03- Corpos Rígidos

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Estática – Corpos Rígidos
Introdução
Nem sempre é possível tratar um corpo como uma única partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplicação específicos de cada uma das forças que nele atuam devem ser considerados.
Supõe-se que a maioria dos corpos considerados em mecânica elementar são rígidos, isto é, as deformações reais são pequenas e não afetam as condições de equilíbrio ou de movimento do corpo.
Qualquer sistema de forças atuando em um corpo rígido pode ser substituído por um sistema equivalente composto por uma única força atuando em um dado ponto e um binário.
Forças Externas e Forças Internas
Forças externas são mostradas em um diagrama de corpo livre.
Se não for contrabalanceada, cada uma das forças externas pode imprimir ao corpo rígido um movimento de translação ou de rotação, ou ambos.
Forças Externas e Forças Internas
Princípio da Transmissibilidade - As condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo não se modificam ao se transmitir a ação de uma força ao longo de sua linha de ação.
Forças Externas e Forças Internas
O princípio da transmissibilidade nem sempre pode ser aplicado na determinação de forças internas e deformações.
Produto Vetorial de Dois Vetores
O conceito de momento de uma força em relação a um ponto é mais facilmente entendido por meio das aplicações do produto vetorial.
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Produto Vetorial de Dois Vetores
O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido como o vetor V que satisfaz às seguintes condições:
A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém P e Q.
A intensidade de V é
A direção e o sentido de V são obtidos pela regra da mão direita.
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Produto Vetorial de Dois Vetores
Produtos vetorias:
não são comutativos,
são distributivos,
não são associativos,
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Produto Vetorial: Componentes Retangulares
Produtos vetoriais de vetores unitários:
Produto Vetorial: Componentes Retangulares
Produto vetorial em termos de componentes retangulares:
Momento de uma força em Relação a um Ponto
Uma força é representada por um vetor que define sua intensidade, sua direção e seu sentido. Seu efeito em um corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação.
O momento de uma força F em relação a um ponto O é definido como
O vetor momento MO é perpendicular ao plano que contém o ponto O e a força F.
Momento de uma força em Relação a um Ponto
A intensidade de MO expressa a tendência da força de causar rotação em torno de um eixo dirigido ao longo de MO.
	O sentido do momento pode ser determinado pela regra da mão direita.
Momento de uma força em Relação a um Ponto
Estruturas bidimensionais têm comprimento e largura, mas profundidade desprezível e estão sujeitas a forças contidas no plano da estrutura.
O plano da estrutura contém o ponto O e a força F. MO, o momento da força em relação a O, é perpendicular ao plano.
Teorema de Varignon
O momento em relação a um dado ponto O da resultante de diversas forças concorrentes é igual à soma dos momentos das várias forças em relação ao mesmo ponto O.
Componentes Retangulares do Momento de uma Força
O momento de F em relação a O,
Componentes Retangulares do Momento de uma Força
Momento de F em relação a B:
Exemplo
Tração no fio = 200N
Momento em relação a A da força exercida pelo fio em C
Produto Escalar de Dois Vetores
O conceito de momento de uma força em relação a um eixo é mais facilmente entendido por meio das aplicações do produto escalar.
Produto Escalar de Dois Vetores
O produto escalar de dois vetores P e Q é definido como
Produtos escalares:
são comutativos,
são distributivos,
não são associativos,
Produtos escalares em termos de componentes cartesianas:
Produto Escalar de Dois Vetores - Aplicações
Ângulo entre dois vetores:
Produto Escalar de Dois Vetores - Aplicações
Projeção de um vetor sobre um dado eixo:
Produto Triplo Misto de Três Vetores
Produto triplo misto de três vetores:
Os seis produtos triplos mistos que podem ser formados com S, P e Q têm o mesmo valor absoluto, mas não necessariamente o mesmo sinal,
Produto Triplo Misto de Três Vetores
Analisando o produto triplo misto tem-se,
Momento de uma Força em Relação a um Eixo
Momento MO de uma força F aplicada no ponto A em relação a um ponto O:
O momento MOL em relação a um eixo OL é a projeção do momento MO sobre esse eixo, ou seja,
Momento de uma Força em Relação a um Eixo
Momento de uma força em relação a um eixo arbitrário:
O resultado é independente do ponto B escolhido sobre o eixo dado.
