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TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ARMADO VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS Apostila organizada pelo professor: Edilberto Vitorino de Borja 2016.1 1 ÍNDICE 1 CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTÍNUAS 2 1.1 Método da equação dos 3 momentos 2 1.2 Aplicações 4 1.3 Convenção de sinais 4 1.4 Cálculo e desenho do diagrama de momentos fletores de viga contínua 5 1.5 Cálculo das reações de apoio 6 1.6 Exercícios 10 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14 2 1. CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos. Na determinação dos esforços seccionais de vigas isostáticas utilizam-se as três equações de equilíbrio da estática, necessárias e suficientes para garantir sua estabilidade. Para as vigas hiperestáticas, as incógnitas (reações) são em número superior as três equações de equilíbrio da estática, sendo necessários então novos métodos para determinação dos seus esforços. Foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e conseqüentemente desenhar os diagramas. Métodos de Cálculo: Método dos Deslocamentos Método dos Esforços Método de Cross Método da Equação dos Três Momentos 1.1 MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS O método apresentado a seguir é válido apenas para vigas que tenham inércia constante ao longo do comprimento de toda a viga (inércia constante para todos os vãos). O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) seqüenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção. Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: A Equação dos 3 Momentos apresentada abaixo é valida para uma viga com momento de inércia constante no vão e de vão para vão. Fórmula ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1 n 21nnnnn1-nn 11 llll 3 Onde: nl e 1nl :comprimento dos vãos; Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios; n2 e 1n 1 : Fatores de carga (função do tipo de carga atuante no vão). Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. FATORES DE CARGA: 1. - Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão: q 2 1 l 24 3q. 21 l 2. - Para carga concentrada no vão: a P b l 1 2 ).(b 6 P.a.b 1 ll ).(a 6 P.a.b 2 ll Observação O índice "1", nas fórmulas de fatores de carga, indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da direita. 1.2 APLICAÇÕES Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contínua, deve-se aplicar a equação dos três momentos em vãos subseqüentes dois a dois. O resultado é que o número total de aplicações é igual ao número de vãos menos um. 4 Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos: q l 1 l l l2 3 4 1ª aplicação 2ª aplicação 3ª aplicação X0 X1 X2 X3 X4 X0 X1 X2 X1 X2 X3 X2 X3 X4 conhecido conhecido Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos. 1.3 CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido horário Olhando as cargas à direita da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido anti-horário 1.4 CÁLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTÍNUA 4,0 m 3,5 kN/m 2,0 10 kN 3,0 0 1 2 1 2 EQUAÇÃO: ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1 n 21nn1-n 11 nnnn llll 5 Uma aplicação: 2 vãos. Vãos Apoios n = 1 n +1 = 2 n -1 = 0 n = 1 n +1 = 2 ) 6(- X . X . ) 2( X . 21 1 22212101 llll Observação: Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço. A) CÁLCULO DOS FATORES DE CARGA Vão 1 Vão 2 l1 = 4,0 m 3,5 kN/m 0 1 1 2 1 b = 3,0 1 2 2 l2 = 5,0 m 1 2 a = 2,0 10 kN Cálculo 9,33 24 4 . 3,5 24 3q. 3 1 l Cálculo 165.(3 6.5 10.2.3 .(b 6 P.a.b ) )21 ll Agora podemos resolver a 1ª aplicação kN.m 8,44 - X 16,00) (9,336- X5,00) (4,002 ) 6(- X . ) 2( 1 1 2 1 1 2121 ll B) CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos vãos (distribuídas e/ou concentradas), devem-se aplicar também os momentos nos apoios do respectivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele. 6 Para vão 1: 0 1 4,0 m 3,5 kN/m R =4,89 kN 0 R = 9,11 kN 1 A X = -8,44 kN.m 1 M0 = 0 3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (- 8,44) = 0 R1 = 9.11 kN V = 0 R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0 R0 = 4,89 kN Para vão 2: 2,0 m 1 2 3,0 m 10 kN R = 2,31 kN 2 A X = -8,44 kN.m 1 R = 7,69 kN 1 M1 = 0 10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0 R2 = 2,31 kN V = 0 R1 + 2,31 - 10 = 0 R1 = 7,69 kN OBSERVAÇÕES PERTINENTES: A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2; As reações de apoio são cargas concentradas; Desenhar, ao final, a viga com os respectivos momentos fletores nos apoios e as reações de apoio, a partir dos quais serão calculados os momentos fletores que servirão de base para o desenho do diagrama: 0 1 2 3,5 kN/m 10 kN R = 4,89 kN 0 R = (9,11+7,69)=16,80 kN1 R = 2,31 kN2 X = - 8,44 kN.m 1 4,0 m 2,0 m 3,0 m A Os Momentos fletores são determinados nas seções de