AL Lista03

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Matema´tica - A´lgebra Linear
3a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Quais das func¸o˜es definidas abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares?
(a) F : R2 → R2; F(x, y) = (1+ x, y)
(b) F : R2 → R2; F(x, y) = (y− x, 0)
(c) F : R3 → R3; F(x, y, z) = (x− y, x+ y, 0)
(d) F : R3 → R3; F(x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z)
(e) F : R4 → R3; F(x, y, z, t) = (x− t, y+ t, x+ z)
(f) F : R4 → R4; F(x, y, z, t) = (x, y− z, y+ z, x+ t)
(g) F : Pn(R)→ Pn(R); F(p(x)) = xp ′(x)
(h) F : Pn(R)→ Pn(R); F(p(x)) = p ′(x) + x2p ′′(x)
2. Seja F ∈ L(R3) tal que F(1, 0, 0) = (2, 3, 1), F(0, 1, 0) = (5, 2, 7), F(0, 0, 1) = (−2, 0, 7).
Determine F(x, y, z) para um vetor gene´rico (x, y, z) ∈ R3.
3. Existe um operador linear F : R3 → R3 tal que F(1, 1, 1) = (1, 2, 3),
F(1, 2, 3) = (1, 4, 9), F(2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justifique.
4. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, determine uma base para o nu´cleo e uma
para imagem.
(a) F : R3 → R; F(x, y, z) = x+ y− z
(b) F : R2 → R2; F(x, y) = (2x, x+ y)
(c) F : R3 → R4; F(x, y, z) = (x− y− z, x+ y+ z, 2x− y+ z,−y)
(d) F : P2(R)→ P2(R); F(p(x)) = x2p ′′(x)
(e) F : M2(R)→M2(R); F(X) = AX+ X, onde A= [1 4
2 3
]
(f) F : M2(R)→M2(R); F(X) = AX− XA, onde A= [1 2
0 1
]
5. Descreva explicitamente uma transformac¸a˜o linear de R3 em R3 cuja imagem seja o
subespac¸o gerado por (1, 0,−1) e (1, 2, 2).
6. Determine um operador linear do R4 cujo nu´cleo tenha dimensa˜o 1.
7. Mostre que cada um dos operadores lineares do R3 e´ invert´ıvel e determine o isomorfismo
inverso em cada caso.
(a) F(x, y, z) = (x− 3y− 2z, y− 4z, z)
(b) F(x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y− z)
8. Para os operadores G, F ∈ L(R3) definidos por G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z) e
F(x, y, z) = (x+ y, z+ y, z), determine:
(a) F ◦G;
(b) Ker(G ◦ F) e Im(G ◦ F);
(c) uma base e a dimensa˜o de Ker(F2 ◦G).
9. Seja F ∈ L(R2) o operador dado por F(1, 0) = (2, 5) e F(0, 1) = (3, 4). Verifique se H = I + F
e G = I+ F+ F2 sa˜o isomorfismos do R2.
10. Considere o operador linear F do R3 definido por F(1, 0, 0) = (1, 1, 1), F(0, 1, 0) = (1, 0, 1) e
F(0, 1, 2) = (0, 0, 4). F e´ invert´ıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.
11. Determine as matrizes das seguintes transformac¸o˜es lineares em relac¸a˜o a`s base canoˆnicas dos
respectivos espac¸os:
(a) F ∈ L(R3,R2) definida por F(x, y, z) = (x+ y, z);
(b) F ∈ L(R2,R3) definida por F(x, y) = (x+ y, x, x− y);
(c) F ∈ L(R4,R) definida por F(x, y, z, t) = 2x+ y− z+ 3t;
(d) F ∈ L(R,R3) definida por F(x) = (x, 2x, 3x).
12. No espac¸o vetorial M2(R) seja A=
[
a b
c d
]
. Determine a matriz do operador linear
F ∈ L(M2(R)), dado por F(X) = AX − XA em relac¸a˜o a` base canoˆnica:
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
de M2(R).
13. Determine o operador linear do R2 cuja matriz em relac¸a˜o a` base B = {(1, 2), (0, 5)} e´
[
3 1
2 −1
]
.
