Calculo 1 - Professor André Hallack

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Ca´lculo I
Notas de aulas
Andre´ Arbex Hallack
Marc¸o/2014
I´ndice
1 Nu´meros reais 1
1.1 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Func¸o˜es 13
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 39
3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exerc´ıcios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
i
4 Derivada 59
4.1 A definic¸a˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Aplicac¸o˜es da Derivada 79
5.1 Acre´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Aplicac¸o˜es em problemas de ma´ximos e/ou mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Aplicac¸o˜es em esboc¸os de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8 Apeˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.9 Apeˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.10 Apeˆndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11 Apeˆndice D: Aproximac¸o˜es via
Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Respostas dos exerc´ıcios 129
Refereˆncias 147
Cap´ıtulo 1
Nu´meros reais
1.1 Nu´meros reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos nu´meros reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de nu´meros reais nessa identificac¸a˜o:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (nu´meros naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } (nu´meros inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (nu´meros racionais) ⊂ IR
Temos ainda nu´meros reais que na˜o sa˜o racionais. Sa˜o os chamados nu´meros irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pita´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
Portanto a =
√
2 (e
√
2 na˜o e´ racional).
1
2 CAPI´TULO 1
(B) Outro nu´mero irracional famoso:
FATO: A raza˜o entre o comprimento e o diaˆmetro de qualquer circunfereˆncia e´ constante.
Essa raza˜o e´ um nu´mero chamado pi .
Assim, se C e´ qualquer circunfereˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
2r
= pi
pi e´ um nu´mero irracional (pi ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais nu´meros irracionais do que racionais !
Operac¸o˜es ba´sicas em IR
Existem em IR duas operac¸o˜es ba´sicas:
ADIC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a+ b ∈ IR (soma)
MULTIPLICAC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)
Essas operac¸o˜es possuem as seguintes propriedades:
COMUTATIVIDADE: a+ b = b+ a
a · b = b · a
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
ASSOCIATIVIDADE: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+ 0 = a
a · 1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a+ (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b+ c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Nu´meros reais 3
Obs.: O nu´mero 0 e´ o u´nico elemento neutro para a adic¸a˜o e o nu´mero 1 e´ o u´nico elemento
neutro para a multiplicac¸a˜o.
Consequeˆncias: (das propriedades)
1) Duas novas operac¸o˜es:
Subtrac¸a˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a+ (−b) ;
Divisa˜o: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos: a
b
= a · b−1 .
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , enta˜o a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um u´nico inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a 6= 0 em IR possui um u´nico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
a
para todo a 6= 0 em IR.
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 enta˜o a = ±b .
Exerc´ıcio: Tente provar as consequeˆncias de 2) a 8) acima.
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma unia˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ e´ o conjunto dos nu´meros reais POSITIVOS;
IR− e´ o conjunto dos nu´meros reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
4 CAPI´TULO 1
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
O produto de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
Exerc´ıcio: Prove que:
a) A soma de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero negativo;
b) O produto de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero positivo;
c) O produto de um nu´mero positivo por um nu´mero negativo e´ um nu´mero negativo.
Dados nu´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a e´ menor do que
b (ou b e´ maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e´ um nu´mero positivo:
Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a e´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b .
Propriedades da relac¸a˜o de ordem: ( Exerc´ıcio: Tente prova´-las ! )
1) Para todo a 6= 0 em IR, tem-se a2 > 0 .
2) Se a < b e b < c enta˜o a < c .
3) Se a, b ∈ IR enta˜o a = b ou a < b ou a > b .
4) Se a < b enta˜o a+ c < b+ c para todo c ∈ IR.
5) Se a < b , temos: c > 0 ⇒ a · c < b · c
c < 0 ⇒ a · c > b · c
6) Se a < b e a′ < b′ enta˜o a+ a′ < b+ b′ .
7) Se 0 < a < b e 0 < a′ < b′ enta˜o 0 < a · a′ < b · b′ .
8) Se a > 0 enta˜o
1
a
> 0 .
9) Se 0 < a < b enta˜o 0 <
1
b
<
1
a
.
Nu´meros reais 5
Intervalos:Dados nu´meros reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
(a,+∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a,+∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞,+∞) = IR
• Atenc¸a˜o: +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros reais ! Sa˜o apenas s´ımbolos !
Exemplo: Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as desigualdades abaixo e fac¸a a
representac¸a˜o gra´fica na reta real:
(a) 2 + 3x < 5x+ 8
(b) 4 < 3x− 2 ≤ 10
6 CAPI´TULO 1
(c)
7
x
> 2 , x 6= 0
(d)
x
x− 3 < 4 , x 6= 3
(e) (x+ 1)(x+ 5) > 0
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR e´ dito LIMITADO quando existem nu´meros reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto e´ dito ILIMITADO quando ele na˜o e´ limitado. (Exemplos)
Observac¸o˜es:
(A) Todo conjunto finito e´ limitado.
(B) CUIDADO ! NA˜O CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
Nu´meros reais 7
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos nu´meros naturais NA˜O E´ limitado.
Consequeˆncias importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados nu´meros reais a e b , com a > 0 , e´ poss´ıvel obter
um nu´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois nu´meros reais a e b quaisquer, com a < b , e´
poss´ıvel obter um nu´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distaˆncia entre a e b ).
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer nu´mero real x
(mesmo irracional), e´ poss´ıvel obter uma sequeˆncia de nu´meros RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) pi = 3, 141592 . . .
3 3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
. . . −→ pi
2) Tome um nu´mero racional r1 > 0 e considere:
r2 =
1
2
(
r1 +
3
r1
)
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
↓
r3 =
1
2
(
r2 +
3
r2
)
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r23 > 3 )
↓
r4 =
1
2
(
r3 +
3
r3
)
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r24 > 3 )
↓
...
↓
rn+1 =
1
2
(
rn +
3
rn
)
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2n+1 > 3 )
↓
...
Esta sequeˆncia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
nu´mero real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
8 CAPI´TULO 1
1.3 Valor absoluto
Dado qualquer nu´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MO´DULO
DE x ) da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um nu´mero real x e´ a distaˆncia de x ate´
o 0 (zero). (Exemplos)
Obs.: Sa˜o imediatos da definic¸a˜o:
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x,−x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Se b 6= 0 em IR, mostre que
∣∣∣∣ 1b
∣∣∣∣ = 1| b | .
Conclua que se a, b ∈ IR com b 6= 0 enta˜o
∣∣∣ a
b
∣∣∣ = | a || b | .
Nu´meros reais 9
4) |a+ b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Mostre que |a− b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) |3x+ 2| = 5
(b) |2x− 1| = |4x+ 3|
(c) |5x+ 4| = −3
10 CAPI´TULO 1
(d) |x|+ 2 |x− 2| = 1 + 4x
2) Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as seguintes desigualdades:
(a) |x− 5| < 4
Nu´meros reais 11
(b)
∣∣∣∣3− 2x2 + x
∣∣∣∣ ≤ 4 , x 6= −2
(c) |3x+ 2| > 5
12 CAPI´TULO 1
1.4 Exerc´ıcios
1) Determine os nu´meros reais que satisfazem as desigualdades abaixo (fac¸a a representac¸a˜o
gra´fica):
(a) 3− x < 5 + 3x (b) 2x− 5 < 1
3
+
3x
4
+
1− x
3
(c) 2 > −3− 3x ≥ 7
(d)
5
x
<
3
4
(e) x2 ≤ 9 (f) x2 − 3x+ 2 > 0 (g) 1− x− 2x2 ≥ 0
(h)
x+ 1
2− x <
x
3 + x
(i) x3 + 1 > x2 + x (j) (x2 − 1)(x+ 4) ≤ 0;
(k)
2
x− 2 ≤
x+ 2
x− 2 ≤ 1 (l) x
4 ≥ x2 (m) x
x− 3 < 4 (n)
(1/2x)− 3
4 + x
> 1
(o)
3
x− 5 ≤ 2 (p) x
3 − x2 − x− 2 > 0 (q) x3 − 3x+ 2 ≤ 0
(r)
1
x+ 1
≥ 3
x− 2 (s) 8x
3 − 4x2 − 2x+ 1 < 0 (t) 12x3 − 20x2 ≥ −11x+ 2
2) Determine os nu´meros reais que satisfazem as seguintes equac¸o˜es:
(a) |5x− 3| = 12 (b) |12x− 4| = 7 (c) |2x− 3| = |7x− 5| (d)
∣∣∣∣x+ 2x− 2
∣∣∣∣ = 5
(e)
∣∣∣∣3x+ 82x− 3
∣∣∣∣ = 4 (f) |3x+ 2| = 5− x (g) |9x| − 11 = x (h) 2x− 7 = |x|+ 1
3) Determine os nu´meros reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
(a) |x+ 12| < 7 (b) |3x− 4| ≤ 2 (c) |5− 6x| ≥ 9 (d) |2x− 5| > 3
(e) |6 + 2x| < |4− x| (f) |x+ 4| ≤ |2x− 6| (g) |3x| > |5− 2x|
(h)
∣∣∣∣7− 2x5 + 3x
∣∣∣∣ ≤ 12 (i) |x− 1|+ |x+ 2| ≥ 4 (j) 1 < |x+ 2| < 4 (k)
∣∣∣∣2 + x3− x
∣∣∣∣ > 4
(l)
∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ (m) |x|+ 1 < x (n) 3 |x− 1|+ |x| < 1
(o) |2x2 + 3x+ 3| ≤ 3 (p) |x− 1|+ |x− 3| < |4x| (q) 1|x+ 1| · |x− 3| ≥
1
5
(r)
∣∣∣∣x− 1/2x+ 1/2
∣∣∣∣ < 1 (s) ∣∣∣∣3− 2x1 + x
∣∣∣∣ ≤ 4
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos
Definic¸a˜o 2.1. Uma func¸a˜o f : X → Y e´ constitu´ıda de:
(a) Um conjunto X, na˜o-vazio, chamado o DOMI´NIO da func¸a˜o (onde a func¸a˜o esta´ definida)
(b) Um conjunto Y , na˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMI´NIO da func¸a˜o (onde f “toma os
valores”)
(c) Uma correspondeˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um U´NICO elemento f(x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar func¸o˜es tais que X e Y sa˜o conjuntos de nu´meros
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma func¸a˜o f : X → Y , sua IMAGEM e´ o conjunto
Im (f) = f(X) = { y = f(x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı´nio sa˜o representados por uma VARIA´VEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem sa˜o representados por uma VARIA´VEL DEPENDENTE.
• Gra´fico: O GRA´FICO de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .
• Func¸o˜es limitadas: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita LIMITADA quando sua imagem
f(X) e´ um conjunto limitado. Em geral, e´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e´ um
conjunto limitado.
13
14 CAPI´TULO 2
• Func¸o˜es crescentes ou decrescentes: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .
(Obs.: o mesmo tipo de definic¸a˜o se aplica tambe´m a subconjuntos do domı´nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa func¸a˜o e´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı´nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3]→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .
Obs.: Note que as func¸o˜es f1 e f2 acima SA˜O FUNC¸O˜ES DISTINTAS. Apesar de possu´ırem
o mesmo contra-domı´nio e a mesma maneira de associar x 7→ y = f(x) , elas teˆm domı´nios
diferentes (veja a definic¸a˜o de func¸a˜o). Como consequeˆncia, possuem caracter´ısticas diferentes
(f2 e´ limitada, decrescente, enquanto que f1 na˜o e´ limitada, na˜o e´ decrescente e nem crescente).
Func¸o˜es 15
(C) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = |x| .
(D) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1]→ [0,+∞) dada por f5(x) =
√
1− x2 .
(F) f6 : [−1, 1]→ IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 .
16 CAPI´TULO 2
(G) f7 : IR→ IR dada por f7(x) =

1
x
se x >
1
4
−3 se x ≤ 1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2]→ IR dada por f8(x) = x .
(I) f9 : IR→ IR dada por f9(x) = −2x+ 1 .
(J) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) = −
√
x .
Func¸o˜es 17
• Ma´ximos e mı´nimos:Dizemos que uma func¸a˜o f : X → Y assume VALOR
MA´XIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ X . Neste caso f(c) e´ chamado VALOR MA´XIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ (a, b) ∩X , enta˜o c e´ dito um PONTO DE MA´XIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)
e´ um VALOR MA´XIMO RELATIVO DE f .
De modo ana´logo, definimos tambe´m MI´NIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MI´NIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustrac¸a˜o)
Exemplo: f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
Observac¸o˜es:
(i) Todo ma´ximo (mı´nimo) absoluto e´ ma´ximo (mı´nimo) local.
(ii) Uma func¸a˜o PODE NA˜O ASSUMIR valores ma´ximos ou mı´nimos.
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-
termine seus pontos e valores ma´ximos e mı´nimos, se existirem.
18 CAPI´TULO 2
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras
Via operac¸o˜es aritme´ticas:
Sejam f : X → IR e g : Y → IR func¸o˜es tais que X ∩ Y 6= φ .
A partir de f e g vamos construir novas func¸o˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Consideremos agora a func¸a˜o indentidade f : IR→ IR dada por f(x) = x e func¸o˜es
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e´ um nu´mero real qualquer,
fixado).
Utilizando a func¸a˜o identidade e func¸o˜es constantes, podemos construir (atrave´s das operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o) um importante tipo de func¸a˜o p : IR → IR chamada FUNC¸A˜O
POLINOMIAL e dada por:
p(x) = anx
n + an−xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 para todo x ∈ IR
an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa e´ dita uma func¸a˜o polinomial de grau n)
(Exemplos)
Func¸o˜es 19
Obs.: Alguns tipos especiais de func¸o˜es polinomiais:
1) Func¸o˜es constantes: f : IR→ IR com f(x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 0 (zero).
(Exemplos)
2) Func¸o˜es polinomiais de grau 1: f : IR→ IR com f(x) = ax+ b , a, b ∈ IR e a 6= 0 .
Seus gra´ficos sa˜o retas, na˜o paralelas aos eixos coordenados.
Se a > 0, f e´ crescente. Se a < 0, f e´ decrescente.
(Exemplos)
3) Func¸o˜es quadra´ticas: f : IR→ IR com f(x) = ax2 + bx+ c , a, b, c ∈ IR e a 6= 0 .
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 2.
Seus gra´ficos sa˜o para´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
A intersec¸a˜o da para´bola (gra´fico) com o eixo de simetria e´ o VE´RTICE da para´bola, tem
coordenadas
(−b
2a
,
−∆
4a
)
, sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o ma´ximo ou mı´nimo absoluto
da func¸a˜o, de acordo com a concavidade do gra´fico (sinal de a).
(Exemplos)
20 CAPI´TULO 2
Se quisermos agora utilizar a operac¸a˜o de divisa˜o para construir o quociente de duas func¸o˜es
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “diviso˜es por 0 (zero)”.
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
(f/g) : (X ∩ Y )− Z → IR pondo (f/g)(x) = f(x)
g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Chamamos de FUNC¸O˜ES RACIONAIS as func¸o˜es dadas pelo quociente de func¸o˜es
polinomiais:
p, q : IR→ IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
(Exemplos)
Func¸o˜es 21
Via composic¸a˜o de func¸o˜es:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z func¸o˜es tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta´
contida no domı´nio de g).
A cada elemento de X associamos um u´nico elemento de Z, aplicando inicialmente a func¸a˜o
f e depois a func¸a˜o g.
Podemos pensar enta˜o em uma func¸a˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um u´nico elemento g(f(x)) ∈ Z :
(g ◦ f) : X −→ Z
x 7−→ g(f(x))
Essa nova func¸a˜o g ◦ f : X → Z e´ chamada a func¸a˜o COMPOSTA de g com f .
Exemplos:
(a) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = x2+5 e g : [0,+∞)→ IR e´ dada por g(x) = √x ,
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel.
(b) Seja h : IR→ IR dada por h(x) = (5x2− 2x+1)5 . Obtenha func¸o˜es f e g tais que
h = g ◦ f .
22 CAPI´TULO 2
2.3 Exerc´ıcios
1) Sejam f : IR → IR dada por f(x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f/g . Obtenha:
(a) O Domı´nio de h ; (b)
5h(−1)− 2h(0) + 3h(5)
7
; (c) f ◦ h ;
(d) h2(5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .
2) Para cada uma das func¸o˜es dadas abaixo, fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o e obtenha:
o conjunto imagem da func¸a˜o, se a func¸a˜o e´ ou na˜o limitada, ma´ximos e mı´nimos (absolutos
ou locais), intervalos do domı´nio onde a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente e identifique ainda
quais sa˜o polinomiais ou racionais:
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x2 + 8x+ 14
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4x− 1
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = (x− 2)2
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = −(x+ 2)2
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = x3
(f) f6 : IR→ IR dada por f6(x) = 4− x3
(g) f7 : (−5, 3]→ IR dada por f7(x) = |x|
(h) f8 : IR− {2} → IR dada por f8(x) = 1
x− 2
(i) f9 : [−4, 7]→ IR dada por f9(x) = −2
x+ 5
(j) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) =
√
2x
3) Exprimir como func¸a˜o de x (na˜o se esquec¸a do domı´nio e do contra-domı´nio):
(a) A a´rea de um cubo de aresta x.
(b) A a´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base e´ um quadrado de lado x.
(c) O comprimento l de uma corda de um c´ırculo de raio 4 cm, sendo x a distaˆncia da
corda ao centro do c´ırculo.
4) Exprimir a func¸a˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ıcio 3) acima como a composta de duas
func¸o˜es.
Func¸o˜es 23
5) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5− 2x . Fac¸a um esboc¸o dos
gra´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gra´ficos, os valores
de x para os quais f(x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequac¸a˜o.
6) X ⊂ IR e´ dito sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] na˜o e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 6∈ Y .
Seja f : X → IR uma func¸a˜o tal que X e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
A func¸a˜o f e´ dita...
... PAR quando f(−x) = f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: −√x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , 1
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
... I´MPAR quando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , x
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
Alguma observac¸o˜es e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas func¸o˜es pares (ou duas ı´mpares) e´ uma func¸a˜o PAR (prove);
(2) O produto/quociente de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o ı´mpar (ou vice-versa) e´ uma
func¸a˜o I´MPAR (prove);
(3) O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem O(0, 0) (ilustre);
(5) E´ o´bvio que existem func¸o˜es que na˜o sa˜o pares nem sa˜o ı´mpares (deˆ exemplos);
(6) Toda func¸a˜o f : X → IR (X sime´trico em relac¸a˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de
uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar (desafio = tente provar).
7) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = 3x− 5
2
e g(y) =
2y + 5
3
.
(a) Obtenha (g ◦ f)(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gra´ficos de f e g ?
