2016103 13351 7º aula estatística

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ESTATÍSTICA
Prof. Rodrigo Ramos Alves
Técnicas de contagem e 
Probabilidades
Técnicas de contagem
Princípio fundamental da contagem: Diz que 
sempre devemos multiplicar os números de 
opções entre as escolhas que podemos fazer.
Exemplo: para montar um computador temos 3 
tipos diferentes de telas, 4 tipos de teclado, 2 
tipos de mouse e 3 tipos de CPU. Quantos 
tipos diferentes de computadores podemos 
montar com estas peças?
Solução:
3 x 4 x 2 x 3 = 72 (configurações diferentes)
Técnicas de contagem
Princípio fundamental da contagem: Imagine 
uma prova onde existam questões de V ou F.
• Para uma única questão teremos 2 
possibilidades (V ou F)
• Para duas questões teremos 2 x 2 = 4 
possibilidades (VV,VF,FV,FF).
• Para três questões teremos 2 x 2 x 2 = 8 
possibilidades 
(VVV,VVF,VFV,VFF,FVV,FVF,FFV,FFF)
Logo o número de resultados possíveis será
igual ao produto dos diversos modos de 
responder a questão.
Técnicas de contagem
Qual o número de maneiras diferentes para 
responder 20 questões do tipo V ou F, com 
duas opções para cada questão?
2 x 2 x 2 x 2 x ....= 202
Técnicas de contagem
Quantos pratos diferentes podem ser solicitados 
por um cliente de restaurante, tendo 3 tipos de 
arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão. Bebidas 2 tipos 
de cerveja e 3 tipos de refrigerante, sendo que o 
cliente não pode pedir refrigerante e cerveja ao 
mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha 
de escolher uma opção de cada alimento?
Solução: somente para comida (3 x 2 x 3=18)
Como o cliente não pode pedir cerveja e 
refrigerante ao mesmo tempo, não podemos 
multiplicar. O que se deve fazer aqui é apenas 
somar estas possibilidades logo:
18 x (2 + 3) = 90 pratos com as comidas e 
bebidas.
Técnicas de contagem
Permutação ou arranjo: é utilizado quando a 
ordem que os elementos se dispõe é
importante.
Exemplo: De quantas formas pode-se 
apresentar o resultado de 4 times de futebol 
sendo: vencedor, vice, terceiro e último.
4 x 3 x 2 x 1 = 24 resultados
Se existissem 6 times seria: 6x5x4x3x2x1 = 720 
resultados
Técnicas de contagem
Uma forma abreviada de escrever estas 
multiplicações é:
4 x 3 x 2 x 1 = 4!
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 
8! ����
1! = 
0! = 
6!
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
1
1
Técnicas de contagem
• Combinação: Quando a ordem não 
importa para os resultados.
• Por exemplo quando nos deparamos com 
itens idênticos.
• Exemplo: Quantas combinações 
diferentes podemos ter com três moedas 
de 10 centavos e duas de 50 centavos. 
Técnicas de contagem
Esta é uma combinação:
Esta é outra combinação:
Mas esta é igual a 1º, logo não deve ser 
contabilizada novamente.
Técnicas de contagem
• Combinação: Logo devemos descontar 
aquelas combinações que são idênticas. Para 
isto fazemos:
1º Permutação das 5 moedas:
5 x 4 x 3 x 2 x 1
2º Divididos pelas permutações das três 
moedas de 10 centavos vezes as 2 
permutações das 2 moedas de 50 centavos.
Logo temos: 5! / (3! x 2!) = 5x4x3!/(3!x2!) = 10
Técnicas de contagem
• Combinação: Outra forma de resolver o 
problema é utilizando-se da fórmula de 
combinação.
Cn,x = n!
x!(n-x)!
• Para o nosso exemplo anterior teríamos:
C5,3 = 5!
3!(5-3)!
5!
3!(2)!= =
5x4x3!
3!(2x1) =
5x4x3!
