (2008). 
Para o cálculo da vazão Q, obtém-se a velocidade média através da área da seção (A) no ponto 
de medição da tubulação, através do cálculo da média de diversas medidas da velocidade naquele 
ponto, ou pela aplicação de um fator de proporcionalidade para a velocidade medida para, então, se 
calcular a velocidade média diretamente, caso este fator seja conhecido. 
A velocidade do fluido, para o tubo de Pitot, também é facilmente encontrada pela Equação 
de Bernoulli, que descreve o escoamento dos fluidos por meio da análise de suas constituintes 
energéticas (e que será vista em detalhes nas aulas posteriores). 
Essa equação é representada da seguinte forma: 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑍1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑍2 
 
Ao analisarmos novamente a imagem do tubo de Pitot: 
 
 
 
 
 
Adaptada de Brunetti, 2008. 
 
Podemos facilmente notar que Z1 (a profundidade do ponto 1) e Z2 (a profundidade do ponto 
2) são idênticas e, portanto, podemos cancelar esses termos na Equação de Bernoulli: 
 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑍1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑍2 
 
Agora, se considerarmos que a velocidade do ponto 2 (v2) se torna nula quando o fluido atinge 
o tubo de Pitot, também podemos desconsiderar esse termo da Equação de Bernoulli, e: 
 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑍1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑍2 
 
Então: 
 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
=
𝑃2
𝛾
 
𝑣1
2
2𝑔
=
𝑃2
𝛾
−
𝑃1
𝛾
 𝑣1
2 = 2𝑔 𝑥 
𝑃2 − 𝑃1
𝛾
 
 
E, portanto, a velocidade dos fluidos medida pelo tubo de Pitot pode ser encontrada por meio 
da seguinte expressão: 
 
𝒗 = √
𝟐𝒈(𝑷𝟐 − 𝑷𝟏)
𝜸
 
Onde: v = velocidade do fluido; g = aceleração da gravidade; P2 = pressão no ponto 2; P1 = 
pressão no ponto 1; γ = peso específico do fluido. 
Também para este caso de cálculo, a vazão pode ser obtida pela média de diversas medidas 
tomadas da velocidade do fluido, e pela área transversal da tubulação no ponto de medição dessas 
velocidades. 
 
Molinete 
 Um molinete consiste em um conjunto de hélices imerso em um fluxo de água junto a um 
mecanismo calibrado para converter o giro da hélice em velocidade. Existem diversos tipos de 
molinetes para diversos tipos de fluxos em condutos fechados e abertos. 
(1) 
Medidor de Venturi 
 O medidor de Venturi é utilizado para medir a vazão de fluxos em condutos forçados. Ele 
corresponde a uma constrição cuidadosamente projetada no tubo por onde escoa o fluido, com o 
objetivo de aumentar a velocidade do fluxo de acordo com a equação da continuidade de Bernoulli. 
 Em sua forma mais simples (figura abaixo), piezômetros são instalados na garganta e no tubo 
logo a montante da garganta. Os piezômetros medem a queda da carga de pressão causada pelo 
aumento da velocidade. 
 O medidor de Venturi deve ser colocado em uma seção reta e uniforme do tubo, livre de 
turbulência, deve ter cantos arredondados o suficiente e transições graduais de diâmetro, para que os 
resultados produzidos sejam precisos. 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem retirada de Gribbin (2008). 
 A equação da energia, escrita entre os dois piezômetros, é: 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
=
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑧1 
 Reescrevendo essa equação, temos: 
𝑄 = c. 𝐴2√
2g (
𝑃1
𝛾 −
𝑃2
𝛾 )
1 − (
𝐷2
𝐷1
)
 
 Onde A é a área da garganta, e c é um coeficiente entre zero e 1, utilizado no lugar de h1 para 
considerar as perdas de energia. A tabela abaixo apresenta vários valores de c de acordo com os 
diâmetros da garganta da tubulação. 
 
 
 
Tabela retirada de Gribbin (2008) 
 Velocidade da Garganta (pés/s) 
Diâmetro da Garganta (polegadas) 3 4 5 10 15 
1 0,935 0,945 0,949 0,958 0,963 
2 0,939 0,948 0,953 0,965 0,970 
4 0,943 0,952 0,957 0,970 0,975 
8 0,948 0,957 0,962 0,974 0,978 
12 0,955 0,962 0,967 0,978 0,981 
 
Placa de Orifício 
 A Placa de Orifício é um dispositivo que mede a vazão por meio da diferença de pressões entre 
dois pontos de medição. Ela também é um dispositivo que é baseado na equação de Bernoulli (que 
será estudada nas próximas aulas): 
 
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
 
 Esse dispositivo consiste de uma placa perfurada precisamente que é instalada 
perpendicularmente ao eixo da tubulação. Dois pontos de medição de pressão são instalados, então, 
antes e depois da placa: 
 
 
 
 
 
 
 
Retirada de www.google.com.br 
 Quando o fluido passa pela placa, o jato do fluido se contrai em uma área menor que a que ele 
ocupada antes, que é denominada “veia contraída”. Devido à essa diferença de área, o fluido também 
passa a apresentar uma diferença de pressão, que decairá devido à obstrução apresentada pela Placa 
de Orifício e que será medida pelos pontos de medição de pressão instalados junto à ela.Existem diversos tipos de Placa de Orifício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Concêntrico Excêntrico segmentado 
(o mais tradicional) 
 
Retiradas de www.google.com.br 
 Para todos esses tipos, o orifício da placa tem o bordo delgado para que o fluido o toque 
apenas em sua aresta, de forma que o atrito entre o fluido e a placa seja diminuído o máximo possível. 
 A figura abaixo mostra uma placa de orifício concêntrica instalada em uma tubulação: 
 
Retirada de Brunetti, 2008. 
 
