Tópico 1 Interacoes Estrategicas

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221 Aula 8: Interações Estratégicas
AULA
8
Interações estratégicas
NESTA AULA
´ Interações estratégicas e jogos
´ Estratégias Maximin-Minimax
´ Equilíbrio de Nash e Ótimo de Pareto
METAS DE COMPREENSÃO
´ Entender o que é uma interação estratégica, as duas dimensões da Matriz
de Jogos Estratégicos e os diferentes subjogos possíveis.
´ Dado um jogo simultâneo 2 x 2 determinar o equilíbrio Maximin-Minimax;
o Equilíbrio de Nash e Ótimos de Pareto (se existirem), explicando seus
resultados em função da situação inicial.
 ´ APRESENTAÇÃO
Nas duas aulas anteriores foram apresentadas ferramentas e tratadas situações de to-
madas de decisão relacionadas à alocação de recursos. Nesta aula, mudamos o foco. Dis-
cutiremos as chamadas situações de interação estratégica, em que o resultado obtido pelo 
tomador de decisão não depende apenas da sua decisão, mas depende também daquelas 
tomadas por outros envolvidos. 
Nesta aula, nosso ponto de vista será o da análise lógica da situação: dada uma situação, 
o que a análise lógica indica para o tomador de decisão? Esse tipo de análise faz parte do
escopo da Teoria dos Jogos. Pretendemos apresentar conceitos básicos dessa teoria. Primei-
ro, uma classificação dos jogos possíveis, em seguida, as conceituações de decisão Maximin-
Minimax, Equilíbrio de Nash e Ótimo de Pareto, e sua aplicação em jogos simultâneos com
dois jogadores.
222
Interações estratégicas e jogos
O foco desta aula são as situações de interação estratégica. Segundo 
Fiani (2009, p. 2), situações de interação estratégica são aquelas “em que 
participantes, sejam indivíduos ou organizações, reconhecem a interde-
pendência mútua de suas decisões”.
Vamos chamar a atenção para alguns aspectos que não estão evidentes 
na definição acima:
1. São situações de tomada de decisão. Isto é, a situação pede que uma
ou mais decisões sejam tomadas.
2. Há mais de um tomador de decisão.
3. O resultado que cada tomador de decisão obtém não depende ape-
nas da sua decisão, mas é afetado pelas decisões dos outros – e os
envolvidos sabem disso.
Você pode perceber que esse tipo de situação é muito comum no dia 
a dia dos gestores, como, por exemplo, na relação com os clientes, com 
os fornecedores, com concorrentes, ou com colaboradores. Por exemplo, 
numa situação de compra e venda num supermercado, há uma série de 
decisões prévias que foram tomadas pelos gestores antes do comprador 
potencial entrar no estabelecimento. Entre elas estão: a seleção dos pro-
dutos, dos fornecedores, a apresentação dos produtos, a decoração da 
loja, as formas de publicidade, e outras, inclusive a definição do preço a 
ser cobrado e das formas de pagamento a serem aceitas. O interesse do 
supermercado é maximizar seu retorno. Só que apenas as decisões que ele 
tomou não garantem isso. É preciso que os clientes potenciais entrem na 
loja e comprem. 
Do lado do cliente potencial, o bem que ele vier a adquirir deve atender 
a alguma necessidade sua de algum tipo. Ou seja, o interesse dele não é 
o mesmo do supermercado. Em geral ele é o “último a jogar”, ou seja,
sua escolha determina o resultado. No entanto seu “cardápio de escolha”
é determinado pelas decisões dos gestores do supermercado. Então aqui
também o resultado que o cliente obtém não depende apenas dele, mas
também das decisões do supermercado.
Escolha alguma outra situação e procure fazer essa análise: identifique 
quem são os decisores envolvidos, quais os seus respectivos interesses e 
como a decisão de um afeta o resultado obtido pelo outro.
Informações Estratégicas
223 Aula 8: Interações Estratégicas
Essas situações podem ser estudadas por diversas áreas do saber, como, 
por exemplo, marketing, estudos de estratégia, estudos organizacionais, 
estudos econômicos e vários outros. Aqui vamos estudar essas situações 
sob o ponto de vista da Teoria dos Jogos. Esse ponto de vista pode ser 
descrito num primeiro nível como o da análise da lógica das situações. Em 
outras palavras, nossa ferramenta aqui será a lógica. Aplicaremos a lógica 
a jogos de estratégia, que nada mais são do que modelos, representações 
dessas situações.
PALAvRA DE AUTOR
Então situações de interação estratégica e jogos são a mes-
ma coisa? Não exatamente. Segundo Fiani (2009, p. 12), apenas 
“situações que envolvem interações entre agentes racionais 
que se comportam estrategicamente podem ser analisadas for-
malmente como um jogo”. Em Palavra de Autor a seguir, apre-
sentamos a análise detalhada que o autor faz dessa afirmação.
Um jogo é um modelo formal. Isso significa que a teoria dos jogos 
envolve técnicas de descrição e análise, ou, em outras palavras, que 
existem regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo. 
Portanto, o estudo dessas técnicas é um elemento fundamental para a 
compreensão da teoria.
Interações. Significam que as ações de cada agente, consideradas 
individualmente, afetam os demais. […]
Agentes. Um agente é qualquer indivíduo, ou grupo de indivíduos, 
com capacidade de decisão para afetar os demais […] um agente é 
denominado, em teoria dos jogos, um jogador. […] 
Racionalidade. Assumir que os agentes são racionais significa 
supor que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos 
objetivos que almejam, sejam quais forem esses objetivos. A questão 
da racionalidade é uma das mais complexas no campo das Ciências 
Sociais, da Psicologia e mesmo da Filosofia. […] 
Comportamento estratégico. Por comportamento estratégico 
entende-se que cada jogador, ao tomar a sua própria decisão, leva 
em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, e que, 
portanto, sua decisão terá consequências sobre os demais jogadores, 
assim como as decisões dos outros jogadores terão consequências 
sobre ele. Obviamente, isso envolve raciocínios complexos, em que o 
que um dos jogadores decide depende do que ele acha que os demais 
farão em resposta às suas ações, o que, por sua vez, irá depender do que 
os demais jogadores acham que ele fará, e assim por diante.
(FIANI, 2009, p. 12-13)
224
Antes de continuar, três observações preliminares:
• A principal preocupação nesta aula é o desenvolvimento de seu ra-
ciocínio lógico, de sua capacidade de análise lógica. As situações
que serão tratadas são em si bastante simplificadas ou artificiais,
são alguns jogos clássicos. Por que isso? Por que queremos que vocês
percebam alguns conceitos básicos que ajudam a analisar esse tipo
de situações. Para apresentar um conceito é mais interessante usar
uma situação em que não haja muitas outras coisas que desviem a
atenção. Dizendo de outro jeito, nas análises, o foco será sempre a
compreensão dos conceitos. Nas leituras indicadas vocês encontra-
rão a referência de Bierman e Fernandez (2011), um livro disponível
na biblioteca virtual em que são apresentadas mais detalhadamente
várias aplicações.
