Derivada funções trigonométricas

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Regras de Derivac¸a˜o Derivada das Func¸o˜es Trigonome´tricas
MAT146 - Ca´lculo I
Edson Jose´ Teixeira
24 de marc¸o de 2015
MAT146 - Ca´lculo I UFV
Regras de Derivac¸a˜o Derivada das Func¸o˜es Trigonome´tricas
Antes de estabelecer regras de derivac¸a˜o para determinadas func¸o˜es,
estabeleceremos mais resultado.
Teorema
Seja f uma func¸a˜o deriva´vel em um ponto x0 de seu dom´ınio. Enta˜o f e´
cont´ınua em x0.
Demonstrac¸a˜o: Apresentaremos apenas uma demonstrac¸a˜o sucinta.
Como f (x0) ja´ esta´ definido, e´ suficiente verificar que
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) = f (x0).
Mas isso e´ imediato, visto que
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0) = lim
∆x→0
[
∆x · f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
]
= 0.
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Claramente o limite do primeiro fator e´ zero e o limite do segundo fator
existe e e´ f ′(x0), uma vez que f e´ deriva´vel em x0.
O resultado nos diz apenas que f deriva´vel garante automaticamente que
f e´ cont´ınua, mas a rec´ıproca nem sempre e´ verdadeira, ou seja, existem
func¸o˜es cont´ınuas que na˜o sa˜o deriva´veis.
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Exemplo
Seja f : R→ R definida por
f (x) = |x |.
Essa func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 0. (Verifique!) Pore´m, esta func¸a˜o na˜o e´
deriva´vel em x = 0. De fato, como a func¸a˜o modular possui expresso˜es
distintas para pontos positivos e pontos negativos, precisamos calcular os
limites laterais na definic¸a˜o de derivada.
lim
∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x
= lim
∆x→0+
f (∆x)
∆x
= lim
∆x→0+
∆x
∆x
= 1
lim
∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x
= lim
∆x→0−
f (∆x)
∆x
= lim
∆x→0−
−∆x
∆x
= −1.
Como os limites laterais sa˜o diferentes, temos que a func¸a˜o na˜o e´
deriva´vel em x = 0.
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Vimos na aula anterior que uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em um ponto x0 do
seu dom´ınio se existir o seguinte limite
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
.
Uma vez que tal limite existe, o denotamos por
f ′(x0) ou
df
dx
∣∣∣∣
x=x0
.
Com o intuito de simplificar a notac¸a˜o, escrevemos simplesmente h ao
inve´s de ∆x na definic¸a˜o de derivada.
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Encontrar a derivada de uma func¸a˜o pela definic¸a˜o pode ser uma tarefa
dif´ıcil e extremamemnte trabalhosa para a grande maioria das func¸o˜es.
Para simplificar nosso trabalho estabelecemos resultados que tem objetivo
de tornar o ca´lculo de derivadas mais simples. Vamos apresentar as
derivadas de algumas func¸o˜es elementares.
Teorema
Seja f : R→ R func¸a˜o dada por
f (x) = c ,
onde c e´ uma constante qualquer. Enta˜o
f ′(x) = 0.
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Este resultado nos diz que a drivada de uma func¸a˜o constante e´ zero. Para
demonstrar bastar aplicar a derivada
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0
h
= lim
h→0
0 = 0.
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Continuaremos nosso trabalho deduzindo a derivada de func¸o˜es da forma
xn, n ∈ N, n ≥ 1.
Teorema
Seja f : R→ R func¸a˜o dada por f (x) = xn, n ∈ N, n ≥ 1. Enta˜o f e´
deriva´vel em todos os pontos do seu dom´ınio e ale´m disso,
f ′(x) = nxn−1
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Se n e´ um nu´mero natural, podemos desenvolver (x + h)n pelo teorema
binomial, obtendo
f ′(x) = lim
h→0
[
xn + nxn−1h +
n(n − 2)
2!
xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn
]
− xn
h
= lim
h→0
[
nxn−1h +
n(n − 2)
2!
xn−2h2 + ...+ nxhn−1 + hn
]
= nxn−1.
Observe que tal limite existe independente do ponto x do dom´ınio de f ,
ou seja f e´ deriva´vel em todos os ponto do seu dom´ınio e sua derivada e´
dada por
f ′(x) = nxn−1.
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Exemplo
Seja f : R→ R dada por f (x) = x5. Uma vez que ja´ sabemos que tal
func¸a˜o e´ deriva´vel em todos os pontos do seu dom´ınio e conhecemos uma
fo´rmula para sua derivada, na˜oprecisamos recorrer a definic¸a˜o. Neste
caso, podemos utilizar a fo´rmula encontrada anteriormente.
Assim, pelo teorema anterior, temos que
f ′(x) = 5x4.
Se quisermos encontrar a derivada em um ponto espec´ıfico do dom´ınio de
f , basta substituir tal valor na expressa˜o de f ′(x), ou seja,
f ′(2) = 5(2)4 = 80.