(c) Seja f : [1, 3]→ [−5, 3] dada por f(x) = 4− x2 .
Obtenha uma func¸a˜o g : [−5, 3]→ [1, 3] que cumpre as condic¸o˜es da Letra (a) e fac¸a esboc¸os
dos gra´ficos de f e g.
24 CAPI´TULO 2
8) Sejaf : IR→ IR dada por f(x) = −x2 + 4x− 3 .
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Dado h 6= 0, calcule m0(h) = f(0 + h)− f(0)
h
e deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica
para m0(h) .
(c) Qual o significado de m0(h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola. Se V = (a, b) e´ o ve´rtice dessa para´bola,
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do ve´rtice) e, dado h 6= 0, tente adivi-
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma(h) =
f(a+ h)− f(a)
h
quando
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).
9) Se f : IR → IR e´ dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCI´CIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do ve´rtice da para´bola que e´ o gra´fico da func¸a˜o f .
10) Um grupo de amigos trabalha no per´ıodo de fe´rias vendendo salgadinhos nas praias.
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessa´rios para a produc¸a˜o custam R$ 2000,00
por meˆs. O custo do material de cada salgadinho e´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
como func¸a˜o do nu´mero de salgadinhos elaborados.
11) Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$ 2,00 cada uma.
Calcula-se que, se cada pec¸a for vendida por x reais, os consumidores comprara˜o por meˆs
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como func¸a˜o do prec¸o. Obter
o prec¸o o´timo de venda.
12) O prec¸o de uma corrida de ta´xi e´ constitu´ıdo de uma parte fixa, chamada bandeirada,
e de uma parte varia´vel, que depende do nu´mero de quiloˆmetros rodados. Em uma cidade X
a bandeirada e´ R$ 10,00 e o prec¸o do quiloˆmetro rodado e´ R$ 0,50.
(a) Determine a func¸a˜o que representa o prec¸o da corrida.
(b) Se algue´m pegar um ta´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
distaˆncia, quanto pagara´ pela corrida ?
13) Um avia˜o com 120 lugares e´ fretado para uma excursa˜o. A companhia exige de cada
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o nu´mero de
passageiros que torna ma´xima a receita da companhia ?
Func¸o˜es 25
14) Uma indu´stria comercializa um certo produto e tem func¸a˜o custo total em mil reais,
dada por CT (q) = q2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A func¸a˜o receita
total em mil reais e´ dada por R(q) = 120q .
(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecera´ lucro ma´ximo ?
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. A cada x ∈ X esta´ associado um u´nico f(x) ∈ Y .
Nos interessa a situac¸a˜o em que a associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x e´ uma func¸a˜o de Y em X.
Para isso, f devera´ possuir duas caracter´ısticas:
• f(X) = Y (a imagem de f e´ todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a
imagem de f e´ todo o contradomı´nio Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada INJETORA quando elementos distintos do domı´nio
teˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Exemplos:
(a)
26 CAPI´TULO 2
(b)
(c)
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ INVERTI´VEL quando ela e´ sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNC¸A˜O g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g e´ dita A INVERSA DA FUNC¸A˜O f e escrevemos g = f−1 .
Exemplo:
Func¸o˜es 27
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dadas posteriormente, fac¸a o que se pede:
a) Fac¸a um esboc¸o do GRA´FICO da func¸a˜o.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a func¸a˜o dada e´ LIMITADA ou na˜o.
c) Em que partes de seu domı´nio a func¸a˜o e´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MA´XIMOS ou MI´NIMOS (quando existirem).
e) A func¸a˜o e´ INJETORA ? Justifique.
f) A func¸a˜o e´ SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a func¸a˜o dada for INVERTI´VEL, determine sua INVERSA e fac¸a um esboc¸o do
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O INVERSA.
1) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 .
2) g1 : IR→ [0,+∞) dada por g1(x) = |3x− 1| .
3) h1 : IR→ IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3]→ (0, 6] dada por p1(x) = 2x .
5) q1 : (−∞, 5]→ IR dada por q1(x) =
{
x2 se x < 1
−x+ 2 se x ≥ 1 .
6) r1 : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por r1(x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR→ IR dada por s1(x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3]→ IR dada por u1(x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR
+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .
10) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = − |x| .
11) g2 : IR→ IR dada por g2(x) = − x
3
+ 1 .
28 CAPI´TULO 2
12) h2 : (−3,+∞)→ IR dada por h2(x) = − x
3
+ 1 .
13) p2 : [0,+∞)→ (−∞, 0] dada por p2(x) = −
√
2x .
14) q2 : IR→ IR dada por q2(x) =
{
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3
.
15) r2 : IR→ IR dada por r2 = q2.s1 .
16) s2 : IR→ IR dada por s2(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0
.
17) v2 : (−∞,−1) ∪ [0,+∞)→ IR dada por v2(x) =
{
−pi se x < −1
x2 se x ≥ 0 .
18) f3 : (−1, 1]→ IR dada por f3(x) = 1−
√
1− x2 .
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
Revisa˜o:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = 1
an
(n = 1, 2, 3, . . .) .
n PAR e a ≥ 0 : b = n√a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n I´MPAR e a ∈ IR : b = n√a ⇔ bn = a .
Definimos poteˆncias RACIONAIS de nu´meros reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x e´ racional, ja´ temos ap/q = q
√
ap .
Func¸o˜es 29
Se x e´ IRRACIONAL, sabemos que e´ poss´ıvel obter uma sequeˆncia de racionais r1, r2, r3, . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1, r2, r3, r4, r5, . . . −→ x
FATO: A sequeˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um nu´mero real, o qual DEFINI-
MOS como ax .
Temos enta˜o a nossa func¸a˜o exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a func¸a˜o fa : IR→ IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR
e´ chamada FUNC¸A˜O EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1
Gra´fico:
Crescimento ou decrescimento: fa(x) = a
x e´
{
CRECENTE se a > 1
DECRESCENTE se a < 1
Inversa: Se a 6= 1 enta˜o fa : IR → IR+
x 7→ ax
e´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
mitindo portanto uma func¸a˜o inversa f−1a : IR
+ → IR
y 7→ f−1a (y)
.
f−1a e´ chamada FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA DE BASE a e escrevemos f
−1
a (y) = loga y .
Temos enta˜o: y = ax ⇔ x = loga y .
x
fa7−→ ax = y f
−1
a7−→ x = loga y = loga ax
y
f−1a7−→ x = loga y fa7−→ y = ax = aloga y
30 CAPI´TULO 2
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a func¸a˜o f−1a : IR+ → IR dada por f−1a (y) = loga y .
Propriedades:
loga(x · y) = loga x+ loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0
Gra´fico:
Um nu´mero especial:
Consideremos a soma 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . . Mostra-se que esta soma converge
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um nu´mero real conhecido por
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . .
E´ fa´cil ver que 2 < e < 3 :
2 < 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ . . . = 3
O nu´mero real e acima definido ira´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Ca´lculo I, no que se refere a`s func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica, na base e :
fe : IR → IR+ dada por fe(x) = ex (func¸a˜o exponencial de base e) e sua inversa
f−1e : IR
+ → IR dada por f−1e (x) = loge x (func¸a˜o logar´ıtmica de base e).
Escrevemos tambe´m loge x = log x = lnx .
Obs.: Outro modo de obtero nu´mero e :(
1 +
1
1
)1
,
(
1 +
1
2
)2
,
(
1 +
1
3
)3
,
(
1 +
1
4
)4
,
(
1 +
1
5
)5
, . . . −→ e
Func¸o˜es 31
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas
• Medidas de aˆngulos em radianos:
Um aˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunfereˆncia (centrada
no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia considerada:
Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunfereˆncia considerada:
θ
1
=
l
r
⇒ l = θ · r
Desta forma, e´ fa´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos e´ 2pi rad :
2pir = θ · r ⇒ θ = 2pi rad
• Relac¸o˜es trigonome´tricas nos triaˆngulos retaˆngulos:
Consideremos 0 < θ <
pi
2
e um aˆngulo de θ rad em um triaˆngulo retaˆngulo:
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
cos θ
=
b
c
cos2 θ + sen 2θ = 1
32 CAPI´TULO 2
• O c´ırculo trigonome´trico:
Relac¸o˜es:
cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ
ctg θ =
1
tg θ
( sen θ 6= 0) , sec θ = 1
cos θ
(cos θ 6= 0) , csc θ = 1
sen θ
( sen θ 6= 0)
• Aˆngulos nota´veis:
θ (rad) 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
sen θ 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1 0
cos θ 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0 1
tg θ 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0
• Fo´rmulas de transformac¸a˜o:
A partir das fo´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferenc¸a de dois aˆngulos,
podemos deduzir (veja exerc´ıcios mais a` frente) outras importantes fo´rmulas de transformac¸a˜o,
as quais teˆm utilidade no ca´lculo de certas integrais trigonome´tricas. cos(a+ b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b+ sen a · sen bsen (a+ b) = sen a · cos b+ sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos a
Func¸o˜es 33
• Func¸o˜es trigonome´tricas:
Func¸a˜o SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→ sen x
Gra´fico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
sen (x+ 2pi) = senx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
A func¸a˜o SENO e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k I´MPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi + pi/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + 3pi/2 (k ∈ Z)
Se sen x 6= 0 , enta˜o temos cscx = 1
sen x
. Assim, na˜o e´ dif´ıcil ver que a func¸a˜o
csc : IR− {kpi , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gra´fico:
34 CAPI´TULO 2
A func¸a˜o SENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı´nio e seu contra-domı´nio, temos uma nova func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2] −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
, a qual
e´ BIJETORA
e tem portanto inversa f
−1 : [−1, 1] −→ [−pi/2, pi/2]
y 7−→ f−1(y) = arc sen y
Exerc´ıcio: Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as func¸o˜es
COSSENO e TANGENTE.
2.7 Exerc´ıcios
1) Sabendo que f : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 1o grau, que f(−1) = 2
e f(2) = 3 , determine f(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do 1o grau esta´
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
esta´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
2) Sabendo que g : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do
2o grau esta´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
uma para´bola esta´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
Func¸o˜es 35
3) (Polinoˆmios de Lagrange) Sejam x1, x2, x3 nu´meros reais distintos e y1, y2, y3
nu´meros reais na˜o necessariamente distintos. O u´nico polinoˆmio p(x) do 2o grau tal que
p(x1) = y1 , p(x2) = y2 e p(x3) = y3 e´ dado por
p(x) = y1 · (x− x2)(x− x3)
(x1 − x2)(x1 − x3) + y2 ·
(x− x1)(x− x3)
(x2 − x1)(x2 − x3) + y3 ·
(x− x1)(x− x2)
(x3 − x1)(x3 − x2)
(a) Usando o resultado acima, refac¸a o exerc´ıcio anterior.
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a func¸a˜o polinomial do 3o grau que assume em
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0,−2 , respectivamente.
4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 e f : X → IR uma func¸a˜o.
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = 1
2
[f(x) + f(−x)] e´ uma func¸a˜o par e que
h : X → IR dada por h(x) = 1
2
[f(x)− f(−x)] e´ ı´mpar (veja Exerc´ıcio 6 da pa´g. 23).
(b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se voceˆ ainda na˜o fez) o item 6) do Exerc´ıcio
6 da pa´g. 23.
(c) Seja f : IR−{−1, 1} → IR a func¸a˜o dada por f(x) = x− 1
x+ 1
. Mostre que f na˜o e´ par
e na˜o e´ ı´mpar. Escreva f como a soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.
5) Prove que cada uma das func¸o˜es abaixo e´ invert´ıvel (bijetora) e obtenha a inversa:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 3x+ 4 ;
(b) g : IR− {a} → IR− {0} dada por g(x) = 1
x− a (a ∈ IR) ;
(c) h : IR− {a} → IR− {1} dada por g(x) = x+ a
x− a (a ∈ IR) ;
(d) r : [1,+∞)→ [0,+∞) dada por r(x) = √x− 1 .
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = x
1− |x| . Prove que g e´ invert´ıvel
(ou seja, bijetora) e obtenha g−1 .
7) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = 2x , mostre que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2f(x)
.
8) Dada φ : (−1, 1)→ IR dada por φ(x) = ln 1− x
1 + x
, verifique a igualdade:
φ(a) + φ(b) = φ
(
a+ b
1 + ab
)
36 CAPI´TULO 2
9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o ra´dio, o uraˆnio
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais e´ utilizando o conceito de meia-vida.
A meia-vida de um material radioativo e´ definida como o tempo necessa´rio para que sua
massa seja reduzida a` metade.
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela func¸a˜o exponencial dada por
M = M0e
−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.
A equac¸a˜o acima e´ conhecida como modelo de decaimento exponencial.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e´ de aproximadamente 5730 anos, determinar:
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente apo´s dois per´ıodos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenc¸a do carbono-14 neste
e´ 80% da quantidade original.
10) Uma certa substaˆncia radioativa decai exponencialmente e, apo´s 100 anos, ainda restam
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substaˆncia.
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necessa´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
11) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 2x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR− {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0)→ IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |lnx| ;
(g) n : (−1,+∞)→ IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
Func¸o˜es 37
12) Uma func¸a˜o f : X → IR e´ dita PERIO´DICA quando existe um nu´mero T > 0
(chamado o per´ıodo de f) tal que f(x+T ) = f(x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gra´fico
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As func¸o˜es trigonome´tricas constituem exemplos cla´ssicos de func¸o˜es perio´dicas:
(a) Mostre que as func¸o˜es fn : IR→ IR dadas por fn(x) = sennx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) sa˜o
todas ı´mpares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi .
(b) Mostre que as func¸o˜es gn : IR → IR dadas por gn(x) = cosnx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
sa˜o todas pares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi.
13) (Fo´rmulas de Transformac¸a˜o) Prove as seguintes identidades trigonome´tricas:
sen 2a =
1− cos 2a
2
cos2 a =
1 + cos 2a
2
cos a · cos b = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
sen a · sen b = 1
2
· cos(a− b)− 1
2
· cos(a+ b)
sen a · cos b = 1
2
· sen (a+ b) + 1
2
· sen (a− b)
14) Seja f : IR− {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f(θ) = tg θ . Verifique:
f(2θ) =
2f(θ)
1− [f(θ)]2
15) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = sen 3x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = 1 + senx ;
(d) s : IR→ IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR→ IR dada por l(x) = sen (x− (pi/2)) .
16) Seja f : [1, 100]→ IR dada por f(x) = arc sen [log10(x/10)] . Obtenha f(1), f(100)
e f(
√
10 ) .
38 CAPI´TULO 2
17) (Func¸o˜es Hiperbo´licas) Definimos as func¸o˜es hiperbo´licas ba´sicas:
• Func¸a˜o Seno Hiperbo´lico: senh : IR→ IR dada por senhx = e
x − e−x
2
• Func¸a˜o Cosseno Hiperbo´lico: cosh : IR→ IR dada por coshx = e
x + e−x
2
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es senh e cosh.
(b) Prove que cosh2 x− senh 2x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que coshx ≥ 1 para todo x ∈ IR .
Definimos ainda:
tgh : IR→ IR dada por tghx = senh x
coshx
ctgh : IR− {0} → IR dada por ctghx = coshx
senh x
sech : IR→ IR dada por sechx = 1
coshx
csch : IR− {0} → IR dada por cschx = 1
senh x
(d) Obtenha (prove) relac¸o˜es entre as func¸o˜es tgh e sech e entre ctgh e csch .
18) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 2 senhx−3 tghx . Obtenha f(2) , f(−1) e f(0) .
Cap´ıtulo 3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade
3.1 Motivac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de x por uma
func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x, f(x)) ,
se houver esta tangente.
Consequeˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
39
40 CAPI´TULO 3
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
(C)
f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local
no interior de um intervalo
}
⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo.
(D)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para cima, em um intervalo
}
⇒ mt crescente neste intervalo.
(E)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para baixo, em um intervalo
}
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) :
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 41
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :
Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → IR
x 7→ msa(x) =
f(x)− f(a)
x− a
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x→ a ).
O esperado e´ que, quando x→ a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
nu´mero real e teremos
msa(x)→ mta ∈ IR , quando x→ a
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´ chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f ′(a) ).
Obs.: E´ fundamental, para fazermos x→ a , que possamos aproximar o ponto a por uma
sequeˆncia de pontos do domı´nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
42 CAPI´TULO 3
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma func¸a˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x→ a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x)→ L ∈ IR quando
x→ a .
3.2 Limites
Dada uma func¸a˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a , x 6= a .
Para isso, a na˜o precisa pertencer ao domı´nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı´nio:
Definic¸a˜o 3.1. (Ponto de acumulac¸a˜o): Um ponto a e´ chamado um PONTO DE ACUMULAC¸A˜O
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, ta˜o pro´ximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 43
Consideremos agora, por exemplo, a func¸a˜o f : IR− {1} → IR dada por
f(x) =
3x2 − 2x− 1
x− 1
1 na˜o pertence ao domı´nio de f , mas e´ ponto de acumulac¸a˜o de IR − {1} . Podemos
enta˜o observar o comportamento de f(x) quando x→ 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a` medida que x→ 1 .
Dizemos enta˜o que 4 e´ o limite de f(x) quando x tende a 1 (x→ 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x− 1
x− 1 = 4 .
A definic¸a˜o de limite
Definic¸a˜o 3.2. Sejam f : X → IR uma func¸a˜o e a ∈ X ′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio - na˜o precisa pertencer a X).
Dizemos que um nu´mero real L e´ o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
quando ...
... podemos obter f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no domı´nio de f) diferentes de a .
m TRADUZINDO
... para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do �) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < � .
44 CAPI´TULO 3
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (func¸a˜o constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f1(x) = lim
x→a
c = c
• Seja f2 : IR→ IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (func¸a˜o identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f2(x) = lim
x→a
x = a
• Seja f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
sen x = 0
• Seja f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
cosx = 1
• Seja f5 : IR− { 0} → IR dada por f5(x) = sen x
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
sen x
x
= 1
• Seja f6 : IR− { 0} → IR dada por f6(x) = cosx− 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
• Seja f7 : IR− { 0} → IR dada por f7(x) = e
x − 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 45
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites
Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a
(f(x)− L) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim
x→a
f(x) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)| = 0 .
Exemplo: Sabemos que lim
x→0
x = 0 . Enta˜o segue que lim
x→0
|x| = 0 .
Teorema 3.2. (Sandu´ıche) Sejam f , g , h func¸o˜es tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
h(x) , enta˜o lim
x→a
g(x) = L .
Exemplo: Vamos mostrar que lim
x→0
sen x = 0 .
