Lista7 Calculo II 26 10 2018

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Universidade Federal Fluminense
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LISTA VII-Valores Máximo e Mínimo
Prof. Gilmar Garbugio Data: 26/10/2018
Referências
[1] Stewart, j. Cálculo Tradução da 8 edição norte americana. Volume 2. São Paulo.
Editora Cengage Leaning, 2016.
[2] Stewart, j. Cálculo Tradução da 7 edição norte americana. Volume 2. São Paulo.
Editora Cengage Leaning, 2010.
Com relação as referência [1]e [2] acima, fazer os seguintes exercícios
1 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
(5-8ed)(5-7ed) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2
(13-8ed) f(x, y) = x4 − 2x2 + y3 − 3y
(15-8ed)(13-7ed) f(x, y) = ex cos y
(19-8ed)(17-7ed) f(x, y) = y2 − 2y cos x, −1 ≤ x ≤ 7
(20-8ed)(18-7ed) f(x, y) = sen x sen y
2 (21-8ed)(19-7ed)
Mostre que f(x, y) = x2 + 4y2− 4xy+ 2 em um número infinito de pontos críticos e que
D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada
ponto crítico.
3 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. Justifique seus
resultados aplicando o Teorema do Valor Extremo para as Funções de Duas Variáveis e o
Método dos Intervalos Fechados.
(31-8ed)(29-7ed) f(x, y) = x2+ y2− 2x, D é a região triangular fechada com vértices
nos pontos P1 = (2, 0),P2 = (0, 2) e P3 = (0,−2).
(33-8ed)(31-7ed) f(x, y) = x2+y2+x2y+4 e D = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.
1
(34-7ed) f(x, y) = xy2 e D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 3 }.
(35-7ed) f(x, y) = 2x3 + y4 e D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 }.
(38-8ed)(36-7ed) f(x, y) = x3 − 3x− y3 + 12y e D é o quadrilátero cujos vértices são
P1 = (−2, 3),P2 = (2, 3),P3 = (2, 2) e P4 = (−2,−2).
4 (41-8ed)(39-7ed)
Determine a menor distância entre o ponto P = (2, 0,−3) e o plano x+ y + z = 1.
5 (46-8ed)(44-7ed)
Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor
possível.
6 (47-8ed)(45-7ed)
Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de
raio r.
7 (49-8ed)(47-7ed)
Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos
planos coordenados e com um vértice no plano x+ 2y + 3z = 6.
8 (51-8ed)(49-7ed)
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos
comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.
9 (52-8ed)(50-7ed)
A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço
da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as
dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
10 (55-8ed)(53-7ed)
Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume
possível?
11 (58-8ed)(54-7ed)
Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de
sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma
que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é
P = 2pq + 2pr + 2rq
onde p, q e r são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que p+ q+ r = 1
para mostrar que P é no máximo
2
3
.
2
Respostas
Exercício 1
(5-8ed)(5-7ed) Máximo f(−1, 1
2
) = 11.
(13-8ed) Máximo f(0,−1) = 2, mínimo f(± 1, 1) = −3 e pontos de sela nos pontos
P = (0, 1), Q = (−1,−1) e R = (1,−1).
(15-8ed)(13-7ed) Nenhum.
(19-8ed)(17-7ed) Mínimo f(0, 1) = f(pi,−1) = f(2pi, 1) = −1, e pontos de sela nos
pontos P = (
pi
2
, 0) e R = (
3pi
2
, 0).
(20-8ed)(18-7ed) Mínimo f(
pi
2
,−pi
2
) = 1, máximo f(
pi
2
,−pi
2
) = 1 e ponto de sela no
ponto P = (0, 0).
Exercício 3
(31-8ed)(29-7ed) Máximo f(0,±2) = 4 emínimo f(1, 0) = −1.
(33-8ed)(31-7ed) Máximo f(± 1, 1) = 7 emínimo f(0, 0) = 0.
(34-7ed) Máximo f(1,
√
2) = 2 emínimo é 0 e que ocorre ao longo parte da fronteira
que estão contida ao longo de eixo dos x e ao longo do eixos dos y. Desenhe a fronteira.
(35-7ed) Máximo f(1, 0) = 2 emínimo f(−1, 0) = −2.
(36-7ed) O valor máximo absoluto de f em D é f(2, 2) = 18 e o valor mínimo
absoluto de f em D é f(−2,−2) = −18.
Exercício 4
2
√
3
Exercício 5
Os números são dados por x = y = z = 4.
Exercício 6
V =
8r3
3
√
3
Exercício 7
V =
4
3
Exercício 8
Cubo, comprimento da borda
c
12
.
Exercício 9
As dimensões do aquário as quais minimizam o custo são x = y = 3
√
2
5
V unidades e
z = 3
√
V (
5
2
)
2
3
.
Exercício 10
c =
L3
3
√
3
, onde c representa o comprimento da diagonal.
3