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Vamos apresentar agora algumas regras de derivac¸a˜o.
Teorema
Sejam f , g func¸o˜es deriva´veis em um ponto x0 e seja k uma constante
real. Enta˜o as func¸o˜es f ± g , kf , f · g sa˜o deriva´veis em x0. Se ale´m
disso, g(x0) 6= 0, enta˜o f
g
tambe´m e´ deriva´vel em x0 e satisfazem
(i) (f ± g)′(x0) = f ′(x0)± g ′(x0)
(ii) (kf )′(x0) = kf ′(x0)
(iii) (f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g ′(x0)
(iv)
(
f
g
)′
(x0) =
g(x0)f
′(x0)− f (x0)g ′(x0)
[g(x0)]2
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Observac¸a˜o
Tendo conhecimento destas regras de derivac¸a˜o, somos capazes de
derivar qualquer func¸a˜o racional f , ou seja, f (x) =
p(x)
q(x)
, onde p(x) e
q(x) sa˜o polinoˆmios com coeficientes reais.
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Nos exemplos a seguir mostraremos como aplicar diretamente as regras de
derivac¸a˜o acima.
Exemplo
Seja f : R→ R definida por
f (x) = 3x4 + 5x + 3.
Vamos derivar tal func¸a˜o utilizando as regras apresentadas acima. Vamos
utilizar a notac¸a˜o
df
dx
para visualizar melhor a utilizac¸a˜o de tais regras.
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Exemplo
f ′(x) =
df
dx
(x)
=
d
dx
(3x4 + 5x + 3)
=
d
dx
(3x4) +
d
dx
(fx) +
d
dx
(3)
= 3 · d
dx
(x4) + 5 · d
dx
(x) +
d
dx
(3)
= 3 · 4x3 + 5 · 1 + 0
= 12x3 + 5.
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Exemplo
Seja h : R \ {0} → R definida por h(x) = 1
xn
. Observe que h(x) =
f (x)
g(x)
,
onde f (x) = 1 e g(x) = xn.
Utilizando a regra do quociente para derivadas, temos que para x 6= 0
h′(x) =
(
f
g
)′
(x)
=
g(x)f ′(x)− f (x)g ′(x)
[g(x)]2
=
xn · 0− 1 · nxn−1
(xn)2
= −n x
n−1
x2n
= −nx−n−1
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O exempo anterior nos fornece a regra de derivac¸a˜o para uma func¸a˜o f
definida por f (x) = xn, para n inteiro negativo. Se n e´ um inteiro negativo,
m = −n e´ um natural. Da´ı, podemos escrever
f (x) = xn = x−m =
1
xm
.
Utilizando o exemplo anterior, temos que
f ′(x) = −mx−m−1 = nxn−1.
Da´ı, se f e´ uma func¸a˜o dada por f (x) = xn, n 6= 0, enta˜o
f ′(x) = nxn−1, n ∈ Z, n 6= 0.
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Exemplo
Seja f : R \ {2} → R dada por
f (x) =
x2 − 3
x2 − 4x + 4 .
Aplicando a regra de derivac¸a˜o do quociente obtemos
f ′(x) =
(x2 − 4x + 4)(x2 − 3)′ − (x2 − 3)(x2 − 4x + 4)′
(x2 − 4x + 4)2
=
(x2 − 4x + 4)2x − (x2 − 3)(2x − 4)
(x − 2)4
=
2x3 − 8x2 + 8x − (2x3 − 4x2 − 6x + 12)
(x − 2)4
=
−4x2 + 14x − 12
(x − 2)4 = −
4x − 6
(x − 2)3 .
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Exemplo
Seja f: R \ {0} → R dada por
f (x) = x2 − 1
x
.
Utilizando as regras de derivac¸a˜o temos
f ′(x) = 2x +
1
x2
= 2x + x−2,
uma vez que f pode ser escrita como sendo f (x) = x2 − x−1.
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Exemplo
Seja f : R→ R func¸a˜o definida por
f (x) = (3x5 − 1)(2− x4).
Temos que f e´ o produto de duas func¸o˜es deriva´veis. Aplicando a regra
do produto temos
f ′(x) = (3x5 − 1)′(2− x4) + (3x5 − 1)(2− x4)′
= (15x4)(2− x4) + (3x5 − 1)(−4x3)
= 30x4 − 15x8 − 12x8 + 4x3
= 30x4 − 27x8 + 4x3.
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Antes de garantir que as func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o deriva´veis e
estabelecer uma regra para suas derivadas, vamos considerar o seguinte
limite fundamental que ja´ foi abordado em uma apresentac¸a˜o anterior
lim
x→0
sen x
x
= 1.
Ja´ foi abordado anteriormente que
lim
x→0
1− cos x
x
= 0.
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Feito isso, estamos aptos a estabelecer que as func¸o˜es seno e cosseno sa˜o
deriva´veis e encontrar um fo´rmula para suas derivadas.