início e de fim de carga distribuída e nas seções de carga concentrada; 7 É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o resultado é sempre o mesmo!!!!!! Os momentos fletores deverão ser calculados nas seguintes seções: 0, 1, A, 2. Seção 0 M0 = X0 = 0 Seção 1 M1 = X1 = - 8,44 kN.m Ou, olhando as cargas à esquerda: Convenção: M1 = +(4,89 x 4,00) – (3,5 x 4,0 x 2,0) = - 8,44 kN.m Qualquer que seja a maneira de se realizar o cálculo (com os valores à esquerda ou à direita da seção), o resultado deve ser sempre o mesmo. Seção A Convenção: Olhando as cargas à direita: MA = +(2,31 x 3,0) = 6,93 kN.m Seção 2 M2 = X2 = 0 C) DESENHO DOS DIAGRAMAS: Com os valores dos momentos fletores nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama. Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas: Valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referênciae negativos, acima desta linha. 8 Linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos: - se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e inclinada; - se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é uma parábola do 2o grau. A parábola do 2o grau necessita de três pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos pontos da parábola são os momentos fletores nos pontos extremos. Há a necessidade então de um terceiro ponto. Este ponto é conseguido “pendurando-se” (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o valor de [(qx²)/8] (q: valor da carga, x: distância entre os dois pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre empurra a “barriga” da parábola). q x (q.l²)/8 M A M B A B Desenho Final: Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto: Observação O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx2/8 não é necessariamente o ponto de máximo momento fletor. 9 1.5 EXERCÍCIO RESOLVIDO – Calcular os momentos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo aplicando a equação dos 3 Momentos Etapa 1: Cálculo dos momentos nos apoios das extremidades: Apoio 0 → X0 = 0 Apoio 3 → X3 = - 6 x 1,5 = -9 kN.m Etapa 2: Aplicação da equação dos 3 momentos: como a viga tem 3 vão, faz-se necessário 2 aplicações do método. 1º aplicação (vãos e ): Para primeira aplicação n = 1 ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n 1 n 21nn1-n 11 nnnn llll vãos apoios n-1 = 0 n = 1 n + 1 = 2 ) 6(- X . X . ) 2( X . 2 1 1 22212101 llll 2º aplicação (vãos e ): Para a segunda aplicação n = 2 ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1 n 21nnnnn1-nn 11 llll ↓ ) 6(- X . X . ) 2( X . 3 1 2 22212 333 llll vãos apoios n-1 = 1 n = 2 n + 1 = 3 -9 0 10 Fórmulas ) 6(- X . X . ) 2( X . 21 1 22212101 llll Cálculo dos fatores de carga vão vão vão Cálculo 7,59 24 2.4,5 24 q 33 l1 2 Cálculo 6,293,5)(2 3,56 21,58 )(b 6 Pab l l 1 2 5,713,5)(1,5 3,56 21,58 )(a 6 Pab l l 2 2 Cálculo Se não há carga no vão 0 13 Observação Cálculo dos fatores de carga em um determinado vão: se não houver carga neste vão o fator de carga é igual a zero. se houver mais de uma carga neste vão o fator de carga final é igual a soma dos fatores de carga das cargas atuantes. Agora podemos resolver a 1ª aplicação Cálculo 2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50 x X2 = -6(7,59 + 6,29) 16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1° equação) 0 11 E na seqüência podemos resolver a 2ª aplicação Cálculo 3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 x (-9) = - 6(5,71 + 0) 3,50 . X1 + 15,0 . X2 - 36 = - 34,26 3,50 . X1 + 15,0 . X2 = - 1,74 (2° equação) Resolvendo-se o sistema de duas equações a duas incógnitas, decorrente da 1° e 2° aplicações da Equação dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2. Então: X0 = 0 X1 = -5,51 kN.m X2 = 1,40 kN.m X3 = -9,00 kN.m Conclusão A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. 12 EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 – Calcular os momentos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo. Cálculo dos momentos nos apoios da viga contínua abaixo esquematizada: A viga tem dois vãos, portanto será necessária uma aplicação da Equação dos 3 Momentos. Fórmula 1º aplicação (vãos e ): 1º aplicação: Vãos: Apoios: n-1 =0 n =1 n+1 =2 Cálculo dos fatores de carga Cálculo dos fatores de carga vão vão Cálculo Cálculo 13 Agora podemos resolver a 1ª aplicação Cálculo 2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56) 19,00 . X1 = -189,48 X1 = -9,97 kNm Então: X0 = 0 X1 = -9,97 kN.m X2 = 0 Conclusão A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. Exercícios: 0 1 2 1 2 3,0 kN/m 4 kN 3,5 kN 3,0 m 1,5 m 2,5 kN 2,0 m 2,5 m 1,0 m A B C 4,5 m 25 kN/m 1,5 F1 (kN) 2,0 2,0 F3 (kN) 1,0 2,0 F2 (kN) 0 1 2 3 1 2 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anotações de Aula do Prof. Borja http://www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas
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