da aula 31 a 36

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Equações do 1º e 2º Grau III
MATEMÁTICA
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EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU III
Relembrando!
Calculando Equações Completas: calcule as raízes das equações:
a) x² - 10x + 25 = 0
Resolução
Resolvendo pelo método de soma e produto:
x' + x" = (-)(-10) = 10
x' × x" = 25
Deve-se iniciar a utilização do método em questão primeiramente pela 
multiplicação.
x' × x" = 25
5 × 5 = 25
A primeira condição (multiplicação) foi validada. Resta verificar se a soma 
corresponderá ao valor de “c”:
5 + 5 = 10
Logo,
x' = x" = 5
Atenção!
O delta indicará a quantidade de raízes da equação. Sempre que o delta for 
zero, haverá apenas uma raiz a ser calculada.
Calculando o delta via fórmula:
x2 - 10x + 25 = 0
∆ = b2 - 4ac
∆ = (-10)2 - 4 . 1 . 25
∆ = 100 - 100
∆ = 0
a = 1
b = -10
c = 25
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b) x² – x – 20 = 0 
Resolução
Utilizando o método de “soma e produto” serão necessários dois números que, 
quando multiplicados, tenham como resultado -20 e, somados, 1:
x2 - x - 20 = 0
x1 . x2 = -20
x1 + x2 = +1
x' = -4
x'' = 5
c) x² - 3x -4 = 0 
Resolução
Por método de “soma e produto”:
x1 . x2 = –4
x1 . x2 = +3
x' = 4
x'' = -1
d) x² - 8x + 7 = 0
Resolução
Também solucionado por método de “soma e produto”:
x2 – 8x +7 = 0
x1 . x2 = 7
x1 . x2 = +8
x' = 1
x'' = 7
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Resolvendo a mesma questão, utilizando a fórmula de Bhaskara:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–8)2 – 4 . 1 . 7
∆ = 64 – 28
∆ = 36
x = 8 + 
8 + 6
8 – 6
14
22
2
2
2
2
=
=
= 7
= 1
6–b + –(–8)
2a 2 . 1= =
∆ 36+
Atenção!
Caso a variável “a” seja diferente de “1”, é recomendável utilizar a fórmula de 
Bhaskara.
Direto do concurso
4. (FUNCAB/PM-ES/2013) O conjunto solução da equação x² – 3x– 10 = 0, é: 
a. S = {- 5; -1} 
b. S = {- 2; 0} 
c. S = {- 2; 5} 
d. S = {- 2; -5} 
e. S = {- 5; 0}
Resolução
Nota-se que o valor de “a” é 1, logo é possível resolver a equação pelo método 
de “soma e produto”:
x' . x'' = –10
x' + x'' = 3
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Assim, são necessários dois números que, multiplicados, tenham como produto 
-10 e, somados, resultem em 3:
x' = 5
x'' = -2
Direto do concurso
5. (FUNCAB/PM-AC/SOLDADO) Determine o produto das raízes da equação:
x² – 3x + 36 = 2x – x² – 14. 
a. 2,5 
b. 10 
c. 25 
d. 100 
e. 50
Resolução
O produto é o resultado de uma multiplicação. Logo, a questão solicita a 
multiplicação das raízes da equação (valores que resultem em zero).
O primeiro passo consiste em “transferir” a parte da equação à direita do sinal 
de igualdade, igualando o resultado a zero:
x2 + x2 – 3x – 2x + 36 + 14 = 0
2x2 – 5x + 50 = 0
Conforme visto, o “a” corresponde a 2, logo não é possível aplicar o método de 
soma e produto, devendo a questão ser resolvida por fórmula de Bhaskara:
x2 + x2 – 3x – 2x + 36 + 14 = 0
2x2 – 5x + 50 = 0
∆ = (–5)2 – 4 . 2 . 50
∆ = 25 – 400
∆ = ?
**CONTINUA NA PRÓXIMA AULA**
a = 2
b = –5
c = 50
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GABARITO
4. c
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aula preparada e ministrada pelo professor Luis Telles. 
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5. (FUNCAB/PM-AC/SOLDADO) Determine o produto das raízes da equação:
x² – 3x + 36 = 2x – x² – 14. 
a. 2,5 
b. 10 
c. 25 
d. 100 
e. 50
Resolução
O produto é o resultado de uma multiplicação. Logo a questão solicita a 
multiplicação das raízes da equação (valores que resultem em zero).