• O termo “estratégico” está evidentemente relacionando a um outro,
“estratégia”. O termo estratégia aparece muito frequentemente
nos cursos, textos, discursos da área de negócios e de gestão. Você
encontrará diferentes definições segundo os diferentes autores. Nes-
ta aula vamos trabalhar com um recorte específico, o da Teoria dos
Jogos. Para nós, o termo estratégia terá um significado mais estrito,
será um plano de ação, isto é, uma sequência de especificações que
indica o que o jogador deve fazer em cada circunstância em que
deve tomar decisões.
• Talvez você perceba que as situações de interação estratégica são
variadas e complexas. A própria relação de compra e venda mencio-
nada acima adquire outras características se, em vez de dois parti-
culares, envolver um indivíduo e uma grande empresa. Ou então se
várias empresas de porte similar estão envolvidas, abrindo espaço
para coalizões, por exemplo. Como fazer para analisá-las? Para fazer
isso, vamos começar limitando o númerode envolvidos. Vamos tratar
apenas de jogos em que há dois jogadores de porte equivalente.
Para explicar melhor essa última observação, vamos apresentar uma 
ferramenta desenvolvida pelo professor Eliezer Arantes da Costa em seu 
doutorado: a Matriz de Jogos Estratégicos (MJE). Nessa tese, o autor analisa 
situações de conflito de interesses, procurando fazer um mapeamento das 
diferentes possibilidades. 
Estratégia:
“Estratégia é 
um plano de 
ações que 
especifica, para 
um determinado 
jogador, que ação 
tomar em todos os 
momentos em que 
ele terá de decidir 
o que fazer.”
(FIANI, 2009, p. 56)
Uma eleição para prefeito pode ser considerada um jogo? Em que senti-
do? E a realização de uma compra no supermercado por um casal e seus fi-
lhos? Procure identificar quem são os agentes envolvidos numa eleição para 
prefeito e na realização de uma compra no supermercado por um casal e 
seus filhos de oito e dez anos. Esses agentes são racionais?
Informações Estratégicas
225 Aula 8: Interações Estratégicas
Para fazer tal mapeamento, o autor precisou escolher que característi-
cas (ou dimensões) usar para classificar os diferentes tipos de situação. Se-
gundo o autor (COSTA, 2008, p. 25): “[...] poderíamos escolher, por exem-
plo, o porte relativo da empresa, as suas forças competitivas, a situação 
e as perspectivas de crescimento e de expansão do mercado, o estágio no 
ciclo de vida da empresa, o estágio no ciclo de vida do mercado, ou o grau 
de vulnerabilidade e de turbulência dos negócios”.
Entre essas e outras possibilidades, o autor escolheu duas que, combi-
nadas, permitem fazer o mapeamento desejado. Uma das dimensões iden-
tificadas é a postura dos envolvidos. Numa interação estratégica, o autor 
identifica três posturas possíveis: postura de rivalidade, postura individua-
lista e postura associativa. A segunda dimensão identificada é a relação de 
forças entre os envolvidos. Considerando essa dimensão qualitativamente, 
há duas situações possíveis: o equilíbrio de forças (nenhum dos envolvidos 
consegue impor regras ou alterar a situação à revelia do outro), ou o de-
sequilíbrio de forças. O primeiro caso pressupõe que ambos os envolvidos 
estão em posições equivalentes. No segundo caso, pressupõe-se que um dos 
envolvidos pode ser identificado como o jogador “Forte”, e o outro como 
o “Fraco”. Palavra de Autor a seguir apresenta resumidamente a dimensão
da postura concorrencial.
PALAvRA DE AUTOR
A dImensão do ConfRonto 
ConCoRRenCIAl nos jogos 
estRAtégICos 
Uma questão básica que envolve situações de conflitos de 
interesses entre jogadores é a maneira pela qual um jogador 
específico encara seu oponente. Por uma questão de simplicidade 
do modelo, adotamos, para este tipo de atitude e de comportamento, 
apenas três alternativas, mutuamente exclusivas, que sintetizamos 
em três distintas assertivas, implícitas em qualquer confronto: 
(1) Rival – “Se for possível, eu quero destruir o(s) meu(s)
oponente(s); se não for possível, quero enfraquecê-lo(s) ao máximo, 
de forma que ele(s) não me ofereça(m) quaisquer ameaças no futuro”.
(2) Individualista – “Meu(s) oponente(s) existe(m) e está(ão)
aí, mas há oportunidades para todos; embora eu reconheça que 
haverá sempre conflitos de interesses entre nós, vou agir de forma 
a conquistar e manter meu espaço vital para sobreviver e crescer”.
(3) Associativa – “Eu preciso sobreviver, mas meu(s) oponente(s) 
também precisa(m); assim, deve ser possível encontrar alguma 
maneira coordenada de agir, de forma que se possa achar uma 
solução conciliatória que seja a melhor para o todo”. [...]
Psicólogos, administradores, psicanalistas, sociólogos, cientistas 
políticos e filósofos continuam investigando as verdadeiras 
motivações pelas quais os jogadores tomam suas decisões, optando, 
consciente ou inconscientemente, por (1), ou por (2), ou por (3), 
acima. Para efeito desta análise, entretanto, basta reconhecer que 
estas três alternativas existem de fato, e que elas condicionam a 
- continua...
226
PALAvRA DE AUTOR
análise dos posicionamentos estratégicos possíveis e das ações a 
tomar em cada situação de conflito.
Neste trabalho, não se questiona se esta escolha é uma questão 
meramente subjetiva, ou se é uma matéria objetiva que pode ser 
explicável por uma motivação basicamente econômica, ou de 
sobrevivência da empresa. Para efeito deste modelo, observamos 
que estão sempre presentes nas situações de conflitos de interesses, 
sem associar, a cada uma delas, qualquer juízo de valor sobre a 
escolha feita. 
(COSTA, 2008, p. 27-29)
Segundo o autor, a postura individualista aparece em situações de con-
corrência nas quais o foco é o crescimento da organização; a postura de ri-
validade é característica de situações de concorrência predatória, em que 
o que se deseja é eliminar os concorrentes, tanto ou mais do que crescer;
e a postura associativa caracteriza as situações de alianças, consórcios e
parcerias, em que é necessário considerar a satisfação não apenas os pró-
prios interesses, mas também os do grupo.
Palavra de autor a seguir apresenta resumidamente a dimensão da rela-
ção de forças entre os concorrentes. 
PALAvRA DE AUTOR
A dImensão de RelAção de foRçAs 
entRe jogAdoRes 
Em uma segunda dimensão, procura-se representar a postura 
típica que um jogador específico assume em relação ao(s) seu(s) 
principal(ais) oponente(s). 
Por uma questão de simplicidade, três posições típicas 
mutuamente exclusivas são aqui tratadas, caracterizadas pelas 
seguintes assertivas: 
(1) Forte – “Sou o mais forte e tenho condições de impor os meus
interesses ao(s) meu(s) oponente(s)”. 
(2) Equilibrado – “Estou no páreo, sou como ele(s); tenho força
equivalente à(s) do(s) meu(s) oponente(s)”. 3) Fraco – “Sou o (um 
dos) mais fraco(s); não consigo fazer meu(s) oponente(s) agir(em) 
de acordo com os meus interesses. Preciso esperar para saber quais 
as decisões dele(s), para então tomar a minha”. [...]
Para efeito dessas análises, não entramos na questão objetiva 
da real relação de forças entre o jogador e seu oponente direto. 
