Unidade IV Regras de Derivação 1

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Calculo Diferencial
Regras de Derivação 1
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
5
Estamos iniciando nossos estudos sobre Regras de Derivação. A proposta desta Unidade é 
o estudo de algumas regras de derivação para o produto de funções e para o quociente de 
funções, bem como as derivadas de algumas funções trigonométricas. 
Com relação aos conteúdos, dividimos em:
 » Regras de Derivação;
 » Derivada das funções trigonométricas.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar a 
derivada de uma função de uma variável real, utilizando regras de derivação.
Para ajudar, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização. 
Nesta unidade, a discussão é sobre Regras de Derivação. Demonstraremos 
duas regras de derivação: regra do produto e regra do quociente. E, ainda 
em Derivação, apresentaremos as demonstrações das derivadas de algumas 
das funções trigonométricas.
Regras de Derivação 1
 · Introdução
 · Regras de Derivação
 · Derivada das Funções Trigonométricas
6
Unidade: Regras de Derivação 1
Contextualização
Já estudamos a posição de uma partícula em função do tempo; quando derivamos, obtemos 
a velocidade instantânea da partícula em função do tempo.
Vamos considerar a função posição dada por:
s(t) = 2t2+10t+8
onde t é medido em segundos e s é medido em metros.
Se derivarmos a função s, obtemos a velocidade instantânea em função do tempo:
v(t)=s’(t)=4t+10
onde v é medida em m/s.
E o que será que acontece se buscarmos a taxa de variação da velocidade da partícula em 
relação ao tempo? 
Vamos perguntar, primeiramente, se a velocidade muda quando o tempo passa. 
Se passou 2s, qual a velocidade instantânea?
v(2)=4.2+10=18m/s
Se passou 3s, calculemos a velocidade instantânea:
v(3)=4.3+10=22m/s
E se passar 4s, qual será a velocidade?
v(4)=4.4+10=26m/s
E se derivarmos a velocidade em função do tempo? 
Obtemos a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo decorrido, ou seja, a 
aceleração da partícula em função do tempo:
a(t)=v’(t)=s’’(t)=4
onde a aceleração é medida em m/s2.
Percebemos que a aceleração nos instantes 2s, 3s e 4s é sempre a mesma e igual a 4m/s2.
Desta forma, estudamos uma situação em que ilustramos o significado da segunda derivada 
de uma função.
7
Introdução
Na unidade anterior, vimos como obter a derivada de uma função polinomial. Nesta Unidade, 
estudaremos as derivadas das funções trigonométricas e apresentaremos, também, mais duas 
regras de derivação, a Regra do Produto e a Regra do Quociente.
Regras de Derivação
Estudamos que se temos uma função do tipo y = f(x) + g(x), com f e g possuindo derivada 
em x = a, então y’ = f ‘(x) + g’(x) possui derivada em x = a. O mesmo teorema vale para a 
subtração de duas ou mais funções. 
Mas será que esta regra vale para o produto de duas funções?
Por exemplo, seja f(x) = x2 e g(x) = x + 1. 
Sabemos que f ‘(x) = 2x e g’(x) = 1.
Também sabemos que y = f(x).g(x) = x2(x + 1) = x3 + x2
Podemos determinar y’= 3x2 + 2x
Mas, f ‘(x).g’(x) = 2x ≠ 3x2 + 2x = y’ = [f(x).g(x)]’
Com isso queremos chamar a atenção para utilizarem as regras de Derivação de acordo com 
o tipo de operação entre as funções.
Importante: Para o produto de funções e para o quociente entre funções, temos regras específicas.
Regra do Produto
Se f(x) e g(x) são deriváveis e temos que F(x)=f(x).g(x), então:
F’ (x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)
Vamos, agora, demonstrar a regra do produto.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
.
' lim
. .
' lim
h
h
F x f x g x
F x h F x
F x
h
f x h g x h f x g x
F x
h
→
→
=
+ −
=
+ + −
=
8
Unidade: Regras de Derivação 1
Utilizaremos uma estratégia para realizar esta demonstração: iremos somar e subtrair no 
numerador o seguinte termo f(x+h).g(x).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0 0 0 0
. . . .
lim
lim . lim .
lim .lim lim .lim
h
h h
h h h h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x
F x
h
f x h f x g x h g x
F x g x f x h
h h
f x h f x g x h g x
F x g x f x h
h h
→
→ →
→ → → →
+ + + + − + −
=
+ − + −
= + +
+ − +
′
+′
−
= +
′
Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocaremos os resultados nesta expressão.
a. ( ) ( )
0
lim
h
g x g x
→
=
b. 
( ) ( ) ( )
0
lim '
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=
c. ( ) ( )0limh f x h f x→ + =
d. 
( ) ( ) ( )
0
lim '
h
g x h g x
g x
h→
+ −
=
Voltando à demonstração, temos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
lim .lim lim .lim
' . . '
h h h h
f x h f x g x h g x
F x g x f x h
h h
F x f x g x f x g x
→ → → →
+ − + −
= + +
= +
′
′
É comum utilizarmos uma representação simplificada para a regra do produto. Se 
considerarmos f(x)=u e g(x)=v e F(x)=u.v, então, a regra do produto pode ser reescrita como:
( ) ' '. . 'uv u v u v= +
Vejamos um exemplo.
Se F(x) = (x10 + 2).(2x7 – 6x +5), determinemos a derivada desta função.
Utilizaremos a regra do produto, para isso determinemos as duas funções f e g. 
Vamos denominar:
f(x) = (x10 + 2)
g(x) = (2x7 – 6x +5).
9
Para utilizarmos a regra do produto, F’(x)= f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x), necessitamos calcular as 
derivadas das duas funções.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
10 7
9 6
 2 2 – 6 5
 ‘ 10 ’ 14 – 6
f x x g x x x
f x x g x x
= + = +
= =
E aplicamos estes resultados na regra do produto:
F’ (x)= f’ (x) . g(x) + f(x) . g’(x)
F’ (x)= 10x9 . (2x7 – 6x +5) + (x10 + 2) . (14x6 – 6)
Não é o intuito, neste momento, realizar estes produtos para determinar a derivada de uma 
função. Mas, dependendo do tipo de problema proposto, pode ser que seja necessário realizar 
os produtos entre os polinômios para obter a expressão da função derivada.
Regra do Quociente
Se f(x) e g(x)são deriváveis e temos ( ) ( )( )
f x
F x
g x
= , com g(x)≠0, então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
. . 'f x g x f x g x
F x
g x
−
=