3!x2
2
C5,3 = 2 x 5 = 10
Técnicas de contagem
• Exemplo de combinação: Quantos comitês 
distintos de 3 pessoas cada um, podemos 
formar com um grupo de 10 pessoas?
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J � 10 pessoas
1º comitê � A, B, C 2º comitê � B, C, D
3º comitê � B, A, C � porém este é
igual ao 1º comitê, logo a ordem não é
importante neste caso e devemos 
utilizar a combinação para resolver o 
problema 
Técnicas de contagem
• Então�
___ ___ ___
3!
10 9 8
10 x 9 x 8 
3 x 2 x 1
= 10 x 3 x 4 = 120
3 4
C10,3 = 10!
3!(10-3)!
Ou utilizando a fórmula de combinação
10x9x8x7!
3x 2 x1x(7)!=
10x9x8x7!
3x 2 x1x(7)!=
3 4
C10,3 = 10 x 3 x 4 = 120
Técnicas de contagem
• Exercícios exemplo:
1) De quantas maneiras podem ser arranjadas 
as letras da palavra LOTE.
Para a 1º letra temos 4 escolhas
L _ _ _ 
Quando colocamos a 1º letra temos apenas 3 
escolhas
LO _ _
Colocando mais uma letra temos apenas 2 
escolhas e LOT _ finalmente apenas 1 escolha:
logo teremos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 escolhas 
possíveis.
Técnicas de contagem
2) João está fazendo suas malas para as férias. 
Ele tem 5 livros diferentes, mas apenas 4 
cabem em sua mala. Quantos grupos 
diferentes de 4 livros ele pode levar.
L1, L2, L3, L4, L5 � __ __ __ __
Neste caso a ordem não é importante, logo 
devemos fazer combinações.
5 4 3 2
4!
5 x 4!
4!
= = 5
Técnicas de contagem
3) Você possui apenas um bilhete grátis para o 
passeio de barco e você pode levar 3 amigos! 
Infelizmente, você possui 6 amigos que 
querem ir. Quantos grupos diferentes de 
amigos você poderia levar? 
6 x 5 x 4 / 3! = 6 x 5 x 4 / 3 x 2 = 20
Técnicas de contagem
4) Quantos números de 4 algarismos podem ser 
formados com 10 algarismos, (0,1,2,3,...,9)
a) Se forem permitidas as repetições
b) Se as repetições não forem permitidas
Solução:
a) O primeiro algarismo pode ser qualquer um 
dos nove exceto o zero que não é permitido. 
Logo temos:
9 x 10 x 10 x 10 = 9000 números
Técnicas de contagem
b) Solução
� O primeiro algarismo pode ser qualquer um 
dos 9 exceto o zero.
� O segundo algarismo pode ser qualquer um 
dos 9, mas não o utilizado para o primeiro.
� O terceiro algarismo pode ser qualquer um 
dos 8, exceto os dois utilizados nos dois 
primeiros
� O quarto pode ser qualquer um dos 7 
exceto os utilizados nos três primeiros.
� Logo temos: 9 x 9 x 8 x 7 = 4.536 números
Exercícios: Técnicas de contagem
1) Uma moça dispõe de cinco blusas e 
quatro saias. De quantos modos distintos 
ela pode se vestir? 
Solução:
5 x 4 = 20 modos distintos!
Técnicas de contagem
2) Quantos números de três algarismos 
distintos (os algarismos não podem se 
repetir.) podem ser formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Solução:
7 x 6 x 5 = 210 números!
Técnicas de contagem
3) Três companhias de ônibus e 2 companhias de 
avião cobrem o percurso entre as cidades A e B. 
De quantos modos diferentes podemos viajar entre 
essas 2 cidades?
Solução:
Observe que neste caso os acontecimentos 
independem um do outro, isto é, viajar de ônibus 
ou de avião é uma opção, não interferindo uma 
ocorrência na outra, o principio fundamental da 
contagem não é válido.