46 CAPI´TULO 3
Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e lim
x→a
f(x) = L , lim
x→a
g(x) = M . Enta˜o:
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = L±M ;
lim
x→a
f(x) · g(x) = L ·M ;
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
se M 6= 0 ;
lim
x→an
√
f(x) =
n
√
L
{
se n e´ I´MPAR e L e´ qualquer real
se n e´ PAR e L > 0
Exemplos:
(A) Seja p : IR→ IR dada por p(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . .+ c1x+ c0 ,
com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n).
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 47
(B) Func¸o˜es racionais (quocientes de func¸o˜es polinomiais)
(C) lim
x→0
cosx = 1
48 CAPI´TULO 3
(D) lim
x→0
sen x
x
= 1
(E) lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 49
Teorema 3.4. Se lim
x→a
f(x) = 0 e g e´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
(sem precisar estar definida em a), enta˜o lim
x→a
f(x) · g(x) = 0 .
(Exemplo)
Teorema 3.5. (Troca de varia´veis) Se lim
u→b
f(u) = L , lim
x→a
u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x 6= a⇒ u 6= b , enta˜o
lim
x→a
f(u(x)) = lim
u→b
f(u) = L
Exemplos:
(A) lim
x→0
sen 4x
4x
(B) lim
x→0
sen 3x
x
(C) lim
x→0
5x − 1
x
50 CAPI´TULO 3
Exerc´ıcios
(A) Prove que se lim
x→a
f(x) = L 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0 enta˜o @ (na˜o existe) lim
x→a
f(x)
g(x)
.
Sugesta˜o: Suponha que exista lim
x→a
f(x)
g(x)
= M e considere lim
x→a
f(x) = lim
x→a
[
f(x)
g(x)
· g(x)
]
.
(B) Calcule os limites abaixo, justificando:
1) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 2) limx→1/2
3 + 2x
5− x 3) limx→0
√
x+ 2−√2
x
Sugesta˜o: racionalize o numerador
4) lim
x→2
x− 2
x4 − 16 Sugesta˜o: use que (a
n − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1)
5) lim
x→−3
x+ 3
(1/x) + (1/3)
6) lim
x→0
|x|√
x4 + 7
7) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12 8) limu→1
1√
5− u
9) lim
x→0
x3 sen
(
1
3
√
x
)
10) lim
h→0
4−√16 + h
h
11) lim
x→3
3
√
2 + 5x− 3x3
x2 − 1 12) limy→−2
y3 + 8
y + 2
13) lim
t→0
1− cos t
sen t
14) lim
x→2
x2 − x− 2
(x− 2)2 15) limx→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36 16) limw→0
sen 3w
sen 5w
17) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
18) lim
x→0
1 + tg x
sen x
19) lim
t→0
sen 22t
t2
20) lim
x→pi
sen x
x− pi
21) lim
x→0
x
cosx
22) lim
x→0
1− cosx
x2
23) lim
x→0
3x − 1
x
24) lim
x→0
3x2
1− cos2(x/2)
25) lim
x→1/√2
x5 − (1/√2)5
x− (1/√2) 26) limx→−2
(x− 1)(x+ 2)
x2 + 4x+ 4
27) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
28) lim
y→0
e7y − 1
sen y
29) lim
x→0
(1− sec x). ctg x. cosx
x
30) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
(x+ 1)(x− 3) 31) limx→√3
pi
√
3− pix
x3 − 3√3 32) limx→pi/2
x− pi/2
cosx
33) lim
x→0
sen 3x
5x(1− cosx) 34) limy→0
3
√
1− e2y
y
35) lim
x→√2
3x− 3√2
x6 − 8 36) limy→0
√
sen piy
y
37) lim
x→1
x2 − 1
(1− x)3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 51
38) lim
x→−pi
1 + cos x
x+ pi
39) lim
x→0
ex + sen 2x− 1
x
40) lim
x→3
3
√
x− 3
27− x3 41) limx→−1
x3 + 2x2 + x
x+ 1
42) lim
x→0
e senx − 1
2x
43) lim
y→0
sen 7y + cospiy − 1
y
44) lim
x→0
1− cosx√
5 · x · sen x
45) lim
x→√3
x3 − 3√3
4x− 4√3 46) limy→0
e2y − 1
sen (3y)
47) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x 48) limx→pi/2
1− sen x
x− (pi/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
O lim
x→a
f(x) , quando existe, e´ u´nico.
Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = lim
x→a
f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
x
∀ x 6= 0 .
0 e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio IR− {0} .
Podemos afirmar que NA˜O EXISTE o lim
x→0
1
x
, pois f na˜o e´ limitada em nenhum
intervalo aberto contendo 0 .
Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = lim
x→a
f(x) .
Se L > M enta˜o f(x) > M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim
x→a
f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 para todo x 6= a do domı´nio em um
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim
x→a
f(x) = L < M .
52 CAPI´TULO 3
Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim
x→a+
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e´, por valores x ∈ X, com x > a)
lim
x→a−
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e´, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim
x→a
f(x) se, e somente se, existem e sa˜o iguais a L
ambos os limites laterais, ou seja: lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) .
Exemplos: (a) Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = |x|
x
.
(b)
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBE´M PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAC¸O˜ES !
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 53
3.4 Exerc´ıcios:
1) Sejam f, g : IR→ IR dadas por:
f(x) =
{
x3 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
Fac¸a um estudo sobre os limites: lim
x→1
f(x) lim
x→1
g(x) lim
x→1
(f.g)(x)
2) Mostre que lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(se existirem)
3) Para cada func¸a˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e´ ponto do domı´nio e
ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio), tambe´m fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx e a = pi/6 .
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx e a = pi/6 .
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0,+∞)→ IR dada por f6(x) = 1/x e a =
√
2 .
Fac¸a ainda um esboc¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboc¸o.
Sugesto˜es:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),
fazendo x→ a.
Para as letras (c),(d) e (e), use tambe´m o exerc´ıcio anterior.
Pode tentar tambe´m fazer antes o Exerc´ıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
xerc´ıcio se torna um caso particular.
4) Para cada func¸a˜o f : X → IR do exerc´ıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
54 CAPI´TULO 3
3.5 Continuidade
Definic¸a˜o 3.3. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o).
Dado um ponto a , dizemos que f E´ CONTI´NUA NO PONTO a quando as seguintes
condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim
x→a
f(x) ;
3) lim
x→a
f(x) = f(a) .
Se f na˜o e´ cont´ınua em um ponto a pertencente a seu domı´nio, dizemos que f E´
DESCONTI´NUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR e´ uma FUNC¸A˜O CONTI´NUA EM X quando ela e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu domı´nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVI´VEL:
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 55
Continuidade e operac¸o˜es entre func¸o˜es
Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .
Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a ∈ X , enta˜o:
(f ± g) sa˜o cont´ınuas em a ;
(f · g) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em a ;
(f/g) e´ cont´ınua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 3.11. (Composic¸a˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR esta´ bem definida
Se f e´ cont´ınua em a ∈ X e g e´ cont´ınua em b = f(a) ∈ Y enta˜o a composta
g ◦ f : X → IR e´ cont´ınua no ponto a ∈ X .
Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre ma´ximos e mı´nimos, podemos ter func¸o˜es quena˜o
assumem valores ma´ximos e/ou mı´nimos.
Por exemplo:
f : IR→ IR dada por f(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
g : (−1, 2)→ IR dada por g(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
56 CAPI´TULO 3
Existe uma situac¸a˜o (envolvendo continuidade) na qual estes problemas na˜o ocorrem:
Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b]→ IR e´ uma func¸a˜o cont´ınua (em todos os pontos
do intervalo limitado e fechado [a, b]), enta˜o f assume valores ma´ximo e mı´nimo absolutos
neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das func¸o˜es cont´ınuas e´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
TERMEDIA´RIO”:
Teorema 3.13. (Teorema do valor intermedia´rio) Se f : X → IR e´ cont´ınua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , enta˜o f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .
(Ilustrac¸a˜o)
(Exemplo)
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 57
3.6 Exerc´ıcios
1) Seja f : [0,+∞)→ IR dada por f(x) = √x .
(i) Mostre que lim
x→0
√
x = 0 (Sugesta˜o: Considere apenas o limite lateral lim
x→0+
√
x - pois 0
so´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare
√
x com 3
√
x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f e´ cont´ınua (em todos os pontos de seu domı´nio).
(iii) Mostre que @ lim
x→0
√
x
x
(racionalize).
(iv) Generalize para g : [0,∞)→ IR dada por g(x) = n√x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e´ cont´ınua ou na˜o),
justificando:
(a) f : (−∞, 16]→ IR dada por f(x) = √16− x .
(b) f : [0,+∞)→ IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1
x2
se x 6= 0 .
(c) f : IR→ IR dada por f(x) =

x+ 1
x3 + 1
se x 6= −1
3 se x = −1
.
3) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equac¸a˜o f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
4) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
5− x se x ≥ 2
(a) Onde f e´ cont´ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
58 CAPI´TULO 3
5) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) Sabendo que f e´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10,+∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
6) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e´ poss´ıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre
a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
7) (a) Seja f : IR → IR uma func¸a˜o tal que f(x) = sen [pi(x− 1)]
x− 1 ∀ x 6= 1 . f pode ser
cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
na˜o, JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma func¸a˜o tal que g(x) = |x− 1|
x− 1 ∀ x 6= 1 . g pode ser cont´ınua
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se na˜o,
JUSTIFIQUE.
Cap´ıtulo 4
Derivada
4.1 A definic¸a˜o da Derivada
Definic¸a˜o 4.1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio).
Dizemos que f e´ DERIVA´VEL em a ∈ X quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
O nu´mero f ′(a) ∈ IR e´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
Observac¸o˜es:
• Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ quase sempre um intervalo (e ja´ teremos X ⊂ X ′ );
• Outras notac¸o˜es para f ′(a) :
f ′(a) = Dxf(a) =
df
dx
(a) =
df
dx
∣∣∣∣
x=a
ou ainda f ′(a) = y′(a) =
dy
dx
(a) , se y = f(x)
• Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f ′(x) . f ′ e´ chamada a FUNC¸A˜O DERIVADA DE f .
59
60 CAPI´TULO 4
Interpretac¸a˜o geome´trica
Ja´ vimos, como motivac¸a˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR e´ deriva´vel em
a ∈ X , enta˜o f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) :
Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da func¸a˜o f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR→ IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .
Derivada 61
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:
Exerc´ıcio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 enta˜o g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) enta˜o f ′(x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = senx .
Exerc´ıcio: Obtenha a derivada de g : IR→ IR dada por g(x) = cosx .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(t) = et (func¸a˜o exponencial na base e).
62 CAPI´TULO 4
(E) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = |x| .
(F) Seja g : IR− {0} → IR dada por g(x) = 1
x4
= x−4 .
Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
enta˜o g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR→ IR dada por u(t) = at (func¸a˜o exponencial na base a).
Derivada 63
4.2 Derivadas e continuidade
Teorema 4.1. Se f : X → IR e´ DERIVA´VEL em a ∈ X , enta˜o f e´ CONTI´NUA em a.
De fato:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ X , enta˜o existe o limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) .
Existe f(a) (pois a ∈ X).
Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =
[
f(x)− f(a)
x− a
]
· (x− a) .
Como lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) e lim
x→a
(x− a) = 0 , segue que
lim
x→a
f(x)− f(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a · limx→a (x− a) = f
′(a) · 0 = 0
Logo lim
x→a
f(x) = f(a) e portanto f e´ cont´ınua no ponto a .
Algumas consequeˆncias:
• Sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de seus domı´nios as func¸o˜es:
f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
(n = 1, 2, 3. . . .) ,
g1 : IR→ IR dada por g1(x) = senx , g2 : IR→ IR dada por g2(x) = cosx ,
u : IR→ IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sa˜o todas deriva´veis em todos os pontos de
seus domı´nios.
• Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua
em algum ponto de seu domı´nio, enta˜o ela na˜o e´
deriva´vel neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua mas na˜o e´ deriva´vel em determinados pontos.
Exemplo: f(x) = |x| e´ cont´ınua no ponto 0 ( lim
x→0
|x| = 0 = f(0) ), mas ja´ vimos que @ f ′(0) .
64 CAPI´TULO 4
4.3 Exerc´ıcios
1) (a) Seja f(x) =
1
x3
∀x 6= 0 . Obtenha, via definic¸a˜o, f ′(1) .
(b) Seja f(x) = senx ∀x ∈ IR . Obtenha (via definic¸a˜o) f ′(2pi/3) .
(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definic¸a˜o) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 3 · 3√x ∀ x ∈ IR
Mostre, via definic¸a˜o, que @ (na˜o existe) f ′(0) e que f ′(a) =
1
3
√
a2
∀ a 6= 0 .
2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a e´ ponto de acumulac¸a˜o BILATERAL
de X e f e´ definida de modos diferentes a` direita e a` esquerda de a, a existeˆncia do limite
que define a derivada no ponto a e´ verificada observando-se a existeˆncia e a igualdade dos
limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE
f (A` DIREITA OU A` ESQUERDA) NO PONTO a:
f ′+(a) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a e f
′
−(a) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a
(a) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
f e´ deriva´vel em x = 0 ? Se for, PROVE eobtenha a derivada f ′(0). Se na˜o for, justifique.
(b) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
6x− 2 se x ≤ 1
5− x se x > 1
f e´ deriva´vel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(1). Se na˜o, justifique.
(c) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
f e´ deriva´vel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(3). Se na˜o for, justifique.
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
7− x2 se x ≥ 2
f e´ deriva´vel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(2). Se na˜o for, justifique.
(e) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
f e´ deriva´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se na˜o, justifique.
Derivada 65
4.4 Regras de derivac¸a˜o
Teorema 4.2. Se f , g : X → IR sa˜o deriva´veis em a ∈ X , enta˜o:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;
(b) f ± g sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;
(c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;
(d) (f/g) e´ deriva´vel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) = f
′(a).g(a)− f(a).g′(a)
[g(a)]2
.
Exemplos:
(A) Para cada func¸a˜o f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)
1) f : IR→ IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7 .
2) f : IR→ IR dada por f(t) = 6t− 10
t2 + 5
.
3) f : IR− Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .
Exerc´ıcio: Obtenha
d
dx
ctg x ,
d
dx
sec x ,
d
dx
csc x
4) f : IR→ IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cosu) .
66 CAPI´TULO 4
5) f : IR→ IR dada por f(t) = sen 2t .
6) f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = 4− x2 .
1) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g e que e´ paralela a` reta y = 2x .
Derivada 67
3) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gra´fico e´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente e´ positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente e´ negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de func¸o˜es compostas
Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a
composta (g ◦ u) : X → IR esta´ bem definida:
Dado a ∈ X , se u e´ deriva´vel em a (existe u′(a)) e g e´ deriva´vel em b = u(a) (existe
g′(b) = g′(u(a)) ), enta˜o a composta (g ◦u) : X → IR e´ deriva´vel em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)
Quanto a` func¸a˜o derivada (g◦u)′ : x 7→ (g◦u)′(x) , escrevemos (g◦u)′(x) = g′(u(x))·u′(x)
para todo x onde existirem as derivadas.
68 CAPI´TULO 4
Exemplos:
Para cada func¸a˜o f : IR→ IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):
(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .
(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x+ 1)−3 .
(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).
Derivada 69
(F) f dada por f(t) = sen 2t .
(G) f dada por f(t) = cos5 t .
(H) f dada por f(x) = e(x
2) .
(I) f dada por f(w) = (ew − senw)2 .
(J) f dada por f(t) = epi cos(2t
3) .
70 CAPI´TULO 4
Derivadas de func¸o˜es inversas
Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo)→ J (intervalo) uma func¸a˜o INVERTI´VEL (bijetora =
injetora e sobrejetora) e CONTI´NUA (em todos os pontos de seu domı´nio I).
Sua inversa g : J → I e´ cont´ınua em todos os pontos de J .
Mais ainda:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , enta˜o g e´ deriva´vel em b = f(a) e podemos
obter g′(b) atrave´s da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da func¸a˜o logar´ıtmica na base e:
Exerc´ıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0,+∞)→ IR e´ dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0,+∞) ⇒ g′(x) =
1
x ln a
∀ x > 0 .
Derivada 71
(B) Ra´ızes:
(C) Func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas:
Exerc´ıcio:
(a) Se g : [−1, 1]→ [0, pi] e´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que
g′(x) = − 1√
1− x2 ∀ x ∈ (−1, 1)
72 CAPI´TULO 4
(b) Se h : IR→ (−pi/2, pi/2) e´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h′(x) =
1
1 + x2
∀ x ∈ IR
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Seja f : [−1, 1]→ IR a func¸a˜o dada por f(x) = √1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f(x) , temos:
y =
√
1− x2
⇓
y2 = 1− x2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)
A equac¸a˜o (*) acima estabelece uma relac¸a˜o entre x e y = f(x) . Juntamente com a
restric¸a˜o y ≥ 0 ela define bem a func¸a˜o f . Por isso dizemos que f ESTA´ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e´ func¸a˜o de x , e´ fa´cil ver que a equac¸a˜o (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a func¸a˜o constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAC¸A˜O A` VARIA´VEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e´ deriva´vel e tomando o cuidado de lembrar
que y = f(x) , ou seja, y2 e´ uma composic¸a˜o de func¸o˜es e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y2 = 1
⇓
2x+ 2yy′ = 0
⇓
(∗∗) y′ = − x
y
(y 6= 0)
Lembrando que y = f(x) =
√
1− x2 , temos:
f ′(x) = y′ = − x√
1− x2 , x ∈ (−1, 1)
Derivada 73
Poss´ıveis vantagens da derivac¸a˜o impl´ıcita:
• Derivar a equac¸a˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada atrave´s da expressa˜o expl´ıcita de f .
• Uma equac¸a˜o em x e y pode definir implicitamente va´rias func¸o˜es e, caso isto ocorra,
a derivac¸a˜o impl´ıcita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0,+∞)→ IR dada por f(x) = lnx e´ deriva´vel, obtenha f ′(x) por
derivac¸a˜o impl´ıcita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0,+∞) → IR dada por f(x) = xα seja
deriva´vel, use logar´ıtmos para obter f ′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
x2
4
+ y2 = 1 no ponto (1, −√3 /2) .
74 CAPI´TULO 4
(D) Seja g : (0,+∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g e´
deriva´vel, obtenha g′(x) via derivac¸a˜o impl´ıcita.
(E) Se y = 3
√
x
x3 + 1
, obtenha y′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
4.6 Exerc´ıcios
(A) O objetivo deste exerc´ıcio e´ observar a naturalidade da medida de aˆngulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns ca´lculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
inve´s de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as func¸o˜es trigonome´tricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
lim
x→0
sen x
x
= 1 (Limite Trigonome´trico Fundamental)
Ajuste a demonstrac¸a˜o que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos aˆngulos em GRAUS.