′
 
′
Para demonstrar esta regra, vamos reescrever a expressão de F(x).
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
 .
f x
F x f x F x g x
g x
= ⇒ =
E apliquemos a regra do produto para a função f(x).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
. .
. .
.
.
. .
. . '
. . '
f x F x g x F x g x
F x g x f x F x g x
f x F x g x
F x
g x
f x
f x g x
g x
F x
g x
f x f x
g x g x
g x g x
F x
g x
f x g x f x g x
g x g x
F x
g x
f x g x f x g x
F x
g x
′ ′ ′
′
= +
= −′ ′
′ −
=
′
′ =
′
′−′
′
′
′
′
−
=
−
=
−′
′ =
  
′
10
Unidade: Regras de Derivação 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
. .
. .
.
.
. .
. . '
. . '
f x F x g x F x g x
F x g x f x F x g x
f x F x g x
F x
g x
f x
f x g x
g x
F x
g x
f x f x
g x g x
g x g x
F x
g x
f x g x f x g x
g x g x
F x
g x
f x g x f x g x
F x
g x
′ ′ ′
′
= +
= −′ ′
′ −
=
′
′ =
′
′−′
′
′
′
′
−
=
−
=
−′
′ =
  
′
É comum utilizarmos uma representação simplificada para a regra do quociente. Se 
considerarmos ( ) ( ) ( ) uf x u e g x ve F x
v
= = = , então a regra do quociente pode ser reescrita como:
2
. . ' 'u u v u v
v v
′ −  = 
 