Logo, para irmos de A até B. podemos optar por:
• 3 maneiras, se formos de ônibus;
• 2 maneiras, se formos de avião.
• Assim, há 2 + 3 = 5 maneiras diferentes para irmos 
de A até B.
Técnicas de contagem
4) Quantos anagramas da palavra MITO 
podemos formar. 
Solução:
4x3x2x1= 24
Técnicas de contagem
Exercícios:
5) Emily está fazendo suas malas para as 
férias. Ela tem 8 Ovos Fabergé especiais, 
mas só 3 cabem em sua mala. Quantos 
grupos diferentes de 3 Ovos Fabergé ela 
pode ter?
Solução: 8x7x6 / 3! = 336 / 6 = 56
Técnicas de contagem
Exercícios:
6) Um fabricante de sorvetes possui a 
disposição 7 variedades de frutas 
tropicais do nordeste brasileiro e 
pretende misturá-las duas a duas na 
fabricação de sorvetes. Quantos serão 
os tipos de sorvete disponíveis?
Solução: (7x6/2!)= 21
Técnicas de contagem
Exercícios:
7) De quantas maneiras podemos formar 
um comitê de 1 mulher e 2 homens, de um 
total de 4 mulheres e 6 homens?
Solução: (4/1!) x (6x5/ 2!) = (4) x (30/2) = 60
Probabilidade: Conceitos 
fundamentais
• Experimento aleatório: São todos aqueles 
experimentos que repetidos várias vezes sobcondições semelhantes, apresentam 
resultados imprevisíveis.
Exemplos: 
• Jogar uma moeda honesta.
• Jogar um dado honesto.
• Retirar uma carta de um baralho comum.
Probabilidade: Conceitos 
fundamentais
• Espaço amostral ou conjunto universo (S): 
Corresponde a todos os resultados possíveis 
de um experimento.
Exemplos: 
• Jogar uma moeda: tenho 2 resultados 
possíveis Cara ou Coroa.
• Lançar um dado de 6 lados: tenho 6 
resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Probabilidade: Conceitos 
fundamentais
• Ponto amostral: Corresponde a cada um dos 
resultados dos elementos de S.
Exemplo: 
• Cara é um ponto amostral do lançamento da 
moeda.
Probabilidade: Conceitos 
fundamentais
• Evento: Corresponde a qualquer subconjunto 
do espaço amostral S de um experimento 
aleatório.
Exemplo: No lançamento de um dado de 6 lados.
• A={2,4,5} está contido dentro de S. Logo A é
um evento de S.
• B={1,2,3,4,5,6} trata-se de um evento certo.
• C={3} é um evento unitário.
• D={7} é um evento impossível 
Probabilidade
• Logo, a probabilidade de um evento A é
calculada por:
Nº de resultados que satisfazem o evento AP(A)=
Nº total de resultados possíveis
Probabilidade
• Exemplo: Se lançarmos uma moeda 
honesta. Teremos um número total de 
dois resultados possíveis no espaço 
amostral. Cara ou Coroa. Ou seja: S = 2
(total de possibilidades). Se desejo saber 
a probabilidade de obter Cara, então o 
número de resultados que atende a minha 
necessidade é apenas 1. logo:
• P(Cara)= 1 / 2
Probabilidade
• A probabilidade de qualquer evento A será
representada por um número entre 0 (zero) e 1 
(um).
• A probabilidade representada pelo espaço 
amostral é de 100%. 
• A probabilidade de não ocorrência de um 
evento é 1 (um) menos a probabilidade de sua 
ocorrência.
P(Não ocorrer A) = 1 – P (ocorrer A)
P (ocorrer A) + P(Não ocorrer A) = 1
Probabilidade
• Exemplo: Sabendo que a probabilidade de tirar 
4 em um lançamento de um dado de 6 lados é
de 1/6, qual é a probabilidade de não tirar um 
4?