 Se considerarmos, pois, o Princípio de Bernoulli: 
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
 
Podemos observar que existe uma redução de pressão devido ao aumento da velocidade na 
seção 2. Considerando-se, portanto, a Equação de Bernoulli, a vazão pode ser calculada pela seguinte 
equação: 
𝑄 = 𝑘𝐴0√2𝑔 (
𝑃1 − 𝑃2
𝛾
) 
 
Onde: Q = vazão; k = coeficiente adimensional que depende do Número de Reynolds (que será 
analisado mais para frente nessa aula); A0 é a área do orifício da Placa de Orifício; g = aceleração da 
gravidade; P1 = pressão no ponto 1; P2 = pressão no ponto 2; γ = peso específico do fluido. 
O coeficiente k pode ser obtido, por meio do Número de Reynolds e da relação entre os 
diâmetros do orifício (D0) e da tubulação (D1), a partir do seguinte diagrama: 
 
 
Retirada de Brunetti, 2008. 
 
Este mesmo coeficiente k pode ser obtido por meio da seguinte expressão: 
 
𝑘 =
𝐶𝐷
√1 − 𝐶𝐶
2 (
𝐷0
𝐷1
)
4
 
 
Onde: CD = coeficiente de vazão; Cc = coeficiente de contração; D0 = diâmetro do orifício; D1 = 
diâmetro da tubulação. 
Como a Placa de Orifício é um dispositivo barato e de simples manuseio e interpretação, sua 
utilização para medição de vazão é uma das mais difundidas atualmente. 
 
TIPOS DE ESCOAMENTO 
 Para ajudar na análise de problemas hidráulicos, o escoamento da água em um tubo pode ser 
classificado de diversas formas. As categorias mais básicas são apresentadas como pares de opostos: 
 Escoamento Forçado versus Escoamento Livre; 
 Escoamento Permanente versus Escoamento Não-Permanente (ou Transiente); 
 Escoamento Uniforme versus Escoamento Variado. 
 Escoamento Laminar versus Escoamento Turbulento; 
Há, ainda, a classificação do escoamento em relação às dimensões envolvidas no fenômeno 
(escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais). 
Escoamento Forçado versus Escoamento Livre 
A característica que irá determinar se um escoamento é forçado ou livre é a pressão reinante 
no conduto por onde o fluido escoa. 
Se a pressão do escoamento for diferente da pressão atmosférica, maior que ela, considera-se 
que o escoamento é um escoamento FORÇADO (como pode ser visto na figura 1d) abaixo). Esse tipo 
de escoamento deve ocorrer em condutos fechados, tais como aqueles das tubulações de sistemas de 
recalques de água. 
Já se a pressão da superfície do escoamento for igual à pressão atmosférica, diz-se que o 
escoamento é LIVRE (como pode ser observado nas figuras 1a); 1b) e 1c) abaixo). Nesses três casos, a 
linha superificial do fluido está à mesma pressão da atmosfera. Nesse caso, o fluido pode se dar en 
condutos abertos, como os canais de rios, ou fechados, como as tubulações de captação de águas 
pluviais de uma cidade. 
 
 
 
 
Retirada de Azevedo Netto (1998). 
 
Escoamento Permanente versus Escoamento Não Permanente (ou Transiente) 
Escoamentos permanentes e transientes são classificados de acordo com a variação que as 
carcaterísticas dos escoamentos apresentam no tempo. 
Caso todas as características do escoamento de fluido (tais como velocidade, pressão, massa 
específica, etc.) não variem com o tempo, o escoamento é dito PERMANENTE. Neste caso, suas 
variáveis serão expressas matematicamente da seguinte forma: 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 0; 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 0 𝑒𝑡𝑐. 
 Onde: v = velocidade; t – tempo; 𝜌 = massa específica; p = pressão. 
 Note que, em dois pontos diferentes da trajetória do escoamento, suas características podem 
ser diferentes, desde que permaneçam constantes naquele ponto com o tempo. Em outras palavras, 
as características (pressão, velocidade, força, etc.) de um escoamento de regime permanente são 
dependentes apenas do ponto em que se encotram do escoamento, e não do tempo. 
Já se essas características do fluido, durante seu escoamento, variarem com o tempo, em um 
mesmo ponto, o escoamento é dito TRANSIENTE, TRANSITÓRIO ou NÃO-PERMANENTE. Neste caso, 
suas variáveis serão expressas matematicamente da seguinte forma: 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
≠ 0; 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
≠ 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
≠ 0 𝑒𝑡𝑐. 
 Onde: v = velocidade; t – tempo; 𝜌 = massa específica; p = pressão. 
 Caso o escoamento seja transitório, ele pode ser dividido em outras duas classificações, de 
acordo com a forma com que as mudanças se dão em suas características. Caso essas mudanças 
ocorram de forma mais lenta, como no caso do escoamento de uma tubulação que é abastecida por 
um reservatório de nível variável, a compressibilidade do líquido não será importante. Já no caso em 
que a mudança for brusca, como, por exemplo, no caso em que se fecha uma torneira interrompendo 
o escoamento do fluido, há uma propagação ondas de pressão que viajam à velocidade do som e que 
causam uma variação considerável da pressão do escoamento. Nesses casos, a compressibilidade do 
fluido é importante, e o fenômeno é denominado GOLPE DE ARÍETE ou TRANSIENTE HIDRÁULICO. 
 