O primeiro passo consiste em “transferir” a parte da equação à direita do sinal 
de igualdade, igualando o resultado a zero:
x2 + x2 – 3x – 2x + 36 + 14 = 0
2x2 – 5x + 50 = 0
Conforme visto, o “a” corresponde a 2, logo não é possível aplicar o método de 
soma e produto, devendo a questão ser resolvida por fórmula de Bhaskara:
x2 + x2 – 3x – 2x + 36 + 14 = 0
2x2 – 5x + 50 = 0
∆ = (–5)2 – 4 . 2 . 50
∆ = 25 – 400
∆ = ?
a = 2
b = –5
c = 50
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Conforme visto, caso o delta resulte em zero, é possível assumir que o valor 
das raízes será igual e único (para ambas). Qualquer outro valor divergente 
de zero resultará em duas raízes distintas.
Porém há a possibilidade do delta calculado resultar em um número menor 
do que zero (negativo), não existindo, dessa forma, qualquer raiz real da equa-
ção presente entre os números reais existentes. A seguir estão as três possibili-
dades de delta e suas raízes respectivas:
y = ax2 + bx + c
1º) 
2º) 
3º) 
∆ = 0
∆ ≠ 0
∆ < 0
x' = x''
x' ≠ x''
∃ raiz real
nº→
→
→
Retomando a resolução da questão 5, o delta irá resultar em um valor nega-
tivo:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–5)2 – 4 . 2 . 50
∆ = 25 – 400
– 375
Matematicamente, não existe raiz de número negativo (raiz real). 
A questão solicita o resultado (produto) da multiplicação de ambas as raízes 
da equação de segundo grau.
 Porém, existe uma alternativa para a resolução da questão através do método 
de soma e produto, conforme exemplo:
x2 – 5x + 6 = 0
x1 . x2 = 6
x1 + x2 = –(–5) = 5
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Utilizando a substituição, os dois números que ao serem multiplicados resul-
tam em 6 e somados em 5:
x’ = 3
x’’ = 2
Baseando-se no exemplo acima, é possível apurar algumas das relações 
entre as variáveis que compõeM uma equação de segundo grau:
x1 . x2 =
x1 + x2 =
c
b–
a
a
Caso o “a” seja 1, basta realizar as correspondências já conhecidas. Como o 
“a” da questão possui como valor o 2, deve-se utilizar as fórmulas acima:
x1 . x2 =
50
2
x1 . x2 = 25
Dessa forma, o produto das raízes, ainda que não identificadas, deverá ser 25.
6. (GUARDA CIVIL-SP). A soma entre dois números positivos é 37. Se o pro-
duto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor 
número é: 
a. 7. 
b. 23. 
c. 61. 
d. 17. 
e. 49.
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Resolução
Primeiro, é necessário conceituar as afirmações e a solicitação da questão. O 
enunciado indica que:
x + y = 37
x × y = 330
As igualdades apresentadas concebem um sistema de equações. O primeiro 
passo para a resolução é isolar uma das variáveis (sendo “x” ou “y”):
x + y = 37 → (y = 37 – x)
x . y = 330
x . (37 – x) = 330
37x – x2 = 330
–x2 + 37x – 330 = 0
Multiplicando a equação de segundo grau encontrada por (-1) para eliminar o 
sinal de negativo do fator “x²”:
x² - 37x +330 = 0
A partir dessa etapa, é possível apurar as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara. 
A primeira etapa é calcular o delta da equação:
∆ = b2 – 4ac
∆ = 1369 – 4 . 1 . 300
∆ = 1369 – 1320
∆ = 49
a = 1
b = –37
c = 330
x2 – 37x + 330 = 0
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Após calcular o valor do delta, basta apurar as raízes:
–b + 
–(–37) 
37 
37 
37 
44
30
x = 
x = 
x = 
x' = 
x'' = 
= 
= 
= 22
= 15
2a
2 . 1
2
2
2
2
2
∆
49
7
7
7
+
+
+
–
Para validar as raízes encontradas, deve-se multiplicar ambos os valores, pois 
o enunciado afirma que o produto das raízes deverá ser 330, devendo este ser 
o resultado encontrado:
22 x 15 = 330
Após identificar ambos os valores das raízes de “x”, o próximo passo é identifi-
car os valores para “y”:
y = 37 – 22 = 15
y = 37 – 15 = 22
Ao final, tÊm-se quatro valores possíveis (dois para y e dois para x):
X’ = 22
X’’ = 15
Y’ = 15
Y’’ = 22
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A questão solicita qual é o resultado do maior valor apurado entre os quatro 
(22), ao ser subtraído pelo menor número apurado (15):
Finalmente, para encontrar a resposta no gabarito, após obter certeza quanto à 
exatidão dos valores, basta realizar uma subtração simples:
22 – 15 = 7
GABARITO
5. c
6. a
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Atenção!
