Visualização 3D: Pipeline de Transformação

Prévia do material em texto

Visualização Tridimensional 
 
Profa.: Regina Célia Coelho 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Introdução 
Ø  Embora existam vários dispositivos 3D, muitos computadores que 
visualizam superfícies são 2D. 
Ø  Assim, um pipeline tridimensional deve conter requisitos para 
converter uma cena tridimensional para uma projeção 
bidimensional. 
Ø  Consideremos a transformação em 2 partes: 
ü  Transformação que converte o sistema de coordenadas do mundo 
(SCM) para o sistema de coordenadas de visualização (SCV). A 
origem do SCM é conhecido como ponto de visão ou ponto de 
referência da visão (posição do olho do observador ou posição da 
câmara). 
ü  Transformação que projeta os pontos 3D do espaço de visualização 
no plano de visualização 2D. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização 
Câmera Computador 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização 
Ø  O observador em um ponto de observação vê a cena através 
de lentes da câmera que pode ser posicionada de forma a 
obter a imagem. 
Ø  Fotógrafo: define a posição da câmera, sua orientação e 
ponto focal. 
Ø  Fotografia: projeção da cena em um plano 2D (o filme da 
câmera). A cena é cortada para o tamanho da 
“janela” (abertura) da máquina e a luz da superfície visível é 
projetada no filme. 
Ø  No monitor teremos uma projeção 2D da imagem dependente 
de vários fatores como: posição da câmera, orientação, ponto 
focal, tipo de projeção e planos de recorte. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização 
Ø No caso 3D, o pipeline requer: 
ü  A definição de um volume de interesse na cena 3D (sist. 
de coordenadas do mundo). 
ü O mapeamento de seu conteúdo para o sistema de 
coordenadas de visualização (transformação de 
visualização). 
ü A projeção do conteúdo do volume de interesse em um 
plano (transformação de projeção). 
ü Mapeamento da janela resultante na viewport normalizada 
e depois para coordenadas do dispositivo. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização – Analogia com a 
Câmera 
Ø  Imaginamos um observador que vê a cena através das lentes 
de uma câmera virtual: 
ü  “fotógrafo” pode definir a posição da câmera, sua orientação e ponto 
focal, abertura da lente...; 
ü  câmera real obtém uma projeção de parte da cena em um plano de 
imagem 2D (o filme). 
Ø  Analogamente, a imagem obtida da cena sintética depende de 
vários parâmetros que determinam como esta é projetada 
para formar a imagem 2D no monitor: 
ü  posição da câmera, orientação e ponto focal, tipo de projeção, posição 
dos “planos de recorte” (clipping planes), ... 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização – Analogia com a 
Câmera 
Ø  Três parâmetros definem a câmera: 
ü  Posição; 
ü  Ponto focal; 
ü  Orientação: controlada pela posição, ponto focal, e um vetor 
denominado view up. 
Ø  Parâmetros adicionais: 
ü  Direção de projeção: vetor que vai da posição da câmera ao ponto 
focal; 
ü  Plano da imagem: plano no qual a cena será projetada, contém o ponto 
focal e, tipicamente, é perpendicular ao vetor direção de projeção. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização – Analogia com a 
Câmera 
Ø  Posição e ponto focal: definem onde a câmera está e para 
onde está apontando. 
Ø  Direção de projeção: vetor que vai da posição da câmera ao 
ponto focal. 
Ø  Plano de projeção: onde 
será projetada a cena 
(posicionado no ponto 
focal e perpendicular ao 
ve to r de d i reção de 
projeção). 
 
Fonte Figura: Schröeder, The Visualization Toolkit, 1998 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Planos de recorte anterior e 
posterior (interceptam o vetor 
d e p r o j e ç ã o e s ã o 
perpendiculares a ele): usados 
para eliminar atores que 
estão muito próximos ou 
muito distantes da câmera, 
de forma que apenas os 
atores que estão na área 
englobada pelos planos de 
recorte sejam potencialmente 
visíveis. 