Exemplo
em relação a A
em relação à aresta AB
em relação à diagonal AG do cubo.
Determine a distância perpendicular entre AG e FC.
Um cubo sofre a ação de uma força P conforme mostrado. Determine o momento de P:
Momento de um Binário
Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário.
Momento do binário:
Momento de um Binário
O vetor que representa o momento do binário é independente da escolha da origem dos eixos coordenados, isto é, trata-se de um vetor livre que pode ser aplicado a qualquer ponto produzindo o mesmo efeito
Momento de um Binário
Dois binários terão momentos iguais se
 
os dois binários estiverem em planos paralelos, e
os dois binários tiverem o mesmo sentido ou a tendência de causar rotação na mesma direção.
Adição de Binários
Considere dois planos P1 e P2 que se interceptam, cada um contendo um binário.
As resultantes dos vetores também formam um binário.
Pelo teorema de Varignon,
Binário Representado por Vetor
Substituição de uma dada Força por uma Força em O e um Binário
Substituição de uma dada Força por uma Força em O e um Binário
Para mover a força F de A para um ponto diferente O’ deve-se aplicar naquele ponto um vetor binário diferente MO’
Exemplo
Determine os componentes do binário único equivalente aos dois binários mostrados.
Exemplo - Resolução 1
Exemplo - Resolução 2
Alternativamente, calculamos a soma dos momentos das quatro forças em relação a D.
Sistema de Forças: Redução a uma Força e um Binário
As forças e os vetores binários podem ser substituídos por uma força resultante e um vetor binário resultante,
Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem ser reduzidos a um mesmo sistema força-binário.
Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças
O sistema de forças coplanares é reduzido a um sistema força-binário que consiste em , que são mutuamente perpendiculares.
Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças
O sistema pode ser reduzido a uma única força movendo-se a linha de ação de até que seu momento em relação a O se torne .
Exemplo
Para a viga acima, reduza o sistema de forças dado a (a) um sistema força-binário equivalente em A, (b) um sistema força binário equivalente em B, e (c) a uma força única onde seu momento em relação a A seja igual ao binárioo resultante aplicado em A.
Observação: Como as reações de apoio não estão incluídas, esse sistema não manterá a viga em equilíbrio.
Exemplo
F = -600 N	M = -1880 Nm
F = -600 N	M = 1000 Nm
F = -600 N	d = 3,1 m
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Exercício
A rampa ABCD é suspensa pelos cabos fixos em C e D. Tensão em cada cabo é 810N. a) Momento em A exercido pelo cabo fixo em D. b) Momento em A exercido pelo cabo fixo em C. c) Distância perpendicular de A à linha entre C e G.
MA = −(1242 N⋅m)i − (248 N⋅m)k
MA = −(1242 N⋅m)i + (1458 N⋅m)j + (1852 N⋅m)k
d = 3,29 m
Exercício 
A força em B exercida pelo cabo AB gera o momento sobre o eixo y igual à 120N*m e sobre o eixo z igual à -460N*m. Determinar a distância a.
d = 1,25 m
Exercício
Tensão no cabo 450N. a) Momento sobre a diagonal AD exercido pela parte BH do cabo.
M = -90,0 Nm
Exercício
A figura representa uma caixa de engrenagem na qual estão conectados três eixos, dois deles, A e B, acionam as rodas de um trator. O eixo C aciona um mecanismo.
Os eixos A e B estão contidos no plano yz e o eixo C é paralelo ao eixo x. Substituir os “torques” existentes no sistema por um único “momento” equivalente, especificando intensidade e direção.
M = 2860 N⋅m 
θ x =113.0° 
θ y = 92.7° 
θ z = 23.2° 
Exercício
Peso de A e B 4,1lb e peso de C 3,5lb. a) Se d = 25ln, determinar a distância a partir de D onde se localiza a força resultante. b) Determinar d para que a resultante se localize no ponto médio da barra.
a) L = 39,6 in
b) d = 33,1 in