Calcule tambe´m
d sen x
dx
quando x e´ medido em graus.
Derivada 75
(B) Para cada func¸a˜o dada abaixo (por questo˜es de economia, cometemos um abuso ao
omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indicando onde existe:
1) f(x) = 10x2 + 9x− 4 2) h(x) = (2x2 − 4x+ 1)(6x− 5) 3) f(w) = 2w
w3 − 7
4) f(x) =
1
1 + x+ x2 + x3
5) g(x) = (8x−7)−5 6) s(t) =
(
3t+ 4
6t− 7
)3
7) h(z) =
9z3 + 2z
6z + 1
8) H(x) =
2x+ 3√
4x2 + 9
9) f(x) = 5
√
1/x 10) f(x) = 6x2 − 5
x
+
2
3
√
x2
11) f(w) =
3
√
3w2
12) f(t) = (t6 − t−6)6 13) f(x) = xm/n m,n 6= 0 ∈ Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3
15) f(x) = x lnx 16) g(x) =
x2
lnx
17) f(u) = ue−u 18) h(s) = s2e−2s 19) f(x) = ex lnx
20) g(w) = ln
(
ew + 1
ew − 1
)
21) f(x) = ecos 2x 22) g(x) = x senx 23) h(x) = ln tg x
24) f(w) = ln cos2 3w 25) f(x) =
arc tg x
x2 + 1
26) f(x) =
e2x
arc sen 5x
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
(D) Obtenhaa equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 3x2 + 4x− 6 e tal que:
(i) Essa tangente seja paralela a` reta 5x− 2y − 1 = 0 ;
(ii) Seja tangente ao gra´fico no ponto P (1, 1) .
(E) Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P (3, 1) e e´ tangente ao gra´fico de y =
4
x
.
(F) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f(x) = (x− 1)4 no ponto P (2, 1) .
(G) Determine as equac¸o˜es da tangente e da normal ao gra´fico de y = 8 sen 3x no ponto
P (pi/6, 1) .
(H) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f : IR → (−2pi, 2pi) dada por
f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, pi) .
(I) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = e−2x .
(i) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(ii) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
76 CAPI´TULO 4
(J) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = arc tg x
pi
.
(i) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
(ii) Qual a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f no ponto B(
√
3 , 1/3) ?
(K) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 e´ NORMAL ao gra´fico de uma certa func¸a˜o f : IR→ IR
no ponto A(1,−3) (pertencente ao gra´fico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f ′(1) .
(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gra´fico de
g(x) = e(x
2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gra´fico de g) ? (JUSTIFIQUE)
(M) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domı´nios
e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a ainda o que se
pede:
1) f(x) = (3x− 1).(2x+ 1)5 .
2) g(w) = 3
√
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g′(3).
3) h(s) = pi. sec s =
pi
cos s
. Obtenha ainda, em particular, h′(0).
4) f(t) = e(3t
2−t) . Obtenha ainda, em particular, f ′(1/3).
5) f(x) = ln( sen 42x) .
6) f(x) =
2x2
(x− 4)2 . Obtenha ainda, em particular, f
′(2).
7) h(s) =
ctg s√
2
=
cos s√
2 · sen s . Obtenha ainda, em particular, h
′(pi/4).
8) g(t) = (2t− 1)3 · e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
9) f(w) = ln (5w2 + 2 + cosw) . Obtenha ainda, em particular, f ′(0).
10) g(y) = arc tg (
√
y − 1 ) .
11) f(x) =
x3
e2x
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = 0 ?
12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h′(0).
Derivada 77
13) g(w) = tgw · ln(3− w2) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
14) v(t) =
s(t)2
3t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s′(1) = 2, obtenha v′(1) .
15) u(y) = 4
√
2y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
16) h(s) =
3
√
s2
1 + s2
. Obtenha ainda, em particular, h′(1).
17) v(t) = ln 2 · log 1
2
(3t2 + 1) . v′(1) e´ positivo, negativo ou zero ? Obtenha v′(1) para
justificar.
18) f(x) = x2 · lnx− x
2
2
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = x ?
19) g(w) = csc2w =
1
sen 2w
. Obtenha ainda, em particular, g′(pi/4).
20) u(y) = tg
[
arc tg
(
1
y
)]
. Obtenha ainda, em particular, u′(
√
3 ) .
21) f(x) = x · (ln 5− 1 + lnx) . Obtenha ainda, em particular, f ′(2) .
22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h′(pi/3).
23) g(w) = ln(w2 − w) + 3
(3w2−w3)
ln 3
. Obtenha ainda, em particular, g′(2).
24) v(t) =
sen [s(t)]
t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = pi/2 e s′(2) = e, obtenha v′(2) .
25) u(y) = 3 · 3√ arc tg y . Obtenha ainda u′(1) e responda se u′(1) e´ maior ou menor
que 1 (mostre as contas).
78 CAPI´TULO 4
Cap´ıtulo 5
Aplicac¸o˜es da Derivada
5.1 Acre´scimos e diferenciais
Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR deriva´vel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
(para cada x onde f for deriva´vel)
∆x e´ chamado ACRE´SCIMO DE x e representa a variac¸a˜o na varia´vel independente x.
Pondo y = f(x) como varia´vel dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa
a VARIAC¸A˜O DA FUNC¸A˜O f (devida ao acre´scimo ∆x ) e
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′(x) .
Enta˜o podemos dizer que ∆y/∆x e´ uma boa aproximac¸a˜o para f ′(x) quando ∆x e´
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
∆x
≈ f ′(x) quando ∆x e´ pequeno
ou enta˜o, de modo equivalente,
(∗) f(x+∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x quando ∆x e´ pequeno
A relac¸a˜o (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximac¸o˜es para a variac¸a˜o da
func¸a˜o, ∆y = f(x+∆x)− f(x) , atrave´s de f ′(x) ·∆x , com ∆x pequeno !!!
79
80 CAPI´TULO 5
Por exemplo, vamos obter uma aproximac¸a˜o para (0, 98)4
Portanto, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximac¸a˜o para a variac¸a˜o da func¸a˜o f quando ∆x e´
pequeno.
f ′(x) · ∆x sera´ denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos tambe´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
dy = f ′(x) ·∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:
Aplicac¸o˜es da Derivada 81
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximac¸o˜es para:
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4√82
(B) A medida de um lado de um cubo e´ encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro ma´ximo no ca´lculo do volume do
cubo.
82 CAPI´TULO 5
(C) A Lei da Gravitac¸a˜o de Newton afirma que a forc¸a F de atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de
massas m1 e m2 e´ dada por F =
g ·m1 ·m2
s2
onde g e´ uma constante e s e´ a distaˆncia entre
as part´ıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variac¸a˜o de
s que aumente F em 10% .
(D) A` medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha coˆnica cuja
altura e´ sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e´ de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variac¸a˜o do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
Aplicac¸o˜es da Derivada 83
Exerc´ıcios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4−3(2, 01)3+4(2, 01)2−5 ,
3
√
65 ,
√
37 , 3
√
0, 00098 ,
√
0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , 1
4
√
15
.
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para ctg 46◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da a´rea de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pe´s.
5) Os lados oposto e adjacente a um aˆngulo θ de um triaˆngulo retaˆngulo acusam medidas
de 10 pe´s e 8 pe´s, respectivamente, com erro poss´ıvel de 1,5 polegada na medida de 10 pe´s.
Use a diferencial de uma func¸a˜o trigonome´trica inversa para obter uma aproximac¸a˜o do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pe´ = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto e´ duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura e´ de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no ca´lculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) e´ o comprimento de um fio de ferro quando esta´ a t graus de temper-
atura, enta˜o l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pe´s) da base de um mastro, o aˆngulo de elevac¸a˜o do topo
do mastro e´ de 60◦, com erro poss´ıvel de 0, 25◦ . Obtenha, com aux´ılio de diferenciais, uma
aproximac¸a˜o do erro no ca´lculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis
lados da caixa va˜o ser feitos de metal com 1/4 cm deespessura. Se o prec¸o do metal que vai
ser usado na fabricac¸a˜o da caixa e´ de R$ 0,80 por cm3, use diferenciais para encontrar o prec¸o
aproximado de todo o metal necessa´rio.
10) A resisteˆncia ele´trica R de um fio e´ proporcional ao seu comprimento l e inversamente
proporcional ao quadrado de seu diaˆmetro d. Suponha que a resisteˆncia de um fio, de compri-
mento dado (fixo), seja calculada a partir do diaˆmetro com uma possibilidade de erro de 2%
na medida do diaˆmetro
(
∆d
d
· 100 = 2
)
. Encontre a poss´ıvel porcentagem de erro no ca´lculo
do valor da resisteˆncia.
84 CAPI´TULO 5
11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacess´ıvel) em relac¸a˜o ao
seu n´ıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti-
cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve
√
17 km como medida da distaˆncia de B ao
ponto A . Pore´m, para medir o aˆngulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro
aparelho, na˜o ta˜o preciso, e obtida a leitura de θ = pi/3 rad, com possibilidade de erro igual a
∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equac¸a˜o que expressa o desn´ıvel h(θ) entre A e B, como func¸a˜o do aˆngulo θ.
(b) Baseado na leitura de θ = pi/3 rad, qual o desn´ıvel h(θ) calculado pelo explorador ?
(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximac¸a˜o para o erro h(θ+∆θ)− h(θ) no ca´lculo
do desn´ıvel.
12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximac¸a˜o para a VARIAC¸A˜O
da a´rea de uma esfera quando seu raio aumenta de
5
pi
cm para
(
5
pi
+ 0, 005
)
cm.
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado a` esfera de
raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua a´rea e´ 4pir2 cm2 e seu volume e´
4
3
pir3 cm3
13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diaˆmetro, voceˆ recebe a oferta
de pagar 10% a mais por um acre´scimo de 3 cm no diaˆmetro. Sem calcular a´reas, USE
DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou na˜o a oferta.
(Sugesta˜o: Calcule aproximadamente o aumento percentual na a´rea devido ao acre´scimo
∆d = 3 cm)
Para qual diaˆmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diaˆmetro com um
aumento de 10% no prec¸o seria justa para ambas as partes (voceˆ e o vendedor) ?
14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde sera´ constu´ıda a
ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens sa˜o desniveladas. Mede-se enta˜o o aˆngulo de
inclinac¸a˜o que a ponte tera´ e obtem-se a medida de 30o, com possibilidade de erro de 1o. Use
diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o do erro no ca´lculo do comprimento da ponte.
15) Um empresa´rio fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura e´
sempre igual ao diaˆmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter
(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se
o raio da base e´ aumentado em 3, 333 . . .% .
Aplicac¸o˜es da Derivada 85
5.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o
Variac¸a˜o me´dia:
Sejam f : X → IR e y = f(x) .
A varia´vel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distaˆncia, volume, a´rea,
etc.) que depende da varia´vel independente x, a qual por sua vez representa tambe´m uma
quantidade de alguma grandeza.
Ja´ vimos que ∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) e´ a variac¸a˜o da func¸a˜o, correspondente a uma
variac¸a˜o de x1 a x1 +∆x (∆x e´ o chamado acre´scimo em x).
Enta˜o
∆y
∆x
=
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
e´ a chamada VARIAC¸A˜O ME´DIA de y por unidade
de variac¸a˜o de x, quando x varia de x1 a x1 +∆x.
Exemplo: Seja S (em cent´ımetros quadrados) a a´rea de um cubo de aresta x (cent´ımetros).
Encontre a raza˜o de variac¸a˜o me´dia da a´rea por unidade de variac¸a˜o no comprimento da aresta
quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm
Variac¸a˜o instantaˆnea:
Quando fazemos ∆x→ 0 no quociente ∆y/∆x
(
lim
∆x→0
∆y
∆x
)
, o limite (quando existir)
sera´ a RAZA˜O (TAXA) DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA de y por unidade de variac¸a˜o de x
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
= f ′(x1) (se existir o limite).
Portanto a derivada f ′(x1) representa a raza˜o (taxa) de variac¸a˜o instantaˆnea de y = f(x)
por unidade de variac¸a˜o de x no instante em que x = x1 .
86 CAPI´TULO 5
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a raza˜o de variac¸a˜o da a´rea do cubo por
variac¸a˜o de cent´ımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (raza˜o) de VARIAC¸A˜O RELATIVA de y por unidade de variac¸a˜o
de x em x1 como sendo
f ′(x1)
f(x1)
(proporc¸a˜o da variac¸a˜o instantaˆnea em relac¸a˜o a` quantidade
f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAC¸A˜O PERCENTUAL,
dada por
f ′(x1)
f(x1)
· 100 .
Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 e´ o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A raza˜o de variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o do raio, quando r varia
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea do volume , por unidade de variac¸a˜o do raio, quando
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de variac¸a˜o relativas do volume, por unidade de variac¸a˜o do raio, quando r = 5
e quando r = 5, 1.
Aplicac¸o˜es da Derivada 87
(B) O lucro de um depo´sito de retalhos e´ de 100y reais quando x reais sa˜o gastos diariamente
em propaganda e y = 2500+ 36x− 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o orc¸amento dia´rio de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O orc¸amento atual e´ de 60 reais dia´rios; (b) O orc¸amento atual e´ de 100 reais dia´rios.
(C) Em um circuito ele´trico, se E e´ a forc¸a eletromotriz, R ohms e´ a resisteˆncia e I amperes
e´ a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma raza˜o que e´ proporcional
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de variac¸a˜o de I por unidade de variac¸a˜o de R quando
R = 20 ohms ?
(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p e´ a pressa˜o, V e´ o volume e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressa˜o seja dada por 20 + 2t
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume e´ de 60 cm3, determine a taxa de variac¸a˜o do
volume por unidade de variac¸a˜o do tempo quando t = 5.
88 CAPI´TULO 5
Um caso particular: interpretac¸a˜o cinema´tica da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posic¸a˜o de um objeto ao longo de uma linha
reta, como func¸a˜o do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 +∆t estava em s(t1 +∆t) , a variac¸a˜o total da
posic¸a˜o do objeto entre os instantes t1 e t1 +∆t e´ dada por
∆s = s(t1 +∆t)− s(t1)
A taxa de variac¸a˜o me´dia de s por unidade de variac¸a˜o de tempo, entre o t1 e t1 +∆t e´
s(t1 +∆t)− s(t1)
∆t
Essa e´ a VELOCIDADE ME´DIA com que o objeto se movimentou de s(t1) ate´ s(t1+∆t)
entre os instantes t1 e t1 +∆t.
A raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea da posic¸a˜o s do objeto por unidade de variac¸a˜o do tempo,
no instante t1 e´ dada por
s′(t1) = lim
∆t→0
s(t1 +∆t)− s(t1)
∆t
Essa e´ a VELOCIDADE INSTANTAˆNEA do objeto no instante t = t1 .
Se s′(t1) > 0 enta˜o a taxa de variac¸a˜o em t1 e´ positiva, ou seja, s esta´ aumentando em t1,
ou melhor, o objeto esta´ se movimentando no sentido adotado como positivo.
Se s′(t1) < 0 , o movimento em t1 e´ contra´rio ao sentido positivo.
Se s′(t1) = 0 enta˜o o objeto esta´ parado no instante t1.
Exemplos:
(A) Um foguete e´ lanc¸ado verticalmente para cima e esta´ a s m do solo t s apo´s ter sidolanc¸ado
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t− 5t2 (o sentido positivo e´ para cima). Determine:
(a) A velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantaˆnea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
(c) Em t = 20 s, o foguete esta´ subindo ou caindo ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 89
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcanc¸ar a sua altura ma´xima ?
(e) Qual a altura ma´xima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra e´ solta de um edif´ıcio de 80 m de altura e a equac¸a˜o do movimento e´ dada por
s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientac¸a˜o positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apo´s ser lanc¸ada ?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcanc¸ar o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantaˆnea) da pedra ao atingir o solo ?
(d) Qual a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?
90 CAPI´TULO 5
Obs.: Assim como definimos a velocidade como variac¸a˜o da posic¸a˜o por unidade de variac¸a˜o
do tempo, definimos a ACELERAC¸A˜O como sendo a variac¸a˜o da velocidade (olhando v = v(t))
por unidade de variac¸a˜o do tempo.
(C) A posic¸a˜o s de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada por s(t) = 2t3−15t2+48t−10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a acelerac¸a˜o quando a velocidade e´
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a acelerac¸a˜o e´ de 10 m/s2.
(D) Um bombardeiro esta´ voando paralelo ao cha˜o a uma altitude de 2 km e a uma veloci-
dade constante de 4, 5 km/min. A que raza˜o varia a distaˆncia entre o bombardeiro e o alvo
exatamente 20 segundos apo´s o bombardeiro passar sobre o alvo ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 91
Exerc´ıcios:
1) O volume de um bala˜o esfe´rico (em pe´s cu´bicos) t horas apo´s 13:00 e´ dado pela equac¸a˜o
V (t) =
4
3
pi(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variac¸a˜o do volume por unidade de variac¸a˜o de
tempo a`s 16:00 ?
2) Suponha que, t segundos apo´s ter comec¸ado a correr, o pulso de um indiv´ıduo tenha sua
taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
variac¸a˜o me´dia de P por unidade de variac¸a˜o de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha
a taxa de variac¸a˜o de P por unidade de variac¸a˜o de t em t = 2, t = 3, t = 4.
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz e´
diretamente proporcional a` intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado
da distaˆncia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distaˆncia de 2 pe´s,
determine a taxa de variac¸a˜o de I por unidade de variac¸a˜o de d, quando d = 20 pe´s.
4) A relac¸a˜o entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala
Celsius, e´ dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variac¸a˜o de F em relac¸a˜o a C ?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de
largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto
e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em func¸a˜o de s e determine a taxa
de variac¸a˜o de V em relac¸a˜o a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume poss´ıvel,
responda se e´ conveniente ou na˜o aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
Obs.: Lembremos que a ACELERAC¸A˜O de um objeto em movimento retil´ıneo e´ a taxa
de variac¸a˜o da velocidade v por unidade de variac¸a˜o do tempo t.
6) Para cada uma das situac¸o˜es abaixo, define-se a posic¸a˜o s de um objeto em movimento
retil´ıneo como func¸a˜o do tempo t. Determine a velocidade e acelerac¸a˜o em cada instante
t e tente descrever o movimento (posic¸a˜o inicial, velocidade inicial, direc¸o˜es do movimento,
quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t2−12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]
(d) s(t) =
1− e−3t
3
, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos pit , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2−4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
7) Lanc¸a-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pe´s apo´s t segs
dada por s(t) = 144t− 16t2 . Obtenha a velocidade e a acelerac¸a˜o iniciais e no instante t = 3
s (descreva o que ocorre). Qual a altura ma´xima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?