Vejamos um exemplo.
Se ( )
5 2
8 4
3 1 
2 5
x xF x
x x x
+ +
=
+ +
, determinemos a derivada desta função.
Para utilizarmos a regra do quociente, precisamos determinar as funções f e g. Sejam f(x) = 
x5 + 3x2 + 1 e g(x) = x8 + 2x4 + 5x e determinemos suas derivadas.
f(x) = x5 +3x2 + 1 g(x) = x8 + 2x4 + 5x
f’(x) = 5x4 + 6x g’(x) = 8x7 + 8x3 + 5
Agora, colocamos estes resultados na regra do quociente.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4 8 4 5 2 7 3
28 4
' . . '
5 6 .( 2 5 ) 3 1 . 8 8 5
2 5
f x g x f x g x
F x
g x
x x x x x x x x x
F x
x x x
−
=
  
+ + + − + + + +
′ =
+ +
′
Não é o intuito, neste momento, realizar estes produtos e quociente para determinar a 
derivada de uma função. Mas, dependendo do tipo de problema proposto, pode ser que seja 
necessário realizar os produtos e o quociente entre os polinômios para obter a expressão da 
função derivada.
11
Derivada das Funções Trigonométricas
Apresentamos as derivadas das principais funções trigonométricas e demonstramos algumas 
destas derivadas; outras podem ser encontradas em livros didáticos de Cálculo.
f(x)= sen x f ‘(x) = cos x
f(x) = cos x f ‘(x) = -sen x
f(x)= tg x f ‘(x)= sec2 x
f(x)= cotg x f ‘(x)= -cossec2 x
f(x)= sec x f ‘(x)= sec x.tg x
f(x)= cossec x f ‘(x)= - cossec x . cotg x
Vejamos as demonstrações de derivadas de algumas funções trigonométricas.
1) Seja f(x)= sen x, então f’(x) = cosx.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
' lim
 