Basta reconhecer que estes três pressupostos alternativos estão 
sempre presentes, em graus distintos, nas situações de conflitos 
de interesses, sem associar, a cada uma delas, qualquer conotação 
que envolva juízo de valor sobre a posição assumida pelo jogador 
naquele confronto específico.
(COSTA, 2008, p. 29-30)
Informações Estratégicas
227 Aula 8: Interações Estratégicas
Ainda segundo o mesmo autor, a situação de equilíbrio é muito bem ilus-
trada pela ideia de concorrência no livre mercado; uma posição de força 
numa situação de desequilíbrio de forças é exemplificada por uma empresa 
praticamente monopolista; pequenas empresas iniciando suas atividades 
ou então empresas em situação terminal ilustram bem a posição de fraque-
za numa relação de forças desequilibrada.
´ Figura 1 – Matriz de jogos estratégicos. Fonte: Costa
(2004, p. 31).
TROCANDO IDEIAS
Leia com atenção os dois tópicos Palavra de Autor anteriores, 
sobre as duas dimensões das interações estratégicas, a relação de forças 
entre os envolvidos e a postura de cada um. Escolha uma empresa 
real, por exemplo, aquela em que você trabalha, ou então alguma 
da qual você é cliente habitual. Procure identificar uma situação de 
interação estratégica em que ela esteja envolvida (muito provavelmente 
você deverá fazer hipóteses). Nessa situação, qual é a relação de 
forças entre os envolvidos? Qual é a postura adotada pela empresa? 
Redija claramente suas respostas, justificando-as a partir das 
conceituações apresentadas, e publique-as no Fórum do ambiente 
virtual. Leia a publicação de pelo menos um de seus colegas e comente 
ou discordando de alguma de suas afirmações, ou complementando-as 
com comentários.
Essas duas dimensões permitiram ao autoragrupar a enorme varieda-
de de tipos de interações estratégicas em seis grandes grupos: três delas 
correspondendo a uma situação de equilíbrio de forças, e as outras três, 
a uma relação de forças desequilibrada. O autor sintetiza essa ideia por 
meio daquilo que ele chamou de Matriz de Jogos Estratégicos, e que está 
mostrada na Figura 1.
228
A linha central da matriz da Figura 1 corresponde a três tipos de jogos: 
retaliatórios, competitivos, e cooperativos. Esses jogos serão discutidos 
mais detalhadamente ainda nesta aula.
As células superior e inferior da coluna central da matriz (postura indi-
vidualista numa relação em desequilíbrio de forças) caracterizam um jogo 
Líder – Seguidor: o jogador mais forte, o Líder, conhece as preferências 
do jogador mais fraco, o Seguidor, e é o primeiro a tomar sua decisão; o 
Seguidor toma sua decisão sabendo qual foi a decisão tomada pelo Líder. A 
análise desse jogo é apresentada no item 3.4.2 de Costa (2008).
As outras duas interações no contexto de um desequilíbrio de forças, 
correspondendo aos quatro vértices da matriz de jogos estratégicos (Figura 
1), são denominadas pelo autor de jogos estratégicos em casos limites. Es-
sas situações, nas suas palavras, “[...] caracterizam situações-limite de en-
frentamento competitivo, para as quais podemos propor novas estratégias 
de equilíbrio, ainda não contempladas na teoria dos jogos [...]” (COSTA, 
2008, p. 36).
Um desequilíbrio de forças associado a uma postura associativa caracte-
riza o que o autor chama de jogo Paternalista-Solidário. O jogador na po-
sição de força (paternalista) toma a decisão visando a otimizar o resultado 
para todos os jogadores. O jogador na posição fraca (solidário) tem basi-
camente duas opções: aceitar a análise e a decisão do paternalista ou sair 
do jogo. Esse jogo é analisado em detalhe no item 3.4.6 de Costa (2008).
Finalmente, um desequilíbrio de forças associado a uma postura de ri-
validade caracteriza o que o autor chama de jogo Hegemônico-Marginal. O 
jogador na posição de força (hegemônico) não só tem a força para tomar 
decisões à revelia do outro, mas também tem a intenção de dominar seus 
competidores, se possível quebrá-los. Nessa situação, o foco do jogador na 
posição fraca (marginal) é basicamente sobreviver, e obter quando possível 
uma vantagem ou até mesmo causar dano. Esse jogo é analisado em deta-
lhe no item 3.4.7 de Costa (2008).
Nesta aula discutiremos basicamente as situações caracterizadas por um 
equilíbrio de forças. Começamos por aquelas em que os envolvidos traba-
lham com uma postura de rivalidade, os jogos retaliatórios.
Estratégias Minimax-Maximin
Segundo o autor, os jogos retaliatórios se aplicam a situações em que 
“os jogadores assumem, explícita ou implicitamente, que o ganho para um 
implica em perda para os demais” (COSTA, 2008, p. 35). Essa atitude ca-
racteriza o posicionamento retaliatório. Essa atitude caracteriza também 
um jogo ganha-perde, ou, em termos de Teoria dos Jogos, um jogo de soma 
zero. A ideia por trás desse nome é que, se somarmos os ganhos e perdas 
dos dois envolvidos, o resultado será zero, pois o que um perdeu é com-
pensado pelo que outro ganhou. Para entender a abordagem a esse tipo de 
situação, vamos analisar um jogo bem simplificado que permite visualizar 
claramente a lógica usada na análise. 
Informações Estratégicas
229 Aula 8: Interações Estratégicas
Considere uma disputa na qual estão envolvidos dois competidores (A 
e B): O competidor A tem que escolher entre duas opções: caminho 1 ou 
caminho 2. O competidor B tem que escolher entre duas opções: defesa x 
ou defesa y. Ambos terão de decidir sem saber qual foi a decisão do outro 
envolvido. Ambos dispõem das seguintes informações: se A escolher o ca-
minho 1, e B, a defesa x, A ganha 4000 e B perde 4000. Caso B opte nesse 
caso pela defesa y, A ganha 5000 e B perde 5000. Se A escolher o caminho 2 
e B, a defesa x, A ganha 3000 e B perde 3000. Caso B opte nesse caso pela 
defesa y, A ganha 9000 e B perde 9000.
PENSE NISSO
O que você faria se estivesse no lugar do competidor A? E se 
estivesse no lugar do competidor B? Pense um pouco antes de 
continuar e escreva sua resposta, procurando justificá-la.
Não se esqueça de duas coisas.
Primeiro, é um jogo, logo você não pode decidir pelo outro, e, neste 
caso específico, terá de decidir sem saber o que o outro vai fazer. 
Segundo, você não pode mudar as regras do jogo. Lembra que a 
ideia é entender a lógica da situação? Pois é, para entender para onde 
leva uma situação é preciso antes respeitar as suas regras. Talvez ao final 
chegue à conclusão que seria interessante verificar se é possível mudar as 
regras, ou então conclua que não vale a pena participar desse jogo. Mas 
para chegar a essas conclusões, é preciso primeiro entender para onde 
levam as regras tais como estão dadas. Por outro lado, algumas vezes 
não temos opção, temos que jogar um jogo cujos resultados potenciais 
nos parecem todos adversos. Aí a questão é: como tirar o melhor disso?