Pipeline de Visualização – Analogia com a 
Câmera 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização - Diferentes Visões 
Ø  Para obter uma série de visões de uma cena mantém-se o 
ponto de referência e modifica-se a direção do vetor de 
direção N (vetor perpendicular ao plano de visualização). 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização 
Ø O pipeline requer a transformação da cena 
especificada no Sistema de Coordenadas do 
Mundo (SCM) para o Sistema de Coordenadas de 
Visualização (SCV). 
ü O SCV descreve a cena como vista pela câmera. 
ü O primeiro passo nesse processo consiste em 
especificar o SCV. Como? 
! Necessário especificar origem e os três eixos de referência. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Ø Especificação do plano de projeção ou visualização 
(perpendicular a zv). Ele fará o papel do filme da 
câmera. 
Ø Origem do sistema: 
ü  Define-se o ponto de referência de visualização (origem do 
SCV). Pode ser pensado como sendo a posição da câmera 
(VRP: View Reference Point). 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Ø Associados à câmera: 
ü  Vetor direção de projeção (N), que dá a direção do ponto 
focal (posição positiva de zv e vetor normal ao plano de 
visualização), e vetor view-up (V), que indica o ‘lado de 
cima’ da câmera (ambos devem ser perpendiculares entre 
si!); 
ü  Plano de imagem. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Eixos: 
ü  eixo z associado ao vetor direção de projeção, eixo y associado ao 
vetor view-up, eixo x. 
Ø  Define-se a direção positiva de yv (vetor V). Este vetor é 
conhecido como view-up e deve ser perpendicular a N. 
Normalmente ele é definido em qualquer ângulo e o pacote 
gráfico é que o torna perpendicular. 
Ø  A partir de N e V, calcula-se U (eixo xv). 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Temos 2 espaços vetoriais (sistemas de coordenadas) 
definidos por duas bases: 
ü  SCM, espaço xm, ym, zm (i, j, k) 
ü  SCV, espaço xv, yv, zv (u, v, n) 
Ø  Queremos, inicialmente, coincidir as origens. Isso se faz 
transladando o ponto de referência de visualização para a 
origem do sistema de coordenadas do mundo. 
Ø  Aplica-se rotações para alinhar xv, yv, zv e xm, ym, zm. 
 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Sendo o ponto de referência (x0, y0,z0): 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1000
100
010
001
0
0
0
z
y
x
T
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Dependendo da direção escolhida para N, serão 
necessárias rotações nos 3 eixos de coordenadas do 
mundo (se N não estiver alinhado a nenhum eixo). 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Isto significa: 
ü  rotacionar ao redor do eixo xm trazendo zv no plano xmzm 
ü  rotacionar ao redor do eixo ym alinhando zm e zv 
ü  rotacionar sobre o eixo zm para alinhar os eixos ym e yv 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Outra forma de gerar a matriz que descreve as 
rotações necessárias é definir os vetores unitários u, 
v e n do sistema de coordenadas domundo e formar 
a matriz de composição diretamente, uma vez que 
tais vetores são ortogonais entre si. 
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Dados 2 vetores N e V (não necessariamente 
perpendiculares), os vetores unitários que definem o 
sistema de coordenadas são: 
),,(
N
Nn 321 nnn==
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Dados 2 vetores N e V (não necessariamente 
perpendiculares), os vetores unitários que definem o 
sistema de coordenadas são: 
),,(
N
Nn 321 nnn==
),,(
NV
NVu 321 uuu=×
×
=
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Dados 2 vetores N e V (não necessariamente 
perpendiculares), os vetores unitários que definem o 
sistema de coordenadas são: 
),,(
N
Nn 321 nnn==
),,(
NV
NVu 321 uuu=×
×
=
),,(unv 321 vvv=×=
Pipeline de Visualização - Especificação do 
SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Este método ajusta automaticamente a direção de V 
de forma que v seja perpendicular a n. 