Escoamento Uniforme versus Escoamento Variado 
Quando os escoamentos são permanentes, eles podem ser classificados de acordo com a sua 
velocidade em uniformes e variados. 
Se a velocidade do escoamento não se modificar (ou seja, caso o vetor velocidade do 
escoamento for constante em módulo, direção e sentido) em todos os pontos e para qualquer instante 
do escoamento do fluido, este é dito em regime UNIFORME (figura 2). Exemplos de escoamentos 
uniformes são aqueles que ocorrem em condutos de seção constante e grandes extensões, como as 
adutoras e canais de água prismáticos onde a altura da lâmina de água permanece constante. 
Já se a velocidade se modificar (ou seja, seu vetor se modifica em módulo, direção e/ou 
sentido) o escoamento é dito em regime VARIADO (figura 2). Exemplos de regimes variados podem ser 
dados em canais cujas dimensões ou inclinações se modifiquem, por exemplo, ou quando o fluido tem 
algum obstáculo que o impede de seguir seu caminho normalmente. 
 Quando o escoamento é variado, a sua variação pode ser classificada como uma variação 
gradual, quando então o escoamento é dito GRADUALMENTE VARIADO; ou como uma variação brusca, 
quando o escoamento é chamado de BRUSCAMENTE VARIADO (figura 2). 
 
 
 
 
 
 
Retirada de www.google.com.br 
 
Escoamento Laminar versus Escoamento Turbulento 
Quando consideramos as trajetória das partículas do fluido que está escoando, podemos 
classificar os escoamentos em laminar ou turbulento. Ou, ainda, um meio termo entre esses dois 
extremos, quando o escoamento é dito DE TRANSIÇÃO. 
 No ESCOAMENTO LAMINAR, a água flui em um tubo deslocando-se em “camadas” paralelas, 
sem que suas linhas de corrente se entrecruzem. Ou seja, sem que haja perturbação entre elas. 
Geralmente este tipo de escoamento ocorre em um fluxo regular com velocidades relativamente 
baixas. 
 No ESCOAMENTO TURBULENTO, a água flui em um tubo de forma mais instável. À medida que 
flui, suas linhas de corrente se entrecruzam ao longo da seção transversal do tubo. As trajetórias 
irregulares das partículas da água causam umatransferência de quantidade de movimento de uma 
partícula para outra. Esse tipo de escoamento geralmente ocorre com o aumento da velocidade da 
água. 
 Na Hidráulica, os escoamentos se encaixam geralmente na categoria de fluxos turbulentos. 
Fluxos laminares são mais raros, quando o fluido é mais denso ou quando o escoamento é muito 
pequeno, como nos decantadores das estações de tratamento de água. 
 
 
 
 
 
Retirada de www.google.com.br 
 Em experimentos laboratoriais, observa-se um fluxo para saber se ele se encaixa na categoria 
de fluxo laminar ou turbulento com o uso de um filamento delgado de corante. Ao se adicionar este 
filamento ao fluxo, observa-se que em escoamentos laminares o filamento permanece como uma linha 
praticamente retilínea que não se mistura com as “camadas” adjacentes do fluido. Já para fluxos 
turbulentos, o filamento de corante se mistura com o fluido, dispersando-se rapidamente por todo o 
escoamento. 
 
 
 
 
 
Retirada de www.google.com.br. 
Escoamento 
Escoamento Laminar 
Fluxo em regime laminar 
Fluxo em regime turbulento 
 Uma das diferenças entre esses dois tipos de escoamento é a distribuição de velocidade de um 
e de outro. Como existe uma interação entre as partículas das “camadas” da água no escoamento 
turbulento, a distribuição de velocidade neste tipo de escoamento é mais uniforme que aquela 
encontrada para o escoamento laminar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Geralmente, a velocidade máxima de um escoamento turbulento é 25% maior que a 
velocidade média desse escoamento, enquanto a velocidade máxima do escoamento laminar é o 
dobro da velocidade média. 
 Outra diferença entre esses dois tipos de escoamento envolve a perda de energia (comumente 
denominada perda de carga, que será estudada mais para frente no curso). Conforme a água escoa 
por um tubo, existe uma perda de energia (carga) que se deve às interações entre a água e as paredes 
do tubo e entre as próprias partículas da água. Logicamente, no escoamento turbulento essa perda de 
energia é muito maior que aquela encontrada no escoamento laminar. 
 