A análise que faremos visa a orientar a decisão. Como em todas as situ-
ações nesta unidade, estamos considerando o modelo de decisão racional 
abordado na aula 1. Consideramos que o problema já foi bem compre-
endido e que as informações relevantes já foram coletadas, assim como 
consideramos que as alternativas para cada jogador são exatamente as 
duas indicadas, com as respectivas consequências. O critério de decisão é 
o ganho obtido. Ou seja, pretende-se maximizar esse ganho ou, no caso de
B, minimizar suas perdas.
A questão é: como fazer isso se não sei o que vai acontecer e o meu ga-
nho depende do que o outro fizer?
Uma possibilidade é uma abordagem conservadora, na qual, mais que vi-
sar ganhos que não dependem apenas de mim, procuro minimizar perdas ou 
então garantir um ganho mínimo. Veremos que é possível fazer isso. É im-
portante também ressaltar o seguinte: essa abordagem é interessante não 
apenas em jogos de soma zero, nos quais a estrutura da situação leva a isso, 
mas também em situações em que não é possível confiar na racionalidade 
do oponente, pois este está obcecado pela ideia de destruir o adversário – 
você. No Saiba Mais a seguir você encontrará um exemplo dessa obsessão. 
230
SAIbA
Vamos seguir então essa abordagem conservadora. Há duas maneiras 
de considerar isso. Na perspectiva Minimax, primeiro se identifica o maior 
prejuízo ou perda que cada alternativa pode trazer (os MAX). Em seguida, 
escolhe-se a alternativa que tem o menor prejuízo máximo. Vamos ver isso 
no caso do exemplo, analisando a situação do competidor B:
Se B escolher a defesa x, ele poderá perder 4000 ou 3000. O maior pre-
juízo seria perder 4000. Se B escolher a defesa y, ele poderá perder 5000 ou 
9000. O maior prejuízo seria perder 9000. Em resumo, para B, os maiores 
prejuízos potenciais (os MAX) são 4000, se escolher a defesa x, e 9000, se 
escolher a defesa y. Evidentemente, entre os dois ele escolherá o menor 
CAmpeAU x mACy’s
Em 1987, Robert Campeau, um empresário canadense do 
ramo imobiliário, e considerado pela revista Fortune como um dos 
“cinquenta empresários mais interessantes do mundo”, quis comprar 
a loja de departamentos mais rentável dos EUA, a Bloomingdale’s, do 
grupo Ferated Department Stores, devido ao seu alto potencial de 
atrair clientes para os shopping centers que pretendia construir nos 
EUA e no Canadá.
No início de 1988 Campeau iniciou a negociação de aquisição da 
Federated Department Stores, que também era pretendida por outro 
grande grupo de lojas dos EUA, a Macy’s. Iniciou-se uma verdadeira 
guerra de ofertas, a ponto do prestigioso jornal americano, Wall 
Street Journal, ter afirmado: “Não estamos mais lidando com preços, 
mas com egos. O que já se ofereceu excede qualquer expectativa.”
Nesse interim, o valor de mercado da Federated DepartmentStores caía de forma sensível e houve uma grande saída de executivos 
e funcionários, que buscaram novos empregos. Todo o planejamento 
estratégico da Bloomingdale’s, do grupo Federated, foi afetado e os 
resultados prejudicados.
Em março de 1988, quando a Macy’s, o opositor de Campeau, 
estava quase fechando negócio, Campeau fez um novo movimento 
na negociação, oferecendo à Macy’s ceder sua posição pessoal 
na negociação, facilitando a compra da Federated, se a Macy’s lhe 
vendesse a Bloomingdale’s, que era o seu real objetivo. A Macy’s 
recusou a oferta, o que provocou a retaliação de Campeau, e que o 
levou a fazer uma oferta totalmente incompatível com o momento, 
ultrapassando a oferta da Macy’s e comprando o grupo Federated 
por US$ 500 milhões, uma cifra extremamente elevada para a época.
Tal ato irracional, que obrigou Campeau a fazer dívidas elevadas 
no mercado, acarretou sua falência em 1990.
Campeau venceu a batalha, mas perdeu a guerra.
(Retirado de Bazerman e Neale, 2007, p. 25-26)
Informações Estratégicas
231 Aula 8: Interações Estratégicas
(entre os MAX, escolherá o MINI). Sua decisão MINIMAX será então a defesa 
x. A Tabela 1 resume essa análise:
´ Tabela 1 – Análise MINIMAX das opções do jogador b.
Jogador B MIN
Defesa x 4000 ß MINIMAX
Defesa y 9000
Observe que, isoladamente, essa decisão não garante nenhum resultado 
específico para B – ele não sabe se perderá 4000 ou 3000. A decisão MINI-
MAX garante apenas que o seu prejuízo será de no máximo, 4000. Esse é o 
número MINIMAX.
Na perspectiva Maximin, primeiro se identifica o menor ganho que cada 
alternativa pode trazer (os MIN). Em seguida, escolhe-se a alternativa que 
tem o maior ganho máximo. Vamos ver isso no caso do exemplo, analisando 
a situação do competidor A:
Se A escolher o caminho 1, ele poderá perder 4000 ou 5000. O menor 
ganho seria 4000. Se A escolher o caminho 2, ele poderá ganhar 3000 ou 
9000. O menor ganho seria 3000. Em resumo, para A, os ganhos mínimos 
potenciais (os MIN) são 4000, se escolher o caminho 1, e 3000, se escolher 
o caminho 2. Evidentemente, entre os dois ele escolherá o maior (entre os
MIN, escolherá o MAXI). Sua decisão MAXIMIN será então o caminho 1.
´ Tabela 2 – Análise MAXIMIN das opções do jogador A.
Jogador A MIN
Caminho 1 4000 ß MAXIMIN
Caminho 2 3000
Aqui também, observe que, isoladamente, essa decisão não garante ne-
nhum resultado específico para A. Ao escolher o caminho 1, ele ainda não 
sabe se ganhará 4000 ou 5000. A decisão MAXIMIN apenas garante um ganho 
mínimo, no caso, 4000.
Resumindo nossa análise, concluímos que a melhor opção é para o joga-
dor A o caminho 1 e para o jogador B, a defesa x. Nesse caso, A ganha 4000, 
que é o ganho mínimo que ele pode obter, e B perde 4000, que é o limite 
superior para o prejuízo que ele procurou estabelecer.
Antes de continuar, vamos apresentar uma forma de representar jogos 
como os do exemplo inicial, isto é, jogos:
• com dois jogadores;
• nos quais ambos os envolvidos conhecem as opções de cada um e os
232
resultados possíveis para cada um (jogos de informação completa de 
conhecimento comum)
• nos quais cada jogador deve tomar uma única decisão sem saber o
que o outro decidiu (jogos simultâneos)
Essas situações podem ser adequadamente descritas por tabelas (ou 
matrizes). A seguir, na Tabela 3 mostramos como fica o exemplo que 
estamos analisando.
´ Tabela 3 – Representação matricial (em tabela, ou na
forma normal, ou ainda na forma estendida) do jogo
analisado no exemplo
Jogador B
Defesa x Defesa y
Jogador A
Caminho 1 (4000, -4000) (5000, -5000)
Caminho 2 (3000, -3000) (9000, -9000)
Veja se você consegue observar os seguintes fatos na tabela acima:
• Cada linha tem um rótulo, que corresponde a uma estratégia possí-
vel para o jogador A (caminho 1 ou caminho 2) – usualmente chama-
do jogador da linha.
