Exercícios Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM
Disciplina: A´lgebra Linear I
Professor: Elianderson Santos
1a Lista de Exerc´ıcios
1) Mostre que o conjunto {(x, y, z, w) ∈ R4|x+ y = 0} e´ subespac¸o vetorial de R4.
2) Considere o espac¸o vetorial R3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R}.
(a) Deˆ um exemplo de dois vetores em R3 que sa˜o linearmente dependentes (L.D.)
(b) Deˆ um exemplo de dois vetores em R3 que sa˜o linearmente independentes (L.I.)
(c) Mostre que o conjunto B = {(1, 2, 1), (1,−2, 1), (1, 2,−1)} e´ L.I. Mostre tambe´m que existem
α, β, γ ∈ R, que dependem de x, y e z tais que podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) ∈ R3
na forma (x, y, z) = α(1, 2, 1) + β(1,−2, 1) + γ(1, 2,−1). Conclua que B e´ uma base de R3.
3) Seja o conjunto
M(2, 2) =
{[
a11 a12
a21 a22
]
: aij ∈ R
}
das matrizes quadradas de ordem (2× 2) de nu´meros reais
(a) Mostre que M(2, 2) e´ um espac¸o vetorial real.
(b) Mostre que
B =
{[
1 0
0 0
]
;
[
0 1
0 0
]
;
[
0 0
1 0
]
;
[
0 0
0 1
]}
e´ uma base de M(2, 2).
(c) Mostre que o conjunto
E1 = {A ∈M(2, 2) : A = AT}
das matrizes sime´tricas de ordem (2× 2) de nu´meros reais e´ um subespac¸o vetorial de M(2, 2).
(d) Mostre que o conjunto
E2 = {A ∈M(2, 2) : A = −AT}
das matrizes anti-sime´tricas de ordem (2 × 2) de nu´meros reais e´ um subespac¸o vetorial de
M(2, 2).
(e) Mostre que E1 ⊕ E2 = M(2, 2).
4) Seja o conjunto Pn = {p(x) = a0 + a1x + ... + anxn|ai ∈ R} dos polinoˆmios reais de grau
menor ou igual a n
(a) Mostre que Pn e´ um espac¸o vetorial real.
(b) Mostre que o conjunto S = {p ∈ Pn|p(x) = p(x+ 1)} e´ um subespac¸o vetorial de Pn(R).
(c) Exiba uma base para Pn. Qual a dimensa˜o deste espac¸o?
1
5) Considere [−a, a] um intervalo sime´trico e C1[−a, a] = {f : [−a, a]→ R|f ∈ C1} o conjunto
das func¸o˜es reais definidas no intervalo [−a, a] que possuem derivadas cont´ınuas no intervalo.
(a) Mostre que C1[−a, a] e´ um espac¸o vetorial real.
(b) Mostre que os conjuntos P = {f(x) ∈ C1[−a, a]|f(x) = f(−x), ∀x ∈ [−a, a]} e I = {f(x) ∈
C1[−a, a]|f(x) = −f(−x),∀x ∈ [−a, a]}, respectivamente, das func¸o˜es pares e das func¸o˜es
ı´mpares definidas em [−a, a], sa˜o subespac¸os vetoriais de C1[−a, a].
(c) Mostre que = E ⊕ I = C1[−a, a].
6) Sejam B1 = {(1, 0); (0, 1)} e B2 = {(−1, 1), (1, 1)} bases de R2.
(a) Determine a matriz [I]B1B2de mudanc¸a de base de B1 para B2.
(b) Determine a matriz [I]B2B1de mudanc¸a de base de B2 para B1.
(c) Existe relac¸a˜o entre as matrizes [I]B1B2 e [I]
B2
B1? Qual a relac¸a˜o?
7) Seja a transformac¸a˜o A : R3 → R3 dada por A(x, y, z) = (x, 0, z). Mostre que A e´ uma
transformac¸a˜o linear.
8) Verifique que sa˜o lineares as seguintes transformac¸o˜es:
(a) T : R2 → R3, T (x, y) = (x+ y, 0, 0).
(b) S : R3 → R3, S(x, y, z) = (x+ y, 2z, x).
(c) U : R4 → R3, U(x, y, z, w) = (−x,−y, z + w).
(d) V : M(2, 2)→M(2, 2), onde V (A) = AT , isto e´, V
([
a11 a12
a21 a22
])
=
[
a11 a21
a12 a22
]
.
9) Determine o nu´cleo de cada uma das transformac¸o˜es lineares dadas nos itens (a), (b), (c) e
(d) do exerc´ıcio 8.
10) Dentre as transformac¸o˜es lineares dadas nos itens (a), (b), (c) e (d) do exerc´ıcio 8, existe
alguma que seja injetora? Quais delas? Por queˆ?
11) Considere a base canoˆnica B = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} de R3 . Defina uma trans-
formac¸a˜o T : R3 → R2 escolhendo, para cada vetor ei na base, um vetor arbitra´rio T · ei ∈ R2.
Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
12) Determine uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R4 tal que Im(T ) = [(1, 1, 2, 1); (2, 1, 0, 1)].
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