Teorema
Seja f : R→ R a func¸a˜o definida por
f (x) = sen x .
Enta˜o f e´ deriva´vel e ale´m disso,
f ′(x) = cos x .
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Utilizando a definic¸a˜o, obtemos
f ′(x) = lim
h→0
sen(x + h)− sen(x)
h
= lim
h→0
sen x cos h + cos x sen h − sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h − 1) + cos x sen h
h
= lim
h→0
[
− sen x
(
1− cos h
h
)
+ cos x
(
sen h
h
)]
.
Uma vez que
lim
h→0
sen h
h
= 1 e lim
h→0
1− cos h
h
= 0
conclu´ımos que
f ′(x) = cos x .
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Teorema
Seja f : R→ R a func¸a˜o definida por
f (x) = cos x .
Enta˜o f e´ deriva´vel e ale´m disso,
f ′(x) = − sen x .
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Regras de Derivac¸a˜o Derivada das Func¸o˜es Trigonome´tricas
f ′(x) = lim
h→0
cos(x + h)− cos(x)
h
= lim
h→0
cos x cos h − sen x sen h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sen x sen h
h
= lim
h→0
[
− cos x
(
1− cos h
h
)
− sen x
(
sen h
h
)]
.
Novamente, utilizando os limites fundamentais
lim
h→0
sen h
h
= 1 e lim
h→0
1− cos h
h
= 0,
garantimos que
f ′(x) = − sen x .
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Uma vez conhecendo as derivadas do seno e do cosseno, podemos
estabelecer as derivadas das demais func¸o˜es trigonome´tricas, utilizando
as regras de derivac¸a˜o.
Teorema
(i) Se f (x) = tg x , enta˜o f ′(x) = sec2 x .
(ii) Se g(x) = cotg x , enta˜o g ′(x) = − cossec2 x .
(iii) Se h(x) = sec x , enta˜o h′(x) = sec x · tg x .
(iv) Se l(x) = cossec x , enta˜o l ′(x) = − cossec x · cotg x .
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Utilizaremos a regra do quociente para derivadas para estabelecer a deivada
da tangente, uma vez que
f (x) = tg x =
sen x
cos x
.
Assim,
f ′(x) = (tg x)′
=
( sen x
cos x
)′
=
cos x(sen x)′ − sen x(cos x)′
cos2 x
=
cos x(cos x)− sen x(− sen x)
cos2 x
=
cos2 x + sen2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x .
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Para as demais func¸o˜es trigonome´tricas procederemos de maneira ana´loga
g ′(x) = (cotg x)′
=
(cos x
sen x
)′
=
sen x(cos x)′ − cos x(sen x)′
sen2 x
=
sen x(− sen x)− cos x(cos x)
sen2 x
=
− sen2 x − cos2 x
sen2 x
= − 1
sen2 x
= − cossec2 x .
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h′(x) = (sec x)′
=
(
1
cos x
)′
=
−(cos x)′
cos2 x
=
sen x
cos2 x
=
1
cos x
· sen x
cos x
= sec x · tan x .
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Regras de Derivac¸a˜o Derivada das Func¸o˜es Trigonome´tricas
l ′(x) = (cossec x)′
=
(
1
sen x
)′
=
−(sen x)′
sen2 x
=
− cos x
sen2 x
= −cos x
sen x
· 1
sen x
= − cotg x · cossec x .
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Neste momento ja´ somos capazes de derivar uma maior variedades de
func¸o˜es utilizando as regras vistas ate´ enta˜o.
Exemplo
Seja f : R→ R dada por
f (x) = x2 sen x .
Utilizando a regra de derivac¸a˜o do produto e a derivada trigonome´trica
obtemos
f ′(x) = (x2)′ sen x + x2(sen x)′ = 2x sen x + x2 cos x .
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Exemplo
Seja f uma func¸a˜o dada por
f (x) =
sec x
1 + tan x
.
Vamos encontrar f ′(pi).
Primeiramente, vamos aplicar as regars de derivac¸a˜o apresentadas ate´
agora para derivar a func¸a˜o em um ponto qualquer do seu dom´ınio.
Posteriormente, avaliaremos a derivada em x = pi.
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Exemplo
f ′(x) =
(sec x)′(1 + tg x)− sec x(1 + tg x)′
(1 + tg x)2
=
(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(sec2 x)
(1 + tg x)2
=
(sec x tg x)(1 + tg x)− sec x(1 + tg2 x)
(1 + tg x)2
=
sec x tg x + sec x tg2 x − sec x − sec2 x tg2 x)
(1 + tg x)2
=
sec x tg x − sec x
(1 + tg x)2
=
sec x(1− tg x)
(1 + tg x)2
.
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Exemplo
Logo, fazendo x = pi, encontramos
f ′(pi) =
sec(pi)(1− tg2 pi)
(1 + tg pi)2
=
(−1)(1− 02)
(1 + 0)2
= −1.
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	Regras de Derivação
	Derivada das Funções Trigonométricas