• Cada coluna tem um rótulo, que corresponde a uma estratégia pos-
sível para o jogador B (defesa x ou defesa y) – usualmente chamado
jogador da linha.
• A tabela tem duas colunas e duas linhas, formando quatro células.
• Cada célula corresponde a um possível resultado da situação. Por
exemplo, a célula do canto superior esquerdo corresponde à situa-
ção em que A escolhe o caminho 1 e B, a defesa x (o equilíbrio que
encontramos agora há pouco). A célula do canto superior direito cor-
responde à situação em que A escolhe o caminho 1, e B, a defesa y.
E assim por diante.
O conteúdo de cada célula é um par de números. O primeiro número é 
sempre o resultado que A recebe naquela situação, e o segundo número é 
sempre o resultado que B recebe nessa mesma situação. Assim, na célula 
do inferior direito aparecem os números 9000 e -9000, que correspondem 
ao que A ganha e B perde (por isso negativo) no caso em que A escolhe o 
caminho 2 e B, a defesa y. Na célula do inferior esquerdo, por sua vez, 
aparecem os números 3000 e -3000, que correspondem ao que A ganha e 
B perde (por isso negativo) no caso em que A escolhe o caminho 2 e B, a 
defesa x. E assim por diante. Conseguiu? Bem, isso pode ser generalizado 
do seguinte modo:
Um jogo simultâneo de informação completa de conhecimento co-
mum com dois jogadores pode ser representado por uma tabela do 
seguinte modo:
Informações Estratégicas
233 Aula 8: Interações Estratégicas
• A um dos jogadores se atribuem as linhas. Cada linha corresponderá
a uma das possíveis escolhas desse jogador.
• Ao outro jogador se atribuem as colunas. Cada coluna corresponderá
a uma das possíveis escolhas desse jogador.
• Desse modo, cada célula corresponde a uma das várias possibilidades
definidas pelas decisões independentes dos dois jogadores.
• Em cada célula se colocam dois números: o primeiro número repre-
senta o resultado obtido pelo jogador associado às linhas; o segundo
número representa o resultado obtido pelo jogador associado às co-
lunas. Essa convenção é sempre respeitada. Observe que a escolha
de quem fica nas linhas e quem fica nas colunas é arbitrária.
Aproveitamos agora essa forma de representação para propor a você 
que faça a análise Minimax-Maximin para o jogo representado na Tabela 4. 
Determine qual a decisão Maximin de cada jogador (como todos os valores 
são positivos, o maior prejuízo que cada um pode ter é na verdade seu 
ganho mínimo).
´ Tabela 4 – Jogo simultâneo representado na forma normal
Jogador B
Defesa x Defesa y
Jogador 
A
Caminho 1 (4000, 
-4000)
(2000, 
-2000)
Caminho 2 (3000, 
-3000)
(9000, 
-9000)
234
Observe que, se cada um, de fato, tomar a decisão indicada pela aná-
lise, os ganhos que cada um obterá não serão iguais aos seus ganhos mí-
nimos, ao contrário do exemplo acima. Isso indica que, ao contrário do 
exemplo analisado, esta situação não tem equilíbrio. Em termos práticos, 
isso se reflete no seguinte: neste caso o jogador A tem interesse em mudar 
sua decisão (trocar o caminho 2 pelo caminho 1) mesmo que B não mude. 
Isso não acontecia no exemplo – o que é característico de uma situação 
de equilíbrio. 
PENSE NISSO
Se para A seria melhor o caminho 1, por que não foi essa a 
solução obtida? 
Lembre-se de duas coisas: primeiro, quando dizemos que seria 
melhor, estamos considerando apenas os possíveis resultados; 
segundo, a abordagem Minimax-Maximin visa a minimizar perdas, 
não necessariamente maximizar retornos. Lembre-se também 
que estamos num jogo retaliatório, a postura dos envolvidos é de 
rivalidade. A que se exporia A, se escolhesse o caminho 1? Ele pode 
ter certeza que o comportamento de B será racional?
Discutiremos mais sobre equilíbrio no item a seguir – que discute o 
Equilíbrio de Nash. Antes relembremos que a abordagem Maximin-Mini-
max é recomendada no caso de jogos retaliatórios, isto é, jogos em que 
há um equilíbrio de forças entre os dois envolvidos e em que o prejuízode um corresponde ao ganho do outro, e vice-versa. Como dissemos no 
início, isso pode acontecer pela própria estrutura do jogo (jogo de soma 
zero), como no exemplo analisado, ou pela postura de um envolvido que 
esteja mais interessado em prejudicar o oponente do que melhorar seu 
próprio resultado.
Equilíbrio de Nash e Ótimo de Pareto
Neste item tratamos dos jogos competitivos e dos jogos associativos des-
critos por Costa (2008). Começamos pelos competitivos, que correspondem 
à célula central da matriz de jogos estratégicos (cf. Figura 1), estando as-
sociados a um jogo em que há equilíbrio de forças e a postura dos dois en-
volvidos pode ser caracterizada como individualista – o que permite supor 
uma racionalidade nas suas ações (o foco é melhorar seu próprio resultado, 
independentemente do que possa acontecer com os outros envolvidos).
Enquanto nos jogos retaliatórios a abordagem mais indicada era a abor-
dagem defensiva Minimax-Maximin, aqui trabalharemos com a ideia de 
equilíbrio de Nash. Para tanto consideraremos novamente jogos simultâne-
os com dois jogadores, de informação completa de conhecimento comum. 
Desta vez trabalharemos com um dos jogos mais conhecidos na literatura: 
o dilema dos prisioneiros.
Informações Estratégicas
235 Aula 8: Interações Estratégicas
Há várias versões dele. Trabalharemos com a seguinte versão: dois jo-
vens decidiram se unir para burlar a lei. Após algum tempo, uma denúncia 
anônima de um concorrente fez com que ambos fossem presos. Logo após 
a prisão, ambos foram colocados em celas isoladas, de onde não podiam 
se comunicar com ninguém a não ser com os policiais que os interrogavam. 
Analisando as provas obtidas no momento da prisão, a polícia verifica que 
tem evidências que garantem a condenação dos dois por algumas infrações 
leves, o que resultaria numa pena de prisão de dois anos. 
Ambos os jovens sabem disso. No entanto, a polícia acredita que co-
meteram crimes mais sérios, cuja pena seria de dez anos de prisão. Por 
isso, decide fazer a seguinte proposta a cada um deles: se o jovem trair o 
companheiro, e contar tudo para a polícia, ele sai livre graças à delação 
premiada, enquanto o outro ficará preso por dez anos; ele deve, no entan-
to, se apressar, pois se ambos contarem tudo à polícia, a importância de 
seu relato para a polícia será menor e, por isso, em vez de sair livre, haverá 
apenas uma redução de pena de dez para cinco anos. Se você estivesse no 
lugar de um dos dois envolvidos, o que você faria?
Lembramos os alertas feitos no item anterior: você não pode decidir 
pelo outro, e você não pode mudar as regras. O objetivo é entender a lógi-
ca da situação, lembra?