Recomenda-se que as questões realizadas durante a aula sejam refeitas em 
momento posterior, para fixar os métodos e adquirir mais facilidade diante de 
problemas que envolvam equações de segundo grau.
7. (GUARDA CIVIL-SP). Se x1 > x2 são as raízes da equação x² – 27x + 182 = 
0, então o valor de 1/x2 – 1/x1 é: 
a. 1/27 
b. 1/13 
c. 1 
d. 1/182 
e. 1/14 
Resolução
Encontrando as raízes da equação através da fórmula de Bhaskara:
x2 – 27x + 182 = 0
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–27)2 – 4 . 1 . 182
∆ = 729 – 728
∆ = 1
O delta apurado é um valor real diferente de zero. Dessa forma, existirão duas 
raízes distintas:
x2 – 27x + 182 = 0 
–b + 
–(–27) 
27 
27 
27 
x = 
x = 
x = 
x' = 
x'' = = 13
= 14
2a
2 . 1
2
2
2
∆
1
1
1
7
+
+
+
–
a = 1
b = –27
c = 182
a = 1
b = –27
c = 182
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Calculados os valores das raízes de x (e validados através da condição x1 > 
x2) , basta substituí-los na relação apresentada no enunciado da questão (1/
x2 – 1/x1):
1 1 1 1
x2 x1 13 14
– –=
Devido à ausência de múltiplo comum entre os denominadores, basta realizar 
a multiplicação dos fatores:
1 1 14 – 13 11 1
x2 x1 182 182
=13 14
14 13
– –= =
8. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 
vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 
a. 1 
b. 2 
c. 3 
d. 4 
e. 5
Resolução
Somente com as informações do enunciado da questão, não é possível definir 
a quantidade de filhos de Pedro. Logo pode-se assumir que o número de filhos 
é uma incógnita a qual será representada por “x”. 
Dessa forma, o triplo do quadrado do número de filhos será representado por:
3x² 
Onde:
x = número de filhos
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Definida a incógnita, basta alinhá-la à igualdade apresentada pela questão “é 
igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos”:
3x² = 63 - 12x
Onde:
x = número de filhos
Ao expressar a relação apresentada pela questão de maneira matemática, 
fica evidente que a equação identificada trata-se de uma equação de segundo 
grau. Logo é possível igualá-la a 0:
3x2 = 63 – 12x
3x2 + 12x – 63 = 0 (÷3)
x2 + 4x – 21 = 0
Utilizando o método de “soma e produto”:
x1 . x2 = –21 3+ –7
–4
x1 + x2 = –4
x'= 3
x'' = (–7)
Como a questão trata da quantidade de filhos que Pedro possui, não é possível 
(e por isso não faz sentido) que “x” seja -7. Dessa forma, uma das raízes é 
eliminada. Restando para a quantidade, a raiz x' (3).