Pipeline de Visualização – Conversão SCM 
è SCV 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø  Considerando que R= MT, em que M é a matriz de definição dos vetores 
SRV em termos dos vetores SCM, a matriz de projeção para a 
transformação de visualização é: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1000
100
010
001
0
0
0
z
y
x
T
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
0
0
0
zzz
yyy
xxx
nvu
nvu
nvu
R
Pipeline de Visualização – Conversão SCM 
è SCV 
MCM,CV = R.T
M =
ux uy uz 0
vx vy vz 0
nx ny nz 0
0 0 0 1
!
"
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
=
ux vx nx −x0
uy vy ny −y0
uz vz nz −z0
0 0 0 1
"
#
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Manipulação da Câmera 
Ø  Azimuth (azimute): rotaciona a posição 
da câmera ao redor do seu vetor view 
up, com centro no ponto focal (rotação 
em -y). 
Ø  Elevation (elevação): rotaciona a 
posição ao redor do vetor dado pelo 
produto vetorial entre os vetores view up 
e direção de projeção, com centro no 
ponto focal (rotação em x); 
Ø  Roll (Twist) (ângulo de torção): 
rotaciona o vetor view up em torno do 
vetor normal ao plano de projeção 
(rotação em z). 
 
Fonte Figura: Schröeder, The Visualization Toolkit, 1998 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Manipulação do Objeto 
Ø  Yaw: rotaciona o ponto focal em torno do vetor view up, com centro na 
posição da câmera (rotação em y); 
Ø  Pitch: rotaciona o ponto focal ao redor do vetor dado pelo produto 
vetorial entre o vetor view up e o vetor direção de projeção, com centro 
na posição da câmera (rotação em x); 
Ø  Roll: move a posição ao longo da direção de projeção (rotação em z); 
Ø  Zoom (in, out): altera o ângulo de visão, de modo que uma região maior 
ou menor da cena fique potencialmente visível. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
!  Não, o objeto 1 não está no volume de 
visualização. 
ü  É suficiente, para a determinação das 
faces visíveis, realizar o recorte contra o 
volume de visualização. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
!  Não, o objeto 1 não está no volume de 
visualização. 
ü  É suficiente, para a determinação das 
faces visíveis, realizar o recorte contra o 
volume de visualização. 
!  Não, é necessário também utilizar algoritmos de 
remoção de superfícies não visíveis 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
!  Não, o objeto 1 não está no volume de 
visualização. 
ü  É suficiente, para a determinação das 
faces visíveis, realizar o recorte contra o 
volume de visualização. 
!  Não, é necessário também utilizar algoritmos de 
remoção de superfícies não visíveis. 
ü  A remoção de faces traseiras utiliza 
informação de posição e orientação do 
observador. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
!  Não, o objeto 1 não está no volume de 
visualização. 
ü  É suficiente, para a determinação das 
faces visíveis, realizar o recorte contra o 
volume de visualização. 
!  Não, é necessário também utilizar algoritmos de 
remoção de superfícies não visíveis 
ü  A remoção de faces traseiras utiliza 
informação de posição e orientação do 
observador. 
!  Correto!! 
ü  O processo de visualização garante que os objetos (2) e (3) seja totalmente 
visíveis na imagem final. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø  Observe os 3 objetos na cena e responda quais questões 
abaixo são verdadeiras. Justifique sua resposta. 
ü  Todos os objetos são visíveis. 
!  Não, o objeto 1 não está no volume de 
visualização. 
ü  É suficiente, para a determinação das 
faces visíveis, realizar o recorte contra o 
volume de visualização. 
!  Não, é necessário também utilizar algoritmos de 
remoção de superfícies não visíveis 
ü  A remoção de faces traseiras utiliza 
informação de posição e orientação do 
observador. 
!  Correto!! 
ü  O processo de visualização garante que os objetos (2) e (3) seja totalmente 
visíveis na imagem final. 
!  O objeto (3) está cortado, portanto não será totalmente visível. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções 
Ø  Transformam pontos em um sistema de coordenadas de 
n dimensões em um sistema de coordenadas de 
dimensão menor que n. 
Ø  É o último passo na visualização. 
Ø  Dois métodos básicos: 
ü  Projeção paralela: mapeamento paralelo 
ü  todos os raios de luz são paralelos ao vetor de projeção. 