92 CAPI´TULO 5
8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equac¸a˜o s(t) =
[ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posic¸a˜o ao longo de um eixo
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e
t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que
instante o objeto pa´ra ? Em que posic¸a˜o isto ocorre ? Qual a acelerac¸a˜o neste instante ?
9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equac¸a˜o s(t) =
10 ln(2t+ 1)
(2t+ 1)
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posic¸a˜o ao longo
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade
nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto esta´ parado ?
(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 ate´ t→ +∞ .
10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equac¸a˜o
s(t) =
2t2
et
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posic¸a˜o ao longo de um eixo orientado,
medida em metros). (a) Obtenha a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t = 2, a
velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e´ a maior (mostre as contas). (b) O que
ocorre com s(t) quando t→ +∞ ? (c) Qual a maior distaˆncia da posic¸a˜o inicial que e´ atingida
pelo objeto ?
11) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equac¸a˜o
s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posic¸a˜o ao longo de um eixo
orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t =
e3 − 1
2
. (b) Obtenha a
velocidade nos instantes t = 0 e t =
e3 − 1
2
. (c) Obtenha a acelerac¸a˜o no instante t = 0 .
(d) O que ocorre com a velocidade e com a acelerac¸a˜o quando t→ +∞ ?
12) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equac¸a˜o
s(t) = 3 − e−t2 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posic¸a˜o ao longo de um eixo
orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e
t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e´ a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com a velocidade instantaˆnea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre
com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distaˆncia da posic¸a˜o inicial que e´ atingida pelo
objeto (se existir)?
Obs.: Para 9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Sec¸o˜es 5.8, 5.9 e 5.10
Aplicac¸o˜es da Derivada 93
5.3 Taxas relacionadas
Em alguns problemas, podemos ter va´rias grandezas relacionadas atrave´s de equac¸o˜es.
Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento esta´ inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua
base, apoiada no cha˜o, esta´ sendo empurrada na direc¸a˜o da parede a uma velocidade de 0,5
m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a
base esta´ a 4 m da parede ?
(B) Infla-se um bala˜o esfe´rico de tal modo que seu volume aumenta a` raza˜o de 5 dm3/min. A
que raza˜o o diaˆmetro do bala˜o cresce quando o diaˆmetro e´ de 12 dm ?
94 CAPI´TULO 5
(C) Um tanque de a´gua com a forma de cone invertido e altura igual ao diaˆmetro esta´ sendo
enchido a` raza˜o de 3 m3/s. Qual a velocidade com que o n´ıvel de a´gua sobe, quando a parte
cheia com a´gua tem 2 m de altura ?
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta esta´ girando com uma
velocidadede 3 rpm (rotac¸o˜es por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regia˜o
costeira quando o aˆngulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol a` praia e´ de pi/4 rad ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 95
Exerc´ıcios:
1) Um papagaio de papel esta´ voando a uma altura de 40m. Um garoto esta´ empinando
o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma raza˜o de 3m/seg. Se a linha
esta´ esticada, com que raza˜o deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta e´
50m ?
2) Um carro que viaja a` raza˜o de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o
carro esta´ a 120m do cruzamento, um caminha˜o que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.
O carro e o caminha˜o esta˜o em estradas que formam aˆngulos retos uma com a outra. Com
que rapidez separam-se o carro e o caminha˜o 2 segundos depois que o caminha˜o passou pelo
cruzamento ?
3) De um orif´ıcio em um recipiente vaza areia, que forma um monte coˆnico cuja altura e´
sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta a` raza˜o de 6 pol/min, determine a taxa de
vazamento da areia quando a altura da pilha e´ 10 pols.
4) Uma laˆmpada colocada em um poste esta´ a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura
caminha afastando-se da laˆmpada a` raza˜o de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade
de sua sombra no instante em que ele esta´ a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua
sombra neste instante ? Qual velocidade e´ a maior, a da extremidade da sombra ou a de
alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p e´ a pressa˜o, v e´ o volume e c
uma constante. Em certo instante, o volume e´ de 75 pols3, a pressa˜o 30 lbs/pol2 e a pressa˜o
decresce a` raza˜o de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de variac¸a˜o do volume neste instante ?
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gra´fico da equac¸a˜o y = ln(x3) (x > 0) e sua abscissa
x varia a` raza˜o de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tambe´m varia a uma raza˜o fixa ?
Qual a taxa de variac¸a˜o da ordenada no ponto (e, 3) ?
7) Quando duas resisteˆncias ele´tricas R1 e R2 sa˜o ligadas em paralelo, a resisteˆncia total
R e´ dada por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam a` raza˜o de 0,01 ohms/s e 0,02
ohms/s, respect., qual a taxa de variac¸a˜o de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu
comprimento aumenta a` taxa de 0,005 cm/min e seu diaˆmetro cresce a` raza˜o de 0,002 cm/min.
Qual a taxa de variac¸a˜o do volume quando o comprimento e´ 40 cm e o diaˆmetro e´ 3 cm ?
96 CAPI´TULO 5
9) Uma escada com 6 m de comprimento esta´ apoiada em um dique inclinado a 60◦ em
relac¸a˜o a` horizontal. Se a base da escada esta´ sendo movida horizontalmente na direc¸a˜o do
dique a` raza˜o de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no
dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avia˜o voa a uma altura constante de 5000 pe´s ao longo de uma reta que o levara´
diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador
nota que o aˆngulo de elevac¸a˜o do avia˜o e´ de 60◦ e aumenta a` raza˜o de 1◦ por segundo, deter-
mine a velocidade do avia˜o neste instante.
11) Um triaˆngulo iso´sceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o aˆngulo entre
os lados iguais varia a` raza˜o de 2◦ por min, com que velocidade varia a a´rea do triaˆngulo
quando θ = 30◦ ?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais pro´ximo P de uma estrada
retil´ınea esta´ sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,
se afastando de P. Determine a taxa de rotac¸a˜o do farol no instante em que o carro esta´ a 1/4
de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura esta´ apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior
da escada e´ puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada
escorrega a` raza˜o de 3 m/s, com que velocidade esta´ variando a medida do aˆngulo entre a
escada e o solo quando a parte inferior da escada esta´ a 3 m da parede ?
14) Um homem num cais esta´ puxando um bote a` raza˜o de 2 m/s por meio de uma corda
(esta e´ a velocidade com que puxa a corda). As ma˜os do homem esta˜o a 30 cm do n´ıvel do
ponto onde a corda esta´ presa no bote. com que velocidade varia a medida do aˆngulo de
deflexa˜o da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda e´
de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura esta´ colocado numa parede, com sua base a 30 cm
acima do n´ıvel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede a` raza˜o
de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do aˆngulo subtendido pelo quadro a seus olhos,
quando o observador estiver a 1 m da parede ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 97
16) Despeja-se a´gua num recipiente de forma coˆnica a` raza˜o de 8 cm3/min. O cone tem
20 cm de profundidade e 10 cm de diaˆmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve
aumentar a profundidade da a´gua no recipiente quando a a´gua estiver a 16 cm do fundo ?
Suponhamos agora que se tenha a informac¸a˜o adicional de que existe um furo no fundo, pelo
qual a a´gua escoa, e que a a´gua esta´ subindo a` raza˜o de 1/8pi cm/min neste instante (quando
a a´gua esta´ a 16 cm do fundo). Com que velocidade a a´gua esta´ escoando ?
17) Uma escada de 5 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Sua base, que
esta´ apoiada no cha˜o, esta´ sendo empurrada na direc¸a˜o da parede a uma velocidade constante
de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca na˜o e´ constante.
(b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base esta´ a 3 m da parede
? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o aˆngulo da escada com
o cha˜o e´ de pi/4 rad ?
18) A luz de um farol que gira a` taxa de 1,5 rpm (rotac¸o˜es por minuto) esta´ iluminando
(acompanhando) um carro que passa numa estrada retil´ınea. (Obs.: O farol esta´ distante da
estrada)
No momento em que o aˆngulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol a` estrada
e´ de pi/3 rad, a distaˆncia do farol ao carro e´ de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do
carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rotac¸a˜o do farol e´ constante. Responda se a velocidade do carro tambe´m
e´ constante e justifique.
19) Uma escada de 4 m esta´ apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada
no cha˜o) e´ empurrada na direc¸a˜o da parede a` raza˜o (constante) de 2 m/s, com que velocidade
esta´ variando a medida do aˆngulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da
escada esta´ a 2 m da parede ? A velocidade de variac¸a˜o deste aˆngulo e´ constante ? (Justifique)
20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto a`s 8 horas da manha˜, um viajando para
leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estara´ variando a distaˆncia entre eles quando for meio-dia ?
(b) Como estara´ variando a a´rea do triaˆngulo formado pelo ponto de partida e as posic¸o˜es
dos ciclistas ao meio-dia ?
21) Um homem num cais esta´ puxando um bote a` raza˜o de 1 m/s por meio de uma corda
(esta e´ a velocidade do bote). As ma˜os do homem esta˜o a 1 m acima do n´ıvel do ponto onde a
corda esta´ presa no bote. Com que velocidade varia a medida do aˆngulo de deflexa˜o da corda
(entre a corda e o movimento do bote) quando o bote esta´ a
√
3 m de distaˆncia (“medidos na
horizontal”) do homem ?
98 CAPI´TULO 5
5.4 Alguns resultados importantes
Pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos:
Definic¸a˜o 5.1. Um ponto c ∈ X e´ um PONTO CRI´TICO de f : X → IR quando f ′(c) = 0
ou na˜o existe f ′(c) .
Exemplos:
(A) Seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x3 − 12x .
(B) Seja g :IR→ IR dada por g(x) = x3 .
(C) Seja h : IR→ IR dada por h(x) = ex .
(D) Seja s : IR→ IR dada por s(x) = cosx .
(E) Seja f2 : IR→ IR dada por f2(x) = (x+ 5)2 3
√
x− 4 .
Aplicac¸o˜es da Derivada 99
Teorema 5.1. Seja f : X → IR uma func¸a˜o. Se c e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo local
de f e c ∈ I (intervalo aberto)⊂ X enta˜o c e´ um ponto cr´ıtico de f , ou seja, f ′(c) = 0 ou
@ f ′(c) .
Consequeˆncia importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b]→ IR e´ uma func¸a˜o cont´ınua,
sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume ma´ximo e mı´nimo absolutos neste intervalo, ou seja,
existem cM e cm em [a, b] tais que f(cM) ≥ f(x) e f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b] .
O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a cM e cm sa˜o os pontos cr´ıticos de f em (a, b)
juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .
Exemplos:
(A) f : [−3, 5]→ IR dada por f(x) = x3 − 12x .
100 CAPI´TULO 5
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = x3 .
Obs.: Este exemplo mostra que na˜o vale a rec´ıproca do Teorema 5.1
(C) (Aplicac¸a˜o) Um fabricante de caixas de papela˜o deseja fazer caixas abertas de pedac¸os
quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo
volume seja ma´ximo.
Aplicac¸o˜es da Derivada 101
O Teorema do Valor Me´dio para Derivadas:
Teorema 5.2. (Rolle) Se f e´ cont´ınua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , deriva´vel
no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b) , enta˜o existe (pelo menos um)
c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0 .
⇓
Teorema 5.3. (Teorema do Valor Me´dio, de Lagrange) Se f e´ cont´ınua em um intervalo
limitado e fechado [a, b] e deriva´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) enta˜o existe
(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) = f ′(c) ·(b−a) , ou seja, f ′(c) = f(b)− f(a)
b− a .
Principais consequeˆncias do Teorema do Valor Me´dio:
Teorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f cont´ınua em um intervalo limitado
e fechado [a, b] e deriva´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) .
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), enta˜o f e´ CRESCENTE em [a, b] .
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), enta˜o f e´ DECRESCENTE em [a, b] .
102 CAPI´TULO 5
Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b), exceto possivelmente em um ponto cr´ıtico c ∈ (a, b) .
(i) Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local de f .
(ii) Se f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , enta˜o c e´ ponto de mı´nimo local de f .
(iii) Se f ′(x) > 0 ∀ x 6= c em (a, b) ou se f ′(x) < 0 ∀ x 6= c em (a, b) enta˜o c na˜o e´ nem
ma´ximo nem mı´nimo local de f .
Exemplos:
(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha ma´ximos ou mı´nimos
locais de g e onde g e´ crescente ou decrescente.
Aplicac¸o˜es da Derivada 103
(B) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .
(C) Seja h : IR→ IR dada por h(x) = x1/3(8− x) ∀ x ∈ IR .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(x) = (x+ 5)2 3√x− 4 ∀ x ∈ IR .
5.5 Concavidade e pontos de inflexa˜o
Derivadas de ordem superior:
Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR→ IR dada por f(x) = 2x3 − 5x2 + x+ 2 .
Para todo x ∈ IR existe f ′(x) = 6x2 − 10x+ 1 .
Podemos considerar portanto a func¸a˜o f ′ : IR→ IR dada por f ′(x) = 6x2 − 10x+ 1
e indagar se ela e´ deriva´vel ou na˜o, ou seja, se existe lim
x→a
f ′(x)− f ′(a)
x− a = f
′′(a) para cada
a ∈ IR (existindo, f ′′(a) e´ chamada a derivada segunda de f em a).
Como f ′ (neste exemplo) e´ polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f ′′(x) = 12x− 10
e temos portanto uma nova func¸a˜o f ′′ : IR→ IR dada por f ′′(x) = 12x− 10 ∀ x ∈ IR (f ′′ e´
a func¸a˜o derivada segunda de f .
Podemos pensar (novamente) em derivar f ′′ e assim por diante...
(Exemplos)
Obs.: (A) Ja´ interpretamos f ′ como taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y = f(x) por unidade
de variac¸a˜o de x.
Como f ′′ e´ a derivada de f ′, enta˜o f ′′ e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f ′(x) por unidade
de variac¸a˜o de x.
Em resumo: f ′ mede a variac¸a˜o de f ;
f ′′ mede a variac¸a˜o de f ′ ;
f ′′′ mede a variac¸a˜o de f ′′ e assim por diante ...
(B) Vimos tambe´m que se s = s(t) representa a posic¸a˜o s de um objeto ao longo de uma
linha reta, como func¸a˜o do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTAˆNEA) a taxa
de variac¸a˜o instantaˆnea de s por unidade de variac¸a˜o de t, ou seja, v(t) = s′(t) .
Derivando novamente, temos a variac¸a˜o da velocidade v′(t) = s′′(t) (derivada segunda de
s), a qual chamamos de ACELERAC¸A˜O no instante t.
104 CAPI´TULO 5
Testes de concavidade:
Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f deriva´vel em um intervalo aberto contendo c .
(i) Se existe f ′′(c) > 0 enta˜o no ponto ponto (c, f(c)) o gra´fico de f tem a concavidade
voltada para cima.
(ii) Se existe f ′′(c) < 0 enta˜o no ponto ponto (c, f(c)) o gra´fico de f tem a concavidade
voltada para baixo.
Exemplos:
(A) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = x3 ∀ x ∈ IR .
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .
Aplicac¸o˜es da Derivada 105
(C) Seja h : (0,+∞)→ IR dada por h(x) = lnx ∀ x > 0 .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(x) = senx ∀ x ∈ IR .
(E) Seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .
Definic¸a˜o 5.2. (Ponto de inflexa˜o) Um ponto (c, f(c)) do gra´fico de uma func¸a˜o f , f cont´ınua
em c, e´ chamado um PONTO DE INFLEXA˜O quando neste ponto a concavidade “muda
de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes
situac¸o˜es ocorre:
(i) f ′′(x) > 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) < 0 se x ∈ (c, b) ;
(ii) f ′′(x) < 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (c, b) .
106 CAPI´TULO 5
Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f e´ deriva´vel em um intervalo aberto contendo
c e f ′(c) = 0, temos:
(i) Se f ′′(c) < 0 enta˜o f tem ma´ximo local em c ;
(ii) Se f ′′(c) > 0 enta˜o f tem mı´nimo local em c .
Obs.: Se f ′′(c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).
Exemplo: Seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x3 − 12x .
Resumindo:
• f ′ mede a variac¸a˜o de f ; Sinal de f ′: crescimento e decrescimento de f ;
Teste da Derivada Primeira: ma´ximos e/ou mı´nimos.
• f ′′ mede a variac¸a˜o de f ′; Sinal de f ′′: concavidade do gra´fico de f ;
Teste da Derivada Segunda: ma´ximos e/ou mı´nimos.
5.6 Aplicac¸o˜es em problemas de ma´ximos e/ou mı´nimos
(A) Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima que pode ser inscrito num triaˆngulo
equila´tero de lado a, com dois dos ve´rtices sobre um dos lados do triaˆngulo.
Aplicac¸o˜es da Derivada 107
(B) Os pontos A e B sa˜o opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de
largura. O ponto C esta´ na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com-
panhia telefoˆnica deseja estender um cabo de A ate´ C. Se o custo por km do cabo e´ 25% mais
caro sob a a´gua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
(C) Um cartaz de 20 pe´s de altura esta´ localizado no topo de um edif´ıcio de tal modo que
seu bordo inferior esta´ a 60 pe´s acima do n´ıvel do olho de um observador. Use func¸o˜es
trigonome´tricas inversas para determinar a que distaˆncia de um ponto diretamente abaixo
do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o aˆngulo entre as linhas de visa˜o do
topo e da base do cartaz.
108 CAPI´TULO 5
Exerc´ıcios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pe´s cu´bicos,
determine as dimenso˜es que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e
aperda de material). Refac¸a o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimenso˜es do cone circular reto de volume ma´ximoque pode ser inscrito
numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para
formar uma calha, dobrando-se em aˆngulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas
polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja ma´xima ? Refac¸a o
problema considerando que os lados da calha devam fazer um aˆngulo de 2pi/3 rad com a base.
4) Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea que tem 200 cm de per´ımetro.
5) Determine o ponto do gra´fico de y = x3 mais pro´ximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos
de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (ate´ 600), o prec¸o unita´rio
tem um desconto igual a US$0,02 vezes o nu´mero de encomendas. Qual volume de encomendas
proporciona maior receita para o fabricante ?
7) A`s 13:00 horas um navio A esta´ a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte
a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B esta´ navegando rumo oeste a 10 mph, determine o
instante em que a distaˆncia entre os dois navios e´ mı´nima.
8) Uma ilha esta´ num ponto A, a 6 km do ponto B mais pro´ximo numa praia reta. Um
armaze´m esta´ num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar a` raza˜o de 4
km/h e caminhar a` raza˜o de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armaze´m
no menor tempo poss´ıvel ?
9) Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) Jose´ comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir a` Copa do Mundo. A TV tem
uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distaˆncia dos olhos de Jose´, quando ele estiver
sentado confortavelmente em seu sofa´, xingando aqueles miliona´rios que esta˜o jogando � vezes
o que deveriam para ganhar a Copa (�→ 0). Sabendo que os olhos de Jose´, ao sentar-se, esta˜o
a 1,5 m de altura do solo e num n´ıvel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura
do solo deve ser colocada a TV para que o aˆngulo de visa˜o de Jose´ seja ma´ximo ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 109
11) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens
opostas e um rio retil´ıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto sera´ constru´ıda sob a a´gua,
de A ate´ um ponto C na margem oposta, e o restante a` superf´ıcie, de C ate´ B. Se o custo de
construc¸a˜o do oleoduto sob a a´gua e´ quatro vezes o custo da construc¸a˜o a` superf´ıcie, determine
a localizac¸a˜o de C que minimize o custo de construc¸a˜o.
12) O proprieta´rio de um pomar estima que, plantando 24 a´rvores por are, cada a´rvore
produzira´ 600 mac¸a˜s por ano. Para cada a´rvore adicional plantada por are, havera´ uma
reduc¸a˜o de 12 mac¸a˜s por pe´ por ano. Quantas a´rvores deve plantar por are para maximizar o
nu´mero de mac¸a˜s (por are por ano) ?
13) Um piloto de testes da Fo´rmula 1 percorre um circuito el´ıptico plano, de forma que
sua posic¸a˜o, apo´s t vezes 10-segundos, e´ dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (fac¸a um
esboc¸o da trajeto´ria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t
e´ dado por v(t) = s′(t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboc¸o). A velocidade (tangencial)
escalar e´ dada pelo mo´dulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o deve completar pelo
menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcanc¸a as velocidades ma´ximas
e mı´nimas. (Sugesta˜o: maximizar e minimizar |v(t)|2)
14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua a´rea total e´
S = (2pir2 + 2pirh) cm2 e seu volume e´ V = pir2h cm3 . DENTRE TODOS OS CILINDROS
DE A´REA TOTAL S = 12pi cm2 , obtenha as dimenso˜es (r e h) daquele que tem o maior
volume poss´ıvel e fornec¸a o maior volume que pode ser obtido.
15) Quando duas resisteˆncias ele´tricas R1 e R2 sa˜o ligadas em paralelo, a
resisteˆncia total R e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1+R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja ma´xima. (Sugesta˜o: Exprima R como func¸a˜o de uma u´nica varia´vel para enta˜o resolver o
problema) E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mı´nima ? Justifique a resposta.
16) Um fazendeiro dispo˜e de 1km de cerca. Uma parte da cerca sera´ utilizada para cercar
uma a´rea circular e o restante para cercar uma a´rea quadrada. Ele tambe´m pode utilizar toda
a cerca para cercar uma u´nica a´rea (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que:
(a) A a´rea total cercada seja a menor poss´ıvel; (b) A a´rea total cercada seja a maior poss´ıvel.
17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME
MA´XIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio
3
2
m.
110 CAPI´TULO 5
5.7 Aplicac¸o˜es em esboc¸os de gra´ficos
Dada uma func¸a˜o f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para
fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Algumas dicas:
1) Obter a derivada primeira f ′ e os pontos cr´ıticos (onde f ′ se anula ou na˜o existe);
2) Estudando o sinal de f ′, obter informac¸o˜es sobre o crescimento/decrescimento de f ;
3) Obter a derivada segunda f ′′ e estudar o seu sinal para obter informac¸o˜es sobre a
concavidade do gra´fico de f ;
4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir
ma´ximos ou mı´nimos locais;
5) Obter alguns pontos do gra´fico para ajudar no esboc¸o (pontos de ma´ximo ou mı´nimo,
pontos de intersec¸a˜o com os eixos coordenados, etc.);
6) Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -
busca de ass´ıntotas horizontais (*);
7) Observar quando f(x)→ ±∞ - busca de ass´ıntotas verticais (*).
(*) Veremos estes dois u´ltimos ı´tens com mais detalhes nas pro´ximas aulas.
Exemplo: Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 5x3 − x5 .
Aplicac¸o˜es da Derivada 111
5.8 Apeˆndice A : Limites no infinito
Noc¸a˜o ba´sica:
Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se poss´ıvel) o comportamento de f(x) quando
x→ ±∞ .
Dizemos que um nu´mero real L e´ o limite de f(x) quando x→ +∞ e escrevemos
lim
x→+∞
f(x) = L
quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L a` medida que x cresce indefinidamente,
ou seja, quando x→ +∞ .
Neste caso, a reta y = L e´ chamada uma ASSI´NTOTA HORIZONTAL do gra´fico de f .
Analogamente, escrevemos lim
x→−∞
f(x) = M ∈ IR quando f(x) se aproxima tanto
quanto quisermos de M a` medida que x→ −∞ .
Neste caso tambe´m y = M e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Exemplos:
(A) f : [2,+∞)→ IR dada por f(x) = 1
x
.
112 CAPI´TULO 5
(B) g : (−∞, 3)→ IR dada por g(x) =
 4 +
1
x
se x ≤ −1
6 se −1 < x < 3
(C) u : IR→ IR dada por u(x) = senx .
Teoremas sobre limites no infinito:
Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptac¸o˜es.
Por exemplo: Se lim
x→+∞
f(x) = L e lim
x→+∞
g(x) = M , enta˜o podemos comcluir que
lim
x→+∞
f(x)± g(x) = L±M , lim
x→+∞
f(x) · g(x) = L ·M , lim
x→+∞
f(x)/g(x) = L/M se M 6= 0
(analogamente para x→ −∞ )
Alguns limites ba´sicos no infinito:
1) lim
x→±∞
c = c
2) Se k ∈ Q, k > 0 e c 6= 0 enta˜o lim
x→±∞
c
xk
= 0 (se fizerem sentido)
3) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e 4) lim
x→+∞
lnx
x
= 0
5) lim
x→−∞
ex = 0 6) lim
x→+∞
1
ex
= 0 7) lim
x→+∞
1
lnx
= 0
Aplicac¸o˜es da Derivada 113
Exemplos:
(A) lim
x→+∞
−5x3 + 2x
x3 − 4x2 + 3
(B) lim
x→−∞
3x− 4
5x2
(C) lim
x→+∞
√
5x2 − 6
4x+ 3
(D) lim
x→−∞
sen x
x
(E) (Exerc´ıcio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre
que x ≥ 1 (Sugesta˜o: Mostre que f(x) = ex − x e´ crescente em [1,+∞) e f(1) > 0 ) e
concluaque lim
x→+∞
1
ex
= 0 .
(F) (Exerc´ıcio) Mostre que lim
x→+∞
e−x
2
= 0 (Sugesta˜o: Mostre que 0 < e−x
2
=
1
ex2
<
1
ex
quando x→ +∞ e aplique o Sandu´ıche).
114 CAPI´TULO 5
5.9 Apeˆndice B : Limites infinitos
Dada f : X → IR e a ∈ X ′ , vamos estudar agora, para aux´ılio no esboc¸o do gra´fico de f ,
a situac¸a˜o na qual NA˜O EXISTE o lim
x→a
f(x) (f na˜o pode ser cont´ınua em a) e, AINDA
ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x 6= a).
Escrevemos lim
x→a
f(x) = +∞ quando f(x)→ +∞ a` medida que x→ a (x 6= a) .
Neste caso, a reta x = a e´ chamada uma ASSI´NTOTA VERTICAL do gra´fico de f :
Analogamente, lim
x→a
f(x) = −∞ quando f(x)→ −∞ a` medida que x→ a (x 6= a) .
Neste caso tambe´m dizemos que x = a e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f :
Observac¸o˜es:
1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim
x→a+
f(x) ou lim
x→a−
f(x) .
2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim
x→a
f(x) NA˜O EXISTE (na˜o e´ um nu´mero
real). Apenas escrevemos lim
x→a
f(x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de
f(x) quando x se aproxima de a.
Aplicac¸o˜es da Derivada 115
Exemplos:
(A) lim
x→−3
1
(x+ 3)2
= +∞
(B) lim
x→2+
1
(x− 2)3 = +∞
lim
x→2−
1
(x− 2)3 = −∞
(C) Em geral:
Se n e´ PAR: lim
x→a
1
(x− a)n = +∞
Se n e´ I´MPAR: lim
x→a+
1
(x− a)n = +∞ e limx→a−
1
(x− a)n = −∞
(D) lim
x→0+
lnx = −∞
(E) lim
θ→pi/2−
tg θ = +∞
Proposic¸a˜o 5.1. (Para ajudar no ca´lculo de alguns limites infinitos)
Sejam lim
x→a
f(x) = +∞ , lim
x→a
g(x) = c ∈ IR , lim
x→a
h(x) = −∞ . Temos:
1) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = +∞ , lim
x→a
[h(x) + g(x)] = −∞ .
2) lim
x→a
g(x)
f(x)
= 0 , lim
x→a
g(x)
h(x)
= 0 .
3) c > 0 ⇒ lim
x→a
f(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a
h(x) · g(x) = −∞ , lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞ ,
lim
x→a
h(x)
g(x)
= −∞ .
c < 0 ⇒ lim
x→a
f(x) · g(x) = −∞ , lim
x→a
h(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞ , lim
x→a
h(x)
g(x)
= +∞
Obs.: Valem resultados ana´logos para limites laterais.
116 CAPI´TULO 5
Exemplos:
(A) f(x) =
2x2
x2 − 9
(B) lim
x→−pi/2+
sen x tg x
(C) lim
x→0+
x4 +
√
2
lnx
Aplicac¸o˜es da Derivada 117
Observac¸a˜o: De modo inteiramente ana´logo ao que fizemos para lim
x→a
f(x) = ±∞ ,
podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposic¸a˜o anterior
continuam va´lidos! (apenas na˜o temos mais as ass´ıntotas verticais nestes casos)
(D) lim
x→+∞
x = +∞ , lim
x→−∞
x = −∞
(E) lim
x→+∞
ex = +∞ (F) lim
x→+∞
lnx = +∞
(G) lim
x→+∞
−5x4 + 3x+ 2
Observac¸a˜o: As concluso˜es que na˜o podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos
com limites infinitos:
Devemos sempre tomar cuidado com operac¸o˜es entre func¸o˜es que teˆm LIMITES INFINI-
TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAC¸O˜ES, que sa˜o as formas cujos com-
portamentos NA˜O PODEMOS PREVER A PRIORI.
Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAC¸O˜ES:
0
0
,
∞
∞ , 0 · ∞ , 0
0 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞
Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as func¸o˜es dadas de modo que
possamos ELIMINAR AS INDETERMINAC¸O˜ES. (EXEMPLOS)
118 CAPI´TULO 5
5.10 Apeˆndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital
As formas
0
0
,
∞
∞ , 0 · ∞ , 0
0 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞ sa˜o todas consideradas
INDETERMINAC¸O˜ES.
Ale´m de tentarmos trabalhar com as expresso˜es que geram as indeterminac¸o˜es visando
ELIMINA´-LAS, veremos a seguir alguns me´todos para atacar estes problemas.
C.1) Indeterminac¸o˜es do tipo
0
0
ou
∞
∞ :
Uma ferramenta muito u´til e´ a ...
Regra de L’Hopital:
Suponhamos que
f(x)
g(x)
tome a forma indeterminada
0
0
ou
∞
∞ quando x → c ou
x→ ±∞ . Se f
′(x)
g′(x)
tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x→ c (ou x→ ±∞ ), enta˜o
lim
f(x)
g(x)
= lim
f ′(x)
g′(x)
Exemplos:
(A) lim
x→0
3− 2x− 3 cos x
5x
(B) lim
x→+∞
lnx
x
Aplicac¸o˜es da Derivada 119
(C) lim
x→+∞
e2x
x2
Obs.: CUIDADO! Na˜o saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente
se tem uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0 ou ∞/∞ .
C.2) Indeterminac¸o˜es do tipo 0 · ∞ :
Escrevendo-se f(x) · g(x) = f(x)
1/g(x)
ou f(x) · g(x) = g(x)
1/f(x)
recai-se numa forma do tipo
0/0 ou ∞/∞ .
Exemplos:
(A) lim
x→0+
x · lnx
(B) lim
x→+∞
(
arc tg x− pi
2
)
· x
120 CAPI´TULO 5
C.3) Indeterminac¸o˜es do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :
O roteiro abaixo pode ser u´til nestes casos:
0) Seja f(x)g(x) a expressa˜o que gera a indeterminac¸a˜o;
1) Tome y = f(x)g(x) ;
2) Tome logar´ıtmos: ln y = ln f(x)g(x) = g(x) · ln f(x) (e recaia em casos ja´ vistos);
3) Determine lim ln y (se existir);
4) Se lim ln y = L enta˜o lim y = eL . (Atenc¸a˜o: Na˜o pare em 3)
Exemplos:
(A) lim
x→+∞
x1/x
(B) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
(C) lim
x→+∞
x1/ lnx
Aplicac¸o˜es da Derivada 121
C.4) Indeterminac¸o˜es do tipo ∞−∞ :
Trabalhe com a expressa˜o para cair em casos conhecidos !
Exemplos:
(A) lim
x→pi/2−
(sec x− tg x)
(B) lim
x→0+
(
1
ex − 1 −
1
x
)
Exerc´ıcio:
APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de cada
func¸a˜o f dada a seguir:
Roteiro:
a. Obtenha a derivada primeira f ′ e os pontos cr´ıticos de f .
b. Estudando o sinal de f ′, obtenha informac¸o˜es sobre o crescimento/decrescimento de f .
c. Obtenha a derivada segunda f ′′ e estude seu sinal para obter informac¸o˜es sobre a concavidade
do gra´fico de f .
d. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir ma´ximos
ou mı´nimos locais.
e. Obtenha alguns pontos do gra´fico de f para ajudar no esboc¸o (pontos de ma´ximo ou mı´nimo,
pontos de intersec¸a˜o com os eixos coordenados, etc.).
f. Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca
de ass´ıntotas horizontais.
g. Observar quando f(x)→ ±∞ - busca de ass´ıntotas verticais.
122 CAPI´TULO 5
1) f(x) = 4− x2 2) f(x) = x3
3) f(x) = x3 − 9x 4) f(x) = x4 − 6x2
5) f(x) = 1− 3√x 6) f(x) = x
2
1 + x2
7) f(x) = 10x3(x− 1)2 8) f(x) = 3√x (8− x)
9) f(x) = (x+ 5)2 3
√
x− 4 10) f(x) = x2/3(x2 − 8)
11) f(x) = x3 +
3
x
(x 6= 0) 12) f(x) = 1
x(x− 3)2 (x 6= 0, 3)
13) f(x) =
2x2
1− x2 (x 6= ±1) 14) f(x) =
3x2
(x− 9)2 (x 6= 9)
15) f(x) = ex 16) f(x) = e−x 17) f(x) = ex − x
18) f(x) = e−x
2
19) f(x) = lnx (x > 0)
20) f(x) = e1/x (x 6= 0) 21) f(x) = x
ex
22) f(x) =
lnx
x
(x > 0)
23) coshx =
ex + e−x
2
senh x =
ex − e−x
2
tgh x =
ex − e−x
ex + e−x
24) f(x) = arc tg x
25) f(x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4pi] )
26) f(x) = 2 cosx+ sen 2x (x ∈ [0, 2pi] )
27) f : IR− {4} → IR dada por f(x) = 2x
2
(x− 4)2 28) f : IR→ IR dada por f(x) =
3x
ex
29) f : IR→ IR dada por f(x) = x
2
ex
30) f : IR− {±2} → IR dada por f(x) = x
2
4− x2
31) f : IR− {1} → IR , f(x) = −3x
(1− x)2 . 32) f : IR− {0} → IR , f(x) = x · ln(x
2) .
33) f : IR− {0} → IR dada por f(x) = e
x
x3
34) f : IR→ IR dada por f(x) = 3√1− x2
35) f : IR→ IR dada por f(x) = 2x
2
1 + x2
∀ x ∈ IR .
Aplicac¸o˜es da Derivada 123
5.11 Apeˆndice D: Aproximac¸o˜es via
Polinoˆmios de Taylor
Recordando...
Quando estudamos acre´scimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR e´ deriva´vel em
x ∈ X, ou seja, se existe f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
, enta˜o a variac¸a˜o da func¸a˜o y = f(x),
dada por ∆y = f(x + ∆x) − f(x) , pode ser aproximada por f ′(x) ·∆x quando ∆x esta´
pro´ximo de 0:
∆y = f(x+∆x)− f(x) ≈ f ′(x) ·∆x = dy quando ∆x→ 0
Isto e´ o mesmo que
f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x .
Geometricamente:
A ide´iae´ aproximar o gra´fico de f por uma reta numa vizinhanc¸a em torno de x. A reta que
melhor cumpre esse papel e´ a reta tangente ao gra´fico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente
angular e´ f ′(x) . Quando fazemos essa aproximac¸a˜o, cometemos um erro r = r(∆x) .
Quanto menor e´ |∆x| , ou seja, quanto mais pro´ximos esta˜o ∆x e 0, melhor a aproximac¸a˜o
obtida e menor e´ o erro cometido.
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximac¸o˜es cada vez melhores ?
Resposta: SIM ! (sob certas condic¸o˜es)
124 CAPI´TULO 5
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR e´ duas vezes deriva´vel em um ponto x ∈ I enta˜o, se
x+∆x ∈ I , temos
f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x+ f
′′(x)
2!
· (∆x)2 (∆x pequeno)
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor e´ a aproximac¸a˜o.
Pore´m, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinoˆmio do 2o grau, ou
seja, geometricamente, o gra´fico de f e´ aproximado por um arco de para´bola e a expectativa
e´ que isto funcione melhor como aproximac¸a˜o do que uma reta:
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR e´ n−vezes deriva´vel em um ponto x ∈ I enta˜o, se
x+∆x ∈ I , temos:
f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x+ f
′′(x)
2!
· (∆x)2 + f
′′′(x)
3!
· (∆x)3 + . . .+ f
(n)(x)
n!
· (∆x)n
e quanto menor |∆x|, melhor e´ a aproximac¸a˜o.
Obs.:
1) Como o ponto x ∈ I, onde a func¸a˜o e´ n−vezes deriva´vel, esta´ fixo e ∆x varia (∆x→ 0),
vamos adotar uma NOVA NOTAC¸A˜O:
f : I → IR n−vezes deriva´vel em um ponto a ∈ I . Se a+ h ∈ I , temos:
f(a+ h) ≈ f(a) + f ′(a) · h+ f
′′(a)
2!