9. (CEPERJ/SEPLAG-RJ/2013) Observe a equação do segundo grau abaixo: 
3x2 = x/4 + 1/64 A diferença entre a maior raiz e a menor raiz vale: 
a. 1/12 
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b. 1/8 
c. 1/6 
d. 1/4 
e. 1/2
Resolução
A questão disponibiliza uma equação de segundo grau, a qual pode ser 
transformada para uma função de segundo grau (igualada a zero):
x
16x + 1
64
1
4 64
16 1
+3x2=
3x2=
192x2 = 16x + 1
192x2 – 16x – 1 = 0
Resolvendo utilizando a fórmula de Bhaskara:
Delta:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–16)2 – 4 . 192 . (–1)
∆ = 256 – 768
∆ = 1024
Apurando as raízes:
–b + 
–(–16) 
16 32
x = 
x = 
x = 
2a
2a
2 . 192
∆
1024+
+
a = 192
b = –16
c = –1
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É possível simplificar o denominador da seguinte forma:
16 32
8 16
x = 
x = 
2 . 192
192
+
+
Ainda simplificando os valores por “2” e apurando as raízes:
8 4 2 1
1 4
–2 1
1
1
16 8 4 3
3
3
÷2 ÷2 ÷2
÷2 ÷2 ÷2
÷2 ÷2 ÷2
x = = = = 192 96 48 24
24 24
24 12
6=
= = –
=
24
+ + + +
+
–
÷4
÷4
A questão está solicitando a diferença entre a maior raiz apurada e a menor, 
dessa forma:
1
2 + 1 3 1
12 12 4==
1
12 1
6
2
– –
÷3
÷3
GABARITO
7. d
8. c
9. d
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EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU – VI
QUESTÕES DE CONCURSOS
10. (FGV/CODESP-SP) A soma das raízes da equação (2x + 7). (x – 8) = 0 é
a. –15 
b. –1 
c. 4,5
d. 2
e. 7,5 
Resolução
A questão traz a evidência de que a multiplicação dos dois termos é igual a 
zero, logo ou (2x + 7) = 0 ou (x-8) = 0. Assim:
2x + 7 = 0
2x = -7
- 7
2x = 
- 7
2 + 8 = 
- 7 + 16
2 = 
9
2 = 4,5
x - 8 = 0
x = 8ou
11. (QUADRIX/CRQ-18) Qual deve ser o valor de x para que a expressão abaixo 
seja verdadeira?
(2x)2 + 8x + 36 = [x(x+10)]*4 + 20 
OObs.:� * = multiplicação 
a. 1 
b. 0,5 
c. 0,8
d. 2
e. 0 
2
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Resolução
4x2 + 8x + 36 = (x2 + 10x) . 4 + 20
4x2 + 8x + 36 = 4x2 + 40x + 20
40x - 8x = 36 - 20
32x = 16
12. (QUADRIX/CRMV-SP/2013) Qual o valor da incógnita x na equação abaixo?
4(25x – 40) + y = 80x – 60 + y 
a. 4 
b. 2 
c. 3
d. 5
e. -2 
Resolução
Aparentemente, a questão oferece uma equação com duas incógnitas. Mas 
logo nota-se que o y será cancelado com o seu negativo, que está após a 
igualdade. Assim:
100x - 160 + y = 80x - 60 + y
100x - 160 = 80x - 60
100x - 80x = - 60 + 160
20x = 100
x = 5
16
32
1
2 0,5x = = = 
3
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13. (CONSEP/PREF. MONTE MOR-SP/2012) Determine, no conjunto dos nú-
meros reais, as raízes da equação:
x2 – 5x = 0 
a. 4 e 5 
b. 0 e 1 
c. 1 e 2
d. 0 e 5
Resolução
Uma soluçãomais rápida é colocar o termo em evidência:
x2 - 5x = 0
x (x - 5) = 0
x = 0
Assim, ou x = 0 ou:
x - 5 = 0
x = 5
Logo, as raízes da equação são 0 e 5.
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11. b
12. d
13. d
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Equação do 1º e 2º Grau – VIII
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EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU – VIII
QUESTÕES DE CONCURSOS
17. Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quan-
tia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e 
ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?
a. 60 
b. 30
c. 40
d. 80
Resolução
Existe uma maneira mais simples de efetuar o cálculo do que montando uma 
equação de primeiro grau:
Revista = 
1
3
CD = 14 
Restante = R$ 25
1
3
1
4
7
12
4 + 3
12+ = =
Se foram gastos 712 , para que se chegue no valor total, faltam 
5
12 , que é a 
representação fracional de 25. Se 512 = 25, cada unidade equivale a 5. Assim, 
o total seria igual a:
12 . 5 = 60
A
N
O
TA
Ç
Õ
E
S
2
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18. (CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à 
cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilôme-
tros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade 
de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele 
percorreu após o café?
a. 87,5 
b. 125,6 
c. 262,5
d. 267,5
e. 272,0 
Resolução
Antes do café: x km
Depois do café: 3x km
Total da viagem: 350 km
x + 3x = 350
4x = 350
350
4x =
x = 87,5
x = viagem antes do café; 3x = viagem depois do café.
