lista autovalores autovetores gabarito

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0.1 Lista: Autovalores, autovetores
(Prof. Patricia, Katiani, Graciela)
1. Encontre os autovalores das transformac¸o˜es lineares dadas:
(a) T : R2 7→ R2 tal que T (x, y) = (2y, x).
(b) T : R2 7→ R2 tal que T (x, y) = (x+ y, 2x+ y).
(c) T : R3 7→ R3 tal que T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z).
(d) T : P2 7→ P2 tal que T (ax2 + bc+ c) = ax2 + cx+ b.
(e) T : M(2, 2) 7→M(2, 2) tal que A 7→ At
2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
a) A =

 1 2 30 1 2
0 0 1

 ; b) B =

 1 0 2−1 0 1
1 1 2

 ; c) C =


2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0


3. (ENADE) Uma transformac¸a˜o linear T : R2 7→ R2 faz uma reflexa˜o em relac¸a˜o ao eixo horizontal, como indica
a figura a seguir:
Essa transformac¸a˜o T :
(a) e´ dada por T (x, y) = (−x, y). ?
(b) tem autovalor igual a 2 com autovetor associado igual a (0,−1). ?
(c) tem autovalor igual a 1 com autovetor associado (2, 0). ?
(d) tem autovalor de multiplicidade 2 ?
(e) na˜o e´ inversı´vel. ?
4. Construa uma matriz 2× 2 na˜o diagonal com autovalores 1 e −1.
5. Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 7→ R2; tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos autovetores
(3y, y) e (−2y, y) respectivamente.
6. Que vetores na˜o nulos do plano, quando cisalhados por C(x, y) = (y − 3x, y) e em seguida girados de 45o (no
sentido anti-hora´rio) ficam ampliados / reduzidos (na mesma direc¸a˜o) ? Em quantas vezes ?
7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R3 7→ R3 obtido quando se faz
uma rotac¸a˜o de pi rad em torno do eixo X ; seguida de uma contrac¸a˜o de fator 1/2.
9. Seja T : M2×2 7→M2×2 com autovetores
v1 =
[
1 0
0 0
]
; v2 =
[
0 1
0 0
]
; v3 =
[
1 0
1 0
]
e v4 =
[
0 0
1 1
]
associados aos autovalores λ1 = 1;λ2 = −1;λ3 = 2;λ4 = 0; respectivamente. Determine T . (isto e´, determine
T (
[
a b
c d
]
)
1
10. Dada a transformac¸a˜o linear T : R2 7→ R2 que e´ a projec¸a˜o sobre a reta y = x Encontre os autovalores e
autovetores da transformac¸a˜o T .
11. Considere P1= conjunto dos polinoˆmios de grau menor o igual a 1. Seja o operador linear D : P1 7→ P1 dado
porD(p) = xp′ + p. Determine os autovalores e autovetores deD.
12. Seja A uma matriz quadrada e At sua transposta. As matrizes A e At possuem os mesmos autovalores e
autovetores? Justifique sua resposta.
13. Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o linear que a cada vetor v ∈ R3 associa a sua projec¸a˜o
ortogonal no plano x+ y = 0
14. Seja T : V 7→ V linear
(a) Se λ = 0 e´ autovalor de T , mostre que T na˜o e´ injetora.
(b) A recı´proca e´ verdadeira? Ou seja, se T na˜o e´ injetora,= 0 e´ autovalor de T ?
(c) Quais sa˜o os autovalores e autovetores do operador derivac¸a˜o D : P2 7→ P2; D(p) = p′
15. SejamA,B ∈M(n, n)matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe alguma relac¸a˜o entre seus
autovalores? Qual?
16. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V 7→ V associados a um autovalor e´
um subespac¸o vetorial de V .
17. Discuta a veracidade da afirmac¸a˜o: Se λ na˜o e´ um autovalor de A, enta˜o o sistema linear (A− λI)v = 0 so´ tem
a soluc¸a˜o trivial.
18. A matriz A =
[
1 2
3 2
]
e´ semelhante a` matriz B =
[
4 0
0 −1
]
Determine uma matriz P. que realiza esta
semelhanc¸a.
19. Verifique se as matrizes dadas sa˜o semelhantes (a)
[
1 1
−1 4
]
e
[
2 1
1 3
]
(b)
[
3 1
−6 −2
]
e
[ −1 2
1 0
]
20. SejamA eB matrizes n×n.Mostre que se B e´ semelhante aA, enta˜o as duas matrizes tem o mesmo polinoˆmio
caracterı´stico e, portanto, os mesmos autovalores.
21. Se B = R−1AR e v e´ um autovetor de B associado a um autovalor λ enta˜o Rv e´ autovetor de A associado a λ
22. Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que: (a)A− I e B− I sa˜o semelhantes. (b) Ak e Bk sa˜o semelhantes,
para cada inteiro positivo k. (c) Se A e B sa˜o inversı´veis, enta˜o A−1 e B−1 sa˜o semelhantes.
23. Seja T o operador linear em R3 definido por T (x, y, z) = (2y + z, x− 4y, 3x) e considere a base canoˆnica de R3
e a base = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)}.
(a) Mostre que as matrizes [T ] e [T ]β sa˜o semelhantes.
(b) T e´ inversı´vel? Se for determine a lei que define T−1.
24. Sejam T : V 7→ V e´ um operador linear e α e β bases distintas de V. Mostre que se [T ]α e [T ]β sa˜o matrizes
semelhantes enta˜o det[T ]α = det[T ]β
25. Seja T : R2 7→ R2 o operador linear definido por T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y)
(a) Determinar uma base do R2 em relac¸a˜o a` qual a matriz do operador T e´ diagonal.
(b) Dar a matriz de T nessa base.
26. Considere uma transformac¸a˜o linear T : V 7→ V abaixo. Se possı´vel, encontre uma base β para V tal que a
matriz [T ]β de T ; em relac¸a˜o a` base; seja diagonal.
(a) T : P2 7→ P2 definida por T (a+ bx) = (4a+ 2b) + (a+ 3b)x.
2
(b) T : P2 7→ P2 definida por T (p(x)) = p(x+ 1).
27. Verificar se a matriz A e´ diagonaliza´vel. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular
P−1AP.
(a) A =
[
5 −1
1 3
]
(b) A =