' lim
 
' li
 s os 
m
co c
h
h
h
f x h f x
sen x
f x
h
s
h
en x h sen x
f x
h
sen x
f
xsenh
x
h
→
→
→
+ −
=
+ −
=
−
=
+
Lembrar que sen (x + h) = sen x cos h + cos x sen h
0
0
0 0 0 0
 cos cos lim
 (cos 1) lim cos
(cos 1) lim .lim lim cos .lim
h
h
h h h h
sen x h sen x xsenh
h h
sen x h senhx
h h
h senhsen x x
h h
→
→
→ → → →
− = + =  
− = + =  
−
= +
Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocamos os resultados nesta expressão. 
Como sen x e cosx não apresentam a variável h, então o cálculo do limite destas duas 
funções é direto.
a. 
0
lim 
h
sen x sen x
→
=
12
Unidade: Regras de Derivação 1
b. lim cos cosx x
→
E temos um limite fundamental na expressão, já apresentado em unidades anteriores:
c. 
0
 lim 1
h
senh
h→
=
Falta, então, determinar um dos limites.
d. 
0 0
(cos 1) (cos 1) (cos 1)lim lim .
(cos 1)h h
h h h
h h h→ →
− − +
= =
+
2
0
cos( )lim
.(cos 1)
1
h
h
h h→
−
= =
+
Lembrar que sen2h + cos2h = 1
( )
2
0 0 0
0
 lim lim .lim
.(cos 1) (cos 1)
 0 01.lim 1. 1. 0
(cos 1) (cos 0 1) 1 1
h h h
h
sen h senh senh
h h h h
senh sen
h
→ → →
→
−
= = − =
+ +
= − =− =− =
+ + +
Logo, 
0
(cos 1)lim 0
h
h
h→
−
= .
Voltemos, agora, ao cálculo do limite que estávamos resolvendo.
( )
( )
0 0 0 0
(cos 1) lim .lim lim cos .lim
 .0 cos .1 cos
h h h h
h senhf x sen x x
h h
f x sen x x x
→ → → →
−
= +
=′ =
′
+
Portanto, se f(x)= sen x, então f’(x)=cos x. 
2) Consideremos, agora, a função trigonométrica f(x)=cosx e demonstremos que f’(x)= - sen x.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0
0
cos cos
' lim lim
cos .cos . cos
lim
h h
h
f x h f x x h x
f x
h h
x h sen x senh x
h
→ →
→
+ − + −
= = =
− −
= =
Lembrar que con (x+h) = cos x cos h - sen x . sen h
13
0
0
0 0 0 0
cos cos cos . lim
cos 1 lim cos .
cos 1 lim cos .lim lim .lim
h
h
h h h h
x h x sen x senh
h h
h senhx sen x
h h
h senhx sen x
h h
→
→
→ → → →
− = − =  
− = − =  
−
= −
Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocamos os resultados nesta expressão. 
Como sen x e cos x não apresentam a variável h, então o cálculo do limite destas duas 
funções é direto.
a. 
0
lim 
h
sen x sen x
→
=
b. 
0
lim cos cos
h
x x
→
=
Temos um limite fundamental, já apresentado em Unidades anteriores.
c. 
0
 lim 1
h
senh
h→
=
E já calculamos o outro limite.
d. 
0
(cos 1)lim 0
h
h
h→
−
=
Logo, temos que:
( )
( )
0 0 0 0
cos 1 ' lim cos .lim lim .lim
' cos .0 .1 
h h h h
h senhf x x sen x
h h
f x x sen x sen x
→ → → →
−
= −
= − =−
Portanto, se f(x)= cos x, então f’(x)= - sen x. 
3. Vejamos, agora, a demonstração da derivada da função tangente:
( ) ( ) 2 'f x tg x f x sec x= =( ) ( ) 2 'f x tg x f x sec x= =
Primeiramente, devemos escrever a função tangente como um quociente da função seno e 
da função cosseno.
14
Unidade: Regras de Derivação 1
( ) 
cos
sen xf x tg x
x
= =
E utilizaremos a regra do quociente, considerando as derivadas das funções seno e cosseno, 
anteriormente demonstradas. 
Vamos utilizar a notação simplificada da regra do quociente.
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
. . ''
 ' cos
cos ' ( sen )
cos .cos . 
'
(cos )
cos 
'
(cos )
1' (sec )
(cos )
u v u vf x
v
u sen x u x
v x v x
x x sen x sen x
f x
x
x sen x
f x
x
f x x
x
−
=
= ⇒ =
= ⇒ = −
− −
=
′
+
=
= =
Exemplos
1- Diferencie as seguintes funções:
( )
2
 . 9
4
xa xg x
x
−
=
Para encontrar a derivada desta função, podemos utilizar tanto a regra do produto quanto a 
regra do quociente. 
Vejamos, primeiramente, a regra do quociente.
Consideremos 2 9u x x= − e v = 4x e determinemos as derivadas destas funções u e v. E 
façamos, inicialmente, uma manipulação algébrica em u.
1
2 2 2
1
2
9 9
9
' 2
2
4
' 4
u x x x x
u x x
v x
v
−
= − = −
= −
=
=
Lembrando que 
1
2x x=
15
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1 1
22 2
2
1 1
22 2
2
1 1
22 2
2
1 1
2 22 2
2
' '' 
92 .4 9 .4
2
' 
4
92 .4 9 .4
2
' 
16
92 . 9
2
' .
4
92 9
2
' .
4
' 
u v uvg x
v
x x x x x
g x
x
x x x x x
g x
x
x x x x x
g x x
x x x x
g x x
g x
−
−
−
−
−
−
=
   
− − −   
   =
   
− − −   
   =
    
− − −    
     =
    
− − −    
     =
=
( )
1
2 2
2
3
2
'
3
9
2
.
4
91
2 1 9 
4 4 8
x
x x
x
x
g
x
−
−
 
+ 
 
 
+ 
 = = +( )
3
2
'
3
9
1
2 1 9
 
4 4 8
x
g x
x
− 
+ 
 = = +
Determinemos, agora, a derivada da função g de outra maneira, utilizando a regra do produto. 
Mas, para utilizar esta regra, temos de reescrever a função g como produto de dois termos.
( )
2
129 1 ( 9 ).
4 4
xg x xxx x
x
−−= = −
Lembre que 11 x
x
−=
16
Unidade: Regras de Derivação 1
Neste caso, temos u e v e suas derivadas:
2
1
2
9
9' 2
2
u x x
u x x
−
= −
= −
Lembre que a derivada de 
1
2x x= é pela regra da potência igual a 
1 
21
2
x
−
1
2
1
4
1'
4
v x
v x
−
−
=
= −
Lembre que subtraímos uma unidade 
do expoente na regra da potência.
E aplicando estes resultados na regra do produto, temos:
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 22 2
3 3 
2 2
3 
2
3
' ' '
9 1 1' 2 . 9 .
2 4 4
1 9 1 9'
2 8 4 4
1 9'
4 8
1 9'
4 8
g x u v uv
g x x x x x x x
g x x x
g x x
g x
x
− − −
− −
−
= +
     = − + − −     
    