Solução:
• P(tirar 4)=1/6
• P(não tirar 4) = 1 – P(tirar 4)
• P(não tirar 4) = 1 – 1/6 = 5/6
Eventos Independentes
• Dizemos que dois eventos são 
independentes quando a realização ou a não-
realização de um dos eventos não afeta a 
probabilidade da realização do outro e vice-
versa.
• Exemplo: Ao lançar 2 dados o resultado de um 
não interfere na probabilidade do resultado do 
outro e vice-versa.
• Logo: Se dois eventos são independentes a 
probabilidade de ambos ocorrerem 
simultaneamente é o produto das 
probabilidades de realização de cada evento.
Exemplo:
• Ao lançarmos dois dados honestos de 6 
lados, qual é a probabilidade de obtermos 5 
no primeiro dado e 1 no segundo dado?
Solução:
• P(obter 5) = 1/6
• P(obter 1) = 1/6
• P(obter 5 e 1) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Eventos dependentes
É todo evento que ao ocorrer afeta a 
probabilidade de ocorrência de outro evento.
Como regra geral pode-se dizer que a 
probabilidade conjunta de dois eventos 
dependentes é a probabilidade de um 
multiplicada pela probabilidade condicional do 
outro.
P(A e B) = P(A) x P(B/A) ou P(A e B)= P(B) x P(A/B)
Eventos dependentes
• Exemplo: Suponha que temos 2 urnas 
idênticas, a primeira (1º) com 8 bolas 
vermelhas e 2 bolas verdes. A segunda (2º) 
com 5 bolas vermelhas e 5 bolas verdes.
Qual a probabilidade de extrair uma bola 
vermelha que seja da 1º primeira urna?
P(1º urna e bola vermelha)= P(1º urna) x P( 
bola vermelha | 1º urna)
Eventos dependentes
P(1º urna e bola vermelha)= P(1º urna) x P( 
bola vermelha | 1º urna)
P(1º urna) = 1/2
P( bola vermelha | 1º urna) = 8/10
P(1º urna e bola vermelha)= 1/2 x 8/10 = 2/5
ou
P(1º urna e bola vermelha)= 0,40 � 40%
Eventos mutuamente exclusivos
• Dizemos que dois ou mais eventos são 
mutuamente exclusivos quando a 
realização de um exclui a realização do(s) 
outro(s).
• Exemplo: Ao lançar uma moeda honesta, o 
evento tirar cara exclui a possibilidade de 
tirar coroa. Ou seja ao se realizar um dos 
eventos o outro não se realiza.
Eventos mutuamente exclusivos
• Se dois eventos são mutuamente 
exclusivos, a probabilidade que um ou outro 
se realize é igual a soma das probabilidades 
de que cada um deles se realize.
Eventos mutuamente exclusivos
• Exemplo: Ao lançarmos um dado honesto 
de 6 lados, qual é a probabilidade de tirar 1 
ou 5?
Solução:
• P(tirar 5)=1/6
• P(tirar 1)=1/6
• P(tirar 5 ou 1)= 1/6 +1/6 = 1/3
Eventos que não são 
mutuamente exclusivos
• São eventos onde a ocorrência de um dos 
eventos não exclui a ocorrência do outro 
de tal modo que estes eventos possam 
ocorrer de forma simultânea.
• Neste caso a probabilidade de ocorrência 
de um evento A ou B é igual a:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Exemplo:
• Em um baralho comum de 52 cartas qual é a 
probabilidade de tirar uma carta de ouros ou 
um dez ou ambos?
13
Cartas de ouros Cartas dez
1 4
Carta dez de ouros
Exemplo:
• Em um baralho comum de 52 cartas qual é a 
probabilidade de tirar uma carta de ouros ou 
um dez ou ambos?