 1 2 1−1 3 1
0 2 2

 (c) A =


2 −1 0 1
0 2 1 −1
0 0 3 2
0 0 0 3


28. Considere o operador T : R3 7→ R3 definido por T (x, y, z) = (5x + 4z, x − 5y, 3z) e o operador S : R3 7→ R3
definido pela reflexa˜o atrave´s do plano x+2z = 0. (a) Determine ST : (b) SoT e´ diagonaliza´vel ? Se for, encontre
D e P tal que D = P−1[SoT ]P.
29. Determine o valor de k para que a matriz A =

 2 k 00 2 1
0 0 3

 seja diagonaliza´vel.
30. Determine a de modo que a matriz A seja diagonaliza´vel. Para o valor de a encontrado, determine uma matriz
inversı´vel P e uma matriz diagonal D tais que P−1AP = D.
A =


3 −2 4 −1
0 1 a 0
0 0 3 4
0 0 0 2


31. Encontre os autovalores de A9 se A =


1 3 7 11
0 1/2 3 8
0 0 0 4
0 0 0 2


32. Calcule A10 para A =
[
0 1
2 1
]
33. Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v1 = (1, 0, 0) duplica o comprimento do vetor
v2 = (0, 2, 0) e inverte o sentido do vetor v3 = (0, 2, 1). Determine o operador linear T
20.
34. Seja T : V 7→ V o operador linear que tem autovalores λ1 = 1, λ2 = 2·;λn = n associados aos autovetores
v1, v2, ·, vn respectivamente. Sabendo que β = {v1, .., vn} e que [v]β =