Não custa nada analisar as características dessa situação. É um jogo, 
pois: (a) há mais de um decisor, isto é, de um agente, e é razoável supor 
que cada um dos jogadores irá decidir visando à otimização de seu resulta-
do (no caso, o menor tempo possível na prisão); (b) o que cada um ganha 
ao final da interação, depende não apenas da sua decisão, mas também da 
escolha do outro, e é razoável supor que os envolvidos tentarão levar isso 
em consideração, isto é, terão um comportamento estratégico. Além disso, 
é um jogo simultâneo, pois cada um tem apenas uma decisão a fazer e essa 
decisão deve ser feita sem saber qual será a decisão do outro. É um jogo 
de informação completa, pois os resultados de cada possível desenlace são 
conhecidos. Essa informação é de conhecimento comum, pois ambos os 
jogadores a conhecem e sabem que o outro a conhece. 
A relação de forças entre os dois é de equilíbrio. Ambos estão em situ-
ação absolutamente equivalente e nenhum deles tem condição de impor 
nada ao outro. É razoável descartar a postura de rivalidade entre os dois, 
pois ambos eram companheiros no empreendimento criminoso. Neste mo-
mento vamos descartar a postura associativa (voltaremos a isso mais tarde) 
e consideraremos apenas a postura individualista, isto é, cada um está in-
teressado, sobretudo, em melhorar a sua situação. Se a situação do colega 
também melhorar, ótimo, mas, se não melhorar, também ótimo. Em resu-
mo, estamos falando daquilo que Costa (2008) chama de jogo competitivo.
A ideia básica do equilíbrio de Nash é a noção de melhor resposta. Uma 
situação é um equilíbrio de Nash quando corresponde à melhor resposta que 
um jogador pode dar levando em conta o que os outros, ao defender seus 
próprios interesses, podem fazer, e isso é verdade para todos os jogadores.
Para entender o que isso quer dizer, pegue o resultado de nossa análise 
236
do exemplo. Observe que nenhum dos dois envolvidos tem interesse em 
mudar isoladamente sua decisão. Você poderia pensar: ah, o A bem que po-
dia escolher o caminho 2 para ter chance de ganhar o máximo (9000). Veja 
que essa mudança só valeria a pena se A tivesse certeza que B escolheria a 
defesa y. Em outras palavras, A não teria interesse em mudar isoladamente 
sua decisão. B também não. É como duas bolinhas de gude colocadas nas 
bordas de uma bacia. Ambas vão terminar no fundo, a “lógica da situação” 
as leva a isso.
Um jogo pode ter um equilíbrio de Nash. Nesse caso o equilíbrio pode ser 
entendido como a “solução do jogo”. Há jogos que não têm equilíbrio de 
Nash, isto é, jogos em que a lógica da situação não aponta para um desen-
lace específico. A teoria mostra que nesses casos o uso de probabilidades na 
tomada de decisão pode ser útil, mas isso vai além do escopo desta unida-
de. Finalmente há jogos que têm mais de um equilíbrio de Nash. 
O economista Thomas Schelling desenvolveu o conceito de ponto focal 
para tratar dessas situações (veja mais detalhes no Saiba Mais a seguir).
SAIbA
Thomas Schelling sugeriu que [...] um dos muitos equilíbrios de Nash 
poderia ‘sobressair’ em relação aos demais devido a certa assimetria que é de 
conhecimento comum dos jogadores. Ele denominou tal equilíbrio de Nash 
um equilíbrio de ponto focal.
Embora não tenha proposto uma teoria formal para esses equilíbrios 
– na verdade, o conceito de um ‘ponto focal’ esquivou-se da formalização
– Schelling mostrou de modo convincente a penetração de tal conceito,
normalmente à guisa de ‘convenções sociais’. [...]
A solução de Schelling é inquietante porque sugere que há aspectos dos 
jogos que são importantes determinantes do modo como as pessoas os jogam, 
mas estão fora da formalização atualmente aceita da teoria.
(Retirado de Bierman e Fernandez , 2011, p. 16-17)
Vamos agora procurar analisar o jogo. Para facilitar o seu acompanha-
mento, resumimos as informações na Tabela 5, conforme as convenções 
indicadas no item anterior (adotamos os nomes alfa e beta para distinguir 
os dois prisioneiros).
Informações Estratégicas
237 Aula 8: Interações Estratégicas
´ Tabela 5 – Representação do jogo do dilema dos prisio-
neiros. Lembre-se que o primeiro número em cada célula
representa o resultado (anos de prisão) para o jogador asso-
ciado às linhas (no caso beta), e o segundo número, o resul-
tado para o jogador associado às colunas (no caso alfa). Os
números são negativos porque se tratam de anos de prisão e,
como no caso de perdas ou prejuízos, pretende-se minimizar
o resultado (quanto menos anos, melhor).
Jogador Alfa
Trair Não Trair
Jogador Beta
Trair (-5, -5) (0, -10)
Não Trair (-10, 0) (-2, -2)
Que tal, antes de começarmos a falar do equilíbrio de Nash, você pro-
curar usar o que já sabe? Analise esse jogo sob a perspectiva Minimax-
-Maximin. Qual a melhor decisão para cada um?
O procedimento que adotaremos para realizar a análise é o seguinte: 
determinar para cada jogador qual a melhor resposta que ele pode dar em 
cada circunstância; em seguida identificar se há alguma situação que cons-
titui a melhor resposta para todos os envolvidos.
Começamos analisando as melhores respostas que o jogador alfa pode 
dar. Que circunstâncias ele tem queconsiderar? Bem, aquelas sobre as 
quais ele não tem controle. No jogo isso se refere à decisão do outro joga-
dor. Mais concretamente, ele deve definir qual a melhor resposta em duas 
situações distintas: a traição, ou não, do jogador beta.
Se beta trair, o que é melhor para ele, alfa? Trair também, correto? Se 
não trair, ele ficará preso dez anos, se ele trair, sua pena cai para cinco 
anos. (Em termos da tabela, dizer qual é a melhor resposta de alfa se beta 
trair é determinar qual a melhor coluna na 1ª linha – isso pode ser assina-
lado na tabela marcando um A (de alfa) na célula que está na 1ª coluna da 
1ª linha).
E se beta não trair? A melhor resposta de alfa também é trair, pois nesse 
caso ele sairá livre, enquanto, se não trair, ele ficará preso dois anos. (Em 
238
termos da tabela, dizer qual é a melhor resposta de alfa se beta não trair 
é determinar qual a melhor coluna na 2ª linha – isso pode ser assinalado na 
tabela marcando um A (de alfa) na célula que está na 1ª coluna da 2ª linha). 
Se, para uma dada escolha do outro jogador, há dois resultados que são a 
melhor resposta para o jogador analisado, os dois resultados são marcados.
A posição de beta é absolutamente equivalente, então, para ele tam-
bém a melhor resposta é trair nas duas circunstâncias possíveis. As respos-
tas para beta também podem ser marcadas na tabela, desta vez com B (de 
beta): um B na 1ª linha/1ª coluna (melhor resposta caso alfa traia) e um B 
na 1ª linha/2º coluna (melhor resposta caso alfa não traia).