P(ouros, dez ou ambos)= 13/52 + 4/52 – (13/52 x 
4/52)
P(ouros, dez ou ambos)= 13/52 + 4/52 – (1/52)
P(ouros, dez ou ambos)= 16/52
Resumo das regras de probabilidade:
• P (A ou B), para eventos mutuamente 
exclusivos:
P(A ou B ocorrerá) = P(A) + P(B)
Para eventos não mutuamente exclusivos:
P(A ou B ou ambos ocorrerem) = P(A) + P(B) 
– P(A e B)
P(A e B), para eventos independentes:
P(A e B) = P(A) x P(B)
Para eventos dependentes:
P(A e B) = P(B)xP(A|B) ou P(A)xP(B|A)
Probabilidade eventos 
independentes
• O capitão Osmar tem um navio, o H.M.S. Khan. O 
navio está a 2 Km de distância da temível pirata 
Stephani e do seu bando de ladrões impiedosos.
O Capitão tem a probabilidade de 2/3 de atingir o 
navio pirata. A pirata só tem um olho bom, 
portanto ela acerta o navio do Capitão com uma 
probabilidade de 1/6.
• Se ambos dispararem seus canhões ao mesmo 
tempo, qual a probabilidade de o Capitão 
atingir o navio pirata, mas a pirata errar?
Solução
P(capitão atingir)=P(CA)=2/3
P(pirata atingir)= P(PA)=1/6
P(capitão atinge e a pirata erra)�P(CA e PE)
Logo:
P(CA e PE)= P(CA) x P(PE)
P(PE)=1-(PA)=1-1/6=5/6 logo:
P(CA e PE)= 2/3 x 5/6 =5/9
Exemplo 2
• Ciro e Júlia estão jogando um jogo em que 
eles lançam uma moeda justa quatro vezes e 
tentam adivinhar os resultados. Usando o 
espaço amostral dos resultados possíveis 
abaixo, responda às seguintes questões. H 
representa cara e T representa coroa.
Exemplo 2
• Qual é P(A), a probabilidade do primeiro 
lance virar cara? P(A) = 8 / 16 = 1 / 2
Exemplo 2
Qual é P(B), a probabilidade do segundo 
lance virar coroa? P(B) = 8 / 16 = 1 / 2
Exemplo 2
Qual é P(A e B), a probabilidade de o 
primeiro lance virar cara e o segundo lance 
virar coroa?
P(A e B) � 4 / 16 = 1/4 ou 1/2 x 1/2 = 1/4
Exemplo 2
Os eventos A e B são independentes?
Para que os eventos A e B sejam independentes:
1º premissa: P(A) = P(A|B) = 1/2
2º premissa: P(B) = P(B|A) = 1/2
3º premissa: P(A e B) = P(A) x P(B) = 1/4
Como obedece as três premissas posso afirmar 
que os eventos são independentes.
Paulo joga dois dados honestos de seis 
lados. O espaço amostral de todos os 
resultados possíveis é mostrado a seguir. 
Considere que A é o evento no qual o 
primeiro dado dá um, e que B é o evento 
no qual a soma dos dados dá oito.
• Qual é P(A ou B), a probabilidade de o 
primeiro dado dar um, ou da soma dos 
dados dar oito?
Solução: O espaço amostral dos 
dados é:
• Primeiro dado dar 
1 ou soma dos 
dados dar 8.
• P(1)=6/36
• P(8)= 5/36 
• P(1e 8) = 0
• P(1 ou 8)�
• P(1)+P(8)- P(1 e 8)
• 6/36+5/36=11/36
Probabilidade em eventos 
compostos
• Justino mora em São Paulo e estuda em 
Campinas. De manhã, ele tem 3 opções 
de transporte (ônibus, táxi ou trem) para ir 
para a escola, e à noite, ele tem as 
mesmas 3 opções para voltar para casa.
• Se Justino escolher aleatoriamente seu 
transporte de manhã e à noite, qual é a 
probabilidade de que ele use tanto o 
ônibus quanto o trem?
Solução
Prob. = Combin. favoráveis / total de combin. possíveis
Ônibus; Táxi, Trem � total de opções três, logo:
3 manhã e 3 noite = 3 x 3= 9 (nove combinações possíveis) 
todas com a mesma probabilidade de ocorrer.
Em verde estão os 2 resultados favoráveis.