1
2
.
n

 determinar [T (v)] :
35. Seja A uma matriz inversı´vel. Prove que, se A e´ diagonaliza´vel, A−1 tambe´m e´.
36. Seja A uma matriz 4 × 4 e seja um autovalor de multiplicidade 3. Se A − λI tem posto 1, A e´ diagonaliza´vel ?
Explique.
37. Classifique cada afirmac¸a˜o como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o A tem n autovalores distintos.
(b) Se A e´ inversı´vel enta˜o A e´ diagonaliza´vel.
(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes e´ diagonal iza´vel.
(d) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1:
(e) Se nenhum dos autovalores de A e´ nulo, enta˜o detA 6= 0.
(f) Se u e v sa˜o autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos λ1 e λ2 enta˜o u + v e´
um autovetor de A associado ao autovalor λ1 + λ2.
(g) Se v e´ autovetor dos operadores T : V 7→ V e S : V 7→ V enta˜o v e´ autovetor do operador T + S.
3
Lista Autovetores, autovalores
Gabarito
1. a) Para λ1 = −
√
2 tem-se v1 = (−
√
2y, y) e para λ2 =
√
2 tem-se v2 = (
√
2y, y).
b) Para λ1 = 1 +
√
2 tem-se v1 = (
√
2
2
y, y) e para λ2 = 1−
√
2 tem-se v2 = (−
√
2
2
y, y)
c) Para λ1 = −2 tem-se v1 = (x,−3x, x); para λ2 = −1 tem-se v2 = (−2z, 4z, z) e para λ3 = 2 tem-se
v3 = (y, y, y)
d) Para λ1 = λ2 = 1 tem-se p1(x) = ax
2 + bx+ b e para λ2 = −1 tem-se p2(x) = −bx+ b
e)Para λ1 = λ2 = 1 tem-se A1 =
[
a b
b c
]
e para λ3 = λ4 = −1 tem-se A2 =
[
0 −c
c 0
]
2. a) Para λ1 = λ2 = 1 tem-se v1 = (x, 0, 0)
b) Para λ1 = −1 tem-se v1 = (−z,−2z, z); para λ2 = 1 tem-se v2 = (−x, x, 0) e para λ3 = 3 tem-se v3 =
(x, 0, x)
c) Para λ1 = −1 tem-se v1 = (− 13x, 0, x, 0) para λ2 = 1 tem-se v2 = (0,−t, 0, t) e para λ3 = 6, temos
v3 = (− 14x, 0, x, 0)
3. letra c)
5. T (x, y) = (−6y,−x+ y)
6. Para λ1 = − 32
√
2 tem-se v1 = (x,
3
5
x) e para λ2 =
√
2 tem-se v2 = (0, y)
7. Para λ1 = λ2 = 1/2 tem-se v1 = (x, 0, 0) e para λ2 = λ3 = −1/2 tem-se v2 = (0, y, z)
8. a)T (x, y) = (−29x−15y
8
, 15x+21y
8
) c)
[ − 11
24
51
8
51
8
175
24
]
9. T (
[
a b
c d
]
) =
[
a+ c− d −b
2c− 2d 0
]
10. Para λ1 = 0 tem-se v1 = (2y, y) e para λ2 = 0 tem-se v2 = (x,−2x)
11. Para λ1 = 1 tem-se p1(x) = a e para λ2 = 1 tem-se p2(x) = b+ bx
12. Para concluir que os autovalores sa˜o os mesmos, mostre que A e At tem o mesmo polinoˆmio caracterı´stico.
13. Para λ1 = 0 tem-se v1 = (x, x, 0) e para λ2 = λ3 = 1 tem-se v2 = (−y, y, z)
14. c) λ = 0⇒ p(x) = 0
17. Verdadeiro.
18. P e´ da forma P =
[
a a
− 3
2
d d
]
, enta˜o uma matriz que realiza a semelhanc¸a pode ser P =
[
1 1
−3/2 1
]
Note
que P e´ inversı´vel.
19. a) Sim b) Na˜o
20. Partir da hipo´tese A = PBP−1 e mostrar que det(A− λI) = det(B − λI).
23. b) T−1(x, y, z) = z
3
,− y
4
+ z
12
, x+ y
2
− z
6
)
25. a) β = {(1/2, 1), (−2, 1) b) [T ]β =
[ −1 0
0 9
]
26. a) β = {(−1, 1), (2, 1)} e [T ]β =
[
2 0
0 5
]
b) Na˜o existe base β para a qual [T ]β seja diagonal.
4
27. a) Na˜o b) P =

 0 2 11 1 0
−2 2 1

 c) Na˜o
28. a) T (x, y, z) = (3x, x− 5y,−4x− 5z)
b) Para λ1 = 0 tem-se v1 = (0, y, 0) para λ2 = 3 tem-se v2 = (−2z,− 73z, z) e para λ3 = −5 tem-se v3 = (0, y, y)
29. k = 0
30. a = 4, P =


1 −15 1 0
1 −16 0 2
0 −4 0 1
0 1 0 0

 e D =


1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3


31. A9 =


1 1533
256
3191
128
107909
4
0 1
512
3
256
38229
8
0 0 0 1024
0 0 0 512


32. A10 =
[
342 341
682 683
]
33. T 20(x, y, z) = (x, 1048576y− 2097150z, z)
34. [T (v)] = [1 4 9 .. n2]t
37. F F F F F V V
5