· h2 + f
′′′(a)
3!
· h3 + . . .+ f
(n)(a)
n!
· hn
e quanto menor |h| , melhor e´ a aproximac¸a˜o.
Aplicac¸o˜es da Derivada 125
2) Se f : I → IR e´ n−vezes deriva´vel em um ponto a ∈ I , definimos o POLINOˆMIO DE
TAYLOR DE GRAU n DA FUNC¸A˜O f NO PONTO a:
Pn,f(a)(h) = a0 + a1 · h+ a2 · h2 + . . .+ an · hn
sendo a0 = f(a) , a1 = f
′(a) , a2 =
f ′′(a)
2!
, . . . , an =
f (n)(a)
n!
, ou seja,
ai =
f (i)(a)
i!
i = 1, 2, . . . , n
Neste caso temos:
f(a+ h) ≈ Pn,f(a)(h)
Exemplos:
(A) f(x) = ex , a = 0 , n = 5 .
(B) g(x) = senx , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cosx , a = 0 , n = 10 (Exerc´ıcio)
126 CAPI´TULO 5
Buscando estimativas: A Fo´rmula de Taylor:
Teorema 5.8. (Fo´rmula de Taylor)
Se uma func¸a˜o f e´ n + 1 vezes deriva´vel em um intervalo aberto I contendo x = a enta˜o,
se a+ h ∈ I, temos:
f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ f
′′(a)
2!
· h2 + . . .+ f
(n)(a)
n!
· hn + f
(n+1)(z)
(n+ 1)!
· hn+1
com z = z(n, h) entre a e a+ h.
• Continuamos tendo f(a+ h) ≈ Pn,f(a)(h) quando h esta´ pro´ximo de 0.
• Rn(h) = f
(n+1)(z)
(n+ 1)!
· hn+1 e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o f(a+ h) ≈ Pn,f(a)(h)
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A Fo´rmula de Taylor nos permite, ale´m de aproximar f(a + h) por Pn,f(a)(h) , tentar
obter estimativas para o erro cometido.
(Exemplo)
Aplicac¸o˜es da Derivada 127
Indo um pouco mais ale´m: A Se´rie de Taylor:
Uma func¸a˜o f : I (intervalo aberto)→ IR e´ chamada ANALI´TICA quando para cada a ∈ I
admite o desenvolvimento em Se´rie de Taylor numa vizinhanc¸a em torno de a:
f(a+ h) = f(a) + f ′(a) · h+ f
′′(a)
2!
· h2 + f
′′′(a)
3!
· h3 + . . .
Quando a + h esta´ pro´ximo de a (o quanto, depende de f e sua Se´rie) a soma a` direita,
chamada a SE´RIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)
f(a+ h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a+ h).
Obs.:
1) Uma func¸a˜o anal´ıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As func¸o˜es cla´ssicas p(x) = a0+a1x+. . .+anx
n , ex, sen x, cosx, lnx sa˜o todas anal´ıticas.
Exemplos:
(A) f : IR→ IR dada por f(x) = ex em torno de a = 0 .
(B) g : IR→ IR dada por g(x) = senx em torno de a = 0 .
Exerc´ıcio: Obtenha a Se´rie de Taylor de f(x) = lnx em torno do ponto a = 1 .
128 CAPI´TULO 5
Cap´ıtulo 6
Respostas dos exerc´ıcios
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 1.4:
1) (a) (−1/2,+∞) (b) (−∞, 68/19) (c) (−5/3, 4/3) (d) (−∞, 0) ∪ (20/3,+∞)
(e) [−3, 3] (f) (−∞, 1) ∪ (2,+∞) (g) [−1, 1/2] (h) (−∞,−3) ∪ (2,+∞)
(i) (−1, 1)∪(1,+∞) (j) (−∞,−4]∪[−1, 1] (k) (−∞, 0] (l) (−∞,−1]∪[1,+∞)∪{0}
(m) (−∞, 3) ∪ (4,+∞) (n) (−14,−4) (o) (−∞, 5) ∪ [13/2,+∞) (p) (2,+∞)
(q) (−∞,−2]∪{1} (r) (−∞,−5/2]∪ (−1, 2) (s) (−∞,−1/2) (t) [2/3,+∞)∪{1/2}
2) (a) {−9/5, 3} (b) {1/4, 11/2} (c) {2/5, 8/9} (d) {4/3, 3}
(e) {4/11, 4} (f) {−7/2, 3/4} (g) {−11/10, 11/8} (h) {8}
3) (a) (−19,−5) (b) [2/3, 2] (c) (−∞,−2/3] ∪ [7/3,+∞)
(d) (−∞, 1) ∪ (4,+∞) (e) (−10,−2/3) (f) (−∞,−2/3] ∪ [10,+∞)
(g) (−∞,−5) ∪ (1,+∞) (h) [9/7, 19] (i) (−∞,−5/2] ∪ [3/2,+∞)
(j) (−6,−3) ∪ (−1, 2) (k) (2, 14/3)− {3} (l) (−∞, 11/7] ∪ [3,+∞)− {1/2}
129
130 CAPI´TULO 6
(m) φ (n) φ (o) [−3/2, 0] (p) (−∞,−2) ∪ (2/3,+∞)
(q) [−2, 4]− {−1, 3} (r) (0,+∞) (s) (−∞,−7/2] ∪ [−1/6,+∞)
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2
Exerc´ıcio da Sec¸a˜o 2.1:
(A) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f1(0) = 4 .
f1 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
(B) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor ma´ximo absoluto f2(1) = 3 .
Mı´nimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor mı´nimo absoluto f2(3) = −5 .
(C) Mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor mı´nimo absoluto f3(0) = 0 .
(D) Ma´ximo local em x = 0 onde assume o valor ma´ximo local f4(0) = 4 . Mı´nimo
absoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor mı´nimo absoluto f4(2) = 0 .
(E) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f5(0) =
1 . Mı´nimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor mı´nimo absoluto
f5(−1) = 0 .
(F) f6 na˜o e´ func¸a˜o.
(G) Ma´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor ma´ximo local f7(−2) =
−3 . Mı´nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor mı´nimo absoluto
f7(−4) = −3 .
(H) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor ma´ximo absoluto f8(2) = 2 .
f8 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
(I) f9 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo.
(J) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f10(0) = 0 .
f10 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.3:
1) (a) IR− {7} (b) −263
98
(c) f ◦ h : IR− {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) = 8x+ 4
x− 7
(d) h2(5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) = 11
7
2) (a) Im (f1) = [−2,+∞) , f1 na˜o e´ limitada, x = −4 e´ ponto de mı´nimo absoluto.
f1 e´ decrescente em (−∞,−4] e crescente em [−4,+∞) . f1 e´ polinomial.
Respostas dos exerc´ıcios 131
(b) Im (f2) = (−∞, 3] , f2 na˜o e´ limitada, x = 2 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f2 e´
crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2,+∞) . f2 e´ polinomial.
(c) Im (f3) = [0,+∞) , f3 na˜o e´ limitada, x = 2 e´ ponto de mı´nimo absoluto. f3 e´
decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2,+∞) . f3 e´ polinomial.
(d) Im (f4) = [−∞, 0] , f4 na˜o e´ limitada, x = −2 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f4 e´
crescente em (−∞,−2] e decrescente em [−2,+∞) . f4 e´ polinomial.
(e) Im (f5) = IR , f5 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f5 e´ crescente
(em todo seu domı´nio). f5 e´ polinomial.
(f) Im (f6) = IR , f6 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f6 e´ decrescente
(em todo seu domı´nio). f6 e´ polinomial.
(g) Im (f7) = [0, 5] , f7 e´ limitada, x = 0 e´ ponto de mı´nimo absoluto, x = 3 e´ ponto
de ma´ximo local. f7 e´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .
(h) Im (f8) = IR − {0} , f8 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f8 e´
decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2,+∞) . f8 e´ racional.
(i) Im (f9) = [−2,−1/6] , f9 e´ limitada, x = −4 e´ ponto de mı´nimo absoluto, x = 7 e´
ponto de ma´ximo absoluto. f9 e´ crescente (em todo seu domı´nio). f9 e´ racional.(j) Im (f10) = [0,+∞) , f10 na˜o e´ limitada, x = 0 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f10 e´
crescente (em todo seu domı´nio).
3) (a) A : (0,+∞)→ IR dada por A(x) = 6x2 ;
(b) A : (0,+∞)→ IR dada por A(x) = 2x2 + 4V
x
;
(c) l : [0, 4]→ IR dada por l(x) = 2√16− x2 .
4) l = g ◦ f , com f : [0, 4]→ IR dada por f(x) = 16− x2 e g : [0,+∞)→ IR dada por
g(x) = 2
√
x .
5) S =
(
−∞ , 2
3
)
7) (a) (g ◦ f)(x) = x e (f ◦ g)(y) = y
(b) Os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` reta y = x .
(c) g[−5, 3]→ [1, 3] dada por g(y) = √4− y .
8) (b) m0(h) = −h + 4 e´ o coeficiente angular da reta secante ao gra´fico de f , passando
pelos pontos (0, f(0)) e (h, f(h)).
(c) Como h varia, o ponto (h, f(h)) varia sobre o gra´fico de f , enquanto que o ponto
(0, f(0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da
132 CAPI´TULO 6
reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f(0)) e m0(h) se aproxima do coeficiente angular
dessa tangente.
(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) e´ o ve´rtice da para´bola.
(e) ma(h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.
10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + x
10
(x e´ o nu´mero de salgadinhos
elaborados)
11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Prec¸o o´timo de venda:
x = 301 .
12) (a) P : [0,+∞) dada por P (x) = 10 + x
2
.
(b) R$ 14,00.
13) 105 passageiros.
14) L : [0,+∞)→ IR dada por L(q) = −q2 + 100q − 475 .
(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;
(b) Em q = 50 acontecera´ lucro ma´ximo.
Exerc´ıcio da Sec¸a˜o 2.4:
1) Im (f1) = IR . f1 na˜o e´ limitada. f1 e´ crescente em todo o seu domı´nio. f1
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. f1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa f−11 : IR→ IR dada por f−11 (y) =
y + 1
3
.
2) Im (g1) = [0,+∞) . g1 na˜o e´ limitada. g1 e´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente
em [1/3,+∞) . g1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume
valor mı´nimo absoluto 0. g1 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo. g1 e´ sobrejetora mas
na˜o e´ injetora e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
3) Im (h1) = (−∞, 9] . h1 na˜o e´ limitada. h1 e´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0,+∞) . h1 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
ma´ximo absoluto 9. h1 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. h1 na˜o e´ injetora e na˜o e´
sobrejetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
4) Im (p1) = (0, 6] . p1 e´ limitada. p1 e´ crescente (em todo o seu domı´nio). p1 possui
ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo 6. p1 na˜o possui
nenhum ponto de mı´nimo. p1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p
−1
1 : (0, 6]→ (0, 3]
dada por p−11 (w) =
w
2
.
5) Im (q1) = [−3,+∞) . q1 na˜o e´ limitada. q1 e´ crescente em [0, 1] e decrescente
Respostas dos exerc´ıcios 133
em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de ma´ximo local em x = 1 onde assume valor
ma´ximo local 1. q1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor
mı´nimo absoluto −3 e possui ponto de mı´nimo local em x = 0 onde assume valor mı´nimo
local 0. q1 na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
6) Im (r1) = [0,+∞) . r1 na˜o e´ limitada. r1 e´ crescente em [0, 3/2] e em [3,+∞)
e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de ma´ximo local em x = 3/2 onde assume
valor ma´ximo local 9/4. r1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}
onde assume valor mı´nimo absoluto 0. r1 e´ sobrejetora mas na˜o e´ injetora e por isso na˜o e´
invert´ıvel.
7) Im (s1) = [2,+∞) . s1 na˜o e´ limitada. s1 e´ decrescente em (−∞, 0] e crescente
em [0,+∞) . s1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
mı´nimo absoluto 2. s1 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo. s1 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´
injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
8) Im (u1) = [2, 11] . u1 e´ limitada. u1 e´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .
u1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı´nimo absoluto
2. u1 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo
absoluto 9 e possui ponto de ma´ximo local em x = −2 onde assume valor ma´ximo local 6.
u1 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
9) Im (v1) = IR
+ . v1 na˜o e´ limitada. v1 e´ crescente em todo o seu domı´nio. v1
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. v1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa v−11 : IR
+ → IR+ dada por v−11 (z) =
√
z .
10) Im (f2) = (−∞, 0] . f2 na˜o e´ limitada. f2 e´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0,+∞) . f2 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
ma´ximo absoluto 0. f2 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. f2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´
injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
11) Im (g2) = IR . g2 na˜o e´ limitada. g2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio. g2
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. g2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa g−12 : IR→ IR dada por g−12 (y) = −3y + 3 .
12) Im (h2) = (−∞, 2) . h2 na˜o e´ limitada. h2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio.
h2 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. h2 e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora
e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
13) Im (p2) = (−∞, 0] . p2 na˜o e´ limitada. p2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio. p2
possui nenhum ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo
absoluto 0. p2 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. p2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa p−12 : (−∞, 0]→ [0,+∞) dada por p−12 (t) =
t2
2
.
134 CAPI´TULO 6
14) Im (q2) = {0, 1} . q2 e´ limitada. q2 na˜o e´ crescente ou decrescente em intervalo
algum. q2 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor
ma´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de mı´nimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor
mı´nimo local 1. q2 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde
assume valor mı´nimo absoluto 0. q2 possui ponto de ma´ximo local no conjunto IR − [1, 3]
onde assume valor ma´ximo local 0. q2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´
invert´ıvel.
15) Im (r2) = {0} ∪ [3, 11] . r2 e´ limitada. r2 e´ crescente em [1, 3] . r2 possui ponto
de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo absoluto 11. r2 possui
ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor mı´nimo absoluto
0. r2 possui ponto de ma´ximo local no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor ma´ximo local
0. r2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
16) Im (s2) = IR . s2 na˜o e´ limitada. s2 e´ decrescente em (−∞, 0] e em [0,+∞) . s2
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. s2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa s−12 = s2 .
17) Im (v2) = {−pi} ∪ [0,+∞) . v2 na˜o e´ limitada. v2 e´ crescente em [0,+∞) .
v2 possui ponto de ma´ximo local em (−∞,−1) onde assume valor ma´ximo local −pi. v2
possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞,−1) onde assume valor mı´nimo
absoluto −pi. v2 possui ponto de mı´nimo local em x = 0 onde assume valor mı´nimo local 0.
v2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
18) Im (f3) = [0, 1] . f3 e´ limitada. f3 e´ crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .
f3 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor ma´ximo absoluto
1. f3 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı´nimo
absoluto 0. f3 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
Exerc´ıcio da Sec¸a˜o 2.6:
Func¸a˜o COSSENO:
cos : IR −→ IR
x 7−→ cosx
(Gra´fico)
Im (cos) = [−1, 1]
cos(−x) = cosx (e´ uma func¸a˜o PAR)
cos(x+ 2pi) = cosx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
A func¸a˜o COSSENO e´ ...
Respostasdos exerc´ıcios 135
... CRESCENTE em [kpi, (k + 1)pi] , k I´MPAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi, (k + 1)pi] , k PAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + pi (k ∈ Z)
Se cos x 6= 0 , enta˜o definimos secx = 1
cosx
.
Assim, sec : IR− {kpi + pi/2 , k ∈ Z} → IR associa x 7→ sec x = 1/ cosx . (Gra´fico)
A func¸a˜o COSSENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı´nio e seu contra-domı´nio, temos uma nova func¸a˜o g : [0, pi] −→ [−1, 1]
x 7−→ cosx
, a qual e´ BI-
JETORA (Gra´fico) e tem portanto inversa g
−1 : [−1, 1] −→ [0, pi]
y 7−→ g−1(y) = arc cos y
(Gra´fico)
Func¸a˜o TANGENTE:
tg : IR− {x ∈ IR ; cos x = 0 } −→ IR
x 7−→ tg x = sen x
cosx
(Gra´fico)
Im ( tg ) = IR
tg (−x) = − tg x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
tg (x+ pi) = tg x (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = pi)
A func¸a˜o TANGENTE e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2, kpi + pi/2] , k ∈ Z
NA˜O ASSUME VALOR MA´XIMO OU MI´NIMO EM NENHUM PONTO.
Se tg x 6= 0 , enta˜o definimos ctg x = 1
tg x
=
cosx
sen x
.
Assim, ctg : IR − {x ∈ IR ; sen x = 0 } → IR associa x 7→ ctg x = 1/ tg x = cosx
sen x
.
(Gra´fico)
A func¸a˜o TANGENTE E´ SOBREJETORA e NA˜O E´ injetora, mas a quando restringimos
136 CAPI´TULO 6
seu domı´nio temos uma nova func¸a˜o h : (−pi/2, pi/2) −→ IR
x 7−→ tg x
, a qual e´ BIJETORA
(Gra´fico) e tem portanto inversa h
−1 : IR −→ (−pi/2, pi/2)
y 7−→ h−1(y) = arc tg y
(Gra´fico)
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.7:
1) f(x) =
x+ 7
3
.
2) g(x) =
x2
3
+ 2x+
2
3
.
3) (b) h : IR→ IR dada por h(x) = −4x
3 + 15x2 − 11x
30
.
4) (b) g + h = f (c) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1 +
2x
1− x2 .
5) (a) f−1 : IR→ IR dada por f−1(y) = y − 4
3
.
(b) g−1 : IR− {0} → IR− {a} dada por g−1(w) = 1 + aw
w
.
(c) h−1 : IR− {1} → IR− {a} dada por h−1(z) = a+ az
z − 1 .
(d) r−1 : [0,+∞)→ [1,+∞) dada por r−1(x) = x2 + 1 .
9) (a) K =
log 2
5730
(b) M0/2 (c) t =
[− log(0, 8)] · 5730
log 2
≈ 1846 anos.
10) (a) M = M0 · e
log 0, 6
100
· t
(b) t1/2 =
−100. log 2
log 0, 6
≈ 135, 6915448856724 anos.
(c) t =
100. log 0, 15
log 0, 6
≈ 371, 3830897713448167 anos.
16) f(1) = −pi/2 , f(100) = pi/2 , f(√10 ) = −pi/6 .
Respostas dos exerc´ıcios 137
17) (d) 1− tgh 2x = sech 2x e 1− ctgh 2x = − csch 2x .
18) f(2) =
e8 − 3e6 + 3e2 − 1
e6 + e2
, f(−1) = 1− 3e+ 3e
3 − e4
e3 + e
, f(0) = 0 .
