4 limites e continuidade

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UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 1
Limite e continuidade de função 
de várias variáveis
Professor: Neide Pizzolato Angelo
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Qual o valor de 
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Determinação gráfica do limite
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Existência do limite
• Analisando o comportamento das funções 
quando x e y, ambos, se aproximam de 0
Valores de f(x,y) Valores de g(x,y)
 2 2
2 2
sen x + y
f(x, y) =
x + y
e
2 2
2 2
x - yg(x, y) =
x + y
e 
 

2 2
2 2
(x,y) (0,0)
sen x + y
=1 
x + ylim  
2 2
2 2
(x,y) (0,0)
x - y
x + ylim
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Definição de limite
• Notação 
• Interpretação: os valores de f(x,y) se aproximam do número L 
a medida que (x,y) se aproxima do ponto (a,b) ao longo de 
qualquer caminho dentro do domínio da função. Em outro 
palavra, nós podemos fazer os valores de f(x,y) tão perto de L 
desde que façamos o ponto (x,y) suficientemente perto do 
ponto (a,b) , mas não igual a (a,b). 
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• Para funções de uma única variável, quando nós 
deixamos x se aproximar de a, existe somente duas 
possíveis direções de aproximação, pela esquerda ou 
pela direita. 
• Para funções de duas variáveis a situação não é tão 
simples. Podemos deixar (x,y) se aproximar de (a,b) 
um número infinito de direções,
contanto que fique dentro 
do domínio de f. 
 

+ -x a x a
 f(x) f(x) lim lim
x a
 f(x) lim não existeSe então 
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Resumindo
• Se a medida que ao longo de 
um caminho 
• e a medida que ao longo de 
um caminho , onde então 
• existe !!!!
 1f(x,y) L (x, y) (a,b)
1C
 2f(x, y) L (x, y) (a,b)
2C 1 2L L
(x,y) (a, b)
 f(x, y) lim
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Mostre que não existe. 

2 2
2 2
(x,y) (0,0)
x - y
x + ylim
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Propriedades dos limites
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Calculando Limites








 yzx
yzxxy2xyz7yzx51
22
33
1z
2y
2xlim )
106
122
12222212271225
22
33 


)(
)(...)(..).(..
0
0
00
00
yx
yx2
3333
00yx 



 ),(),(lim )
0
yx
yxyxyx 22
00yx 
 
))((lim ),(),(
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Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e 
“funções lineares” é só substituir os valores para 
os quais de x e y estão tendendo. 
Para funções racionais, quando ocorre 
indeterminação, ao fazer este procedimento, 
deve-se então verificar o resultado por “dois 
caminhos” distintos.
Pode-se fazer um substituição de variáveis e usar 
o teorema de L´Hospital
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Calculando Limites
 
22
22
0y
0x
2
0y
0x
32
1y
0x
yx
yx13
yx
xyx2
yxy5x
3xyx1












coslim)
lim)
lim)
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
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Continuidade
• Definição: Uma função f (x, y) é dita contínua em 
(x0,y0) se f(x0,y0) é definido e se
• Além disso, se f for contínuo em cada ponto de um 
conjunto aberto D, então dizemos que f é contínuo
em D, e se f for contínuo em cada ponto do plano 
xy, então dizemos que f é contínuo em todos os 
lugares.
   
 ),(),(lim
,,
00
yxyx
yxfyxf
00


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Teorema
a) Se g(x) é contínua em x0 e h(y) é contínuo em y0, 
então f(x, y) = g(x) h(y) é uma função contínua em 
(x0, y0).
b) Se h(x, y) é contínuo em (x0, y0) e g (u) é contínuo 
em u = h(x0, y0), então a composição 
f(x, y) = g(h(x, y)) é contínua em (x0, y0).
c) Se f(x, y) for contínua em (x0, y0), e se x(t) e y(t) 
forem contínuos em t0 com x(t0) = x0 e y(t0) = y0, 
então a composição f(x(t), y(t)) é contínua em t0.
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Exemplo
• As funções f(x, y) = 3x2y5 e f(x, y) = sen
(3x2y5) são contínuas?
• Solução
• Os polinômios g(x) = 3x2 e h (y) = y5 são contínuos nos 
reais, portanto, por (a) do Teorema anterior, a 
função f(x, y) = 3x2y5 é contínua em todos os pontos 
(x, y) no plano xy. Uma vez que 3x2y5 é contínuo em 
cada ponto do plano xy e sen(u) é contínuo nos reais, 
segue da parte (b) do mesmo Teorema que a 
composição f (x, y) = sin (3x2y5) é contínuo.
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Reconhecendo funções contínuas 
• Uma composição de funções contínuas é contínua.
• Uma soma, diferença ou produto de funções 
contínuas é contínua.
• Um quociente de funções contínuas é contínua, 
exceto quando o denominador é zero.
• Exemplo: 
• Verifique que
são funções continuas ?
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Limites em continuidades
• Às vezes, é fácil reconhecer quando um limite não 
existe. Por exemplo, é evidente que
• No entanto, não é evidente se o limite
existe! 
• Um método para encontrar esse limite consiste em 
converter a função para coordenadas polares ou 
troca de variáveis.
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Determine 
• Solução: usando coordenadas polares.
x = r cos θ, y = r sen θ, r2 = x2 + y2
• de modo que r → 0 +, se e somente se, (x, y) → (0, 0).
• Assim, podemos reescrever o limite especificado 
como
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Exemplos
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O gráfico da função 
é:
Continuidade em ponto de fronteira
• Intuitivamente o gráfico de f é continua. Resta, 
então verificar a continuidade em um ponto (x0, y0) 
na fronteira de f, isto é
• Quando (x, y) é restrito a pontos no disco fechado 
x2 + y2 ≤ 1, então f é contínua em seu domínio.
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Exercícios 
• Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 
Volume 2. 6ª edição.
• Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 
Volume 2. 10ª edição.
Seção Página Exercícios
6.2 330 1 - 31 impares
Seção Página Lista de Exercícios Mínima
13.2 925 Compreensão 1 + ímpares de 1 a 21,