Da análise fica evidente que a situação em que ambos traem é um equi-
líbrio de Nash, pois é a melhor resposta para cada um considerando o que o 
outro pode fazer. O uso das marcações na tabela facilita essa identificação: 
se houver uma célula com dois símbolos diferentes, essa célula correspon-
de a um equilíbrio de Nash (pois a presença de um símbolo indica que ela é 
a melhor resposta para um jogador naquela circunstância, havendo os dois, 
ela é a melhor resposta para todos os envolvidos). Veja esse resultado na 
Tabela 6.
´ Tabela 6 – Determinação do equilíbrio de Nash no dilema
dos prisioneiros. A célula (Trair, Trair) corresponde ao equilí-
brio de Nash do jogo.
Jogador Alfa
Trair Não Trair
Jogador Beta
Trair B (-5, -5) A B (0, -10)
Não Trair (-10, 0) A (-2, -2)
Em outras palavras, seguindo a lógica da situação, ambos os prisioneiros 
vão trair e acabarão presos por cinco anos. 
Talvez você esteja pensando: nossa, mas que bobos! Se nenhum deles 
falasse, ficariam presos apenas dois anos. Bem, vamos analisar isso. Primei-
ro, vamos pensar do ponto de vista da postura concorrencial. 
Lembra que estamos considerando uma postura individualista (“quero 
me dar bem, se o outro se der bem ou mal, não me importa”)? Para optar 
por não trair, cada um deles deveria pensar não apenas no seu interesse, 
mas também no interesse do outro. Isso caracterizaria uma postura asso-
ciativa. Você pode dizer: bem, esse é um caso em que vale a pena pensar 
no outro, pois os dois saem ganhando com isso. É verdade, e vamos discutir 
isso daqui a pouco. Agora é importante você perceber que a opção (Não 
Trair, Não Trair), por mais interessante que seja para ambos, não é um 
equilíbrio, e entender as consequências disso.
Observe inicialmente que o problema consiste numa coordenação de 
ações. A análise anterior (das melhores respostas) permitiu definir um cur-
Informações Estratégicas
239 Aula 8: Interações Estratégicas
so de ação para cada envolvido independentemente do outro. Mas a opção 
(Não Trair, Não Trair), para que ela de fato ocorra, é preciso algo mais para 
que consigam coordenar as ações. Por quê?
Talvez você pense o seguinte: e a questão ética? Trair é errado, é por 
isso que eles não devem trair. Bem, não custa lembrar que os dois foram 
pegos cometendo um crime. Mas o mais importante é o seguinte: a questão 
que se coloca é cooperar ou não cooperar (no dilema isso corresponde a 
trair) com o companheiro. Essa é uma questão muito ampla: o que leva as 
pessoas a cooperarem (ou não) umas com as outras? Por exemplo, tudo in-
dica que atitudes ambientalmente responsáveis são necessárias atualmen-
te para o bem de todos. No entanto, para cada empresa individualmente 
isso implica custos agora, enquanto os potenciais benefícios virão a longo 
prazo e dependerão de todos fazerem a sua parte. Como ter certeza que 
todos farão sua parte? Por que fazer minha parte, se não acredito que os 
outros farão sua parte?
Voltando ao problema, para que um deles pense em não trair, ele deverá 
acreditar que o outro não o irá trair. Em que situação seria razoável acre-
ditar nisso? Colocando-se na posição do outro, ele sabe que entre ficar dois 
anos preso e sair livre, a segunda opção pode ser muito tentadora. Então, 
como ter certeza que o outro não cairá em tentação? Lembre-se que ambos 
não podem se comunicar antes de decidir.
Você percebe que é preciso ter algum tipo de vínculo, algum tipo de 
contrato, explícito ou tácito, que leve à coordenação das ações? Apenas 
as possíveis recompensas para cada um em cada caso e as regras do jogo, 
isto é, a lógica da situação, não garantem essa coordenação. Por isso, a 
opção em que os dois jogadores cooperam um com o outro (neste caso, não 
traem) não é um equilíbrio do jogo, pois, tomando como base o critério de 
decisão usado (tempo mínimo na prisão, no exemplo), as outras opções são 
mais atraentes.
O dilema dos prisioneiros é caracterizado exatamente por isso: a lógica 
da situação (o equilíbrio de Nash, cada um procurando maximizar sua re-
compensa individual) aponta para uma solução, no entanto existe uma outra 
solução que acaba atendendo melhor aos interesses de todos os envolvidos.
Voltemos agora à sua observação de que este caso é uma situação em 
que vale a pena adotar uma postura associativa, em vez de uma postura 
individualista. Trabalhar com uma postura associativa, numa situação de 
equilíbrio de forças, vai além de simplesmente pensar no interesse de to-
dos. É preciso dialogar, argumentar, negociar, estabelecer compromissos, 
de modo que a coordenação de ações ocorra efetivamente.
Para caracterizar mais objetivamente essa questão evidenciada pelo di-
lema dos prisioneiros, precisamos introduzir dois novos conceitos: melhoria 
no sentido de Pareto e ótimo de Pareto.
Consideremos os possíveis resultados de um jogo. Um possível resultado 
pode sofrer uma melhoria no sentido de Pareto (ou uma melhoria paretia-
na), se existir alguma mudança nas escolhas feitas que tenha o seguinte 
240
efeito: nenhum jogador é prejudicado como resultado da mudança e pelo 
menos um dos jogadores é beneficiado. Exemplo: no dilema dos prisionei-
ros, a mudança de (Trair, Trair) para (Não Trair, Não Trair) constitui uma 
melhoria no sentido de Pareto, pois nenhum dos dois jogadores é prejudi-
cado por ela, pelo contrário, os dois são beneficiados.
Observe que a melhoria paretiana não é nem a situação inicial nem a 
situação final, mas sim a mudança de situação que tem resultados com as 
características mencionadas. 
O interesse de uma melhoria paretiana é que constitui uma mudança 
que não deve, em princípio, encontrar resistência, pois ninguém será pre-
judicado por ela. 
Um ótimo de Pareto é uma situação que não pode sofrer uma melhoria 
paretiana, isto é, uma situação na qual qualquer mudança de decisão pro-
voca um resultado que prejudica pelo menos um dos envolvidos ou então 
não beneficia nenhum dos envolvidos.
Dado o equilíbrio de Nash de um jogo, se ele NÃO for ótimo de Pareto, 
isto é, se, tomando como situação inicial o equilíbrio de Nash de um jogo, 
é possível fazer uma melhoria paretiana, isso indica que a postura individu-
alista não propicia o melhor resultado para o grupo e que, se for possível, 
se for lícito, é interessante adotar uma postura associativa, negociar com 
o outro jogador.É o caso do Dilema dos Prisioneiros.
Para terminar a apresentação desses conceitos, vamos ver como se veri-
fica se um resultado do jogo é ou não é um ótimo de Pareto. Do dilema dos 
prisioneiros, já verificamos que a opção (Trair, Trair) não é ótimo de Pareto, 
pois a mudança para (Não Trair, Não Trair) constitui uma mudança paretia-
na. Isso foi verificado de modo não sistemático, ao analisar a situação essa 
possibilidade ficou clara. Vamos analisar agora se a opção (Não Trair, Não 
Trair) é ou não é um ótimo de Pareto e vamos fazer isso sistematicamente. 