ü  Projeção perspectiva: todos os raios convergem para um ponto 
comum (ponto de observação ou centro da projeção). 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções 
Ø  A visualização projetada de um objeto é determinada 
calculando a interseção das linhas de projeção com o plano 
de visão. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Preserva as proporções do objeto. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Preserva as proporções do objeto. 
Ø  Usado para produzir escalas de desenhos de objetos 3D, 
uma vez que são obtidas visões precisas de todos os 
lados do objeto. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Preserva as proporções do objeto. 
Ø  Usado para produzir escalas de desenhos de objetos 3D, 
uma vez que são obtidas visões precisas de todos os 
lados do objeto. 
Ø  Não é uma representação realista. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Preserva as proporçõesdo objeto. 
Ø  Usado para produzir escalas de desenhos de objetos 3D, 
uma vez que são obtidas visões precisas de todos os 
lados do objeto. 
Ø  Não é uma representação realista. 
Ø  Pode ser especificada com um vetor de projeção Vp que 
define a direção das linhas de projeção e o plano de 
projeção. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Preserva as proporções do objeto. 
Ø  Usado para produzir escalas de desenhos de objetos 3D, 
uma vez que são obtidas visões precisas de todos os 
lados do objeto. 
Ø  Não é uma representação realista 
Ø  Pode ser especificada com um vetor de projeção Vp que 
define a direção das linhas de projeção e o plano de 
projeção. 
Ø  Plano de projeção é definido pelo seu ponto de referência 
R0 e pela normal ao plano de projeção N. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Vp perpendicular ao plano de visualização (paralelo a 
N): projeção paralela ortogonal (ou simplesmente 
ortogonal). 
Ø  Caso contrário: projeção paralela oblíqua (ou 
simplesmente oblíqua). 
Vp 
Projeção ortogonal 
Vp 
Projeção oblíqua 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  Quando a direção de projeção é paralela a algum dos eixos 
principais, podemos observar as vistas frontal, posterior, 
superior, inferior, lateral direita e lateral esquerda. São 
importantes em desenhos de mecânica, engenharia e 
arquitetura (como, por exemplo, partes de máquinas e prédios) 
em que as distâncias e os ângulos podem ser medidos a partir 
deles. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø  As equações de transformação para uma projeção 
ortogonal quando a direção de projeção é paralela a 
algum dos eixos principais são simples e diretas. Dado P 
= (x, y, z): 
ü  o ponto projetado em XY é (x, y, 0); 
ü  o ponto projetado em XZ é (x, 0, z); 
ü  o ponto projetado em ZY é (0, y, z). 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø Se o plano de projeção é paralelo ao plano xy, 
basta desprezarmos o valor de z (z é usado para 
informações de profundidade). 
Ø Em coordenadas homogêneas teremos: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
0000
0010
0001
paralelaM
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Paralela 
Ø Duas grandes vantagens de se utilizar este tipo de 
projeção são: 
ü  não há alteração nas medidas do objeto; 
ü  simplicidade de construção (basta omitir uma das 
componentes de cada ponto). 
Ø  Sua maior desvantagem é que a reconstrução mental de 
um objeto a partir da visualização das três visões 
ortogonais é muito difícil. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Axonométrica 
Ø  Se a direção de projeção não é paralela a nenhum dos 
três eixos principais, a projeção é chamada axonométrica. 
Nesse caso, o plano de projeção não é ortogonal a algum 
eixo principal do sistema de coordenadas. 
Ø  Retas paralelas são projetadas em retas paralelas, mas 
os ângulos não são preservados. 
Ø  São usadas para dar a sensação 3D a partir da projeção 
paralela. 
Ø  Mostra mais de uma face do objeto. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Axonométrica 
Ø É preservado o paralelismo entre as linhas de projeção. 
Ø Há 3 tipos de projeções axonométricas: 
ü  Isométrica: os 3 eixos apresentarão a mesma mudança de escala de 
forma que, para a projeção do cubo, os lados continuarão a 
apresentar a mesma medida quando projetado. 
