FLEXÃO COMPOSTA

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04/10/2018
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Cabo Frio, 2018
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – UVA
DEPARTAMENTO D ENGENHARIA CIVIL
OBJETIVOS
• Aplicar os conceitos da Mecânica dos Sólidos em
problemas reais da Engenharia Civil;
• Avaliar e compreender o comportamento de peças
quanto à flexão e tensões normais;
• Avaliar o Núcleo central de inércia de seções sob
flexão composta.
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FLEXÃO COMPOSTA
• Peças que estarão solicitadas simultaneamente
pela ação de momentos fletores e esforços
normais;
• Esta solicitação é denominada de flexão composta
Exemplos usuais:
• Pilares de canto e de borda;
• Ganchos;
• Muros de arrimo;
• Sapatas com cargas excêntricas;
• Vigas protendidas
OBS.: Vale salientar que a flexão composta pode ser
reta ou oblíqua.
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FLEXÃO COMPOSTA
Fundações submetidas a cargas excêntricas
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FLEXÃO COMPOSTA
Pilar de Canto
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FLEXÃO COMPOSTA
Muros de arrimo
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FLEXÃO COMPOSTA
Pilares com excentricidade
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FLEXÃO COMPOSTA
• Vigas protendidas
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FLEXÃO COMPOSTA
• Vigas protendidas
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FLEXÃO COMPOSTA
• Projeto de componentes mecânicos
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FLEXÃO COMPOSTA
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OCORRE FLEXÃO COMPOSTA QUANDO A RESULTANTE DE 
TENSÕES NORMAIS PODE SER DECOMPOSTA EM UMA FORÇA 
NORMAL E MOMENTOS FLETORES.
FLEXÃO COMPOSTA
Quando o plano do momento fletor intercepta a seção
segundo um dos eixos principais de inércia, o esforço
é denominado de flexão composta NORMAL;
Não estando num dos eixos principais de inércia, a
flexão será composta OBLÍQUA.
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
• Apresenta apenas uma resultante de momento na
seção transversal, podendo ser em y ou Z;
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Para excentricidades das cargas aplicadas fora do
centro de gravidade resultam os momentos ilustrados
na figura a seguir:
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𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝐹:
𝑀𝑦 = 𝐹𝑒𝑧 𝑀𝑧 = 𝐹𝑒𝑦
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Equação das tensões
• A equação de tensões normais na seção
transversal é igual a superposição dos efeitos que
será composta por:
➢ Tensões normais causadas pela carga F,
quando localizada no centroide da seção;
➢ Tensões de flexão advindos dos momentos
𝑀𝑦 ou 𝑀𝑍
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
A tensão normal pode ser escrita como:
𝜎𝑥 = 𝜎𝐹 ± 𝜎𝑀𝑧
Sabendo-se que a tensão normal causada pela carga
F no centroide pode ser escrita como F/A, pode-se
reescrever esta relação como:
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
Caso a excentricidade esteja em relação à z, tem-se
que:
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
±
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Observação:
O sinal irá variar conforme a posição de aplicação da
carga excêntrica na seção transversal e os sinais das
tensões aplicadas, se de tração ou compressão.
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Determinação da posição da linha neutra
• É calculada considerando a propriedade de que as
tensões são nulas ao longo do seu comprimento (
da LN), assim:
𝜎𝑥 = 0
Substituindo:
𝐹
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
= 0
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FLEXÃO COMPOSTA
Sendo y0 a posição da linha neutra,
𝑀𝑧
𝐹
a
excentricidade 𝑒𝑦 e 𝑖𝑧² o quadrado do raio de giração
dado por 𝑖𝑧/𝐴 , a equação
𝐹
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
= 0 pode ser
reescrita como:
𝐹
𝐴
1 ±
𝑒𝑦𝑦0
𝑖𝑧²
= 0
Assim, a posição da linha neutra é dada por:
𝑦0 = −
𝑖𝑧²
𝑒𝑦
Considerando a excentricidade no eixo z, tem-se que:
𝑧0 = −
𝑖𝑦²
𝑒𝑧
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FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
A flexão composta oblíqua é caracterizada por
apresentar resultantes de momento na seção
transversal em torno de y, quanto em torno do eixo z.
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𝑀𝑦 = 𝐹𝑒𝑧 𝑀𝑧 = 𝐹𝑒𝑦
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FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
EQUAÇÃO DAS TENSÕES
A distribuição das tensões normais na seção
transversal é equivalente a sobreposição das tensões
normais causadas pela carga F, quando localizadas
no centroide da seção, com as tensões de flexão
decorrentes dos momentos My e Mz.
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FLEXÃO COMPOSTA
A tensão normal na seção transversal pode ser
escrita como:
𝜎𝑥 = 𝜎𝐹 ± 𝜎𝑀𝑧 ± 𝜎𝑀𝑦
Substituindo as outras variáveis, tem-se que:
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
±
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
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FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Posição da linha neutra
Aplicando o mesmo processo empregado no caso da
flexão composta normal, tem-se que:
𝐹
𝐴
1 ±
𝑒𝑦𝑦0
𝑖𝑧²
±
𝑒𝑧𝑧0
𝑖𝑦²
= 0
Assim, a posição da linha neutra, em y, é dada por:
𝑦0 = −
𝑖𝑧²
𝑒𝑦
Considerando a excentricidade no eixo y, tem-se que:
𝑧0 = −
𝑖𝑦²
𝑒𝑧
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FLEXÃO COMPOSTA
Tensões normais máximas
As tensões máximas na seção são encontradas
através de retas paralelas à linha neutra
posicionadas nos extremos da seção transversal
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NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA
• É o lugar geométrico da seção transversal tal que,
se nele for aplicada uma carga de compressão F,
toda a seção estará comprimida.
• Sua determinação é feita analisando a distribuição
de tensões na seção transversal.
• Seja a flexão composta normal em torno do eixo Z:
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NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA
• Fazer com que a soma das tensões de tração
causadas pela flexão com as tensões normais de
compressão seja igual a zero (somente sob esta
condição a seção transversal ficará completamente
comprimida), ou seja:
𝜎𝐹 = 𝜎𝑀𝑍
Substituindo as equações das tensões:
𝐹
𝐴
=
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
y= será a distância da linha neutra até o ponto onde a
maior tensão de tração de flexão causada pelo
momento 𝑀𝑧.
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NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA
Como o momento Mz surgiu pela excentricidade do
carregamento longitudinal F, pode ser escrito Fey,
substituindo na equação e isolando ey:
𝑒𝑦 =
𝐼𝑧
𝐴𝑧
Z = é a distância da linha neutra até o ponto onde
ocorre a maior tensão de tração de flexão causada
pelo momento My.
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NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA
Para a seção transversal retangular, os valores de ey
e ex são:
𝑒𝑦 =
1
6
ℎ
𝑒𝑧 =
1
6
𝑏
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Portanto, qualquer carga
que esteja aplicada
dentro do losango
ilustrado ao lado, ou seja,
dentro do núcleo central
de inércia, somente
existirão tensões de
compressão na seção
transversal.
• Tal determinação é
útil, pois há peças que
se deseja que trabalhe
unicamente à
compressão, como o
caso de sapatas de
fundação.
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DÚVIDAS?
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