   
= − + − +   
   
= +
= +
Repare que a derivada obtida pela regra do quociente e pela regra do produto são idênticas. 
Ainda podemos utilizar a regra da potência para determinar a derivada desta função g. 
Vejamos como calcular a derivada com a regra da potência. Mas, para isso, é necessário 
realizar algumas manipulações algébricas para escrever a função g como uma função polinomial.
( )
( )
12
2 12
1 
2
9 1 ( 9 ) . 
4 4
1 9
4 4
x xg x x x x
x
g x x x
−
−
−
= = −
= −
17
E agora aplicamos a regra da potência à função g
( )
( )
( )
3 
2
3 
2
3
1 9 1' .
4 4 2
1 9'
4 8
1 9'
4 8
g x x
g x x
g x
x
−
−
= +
= +
= +
Perceba que também obtemos a mesma função derivada. Desta forma, notamos que podemos 
utilizar, dependendo da função que queremos derivar, diferentes regras de derivação.
( )
3
3
3. 
2
xb g x
x
+
=
Para encontrar a derivada desta função, podemos utilizar a regra do produto, a regra do 
quociente e a regra da potência. 
Vejamos, primeiramente, a regra do quociente.
Consideremos u = x3 + 3 e v = 2x3 e determinemos as derivadas destas funções u e v. 
u = x3+3
u’ = 3x2
v = 2x3
v’ = 6x2
E agora aplicamos a regra do quociente à função g
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 3 3 2
23
5 5 2
6
2
6 4
' '' 
3 .2 3 .6
' 
2
6 6 18
' 
4
18 9'
4 2
u v uvg x
v
x x x x
g x
x
x x x
gx
x
xg x
x x
−
=
− +
=
− +
=
= − = −
Determinemos, agora, a derivada da função g utilizando a regra do produto. Mas, para utilizar 
esta regra, temos de reescrever a função g como produto de dois termos.
Observe que 
3 2 3 3 6(2 ) 2 .2 4x x x x= =
18
Unidade: Regras de Derivação 1
( ) ( )
3
3 3
3
3 13 .
2 2
xg x x x
x
−+= = +
Neste caso, 3 313 
2
u x e v x−= + = e suas derivadas são:
2
4
' 3
3'
2
u x
v x−
=
= −
Apliquemos agora a regra do produto.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 3 4
1 1 4
4
4
' ' '
1 3' 3 . 3 .
2 2
3 3 9'
2 2 2
9 9'
2 2
g x u v uv
g x x x x x
g x x x x
g x x
x
− −
− − −
−
= +
 = + + − 
 