NÚMERO DE REYNOLDS 
 Existe um método matemático para se diferenciar um escoamento laminar de um escoamento 
turbulento. Esse método matemático foi desenvolvido pelo pesquisador Osborn Reynolds em 1883. E, 
por isso, recebeu seu nome, sendo denominado NÚMERO DE REYNOLDS (representado comumente 
por Re). 
 O Número de Reynolds é um parâmetro adimensional que é dado pela seguinte equação, para 
tubos circulares: 
𝑅𝑒 =
Dv
𝜈
 ou 𝑅𝑒 = 
𝜌vD
µ
 
 Onde: Re = número de Reynolds; D = dimensão geométrica característica; v = velocidade média 
do escoamento; 𝜈 =viscosidade cinemática do fluido (1,0x10-6 m²/s para a água a 20°C); ρ = massa 
específica do fluido (ρ=1g/cm³ para a água); µ = viscosidade dinâmica do fluido (1,003x10-3N.s/m² para 
a água a 20°C). 
Escoamento Turbulento
Escoamento Laminar
 De acordo com o valor do Re, tem-se um escoamento turbulento ou laminar, de acordo com 
as tabelas abaixo: 
 
 Tabela de valores de Re retirada de Baptista & Lara (2010). 
Regime Condutos Livres Condutos Forçados 
 Re = rv/ 𝛎 Re = ρvD/µ 
Laminar Re < 500 Re < 2000 
Transição 500 < Re < 1000 2000 < Re < 4000 
Turbulento Re > 1000 Re > 4000 
 
Note que, para escoamentos livres, utiliza-se o raio “r” da tubulação, e não seu diâmetro (para 
o caso de uma tubulação cilíndrica), posto que o fluido no interior do conduto não ocupa todo o seu 
espaço, como no caso do fluxo em regime forçado. 
 
 
Tabela de valores de Re retirada de Brunetti (2008). 
Regime Condutos Forçados 
 Re = ρvD/µ 
Laminar Re < 2000 
Transição 2000 < Re < 2400 
Turbulento Re > 2400 
 
 
Tabela de valores de Re retirados de Azevedo Netto (1998). 
Regime Condutos Forçados 
 Re = ρvD/µ 
Laminar Re < 2000 
Transição 2000 < Re < 4000 
Turbulento Re > 4000 
 
 Como se pode perceber, diferentes autores consideram valores limites diferentes de Re para 
fluxos turbulentos. Dessa forma, é sempre bom que se indique qual fonte se está considerando para a 
classificação do escoamento em laminar, de transição ou turbulento. 
 
 
 
 
Exercício de fixação 1: 
Em um trecho de uma tubulação de uma instalação hidráulica que se está implantando em 
uma residência, a água escoa a uma velocidade v = 0,3m/s, em regime forçado. A tubulação tem 4,0cm 
de diâmetro. Deseja-se saber se o escoamento de água nessa seção da tubulação é laminar, ou 
turbulento. Para tanto, pede-se calcular o número de Reynolds e determinar, por ele, natureza do fluxo 
de água. Dados: ρ = 1000kg/m³; µ = 1,003x10-3 N.s/m². 
 
Resolução: 
 𝑅𝑒 = 
𝜌vD
µ
= 
1000𝑥0,3𝑥0,04
1,003𝑥10−3
=
12
1,003𝑥10−3
= 11.964,11 
 O fluxo será turbulento, segundo a tabela dos valores de Re para fluxo em regime forçado. 
 
LEIS DE CONSERVAÇÃO 
Em sua grande maioria, os escoamentos podem ser considerados UNIDIMENSIONAIS E EM 
REGIME PERMANENTE para a resolução de problemas hidrodinâmicos, o que simplifica as equações 
fundamentais de fluxo que são normalmente utilizadas: as três equações fundamentais da 
hidrodinâmica. 
 Em situações em que essas circunstâncias não se aplicam, pequenos ajustes podem ser 
introduzidos nas equações para corrigi-las como, por exemplo, quando o escoamento possui duas ou 
três dimensões. 
 Nessa aula vamos considerar as situações que envolvem apenas fluxos unidimensionais em 
regime permanente. Como visto anteriormente, fluidos em regime permanente são aqueles em que 
as características do escoamento (tais como velocidade e pressão), em um dado ponto do escoamento, 
não variam com o tempo. 
 Para descrever o escoamento de um fluido, como a água, utilizam-se três leis físicas de 
conservação, que são representadas pelas três equações fundamentais da hidrodinâmica, a saber: 
- Equação da Continuidade (ou Conservação de Massa); 
- Equação da Quantidade de Movimento; 
- Equação da Energia (de Bernoulli). 
Para a utilização dessas três equações das Leis de Conservação, os escoamentos são 
representados por suas características médias (velocidade média, densidade média, etc.) e os efeitos 
de variação que ocorrem em uma seção transversal ao escoamento são corrigidos por meio de 
coeficientes. 
 
Equação da Continuidade 
 É também chamada de Equação da Conservação de Massa porque é decorrente da lei de 
conservação de massa da física, ou Lei de Lavoisier: “Ao término de uma reação química, a massa total 
inicial dos reagentes é igual a massa total final dos produtos. Ou em outras palavras, a massa é 
conservada quaisquer que sejam as modificações químicas e/ou físicas que a matéria sofra: na 
natureza, nada se cria e nada se perde. Tudo se transforma.” 
 A Lei de Conservação de Massa é uma lei da física que estabelece que a massa não pode ser 
criada ou destruída. Portanto, a quantidade de massa de fluido que entra em um conduto deve ser a 
mesma quantidade de massa que sai dele (ou seja, não há variação na vazão do fluido), quando o 
sistema é fechado, ou seja, onde não há entrada ou saída de qualquer quantidade de fluido, e se 
desprezando as suas perdas de carga. 
 Imaginemos agora um escoamento de um fluido por um conduto cuja seção reta seja variável: 
 
 
 
 
 
 
 
Como já foi visto anteriormente, a vazão (Q) pode ser obtida por: 
𝑄 = 𝑣. 𝐴 =
𝑉
𝑡
 