Prob. Justino usar ônibus e trem é = 2 / 9
Probabilidade em eventos 
compostos
• Se você jogar três moedas justas, qual 
é a probabilidade de tirar cara nas duas 
primeiras jogadas e coroa na última?
Probabilidade = resultados favoráveis 
resultados possíveis
Total de resultados possíveis � 2 x 2 x 2 = 8
Probabilidade em eventos compostos
Probabilidade = 8
1
Probabilidade e o Diagrama de Venn
Uma academia local oferece, para seus membros, 
a oportunidade de escolher entre duas aulas de 
fitness: levantamento de peso e Pilates. 
Dos 350 membros da academia, 175 fazem 
levantamento de peso regularmente, 200 fazem 
Pilates regularmente, e 100 fazem levantamento 
de peso e Pilates regularmente. Usando essas 
informações, responda a cada pergunta a seguir.
Considere que W é o evento no qual um membro 
da academia selecionado aleatoriamente faz 
levantamento de peso, e que P é o evento no qual 
um membro da academia selecionado 
aleatoriamente faz Pilates regularmente.
Probabilidade e o Diagrama de Venn
• Qual é P(W), a probabilidade de um membro 
da academia fazer levantamento de peso?
• Qual é P(P), a probabilidade de um membro 
da academia fazer Pilates?
• Qual é P(W e P), a probabilidade de um 
membro da academia fazer levantamento de 
peso e Pilates?
• Qual é P(W ou P), a probabilidade de um 
membro da academia fazer levantamento de 
peso ou Pilates?
P(W)= 175 / 350 = 1/2
P(P) = 200 / 350 = 4/7
P(W e P) = 100 / 350 = 2/7
175
W P
100 200
P(W ou P) = P(W)+P(P) – P(W e P)
P(W ou P) = 1/2 + 4/7 – 2/7 = 11/14 
Probabilidade de Eventos dependentes
Em um curso existem 7 estudantes 2 deles 
são gênios. Se o professor escolher 2 
estudantes aleatoriamente qual é a 
probabilidade de nenhum deles ser gênio?
Solução: Fazendo a 1º escolha teremos: 5 que 
não são gênios de um total de 7 logo:5/7 
2º escolha não escolher um gênio também, mas 
como já fiz uma escolha teremos: 4/6 logo não 
escolher gênio na 1º e na 2º escolha:
5/7 x 4/6 = 20/42 = 10/21
Probabilidade de Eventos dependentes
R$ 0,35 para jogar
2 bolas Verdes ganha R$ 1,00
P (1º Verde) = 3 / 5
P (1º V e 2º V) = P(1ºV) x P(2ºV | 1ºV)
P (1º V e 2º V) = 3 / 5 x 2 / 4 = 3 / 10
Depende da 
1º escolha
30 % chance
Dado que
Probabilidade de Eventos dependentes
R$ 0,35 para jogar
2 bolas Verdes ganha R$ 1,00
Esp.= 30 % x R$1,00= R$ 0,30
Você jogaria este jogo ? 
Para responder preciso fazer o cálculo da 
Esperança matemática: produto da 
probabilidade de ganhar vezes o retorno 
em dinheiro.Como tenho 30% de chance de 
ganhar
Teorema de Bayes
• Probabilidade de ocorrência de um resultado 
amostral, por exemplo E2, como resultado de 
um particular estado natural, digamos S1, 
pode ser calculado como segue:
Teorema de Bayes
Existem 4 urnas com bolas coloridas, 
contendo 10 bolas cada uma. A tabela 
abaixo indica a distribuição das bolas em 
cada urna.
Escolheu-se arbitrariamente uma das urnas 
e extraiu-se uma bola. Se a bola é vermelha, 
qual é a probabilidade de ter sido extraída da 
urna B
Teorema de Bayes
Solução:
15
6
00,0
4
180,0
4
160,0
4
110,0
4
1
60,0
4
1
)/( =
×+×+×+×
×
=vermelhaurnaBP