ü  Dimétrica: dois eixos sofrem as mesmas mudanças de escala, 
portanto, dois eixos são proporcionais em relação às medidas 
originais. 
ü  Trimétrica: cada eixo terá uma transformação de escala própria; gera 
uma distorção para cada face. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção 
Axonométrica 
Isométrica: 
Os 3 eixos 
apresentam o 
mesmo ângulo 
entre si (o mais 
comum é 1200) 
Dimétrica: 
Os ângulos entre yz 
e yx são iguais, mas 
entre xz é diferente 
(os mais comuns 
são 1000, 1000 e 
1600,) 
Trimétrica 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Falha de Projeção Isométrica 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø  Oblíqua: direção de projeção não é a mesma direção da 
normal ao plano de projeção. 
Ø  Permite a vista de mais de um lado do objeto. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø  Na projeção oblíqua, o plano de 
projeção paralelo a uma das faces do 
objeto é conservado, porém, as linhas 
de projeção tornam-se oblíquas em 
relação ao mesmo. 
Ø  Aqui, a face paralela ao plano de 
projeção é idêntica à de uma projeção 
ortogonal, ou seja, cada unidade em X 
ou Y sobre o objeto também será uma 
unidade na projeção. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø Nas demais faces visíveis, a cada unidade que é deslocada 
em Z sobre a projeção, desloca-se ℓ*cos(θ) na horizontal e 
ℓ*sen(θ) na vertical, sendo ℓ um fator que indica se a 
sensação de profundidade será ou não acentuada e θ é a 
inclinação das linhas de projeção em relação ao plano de 
projeção: 
 xp = x + z* ℓ*cos(θ) 
 yp = y + z* ℓ*sen(θ) 
sendo ℓ = cotg(α) 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø  Seja (x,y) as coordenadas da projeção ortogonal, (x,y,z) as 
coordenadas do ponto a ser projetado e (xp,yp) as coordenadas 
projetadas em projeção oblíqua. A linha de projeção oblíqua 
(x,y,z) para (xp,yp) faz um ângulo a com a linha no plano de 
projeção que (xp,yp) une a (x,y) . Esta linha de tamanho L forma 
um ângulo θ com a direção horizontal no plano de projeção. 
)cos(*Lxx
L
xx
)cos( p
p θθ +=⇒
−
=
)sen(*Lyy
L
yy
)sen( p
p θθ +=⇒
−
=
θ 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø  Seja (x,y) as coordenadas da projeção ortogonal, (x,y,z) as 
coordenadas do ponto a ser projetado e (xp,yp) as coordenadas 
projetadas em projeção oblíqua. A linha de projeção oblíqua 
(x,y,z) para (xp,yp) faz um ângulo a com a linha no plano de 
projeção que (xp,yp) une a (x,y) . Esta linha de tamanho L forma 
um ângulo θ com a direção horizontal no plano de projeção. 
)cos(*Lxx
L
xx
)cos( p
p θθ +=⇒
−
=
)sen(*Lyy
L
yy
)sen( p
p θθ +=⇒
−
=
)(
)(
α
α
tg
zL
L
ztg =⇒=
O tamanho L pode ser calculado como: 
θ 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
sendo cotg(α) ℓ*zL = ==
)(
1
αtg
ℓ
)(
)(
α
α
tg
zL
L
ztg =⇒=
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
)(
)(
α
α
tg
zL
L
ztg =⇒=
sendo cotg(α) ℓ*zL = ==
)(
1
αtg
ℓ
Equações da projeção oblíqua : 
xp = x + z*ℓ*cos(θ) 
 
 yp = y + z*ℓ*sen(θ) 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Oblíqua 
Ø  Matriz de transformação: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
0000
010
001
)(sin
)cos(
M paralela
θ
θ
ℓ
ℓ
Ø Uma projeção ortogonal é obtida com ℓ=0 (o que ocorre em 
uma projeção com ângulo α=0) . 
Ø Projeções oblíquas são geradas para valores de ℓ diferentes 
de zero. 