 Onde: v = velocidade média; V = volume; t = tempo. 
 Podemos, portanto, escrever: 
𝑉 = 𝑣. 𝐴. 𝑡 
 Também sabemos que: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
 
 Onde: ρ = massa específica; m = massa; V = volume. 
 De onde: 
𝑚 = 𝜌. 𝑉 = 𝜌. 𝑣. 𝐴. 𝑡 
A1
A2
Δ12=V2ΔtΔ11=V1ΔtV2
V1
 Ao considerarmos o exemplo da tubulação da imagem acima, podemos dizer que a massa que 
flui pela área A1 é m1=ρ1.v1.A1.t1, e que a massa que flui pela área A2 é m2 = ρ2.v2.A2.t2. Se aplicarmos o 
conceito da Lei da Continuidade nesses dois pontos do conduto, teremos: 
 𝜌1. 𝑣1. 𝐴1. 𝑡1 = 𝜌2. 𝑣2. 𝐴2. 𝑡2 
 Se considerarmos a quantidade de massa do fluido por unidade de tempo, então teremos a 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: 
 
𝜌1. 𝐴1. 𝑣1 = 𝜌2. 𝐴2. 𝑣2 
 
Onde: ρ = massa específica do fluido; A = área da seção transversal ao escoamento, em m2; 
v= velocidade média do escoamento, em m/s. 
 Como a Hidráulica trata da água e como já vimos que a água é um fluido que praticamente não 
apresenta compressibilidade e cuja massa específica pode ser considerada constante no regime 
permanente, a EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE em um trecho de um conduto de escoamento de água 
onde não haja entrada ou saída de água fica: 
 
𝐴1. 𝑣1 = 𝐴2. 𝑣2 
 
 Onde: Q = vazão em m3/s; ρ = massa específica do fluido; A = área da seção transversal ao 
escoamento, em m2; v= velocidade média do escoamento, em m/s. 
 Uma decorrência da Lei da Continuidade é considerar a vazão constante em um trecho onde 
essa lei é válida: 
𝑄1 = 𝑣1. 𝐴1 = 𝑣2. 𝐴2 = 𝑄2, 𝑜𝑢 𝑄1 = 𝑄2 
 
 
Exercício de fixação 2: 
 Qual é a vazão de água de uma seção entre os pontos 1 e 2 de um conduto que tenha área de 
1,5m2 e cujo escoamento de água tem uma velocidade de 0,5 m/s? Considere que não há entrada ou 
saída de água nesse trecho e que o escoamento é permanente e unidimensional. 
 
 
 
1 2 Fluxo v = 0,5m/s 
A = 1,5m² 
Resolução: 
 Se não há entrada ou saída de água no trecho analisado, a massa da água é constante e a 
compressibilidade pode ser desconsiderada. Pela conservação de massa, tem-se que as características 
nos pontos 1 e 2 são iguais (veja equação acima). Portanto: 
 A = 1,5m2; v = 0,5m/s 
 
Então: 
Q = A.v = 1,5m2.0,5m/s = 0,75 m3/s. 
 
Exercício de fixação 3 (retirado de Macacari): 
 Considere um conduto que é mais estreito em um determinado trecho e mais largo em outro 
trecho. Levando-se em consideração a situação na qual a equação da continuidade se aplica, ou seja, 
que a vazão desse escoamento de água não se altera, determine a velocidade no ponto 2 dessa 
tubulação mostrado na imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Sabe-se, pela equação da continuidade, que A1.v1 = A2.v2. Pela imagem, também podemos 
considerar que v1 = 5,0cm/s; A1 = 40cm² e A2 = 150 cm². Como todos os elementos necessários aos 
cálculos estão na mesma unidade de medida, não há a necessidade de converter nenhum valor. Dessa 
forma: 
𝐴1. 𝑣1 = 𝐴2. 𝑣2 
 Logo: 
40𝑥5 = 150𝑥𝑣2 
 Portanto: 
𝑣2 =
40𝑥5
150
=
200
150
= 1,33𝑐𝑚/𝑠 
Exercício de fixação 4 (retirado de Macacari): 
Um duto de seção retangular possui um estreitamento cuja área de seção é de 100cm². Um 
líquido flui no duto à vazão de 90 litros/min. Calcule a velocidade do líquido no estreitamento do duto. 
Resolução: 
O exercício nos fornece: Q1 = 90 litros/min., e A2 = 100cm². 
 Primeiro, precisaremos converter as unidades, para igualar a vazão Q à área A: 
 1m³ = 1000litros. Logo, Q1 = 0,09m³/min. 
 1min. = 60seg. Logo, Q1 = 0,0015m³/seg. 
 100cm²=0,01m². 
 Pela lei da continuidade, sabemos que: Q1=Q2. Logo, A1.v1=A2.v2. Logo: Q1=A2.v2. 
 De onde: 𝑣2 =
𝑄1
𝐴2
= 
0,0015
0,01
= 0,15 𝑚/𝑠 𝑜𝑢 15𝑐𝑚/𝑠 
 
Exercício de fixação 5: 
Considere uma seção da tubulação de distribuição de água do DAEE em que haja um conduto 
com um estreitamento de diâmetro, conforme representado pela ilustração abaixo, no qual a 
velocidade da água na área A1 é de 1,2cm/s (V1 =1,2cm/s); a área A1 tem 100cm² (A1 = 100cm²), e a 
área A2 tem 20cm² (A2 = 20cm²): 
 
 
 