 = + − − 
 
= − = −
Repare que a derivada obtida pela regra do quociente e pela regra do produto são idênticas. 
Ainda podemos utilizar a regra da potência para determinar a derivada desta função g. 
Vejamos como calcular a derivada com a regra da potência.
( ) ( )
3
3
3 33 1 3 .
2 2
xg x xx
x
−+= = +
Lembra que 3 ( 3) (3 3) 0. 1x x x x− −= = =
( ) 31 3
2 2
g x x−= +
E utilizando a regra da potência, temos:
( ) 4 4
9 9'
2 2
g x x
x
−= − = − 
19
Perceba que também obtemos a mesma função derivada. Desta forma, notamos que podemos 
utilizar, dependendo da função que queremos derivar, diferentes regras de derivação.
c) .cosy senx x=
Vamos utilizar a regra do produto.
( )22
 cos
' cos ' 
' ' '
' cos .cos .( )
(cos ) 
u sen x v x
u x v sen x
y u v uv
y x x sen x sen x
y x sen x
= =
= = −
= +
= + −
= −′
Considerando que (cosx)2 + (sen x)2 = 1, podemos ainda escrever:
( ) ( )
( )
2 2
2
1 
1 2 
y sen x sen x
y sen x
 = − −
= −′
′
2. Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função 
1
xy
x
=
+
 para x = 1.
Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função y = f(x), temos de, 
primeiramente, derivar a função para obtermos o coeficiente angular da reta tangente.
1
xy
x
=
+
Para derivarmos esta função, vamos utilizar a regra do quociente.
( )
( )
( )
2
2
2
' '' 
 ' 1
1 ' 1
1. 1 .1
'
1
1'
1
u v uvy
v
u x u
v x v
x x
y
x
y
x
−
=
= =
= + =
+ −
=
+
=
+
20
Unidade: Regras de Derivação 1
Com a função derivada, calculamos o coeficiente angular da reta tangente no valor de x = 1.
( )
( )2
1 1' 1
41 1
f = =
+
E como a equação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x), quando temos o valor 
do coeficiente angular em um ponto a, é dada por:
( ) ( ) ( )' .y f a f a x a− = −
Calculemos o valor da função em a = 1, que é o ponto dado no enunciado do problema.
( ) 1 11
1 1 2
f = =
+
Logo, o ponto do gráfico da função 
1
xy
x
=
+
 em que queremos determinar a equação da reta 
tangente é: (1,
1
2 ). E a equação da reta tangente que procuramos é:
( ) ( ) ( )
( )
' .
1 1 1
2 4
1 1 1
4 4 2
1 1
4 4
y f a f a x a
y x
y x
y x
− = −
− = −
= − +
= +
Vejamos os gráficos da função f e da reta tangente ao gráfico no ponto x = 1.
21
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função 
22 3 1x xy
x
+ −
= no ponto x = 1.
Para obtermos o coeficiente angular da reta tangente, necessitamos obter a derivada da função y. 
Vamos manipular, inicialmente, a expressão da função para podermos utilizar a regra da potência.
( )
12
2 22 3 1 2 3 1 .x xy x x
x
x
−+ −
= = + −
Lembre que a 
1 
21 x
x
−
=
3 1 1 
2 2 2
1 1 3 
2 2 2
2 3
3 13
2 2
y x x x
y x x x
−
− −
= + −
= + +′
E agora, calculamos a derivada em x = 1.
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 
2 2 2
3 1 3 1' 1 3. 1 1 1 3 3 2 5
2 2 2 2
y − −= + + = + + = + =
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto x = 1 tem 
valor igual a 5. 
E o valor da função em x = 1 é determinado na expressão de y = f(x).
( ) ( ) ( )
2
2
2 3 1
2. 1 3. 1 1
1 2 3 1 4
1
x xy
x
y
+ −
=
+ −
= = + − =
Determinemos a equação da reta tangente que procuramos.
( ) ( ) ( )
( )
' .
4 5. 1
5 5 4
5 1
y f a f a x a
y x
y x
y x
− = −
− = −
= − +
= −
3. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 5 ' 2 2 2 4 ' 2 1f e f e g e g= = = = . Determine ( ) ( ) ( ). ' 2 e ' 2
ff g
g
 
 
 
.
22
Unidade: Regras de Derivação 1
Para determinar (f.g)’(2) , utilizaremos a regra do produto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. ' 2 2 . 2 2 . 2
. 2 2.4 5.1 8 1' 5 3
f g f g f g
f g
= +
= + = + =
′ ′
E para determinar '(2)f
g
 
 
 
, utilizaremos a regra do quociente.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
' 2 . 2 2 . ' 2
' 2
2
2.4 5.1 8 5 3' 2
16 161
f g f gf
g g
f
g
− 
= 
    
  − −
= = = 
 
23
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Derivadas consulte o site e as referências a seguir. 
Sites
 » http://www.somatematica.com.br/superior/derivada2.php
 » http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp8.php
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivative-
properties/v/derivative-properties-example
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_
tutorial/v/power-rule
 » https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/chain_rule/v/
derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x
 » http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/derivadas/derivadas.html
Referências Bibliográficas
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000;
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009;
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
http://www.somatematica.com.br/superior/derivada2.php
http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp8.php
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivative-properties/v/derivative-properties-example
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivative-properties/v/derivative-properties-example
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/power-rule
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/power-rule
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/chain_rule/v/derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/chain_rule/v/derivatives-of-sin-x-cos-x-tan-x-e-x-and-ln-x
http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/derivadas/derivadas.html
24
Unidade: Regras de Derivação 1
Referências
STEWART, J. Cálculo. v.1 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. v.1. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
25
Anotações