14. Se a matriz de um operador linear F do R3 em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´
1 1 00 1 0
0 1 −1
 e
se G = I + F + 2F2, determine a matriz de G em relac¸a˜o a` base canoˆnica do R3. Escreva
explicitamente G(x, y, z).
15. Sejam F e G operadores lineares do R3 tais que F(x, y, z) = (x, 2y, y − z) e que a matriz de
2F−G em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´
1 1 00 1 0
1 2 1
. Determine a matriz de G em relac¸a˜o a` base
canoˆnica. Escreva explicitamente G(x, y, z).
16. Seja F o operador linear do R3 cuja matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´
 1 2 10 1 1
−1 3 4
.
Determine uma base da imagem de F e uma base do nu´cleo de F.
17. Seja F o operador linear sobre R2 definido por F(x, y) = (−y, x).
(a) Qual e´ a matriz de F em relac¸a˜o a` base canoˆnica do R2?
(b) Qual e´ a matriz de F em relac¸a˜o a` base ordenada B = {(1, 2), (1,−1)}?
18. Seja F o operador linear sobre R3 definido por F(x, y, z) = (3y+ z,−2x+ z,−x+ 2y+ 4z).
(a) Qual e´ a matriz de F em relac¸a˜o a` base canoˆnica do R3?
(b) Qual e´ a matriz de F em relac¸a˜o a` base ordenada B = {(1, 0, 1), (−1, 2, 1), (2, 1, 1)}?
(c) Demonstre que F e´ invert´ıvel e deˆ uma regra para F−1 como a que define F.
19. Sendo F e G operadores lineares sobre R3 definidos por F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) e
G(x, y, z) = (x+ 2y, y− z, x+ 2z), determine F ◦G e G ◦ F.
20. Mostre que os operadores F,G,H ∈ L(R2) dados por
F(x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x+ y) e H(x, y) = (0, x)
formam um conjunto L.I. em L(R2).
21. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relac¸a˜o a` base B = {(1, 0), (1, 4)} e´
[
1 1
5 1
]
.
Determine a matriz de F em relac¸a˜o a` base canoˆnica, usando a fo´rmula de mudanc¸a de base
para um operador.
22. Determine todos os operadores lineares F do R2 tais que F2 = F e F(x, y) = (ax, bx+ cy).
23. Determine todos os operadores lineares F do R2 tais que F2 = 0 e F(x, y) = (ax, bx+ cy).
24. Determine todos os operadores lineares S do R2 tais que S(x, y) = (ax+ by, cx) e S2 = I.
25. Seja F ∈ L(P2(R),R) definida por F(p(t)) =
∫ 1
−1
p(t)dt. Determine a matriz de F em relac¸a˜o
a`s bases B = {1, t, t2} e C = {1}.
26. Encontre um operador linear F : R2 → R2, tal que F(1, 2) = (1, 1) e que seja um isomorfismo.
Determine a matriz do operador linear F (que voceˆ encontrou) em relac¸a˜o a` base canoˆnica.
27. Encontre uma transformac¸a˜o linear F : R3 → R2 tal que F(1, 0, 0) = (2, 0) ,
F(0, 1, 0) = (1, 1) e F(0, 0, 1) = (0,−1). Encontre v ∈ R3 tal que F(v) = (3, 2).
28. Responda cuidadosamente cada item:
(a) Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre R. Escreva a definic¸a˜o de uma Transformac¸a˜o Linear
de U em V .
(b) Defina Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear.
(c) Enuncie o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
(d) Enuncie o Corola´rio do Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
(e) Qual e´ a diferenc¸a entre Isomorfismo e Automorfismo?
(f) Qual e´ a diferenc¸a entre Transformac¸a˜o Linear e Operador Linear?
(g) Qual e´ a diferenc¸a entre Operador Nilpotente e Operador Idempotente?
(h) Toda matriz de uma Transformac¸a˜o Linear e´ invert´ıvel? Justifique.
(i) Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre R. Sejam B e C bases de U e V respectivamente.
Se F : U→ V e´ um isomorfismo, enta˜o (F)BC e´ invert´ıvel? Existe (F−1)CB? Justifique.
(j) Seja U um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre R e sejam B e C bases de U. Qual e´ a
relac¸a˜o entre (F)B e (F)C?