 Levando-se em conta a equação da continuidade da Hidrodinâmica, calcule a velocidade da 
água (V2) na área A2. 
Resolução: 
O exercício nos fornece: A1 = 100cm²; A2 = 20 cm²; V1 =1,2cm/s 
 Pela lei da continuidade: A1v1=A2v2. Logo: 
A1 A2
v1 v2
𝑣2 =
A1. 𝑣1
𝐴2
=
100.1,2
20
=
120
20
= 6𝑐𝑚/𝑠 
 
 Equação da Quantidade de Movimento: 
 Também denominada Equação de Momentum, é deduzida da segunda Lei de Newton: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎. 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 
 Ou seja: 
𝐹 =
d(m. v)
dt(= m. a)
 
 Que é aplicada ao conceito de quantidade de movimento (mv). 
 Assim: 
𝑅 =
𝑑(𝑚. 𝑣)
𝑑𝑡
 
 Aplicando este conceito ao escoamento de líquidos, tem-se: 
 
𝑅 = 𝜌. 𝑄 (𝛽2. 𝑣2 − 𝛽1. 𝑣1) 
 
Onde: R = resultante das forças externas atuantes no sistema (tais como pressão e peso); ρ = 
massa específica do líquido (1000kg/m3 para a água); Q = vazão ecoada; v1 e v2 = vetores que 
representam as velocidades médias do escoamento nos pontos 1 e 2, na seção considerada; β = 
Coeficiente da quantidade de movimento, ou de Boussinesq. 
 É importante saber aqui a diferença entre as forças internas e externas. As forças internas 
resultam da interação entre as partículas da massa dos líquidos e podem ser consideradas nulas, 
porque, segunda a primeira Lei de Newton, toda ação gera uma reação. Já as forças externas agem 
sobre a superfície fechada, dentre as quais podem-se citar aquelas devidas à pressão e ao peso. 
 O Coeficiente de Momentum (ou de Boussinesq, β) é um coeficiente que leva em conta a 
variação que existe entre a velocidade das partículas do escoamento (v), e a velocidade média (U) 
considerada numa dada seção transversal ao escoamento, de área A, em termos de quantidade de 
movimento: 
β =
∫ V2dA
A
U2A
 
 
U 
v 
 
 
 
 
 
Retirada de Baptista e Lara (2010). 
 Em escoamentos em condutos forçados turbulentos, β é frequentemente superior a 1,1, e nos 
escoamentos laminares, é 1,33. Em escoamentos livres, ele varia entre 1,02 e 1,12. 
 Na maioria das aplicações práticas, β pode ser adotado como tendo valor igual a 1. β=1, tanto 
para escoamentos forçados quanto para livres. 
 
Exercício de fixação 6: 
 Considerando uma seção de escoamento de água, em fluxo forçado, entre o ponto de início e 
um ponto A no qual a água tem uma velocidade média de 0,5m/s e sua vazão ocorre a 0,75m3/s, qual 
a resultante das forças externas atuantes neste sistema? 
Resolução: 
 Tem-se que, no ponto zero, Q=0, e v =0. No ponto A, Q=0,75m3/s, e v=0,5m/s. Para a água, ρ 
= 1000kg/m3. Considerando β = 1, e se aplicando a fórmula, tem-se: 
𝑅 = 𝜌. 𝑄 (𝛽2. 𝑣2 − 𝛽1. 𝑣1) 
R = 1000kg/m3 x 0,75m3/s (1,0 x 0,5m/s – 1,0 x 0m/s) 
R = 1000 x 0,75 x 0,5 = 375 N. 
 Logo, a resultante das forças externas que auam nesse sistema é de: R = 375 N. 
 
 Equação de Energia – Equação de Bernoulli 
 A Equação da Energia de um escoamento, ou Equação de Bernoulli, é um caso particular da lei 
da Termodinâmica, que estabelece que a “mudança de energia de um sistema é igual à soma da 
energia adicionada ao fluido com o trabalho realizado pelo fluido.” (Baptista e Lara, 2010). Em outras 
palavras, a EQUAÇÃO DE ENERGIA, ou EQUAÇÃO DE BERNOULLI, descreve as energias envolvidas no 
escoamento dos fluidos. No caso da Hidráulica, em particular, essa equação descreve as parcelas de 
energia existentes durante o escoamento da água, que são três: 
 - Energia Cinética, que é aquela devida ao movimento do fluido, e relacionada, portanto, à sua 
velocidade; 
z1 
y1 
h1 
 - Energia Potencial Gravitacional, que é a energia devida à altitude que o fluido possui em 
relação a um plano de referência, ou seja, a energia que o sistema possui devido à posição do fluido 
no campo de gravidade em relação a esse plano de referência (o qualdenominamos Plano de 
Referência Horizontal – PRH) e que pode ser medida pelo potencial de realização de trabalho do 
sistema considerado; 
 - Energia de Fluxo (ou de Pressão), que é a energia devida à pressão que o fluido possui. 
 Como se pode notar, a equação de Bernoulli correlaciona, pois, a pressão e a velocidade dos 
fluidos durante seu escoamento. 
 