 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeção Cavaleira 
Ø Escolhas comuns para θ são 300 e 450, que 
mostra uma combinação da visão frontal, 
lateral e superior (ou frontal, lateral e inferior) 
de um objeto. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica –Visualização 3D 
Projeção Cavaleira 
Ø  Quando α = 45º (ℓ = 1), obtém-se a projeção cavaleira 
(cavalier). Este tipo de projeção cria uma sensação de 
profundidade exagerada, porém é bastante utilizada 
porque as medidas de todas as arestas são mantidas, 
facilitando as medições sobre o desenho. 
θ θ 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Cabinet 
Ø  Quando ℓ = ¹/² (α ≅ 63,43º), obtém-se a projeção 
cabinet. Esta oferece uma redução na disposição 
causada pela projeção cavaleira na ordem de 50%, 
sendo, portanto, mais realista. 
θ θ 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Comparação entre projeção 
Ortogonal e Oblíqua 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Paralelas 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Produz visualizações realistas 
Ø  Não preserva as proporções relativas: projeções de objetos 
distantes são menores que as projeções de objetos do mesmo 
tamanho que estejam mais próximos do plano de projeção. 
Este efeito habilita os seres humanos a perceber 
profundidade. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Perspectiva: 
ü  O observador coloca-se no centro de projeção e o plano que 
deve conter o objeto projetado é o plano de projeção; 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Perspectiva: 
ü  O observador coloca-se no centro de projeção e o plano que 
deve conter o objeto projetado é o plano de projeção; 
ü  Dois segmento de reta que saem do centro de projeção e atingem 
o objeto no plano de projeção são chamados de projetantes ou 
projetores; 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Perspectiva: 
ü  O observador coloca-se no centro de projeção e o plano que 
deve conter o objeto projetado é o plano de projeção; 
ü  Dois segmento de reta que saem do centro de projeção e atingem 
o objeto no plano de projeção são chamados de projetantes ou 
projetores; 
ü  Desenhos em perspectiva caracterizam-se pelo encurtamento 
perspectivo (ilusão de que os objetos são 
 cada vez menores à medida que se 
 distanciam do centro de projeção) e pelos 
 pontos de fuga; 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
ü  As projeções perspectivas de qualquer conjunto de linhas 
que não são paralelas ao plano de projeção convergem para 
um ponto de fuga; 
 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
ü  As projeções perspectivas de qualquer conjunto de linhas 
que não são paralelas ao plano de projeção convergem para 
um ponto de fuga; 
ü  Pontos de fugas: quando dá-se a aparência de haver uma 
interseção entre um conjunto de retas paralelas com um dos eixos 
principais X, Y ou Z; 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
ü  O No de pontos de fuga é determinado pelo No de eixos principais 
intersectados pelo plano de projeção. Por exemplo, se o plano de 
projeção intercepta apenas os eixo z (então é perpendicular ao eixo 
z), somente o eixo z possui um ponto de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
ü  2 pontos de fuga (quando 2 eixos são interceptados pelo 
plano de projeção) são mais comuns em arquitetura, 
engenharia, desenho publicitário e projeto industrial. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções 
Perspectiva 
Exemplo de projeção perspectiva 
com 2 pontos de fuga. 
(fonte: http://www-usr.inf.ufsm.br/~pozzer/
disciplinas/cg_8_3d.pdf) 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
ü  3 pontos de fuga são bem menos utilizados, pois adicionam 
muito pouco realismo e o custo de implementação é bem 
maior. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Exemplo de projeção perspectiva com 1, 2 e 3 pontos 
de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Exemplos: 
ü  Trinity with the Virgin, St. John and 
Donors) feita em perspectiva por 
Masaccio, em 1425. Traça com um 
ponto de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Exemplos: 
ü  The Piazza fo St. Mark, Venice – feita em perspectiva por 
Canaletto, em 1735-45. Traça com um ponto de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Exemplos: 
ü  The Mansard Roof – 1923 – por Edward Hopper com dois 
pontos de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções Perspectiva 
Ø  Exemplos: 
ü  City Night– 1926 – por Georgia 
O`Keepe, com, aproximadamente, 
três pontos de fuga. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
   Suponha que o centro de projeção está no eixo Z (zprp) e que o 
plano de projeção seja normal ao eixo Z (posicionada em zvp). 