Para que uma dada opção seja ótimo de Pareto, nenhuma mudança a 
partir dela pode ser uma melhoria paretiana. Bem, então temos que ana-
lisar todas as mudanças possíveis a partir dela e avaliar se a mudança em 
questão é ou não uma melhoria paretiana. Se a resposta for sempre não, 
então a opção analisada é um ótimo de Pareto. Se houver algum sim, então 
a opção analisada não é ótimo de Pareto.
A partir da opção (Não Trair, Não Trair) temos três mudanças possíveis:
 (Não Trair, Não Trair) à (Trair, Não Trair); 
(Não Trair, Não Trair) à (Não Trair, Trair); 
(Não Trair, Não Trair) à (Trair, Trair). 
Vamos analisar cada uma delas.
(Não Trair, Não Trair) à (Trair, Não Trair)
Nessa mudança, o prisioneiro A é prejudicado, pois sua pena passa de 2 
para 10 anos de prisão, logo essa mudança não é uma melhoria paretiana.
Informações Estratégicas
241 Aula 8: Interações Estratégicas
(Não Trair, Não Trair) à (Não Trair, Trair)
Nessa mudança, o prisioneiro B é prejudicado, pois sua pena passa de 2 
para 10 anos de prisão, logo essa mudança não é uma melhoria paretiana.
(Não Trair, Não Trair) à (Trair, Trair):
Nessa mudança, os dois prisioneiros são prejudicados, pois suas pe-
nas passam de 2 para 5 anos de prisão, logo essa mudança não é uma 
melhoria paretiana.
Em resumo, nenhuma mudança a partir de (Não Trair, Não Trair) consti-
tui uma melhoria paretiana, logo a opção (Não Trair, Não Trair) é um ótimo 
de Pareto.
Analise cada uma das opções do exemplo inicial de jogo, discutido no 
item sobre a abordagem Minimax-Maximin. Verifique que cada uma das 
quatro opções é um ótimo de Pareto. Isso é característico de jogos de soma 
zero: qualquer mudança prejudica alguém, o que um ganha corresponde 
ao que outro perdeu.
LEITURAS INDICADAS
1. O livro a seguir, disponível na biblioteca virtual, é uma excelente
referência para aprofundamento, contendo a discussão de uma grande
variedade de situações práticas na perspectiva da Teoria dos Jogos.
BIERMAN, H. Scott e FERNANDEZ, Luís. Teoria dos Jogos. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011.
2. No link a seguir, você encontra um artigo curioso relativo ao trabalho 
dos ganhadores do prêmio Nobel de Economia, pesquisadores da
Teoria dos Jogos.
h t t p : / / e x a m e . a b r i l . c o m . b r / c a r r e i r a / n o t i c i a s /
c o m o - a - t e o r i a - d o s - j o g o s - p o d e - a j u d a r - n a - 
sua-carreira
3. Artigo de divulgação da Teoria dos Jogos na revista Superinteressante:
hbttp://super.abril.com.br/ciencia/tudo-esta-jogo-442854.shtml
4. Site onde você encontrará a tese de doutorado de Eliezer Arantes da
Costa, na qual ele apresenta a Matriz de Jogos Estratégicos.
http://cutter.unicamp.br/document/?code=vtls000440766
242
DICA
vídeo
1. O link a seguir apresenta o site “Teoria dos Jogos”, de
responsabilidade do engenheiro Fernando Barricchelo.
Nesse site você encontrará materiais que complementam
e ampliam a discussão desta aula.
<http://www.teoriadosjogos.net/index.asp>
2. O link a seguir apresenta um vídeo que dramatiza o dilema
dos prisioneiros, agora chamados de Cebolão e Pimentinha.
<http://www.youtube.com/watch?v=lFLxpiVH5qc >
3. O blog a seguir é do Prof. César Augusto Tibúrcio Silva,
da UnB. Apresenta posts relacionados com tomada de
decisão, quando não diretamente com teoria dos jogos.
<http://financascomportamentais.blogspot.com.br/>
Acesso em: 20 ago. 2013.
SÍNTESE
Nesta aula analisamos as situações de interação estratégica. Essas 
situações aparecem em muitas situações de interesse do gestor e 
podem ser analisadas sob vários pontos de vista. A análise realizada 
aqui foi do ponto de vista da Teoria dos Jogos, isto é, consideramos 
essas situações como jogos de estratégia. Essas situações podem ser 
extremamente variadas. Utilizamos o agrupamento feito por Costa 
(2008) com base na Matriz de Jogos Estratégicos. 
Dos seis tipos de jogos identificados, discutimos três: jogos 
retaliatórios, jogos competitivos e jogos cooperativos. A discussão 
foi baseada em jogos simultâneos de informação completa de 
conhecimento comum com dois jogadores. Para encaminhar 
essa discussão foram apresentados três conceitos: a abordagem 
minimax-maximin, equilíbrio de Nash, ótimo de Pareto. 
A abordagem minimax-maximin é uma abordagem 
conservadora, recomendável quando não se pode confiar na 
racionalidade do oponente. Na abordagem baseada no equilíbrio 
de Nash, procura-se determinar a melhor decisão para cada 
envolvido, levando-se em conta o caráter estratégico da interação, 
e procurando-se maximizar a recompensa do jogador. Quando o 
equilíbrio de Nash não é ótimo de Pareto, pode ser interessante, 
se for possível, estabelecer algum tipo de negociação ou diálogo 
com o oponente para haver alguma coordenação nas ações.
Informações Estratégicas
243 Aula 8: Interações Estratégicas
ATIvIDADES
Analise os seguintes jogos: determine qual a decisão minimax-maximin de cada jogador; 
determine se há equilíbrio de Nash; se houver, determine se ele é ou não é ótimo de Pareto.
jogo a 
Empresa Lua Azul
Não investir Investir em pequena escala
Investir em 
grande escala
Empresa 
Carrossel
Comprar (2000, 1000) (1000, 0) (0, -1000)
Não comprar (1000, 0) (2000, 1000) (-1000, 2000)
jogo 2
Manufatura Bentex
Opção 1 Opção 2 Opção 3
Indústria 
Cassex
Estratégia 1 (20, 80) (80, 20) (40, 60)
Estratégia 2 (40, 40) (40, 20) (20, 60)
Estratégia 1 (0, 20) (0, 120) (10, 10)
244
ATIvIDADES
Represente em tabela o seguinte problema retirado do capítulo 3 de Fiani (2009), e em seguida 
responda às perguntas: Considere as trocas comerciais de dois países (que chamaremos de A e B), 
mais especificamente os produtos agropecuários comercializados entre eles. A questão que se coloca 
é qual tarifa cada país deve usar para tributar as importações vindas do outro país. Cada um tem 
duas opções: usar tarifas altas (40% do valor do produto importado) ou baixas (5% do valor do 
produto importado). Estima-se que, se ambos os países adotarem tarifas altas, ambos os países terão 
ganhos da ordem de 800 000 dólares no período. Caso ambos os países adotem tarifas baixas, seus 
ganhos serão de 1 700 000 dólares. Se um dos países adotar tarifa baixa, e o outro, alta, os ganhos do 
país que adota as tarifas altas serão de 2 300 000 dólares, enquanto aquele que tiver adotado tarifa 
baixa terá um prejuízo de 700 000 dólares. Qual a decisão minimax-maximin de cada país? O jogo 
tem equilíbrio de Nash? Se tem, qual é? Ele é ótimo de Pareto?
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