 Dedução da Equação de Bernoulli 
A equação da Conservação de Energia (ou de Bernoulli) é um caso particular da Primeira Lei da 
Termodinâmica, também conhecida como Princípio de Joule, que postula que “diversas formas de 
trabalho podem ser convertidas umas nas outras, elucidando que a energia total transferida para um 
sistema é igual à variação de sua energia interna, ou seja, em todo processo natural, a energia do 
universo se conserva sendo que a energia do sistema quando isolado é constante.”. 
 Quando aplicada ao escoamento da água de um ponto mais alto para um ponto mais baixo, 
em regime permanente, e desprezando-se o atrito, pode-se dizer que a energia potencial no ponto 
mais alto dá lugar à energia cinética no ponto mais baixo, o que resulta na seguinte equação: 
𝑈1 + 𝐾1 = 𝑈2 + 𝐾2 
 Onde: U1 e U2 são as energias potenciais dos pontos 1 e 2; e K1 e K2 são as energias cinéticas 
nos pontos 1 e 2. 
 Entretanto, ao contrário de outros objetos familiares ao estudo da física, a água é incapaz de 
manter sua forma constante enquanto escoa, de forma que a equação acima precisa assumir uma nova 
configuração para considerar a natureza fluida da água. 
 Para efetuarmos essa transformação, consideremos o esquema abaixo representado, do 
escoamento da água de um reservatório através de uma tubulação: 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem retirada de Gribbin (2008). 
Z2 
 Vamos, agora, representar as energias acima expostas como cargas de energia (ou seja, como 
já dito, como a energia pelo peso unitário): 
𝑈1
𝑚𝑔
+
𝐾1
𝑚𝑔
=
𝑈2
𝑚𝑔
+
𝐾2
𝑚𝑔
 (a) 
 Onde mg = peso de um volume elementar de água, conforme demonstrado na imagem acima. 
Esta mesma imagem demonstra o fluxo como unidimensional. 
 No ponto 1 da imagem acima, o volume elementar de água está a uma profundidade h1, abaixo 
da superfície da água no reservatório, e a uma altura y1 acima de um plano de referência. A carga de 
energia potencial neste ponto é dada por: 
𝑈1
𝑚𝑔
=
𝑚𝑔𝑦1
𝑚𝑔
+
𝑚𝑔ℎ1
𝑚𝑔
= ℎ1 + ℎ1 
 Onde o termo (mgh1/mg) se deve à pressão exercida no volume elementar pela coluna de água 
acima dele. Ao considerarmos a imagem acima, podemos reescrever a equação acima da seguinte 
forma: 
𝑈1
𝑚𝑔
= 𝑧1 + ℎ1 = 𝑦1 
 Ainda, ao se considerar a equação da carga de energia potencial para um reservatório com 
superfície livre (equação da pressão hidrostática, P = ɣ. (Ah/A) ou P = ɣ.h), a equação da carga de 
energia potencial também pode ser reescrita como: 
𝑈1
𝑚𝑔
= 𝑧1 + ℎ1 = 𝑧1 +
𝑃1
𝛾
 
 Já a carga de energia cinética no ponto 1 é dada pela seguinte expressão: 
𝐾1
𝑚𝑔
=
1
2 𝑚𝑣1
2
𝑚𝑔
=
𝑣1
2
2𝑔
 
 Onde v1 é a velocidade de uma gota de água elementar. 
 Para o ponto 2, a água não tem superfície livre, estando confinada a um tubo. Considerando o 
elemento de água no centro do tubo, como demonstrado na imagem, acima, teremos que a carga de 
energia potencial no ponto 2 será: 
𝑈2
𝑚𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
 
 Onde: z2 é a altura do eixo do tubo em relação ao plano de referência, e P2 é a pressão exercida 
pelo reservatório acima do ponto. 
 Já a carga de energia cinética no ponto 2 será: 
𝐾2
𝑚𝑔
=
1
2 𝑚𝑣2
2
𝑚𝑔
=
𝑣2
2
2𝑔
 
 Onde v2 é a velocidade do elemento de água no ponto 2. 
 Dessa forma, a equação (a) pode ser reescrita como a EQUAÇÃO DE BERNOULLI para fluidos 
ideais. 
 Para um fluido ideal, ou seja, incompressível, de escoamento laminar, sob o efeito da 
gravidade ao longo de um conduto, sem que haja atrito durante o seu escoamento, a equação de 
Bernoulli diz que a energia total do fluido, enquanto este escoa, é constante. Dessa forma, a Equação 
de Bernoulli toma a seguinte forma: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑍2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Ou: 
𝑃
𝛾
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑍 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Onde: P/𝛾 = energia de fluxo ou de pressão por unidade de peso (ou energia de pressão da 
partícula por unidade de peso); v²/2g = energia cinética por unidade de peso (ou energia cinética da 
partícula por unidade de peso); Z = 𝜌gh/𝜌g = energia potencial gravitacional por unidade de peso (ou 
energia potencial gravitacional da partícula por unidade de peso). 
 Entretanto, quando lidamos com a hidráulica não estamos trabalhando, na prática, com fluidos 
ideais. A maior parte dos casos relacionados aos problemas hidráulicos trabalha com fluidos que não 
estão em regime laminar, mas sim turbulento, como já vimos. Além disso, há atrito durante o 
escoamento da água pelas tubulações, em graus variáveis, devido a uma série de fatores que serão 
analisados mais para frente nessa disciplina. 
 Dessa forma, a equação de Bernoulli para fluidos REAIS toma a seguinte forma: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑍2 + ∆𝐻 
 Onde o termo ΔH representa a perda de carga total do sistema, ou seja, a energia perdida por 
unidade de peso durante o escoamento do fluido. 
 Nós estudaremos as perdas de carga em profundidade nas próximas aulas. 
 Ainda, quando se considera que o escoamento da água, na hidráulica, demanda o uso de 
equipamento hidráulico (tal como um sistema de recalque, por exemplo, que requer o uso de uma 
bomba hidráulica, como será visto mais para frente na disciplina), a equação de Bernoulli ainda pode 
ser reescrita da seguinte maneira: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑍1 + 𝐻𝑚 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑍2 + ∆𝐻 
Onde o termo Hm corresponde ao trabalho realizado por uma máquina (tal como uma bomba 
hidráulica) que fornece energia ao sistema para tornar possível o escoamento da água. 
Ao considerarmos os fluidos reais, ou seja, se considerarmos as perdas de carga do sistema 
analisado, então as parcelas da equação de Bernoulli podem ser descritas em termos de carga (energia 
por unidade de peso): 
𝑣1
2
2𝑔
𝑒 
𝑣2
2
2𝑔
= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒; 
𝑃1
𝛾
𝑒 
𝑃2
𝛾
= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜; 
ℎ1𝑒 ℎ2 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜; 
 