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 3.3:
1) 6 2)
8
9
3)
√
2
4
4)
1
32
5) −9 6) 0 7) 1
7
8)
1
2
9) 0 10) − 1
8
11) −2 12) 12 13) 0 14) @ (na˜o existe) 15) 1 16) 3
5
17)
1
3
18) @
19) 4 20) −1 21) 0 22) 1
2
23) ln 3 24) 12 25) 5/4 26) @
27)
√
6 28) 7 29) −1/2 30) 0 31) − pi
9
32) −1
33)
2
5
34) − 3√2 35)
√
2
16
36)
√
pi 37) @ 38) 0
39) 1 40) − 1
3
41) 0 42)
1
2
43) 7
44)
1
2
√
5
45)
9
4
46)
2
3
47) 0 48) 0
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 3.4:
1) @ lim
x→1
f(x) , @ lim
x→1
g(x) , lim
x→1
(f.g)(x) = 4
2) Fac¸a a mudanc¸a de varia´veis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de func¸o˜es
compostas !
3) (a) f ′1(−5) = mt−5 = 3
(b) f ′2(3) = mt3 = −6
(c) f ′3(pi/6) = mtpi/6 =
√
3
2
(d) f ′4(pi/6) = mtpi/6 = −
1
2
138 CAPI´TULO 6
(e) f ′5(2) = mt2 = e
2
(f) f ′6(
√
2) = mt√2 = −
1
2
4) (a) f ′1(a) = 3
(b) f ′2(a) = −2a
(c) f ′3(a) = cos a
(d) f ′4(a) = − sen a
(e) f ′5(a) = e
a
(f) f ′6(a) = −
1
a2
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 3.6:
2) Cont´ınua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim
x→16−
√
16− x = 0 = f(16)
b) ... (0,+∞) . Em a = 0 temos: @ lim
x→0+
f(x)
c) ... IR− {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim
x→−1
f(x) = 1/3 6= f(−1)
3) (a) f e´ cont´ınua em todo a 6= 0 e na˜o e´ cont´ınua em a = 0 .
(b) Como a func¸a˜o f e´ cont´ınua no intervalo [−2,−1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos
enta˜o pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f(x) = 0 .
4) (a) f e´ cont´ınua em todo a ∈ IR .
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a func¸a˜o e´ cont´ınua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO nos garante que sob estas condic¸o˜es a func¸a˜o
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
5) (a) f e´ cont´ınua em a = 3 (verificados tambe´m os limites laterais).
(b) SIM! f e´ cont´ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ı
ma´ximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se enta˜o (com as outras hipo´teses)
que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .
6) (a) f na˜o e´ cont´ınua em a = −1 (@ lim
x→−1
f(x) ).
Respostas dos exerc´ıcios 139
(b) NA˜O PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2,−1] . Temos:
−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas na˜o existe nenhum c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 1/2 .
7) (a) SIM! f(1) = pi para que f seja cont´ınua em x = 1 .
(b) NA˜O ! g na˜o pode ser cont´ınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4
Exerc´ıcio da Sec¸a˜o 4.1:
d
dx
cosx = − sen x
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 4.3:
2) (a) f na˜o pode ser deriva´vel em x = 0 pois f na˜o e´ cont´ınua neste ponto.
(b) f na˜o e´ deriva´vel em a = 1 (apesar de ser cont´ınua neste ponto), pois temos que
f ′+(1) = −1 6= 6 = f ′−(1) .
(c) ∃ f ′(3) = lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3 = 2 ( f e´ deriva´vel em a = 3 ).
(d) f na˜o e´ deriva´vel em a = 2 (apesar de ser cont´ınua neste ponto), pois temos que
f ′+(2) = −4 6= 11 = f ′−(2) .
(e) f na˜o e´ deriva´vel em a = −1 pois na˜o e´ cont´ınua neste ponto.
Exerc´ıcio da Sec¸a˜o 4.4:
d
dx
ctg x = − csc2 x para todo x tal que senx 6= 0
d
dx
sec x = secx. tg x para todo x tal que cosx 6= 0
d
dx
csc x = − csc x. ctg x para todo x tal que senx 6= 0
140 CAPI´TULO 6
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 4.6:
(A) lim
x→0
sen x
x
=
pi
180
e
d sen x
dx
=
pi cosx
180
(se x e´ dado em GRAUS).
(B) 1) f ′(x) = 20x+ 9 ∀ x ∈ IR 2) h′(x) = 36x2 − 68x+ 26 ∀ x ∈ IR
3) f ′(w) =
−4w3 − 14
(w3 − 7)2 ∀ w 6=
3
√
7 4) f ′(x) = − (3x
2 + 2x+ 1)
(1 + x+ x2 + x3)2
∀ x 6= −1
5) g′(x) = −40(8x− 7)−6 ∀ x 6= 7
8
6) s′(t) = −135(3t+ 4)
2
(6t− 7)4 ∀ t 6=
7
6
7) h′(z) =
108z3 + 27z2 + 2
(6z + 1)2
∀ z 6= − 1
6
8) H ′(x) =
18− 12x√
(4x2 + 9)3
∀ x ∈ IR
9) f ′(x) = − 1
5x 5
√
x
∀ x 6= 0 10) f ′(x) = 12x+ 5
x2
− 4
3x
3
√
x2
∀ x 6= 0
11) f ′(w) =
2
3
√
9w
∀ w 6= 0 12) f ′(t) = 6(t6 − t−6)5.(6t5 + 6t−7) ∀ t 6= 0
13) f ′(x) =
m
n
· x
m
n
− 1
{
∀ x > 0 se n e´ par
∀ x 6= 0 se n e´ ı´mpar 14) h
′(s) =
30s
5s2 + 1
∀ s ∈ IR
15) f ′(x) = lnx+ 1 ∀ x > 0 16) g′(x) = 2x lnx− x
(lnx)2
∀ x > 0
17) f ′(u) = (1− u) · e−u ∀ u ∈ IR 18) h′(s) = (s− s2) · 2e−2s ∀ s ∈ IR
19) f ′(x) = xx(lnx+ 1) ∀ x > 0 20) g′(w) = −2e
w
e2w − 1 ∀ w 6= 0
21) f ′(x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR 22) g′(x) = x senx
(
cosx lnx+
sen x
x
)
∀ x > 0
23) h′(x) =
1
sen x cosx
se tg x > 0 24) f ′(w) = −6 tg 3w se cos 3w 6= 0
25) f ′(x) =
1− 2x arc tg x
(x2 + 1)2
∀ x ∈ IR
26) f ′(x) =
2e2x · arc sen 5x · √1− 25x2 − 5e2x√
1− 25x2 · ( arc sen 5x)2 ∀ x ∈
(
− 1
5
,
1
5
)
(C) y = −7x− 3
(D) (i) y =
5
2
x− 99
16
(ii) y = 10x− 9
Respostas dos exerc´ıcios 141
(E) y = −x+ 4 ou y = −1
9
x+
4
3
(F) y = − x
4
+
3
2
(G) tangente: y = 3
√
3 x+
(
1− pi
√
3
2
)
normal: y = −
√
3
9
x+
(
1 +
pi
√
3
54
)
(H) y = 2x+ (pi − 2)
(I) (i) y = −2x+ 1 (ii) y = − 1
2
x+
(
1 + ln 4
4
)
(J) (i) y =
1
pi
x (ii) y = −4pi x+
(
12pi
√
3 + 1
3
)
(K) y = 2e2 x− 2e2 .
(L) (i) f ′(1) =
3
8
(ii) b = 3e .
(M) 1) f ′(x) = (2x+ 1)4(36x− 7)∀ x ∈ IR
2) g′(w) =
1
3
√
(3w − 1)2 ∀ w 6= 1/3 e g
′(3) = 1/4
3) h′(s) = pi. tg s. sec s se cos s 6= 0 e h′(0) = 0
4) f ′(t) = e3t
2−t · (6t− 1) ∀ t ∈ IR e f ′(1/3) = 1
5) f ′(x) = 8 ctg 2x se sen 2x 6= 0
6) f ′(x) =
−16x
(x− 4)3 ∀ x 6= 4 e f
′(2) = 4
7) h′(s) = −csc
2 s√
2
se sen s 6= 0 e h′(pi/4) = −
√
2
8) g′(t) = (2t− 1)2 · et2+2t · [6 + (2t− 1)(2t+ 2)] ∀ t ∈ IR e g′(0) = 4
9) f ′(w) =
10w − senw
5w2 + 2 + cosw
∀ w ∈ IR e f ′(0) = 0
142 CAPI´TULO 6
10) g′(y) =
1
2y
√
y − 1 se y > 1
11) f ′(x) =
x2(3− 2x)
e2x
∀ x ∈ IR . f ′(x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .
12) h′(s) = cos(3s2 − s).(6s− 1) + 2(s2+3s). ln 2.(2s+ 3) ∀ s ∈ IR . h′(0) = 3 ln 2− 1 .
13) g′(w) =
ln(3− w2)
cos2w
− 2w tgw
3− w2 ∀ cosw 6= 0 e −
√
3 < w <
√
3 . g′(0) = ln 3 .
14) v′(t) =
2t · s(t) · s′(t)− s(t)2
3t2
∀ t 6= 0 . v′(1) = 1 .
15) u′(y) =
y − sen y
4
√
(2y2 + 5 + 4 cos y)3
∀ y ∈ IR .
16) h′(s) =
2 3
√
(1 + s2)2
3(1 + s2)2. 3
√
s
∀ s 6= 0 . h′(1) =
3
√
4
6
.
17) v′(t) =
−6t
3t2 + 1
∀ t ∈ IR . v′(1) = − 3
2
< 0 .
18) f ′(x) = 2x lnx ∀ x > 0 . x = f ′(x) quando x = √e .
19) g′(w) =
−2 cosw
sen 3w
∀ senw 6= 0 . g′(pi/4) = −4 .
20) u′(y) = − 1
y2
∀ y 6= 0 . u′(√3 ) = − 1
3
.
21) f ′(x) = lnx+ ln 5 ∀ x > 0 . f ′(2) = ln 10 .
22) h′(θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h′(pi/3) = 8(√3 + 1) .
23) g′(w) =
2w − 1
w2 − w + (6w − 3w
2) · 3(3w2−w3) ∀ w < 0 ou w > 1 . g′(2) = 3
2
.
24) v′(t) =
cos[s(t)] · s′(t) · t− sen [s(t)]
t2
∀ t 6= 0 . v′(2) = − 1
4
.
25) u′(y) =
1
3
√
( arc tg y)2
· 1
1 + y2
∀ y 6= 0 . u′(1) = 3
√
2
pi2
< 1 .
Respostas dos exerc´ıcios 143
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 5.1:
1) a) Expressa˜o ≈ 3, 12 b) 3√65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 c) √37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12
d) 3
√
0, 00098 ≈ 1
10
− 2
3 · 103 e)
√
0, 042 ≈ 0, 205 f) Expressa˜o ≈ 9− 3
125
=
1122
125
= 8, 976
g)
1
4
√
15
≈ 65
128
2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46◦ ≈ 1− pi
90
4) S(2, 02)− S(2) ≈ 8pi
25
pe´s2
5) ∆θ ≈ ± 1
164
rad 6) ∆V ≈ ±9pi
50
cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ±4pi
3
pols
9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no ca´lculo de R ≈ ∓4%
11) (a) h(θ) =
√
17 · sen θ km (b) h(pi/3) ≈ 25
7
= 3, 571... km
(c) h(θ +∆θ)− h(θ) ≈ ±
√
17
200
km (com θ = pi/3 , ∆θ = ± 1
100
)
12) (a) S(r +∆r)− S(r) ≈ S ′(r) ·∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm.
13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diaˆmetro gera um aumento aproximado de 12%
na a´rea da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
14) ∆l ≈ ±pi/90 m.
15) 10% (aumento percentual aproximado no volume)
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 5.2:
1)
∆V
∆t
= −728pi
3
pe´s3/hora ; V ′(3) = −72pi pe´s3/hora.
2)
∆P
∆t
= 11 bpm/s ; P ′(2) = 7 bpm/s ; P ′(3) = 11 bpm/s ; P ′(4) = 15 bpm/s.
3) I ′(20) = −0, 12 u.i./pe´ 4) F ′(C) = 9
5
◦F/◦C
5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V ′(s) = 12s2 − 400s+ 2400 ;
V ′(5) = 700 cm3/cm ⇒ e´ conveniente aumentar s quando s = 5;
144 CAPI´TULO 6
V ′(10) = −400 cm3/cm ⇒ na˜o e´ conveniente aumentar s quando s = 10.
6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s′(t) = 6t− 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v′(t) = 6 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .
(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1− 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .
(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6− 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;
v(t) = 0 ⇒ t = ±√2 ⇒ s(−√2) ≈ 18, 3 , s(√2) ≈ 29, 7 .
(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3pi sen (pit) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3pi2 cos(pit) ;
v(1) = 0 ; s(1) = −3 .
(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t− 4
t+ 1
; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;
a(t) = 2 +
4
(t+ 1)2
; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1− 4 ln 2 .
7) v(0) = 144 pe´s/s ; a(0) = −32 (pe´s/s)/s ; v(3) = 48 pe´s/s ; a(3) = −32 (pe´s/s)/s ;
Em t = 3s, o objeto esta´ a 288 pe´s de altura, subindo e perdendo velocidade ;
Altura ma´xima: 324 pe´s (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
8) (a) vm[0, 2] =
1
2
(
ln 3− 1
2
)
m/s (b) v(0) =
3
4
m/s ; v(2) =
1
12
m/s
(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4− 3
4
m e a(3) = − 1
16
(m/s)/s
9) (a) vm[0, 3] =
10 ln 7
21
m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) =
20− 20 ln 7
49
m/s
(c) v = 0 em t =
e− 1
2
s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;
s
(
e− 1
2
)
=
10
e
m (objeto parado) ; lim
t→+∞
s(t) = 0 (se aproxima da posic¸a˜o 0 qdo t→ +∞).
10) (a) vm[0, 2] =
4
e2
m/s, v(1) =
2
e
m/s e v(1) > vm[0, 2] . (b) lim
t→+∞
s(t) = 0 .
(c) A maior distaˆncia e´ atingida em t = 2 (justifique) e s(2) =
8
e2
m.
11) (a) vm[0,
e3 − 1
2
] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v(
e3 − 1
2
) =
4e3 − 1
e3
m/s
Respostas dos exerc´ıcios 145
(c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim
t→+∞
v(t) = +∞ e lim
t→+∞
a(t) = 0 .
12) (a) vm[0, 2] =
e4 − 1
2e4
m/s e v(1) =
2
e
m/s. vm[0, 2] < v(1) .
(b) lim
t→+∞
v(t) = 0 . (c) lim
t→+∞
s(t) = 3 . A maior distaˆncia do objeto a` posic¸a˜o inicial
NA˜O E´ ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e lim
t→+∞
s(t) = 3 .
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 5.3:
1)
9
5
m/s 2) 14 m/s 3) 600pi pol3/min
4) Extremidade:
5
3
m/s ; Alonga:
2
3
m/s (menor). Outros inst.: manteˆm velocidades
5) 5 pol3/min 6)
3
2e
u/s 7)
11
1600
Ω/s
8)
21pi
160
cm3/min 9)
2 +
√
6
4
m/s
10) −1000pi
27
pe´s/s 11)
pi
√
3
10
pol2/min 12) 100 rad/hora =
5
6pi
rpm
13) -1 rad/s 14) 3 rad/s
15) ≈ 0, 778 rad/s 16) 1
2pi
cm/min , 6cm3/min (escoando)
17) x(t) = dist. da base da escada a` parede ; y(t) = dist. do topo ate´ o cha˜o
(a) y′ =
x
y
(b) quando x = 3 m : y′ =
3
4
m/s (c) quando θ = pi/4 rad : y′ = 1 m/s
18) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = aˆngulo feixe-perpendicular
Quando θ = pi/3 rad : x′ = 90pi km/h ; x′ na˜o e´ constante
(
x′ =
45pi sec2 θ
2
)
19) A velocidade de variac¸a˜o do aˆngulo na˜o e´ constante (depende de θ ) e temos
θ′ = −
√
3
3
rad/s quando x = 2m.
20) (a) d′ = 25 km/h ao meio-dia. (b) S ′ = 1200 km2/h ao meio-dia.
21) θ′ =
1
4
rad/s quando x =
√
3 m.
146 CAPI´TULO 6
Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 5.6:
1) Aberta: b = 2 pe´s, a = 1 pe´; Coberta: b = a = 3
√
4 pe´s
2) h =
4a
3
, r =
2a
√
2
3
3) Aˆngulo reto: d = 3 pols ; Aˆngulo 2pi/3 : d = 4 pols
4) a = b = 50 cm
5) P (1, 1) 6) 500 unidades
7) t = 18/13 horas apo´s 13:00
8) a 8 km de B, entre B e C
9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo
11) a
1√
15
milhas de B, entre B e C 12) 37 a´rvores por are
13) Ma´xima em: s(pi/2) e s(3pi/2) ; Mı´nima em: s(0) e s(pi)
14) h =
6− r2
r
(relac¸a˜o entre h e r nos cilindros de a´rea total 12pi cm2)
⇒ V = V (r) = pi(6r − r3) , 0 < r < √6 ⇒ Ponto cr´ıtico: r = √2 .
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume e´ ma´ximo quando
r =
√
2 e h = 2
√
2 e temos V (
√
2 ) = 4pi
√
2 cm2 .
15) R e´ MA´XIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R NA˜O ASSUME MI´NIMO.
16) (a) A a´rea total cercada e´ a menor poss´ıvel quando y =
4
4 + pi
e´ o per´ımetro da a´rea
quadrada e x =
pi
4 + pi
e´ o per´ımetro da a´rea circular.
(b) A a´rea total cercada e´ a maior poss´ıvel quando toda a cerca e´ utilizada para cercar
uma u´nica a´rea circular.
17) h =
√
3
2
m e r =
√
6
2
m para que o volume do cilindro seja ma´ximo.
Refereˆncias
[1] Flemming, Diva M. e Gonc¸alves, Mirian B., Ca´lculo A. Prentice Hall Brasil. (*)
[2] Swokowski, Earl W., Ca´lculo com geometria anal´ıtica, vol. 1. Makron Books.
[3] Leithold, Louis, Ca´lculo com geometria anal´ıtica. MakronBooks.
[4] Simmons, George F., Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Makron Books.
[5] Stewart, J., Ca´lculo, vol. 1. Thomson Learning.
[6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Ca´lculo. Editora Guanabara Dois.
[7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de ca´lculo, vol. 1. Editora LTC.
[8] Anton, H., Ca´lculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman.
(*) Principal refereˆncia
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