Precisamos determinar (xp,yp,zp). 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Equações que descrevem as coordenadas (xp,yp,zp) de 
qualquer ponto ao longo da linha de projeção perspectiva: 
   xp = x - xu 
   yp = y - yu 
   zp = z - (z - zprp)u 
u recebe valores entre 0 e 1 
(u=0, estamos em (x,y,z) e u=1 
estamos em (0,0, zprp)). 
 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Equações que descrevem as coordenadas (xp,yp,zp) de 
qualquer ponto ao longo da linha de projeção perspectiva: 
   xp = x - xu 
   yp = y - yu 
   zp = z - (z - zprp)u 
u recebe valores entre 0 e 1 
(u=0, estamos em (x,y,z) e u=1 
estamos em (0,0, zprp)). 
Ø No plano de visão temos zp= 
zvp 
 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
u recebe valores entre 0 e 1 
(u=0, estamos em (x,y,z) e u=1 
estamos em (0,0, zprp)). 
Ø No plano de visão temos zp= 
zvp. 
Ø Assim: . 
 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Equações que descrevem as coordenadas (xp,yp,zp) de 
qualquer ponto ao longo da linha de projeção perspectiva: 
   xp = x - xu 
   yp = y - yu 
   zp = z - (z - zprp)u 
zz
zz
prp
vpu −
−
=
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Substituindo u para xp e yp teremos: 
 
   com dp = zprp-zvp (distância do plano de visão ao ponto de 
referência da projeção) 
zz
zz
prp
vpu −
−
=
( ) ( )zz dzz zzp prppprp vpprp xxx −−− ==
( ) ( )zz dzz zzp prppprp vpprp yyy −−− ==
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Em coordenadas homogêneas teremos: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∗
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
100
)(00
0010
0001
1
z
y
x
z
h
z
y
x
p
prp
p
p
prp
p
vp
d
z
d
d
z
vpd
z
h
h
h
sendo que o fator homogêneo h aqui é: 
p
prp
d
zzh −=
e as coordenadas do ponto projetado são obtidas dividindo-
se por h as coordenadas homogêneas: 
h
x
p
hx = hyp hy =
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Desenvolvimento matemático 
Ø  Em alguns pacotes gráficos é assumido que o centro 
de projeção coincide com a origem do sistema de 
coordenadas de visualização, i.e., nesse caso zprp= 
0. 
Ø  Assim: 
pd
zh −=
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Algumas Anomalias 
Ø Encurtamento Perspectivo: no ex., o objeto A é bem 
maior que o B, mas na projeção aparecerão do mesmo 
tamanho 
Ø  Pontos de fuga: projeções de retas não paralelas ao 
plano de projeção, provocam a ilusão de que se 
interceptam num ponto do horizonte. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Algumas Anomalias 
Ø Confusão visual: objetos situados atrás do centro 
de projeção serão projetados no plano de 
visualização de cima para baixo e de trás para 
frente. 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Projeções 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Ø Projeção perspectiva 
ü  Tamanho varia inversamente com distância: aparência 
realística 
ü  Distâncias e ângulos não são preservados 
ü  Linhas paralelas não são preservadas 
Ø Projeção paralela 
ü  Boa para medidas exatas 
ü  Linhas paralelas são preservadas 
ü  Ângulos são preservados 
ü  Aparência menos realística 
Projeções 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Referências 
Ø Slides 
ü Profa. Maria Cristina – ICMC/USP 
Ø Livros 
ü Cap. 7 Hearn & Baker 
ü Cap. 2 Conci e Azevedo 
Regina Célia Coelho Computação Gráfica – Visualização 3D 
Exercício 
Ø As duas figuras abaixo são projeções do mesmo 
cubo no mesmo plano. Qual projeção é utilizada 
em cada figura? Explique.