 
Exercício de fixação 7: 
Uma instalação hidráulica foi construída em um terreno com um desnível de altura h, como o 
apresentado na figura esquemática abaixo: 
 
 
 
 
Na área 1, a água escoa com pressão P1 = 2,2x105 Pa, a uma velocidade v1 = 1m/s. Na área 2, a 
água escoa com pressão P2 = 2x105 Pa, a uma velocidade v2 = 1,5m/s. Considerando o Princípio de 
Bernoulli, ou seja, a equação da conservação de energia da Hidrodinâmica, que postula que a carga de 
energia total permanece constante em um escoamento sem atrito de um fluido incompressível, calcule 
o desnível deste terreno. Dados: ρ = 1000kg/m³; g = 10m/s². 
Resolução: 
O exercício nos fornece: P1 = 2,2x105 Pa; P2 = 2x105 Pa; v1 = 1m/s; v2 = 1,5m/s; ρ = 1000kg/m³; 
g = 10m/s². 
A equação de Bernoulli é dada por: 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ 𝑧1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ 𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
h
(1)
(2)
De onde: 
12
2𝑥10
+
2,2 𝑥105
10.000
+ 0 =
1,52
2𝑥10
+
2𝑥105
10.000
+ 𝑧2 
1
20
+
220.000
10.000
+ 0 =
2,25
20
+
200.000
10.000
+ 𝑧2 
0,05 + 22 + 0 = 0,1125 + 20 + 𝑧2 
22,05 =20,1125 + 𝑧2 
Daí: z2 = 1,94m. Como Z2 = h, então o desnível desse terreno é h = 1,94m. 
 
Exercício de Fixação 8 (Retirado de Macacari): 
 Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,2m, e as águas escoam com velocidade de 
2,4m/s até certo ponto onde, devido a uma pequena queda, a velocidade se eleva para 12m/s, 
reduzindo-se a profundidade a 0,6m. Desprezando as possíveis perdas por atrito, determine a 
diferença de cota entre os pontos 1 e 2 mostrados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 O exercício nos fornece: v1 = 2,4m/s; v2 = 12m/s. A altura da lâmina de água h1 = 1,2m; e a 
altura da lâmina de água h2 = 0,6m. 
A equação de Bernoulli é dada por: 
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
+ ℎ1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
+ ℎ2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Sabe-se, ainda, da estática dos fluidos, que P = 𝜌.g.h. Para a água, temos que 𝜌 = 1000kg/m³. 
Se considerarmos g = 9,8m/s², então podemos calcular P1 e P2: 
𝑃1 = 1000.9,8. ℎ1 = 1000.9,8.1,2 = 11.760
𝑁
𝑚²
= 11.760 𝑃𝑎 
 
𝑃2 = 1000.9,8. ℎ2 = 1000.9,8.0,6 = 5.880
𝑁
𝑚²
= 5.880 𝑃𝑎 
 Se considerarmos Z2 = 0m, então poderemos considerar o desnível Y = Z1. Dessa forma, 
substituindo-se os valores na equação de Bernoulli: 
2,42
2𝑥9,8
+
11.760
10.000
+ 𝑍1 =
122
2𝑥9,8
+
5.880
10.000
+ 0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
5,76
19,6
+
11.760
10.000
+ 𝑍1 =
144
19,6
+
5.880
10.000
+ 0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
0,294 + 1,176 + 𝑍1 = 7,347 + 0,588 + 0 
1,47 + 𝑍1 = 7,935 
 Portanto Z1 = 6,465m. Como Z1 = Y, então a dierença de cota entre os pontos 1 e 2 é de Y = 
6,5m. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
AZEVEDO NETTO, J. M. de. Manual de Hidráulica. 8° ed. São Paulo: Edgard Bücher Ltda., 1998. 
BAPTISTA, M.; LARA, M. Fundamentos de engenharia hidráulica. 3° ed. Belo Horizonte: Editora UFMG, 
2010. 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2° ed. revisada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
GRIBBIN, J.E. Hidráulica, hidrologia e gestão de águas pluviais. 3° ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2008. 
MACACARI, M. F. Hidráulica e Hidrologia: Material de Apoio. UNIP. 2° ed. 
disciplinas.stoa.usp.br/mod/resource/view.php?id=83619. Acesso em: 11/03/2015. 
www.google.com.br. Acesso em: 11/03/2015.