3 . 87,5 = 262,5
19. (FIP/CÂMARA SP) Qual é o valor de m para que a equação (m – 1) x2 + mx 
+ 1 = 0 admita duas raízes reais distintas?
a. m > 1 
b. m ≠1 
c. m ≠2
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d. m = 0
e. m = 4 
Resolução
Lembre-se: quando o valor da equação de 2º grau for igual a zero (∆ = 0), 
significa dizer que o valor de x1 = x2 (raízes iguais). Se ∆ ≠ 0, as raízes serão 
diferentes (x1 ≠ x2). Por fim, se ∆ < 0, não há raiz real ( ). Considerando a 
equação ax2 + bx + c = 0, temos que:
a = m–1
b = m
c = 1
∆ = b2 - 4.a.c
b2 - 4.a.c ≠ 0
O restante da questão será resolvido na próxima aula!
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GABARITO
17. a
18. c
19. c
���������������Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a 
aula preparada e ministrada pelo professor Luis Telles. 
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EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU – IX
QUESTÕES DE CONCURSOS
19. (FIP/CÂMARA-SP) Qual é o valor de m para que a equação (m – 1) x2 + mx 
+ 1 = 0 admita duas raízes reais distintas?
a. m > 1 
b. m ≠1 
c. m ≠2
d. m = 0
e. m = 4 
Resolução
Lembre-se: quando o valor da equação de 2º grau é igual a zero (∆ = 0), o valor 
de x1 = x2 (raízes iguais). Se ∆ ≠ 0, as raízes serão diferentes (x1 ≠ x2 ). Por 
fim, se ∆ < 0, não há raiz real ( ). Considerando a equação ax2 + bx + c = 0, 
temos que: 
a = m–1
b = m
c = 1
∆ = b2 - 4.a.c
b2 - 4.a.c ≠ 0
m2 - 4. (m - 1) .1 ≠ 0
m2 - 4m + 4 ≠ 0
Assim:
a = 1
b = -4
c = 4
Usando o método do produto e da soma: m1 . m2 = 4 e m1 + m2 = 4. Logo, m1 
e m2 = 2. Para que a equação admita duas raízes distintas, ela deverá ser, 
portanto, ≠ 2.
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20. (QUADRIX/CRQ-18) Considere o número “a”. Sabe-se que a diferença entre 
esse número e sua terça parte equivale a 24. Logo, podemos afirmar que o 
valor de “a” é:
a. 12 
b. 36
c. 8
d. 6
e. 24 
Resolução
a - 24=a3
24=2a3
24=a3 2
=a3 12
=a 36
21. (QUADRIX/CRQ-18) A equação a seguir tem como resultado: 3(x-1) + 2(x+9) 
= 7x -10
a. 10 
b. 20,5 
c. 10,5
d. 12,5
e. 12 
Resolução
3(x -1) + 2 (x + 9) = 7x - 10
3x - 3 + 2x +18 = 7x - 10
5x + 15 = 7x - 10
7x - 5x = 10 + 15
2x = 25
25
2x = 
x = 12,5
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22. (VUNESP/TJM-SP/2017) Em um terreno retangular, a medida do lado maior 
tem 1 metro a mais que a medida do lado menor. Se a área desse terreno é 
de 182 metros quadrados, então é correto afirmar que o seu perímetro, em 
metros, é igual a
a. 54
b. 55. 
c. 56.
d. 57.
e. 58. 
Resolução
x +1
x
Lembre-se: a fórmula para calcular a área do retângulo é: A = b . h
Logo:
x . (x+1) = 182
x2 + x = 182
x2 + x - 182 = 0
(equação do 2º grau)
Assim:
a = 1
b = 1
c = – 182
∆ = b2 - 4.a.c
∆ = 12 - 4.1. (-182)
∆ = 1 + 728 = 729
x = -b
2 
2a
+- ∆
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x = -1 2.1
729+-
x = -1 2 2 2
27 -1 - 27+- → →x1= x2= 
-1 + 27= - 14 = 13
Como uma medida não pode ser negativa, x = 13. Assim, o valor da base é 
igual a 14 (x+1), e o valor da altura é = 13.
Logo, a soma do perímetro é:
13+13+14+14 = 54
GABARITO
19. c
20. b
21. d
22. a
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aula preparada e ministrada pelo professor Luis Telles.