Aula 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Veridiane Suzuki
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CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo(a) a esta aula! Vamos aprender o que é a resistência dos materiais e rever alguns
conceitos que serão importantes ao longo desta disciplina.
TEMA 1 – O QUE É RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS?
A resistência dos materiais, também chamada de mecânica dos materiais ou mecânica dos
sólidos, é uma parte muito importante da engenharia, pois ela estuda as tensões e deformações
causados no corpo por uma ou várias cargas.
Enquanto o ensino de estática é mais voltado para as cargas externas, aqui em resistência dos
materiais vamos ver qual é o efeito dessas cargas externas em um corpo deformável.
Imagine a situação mostrada na Figura 1: um caminhão parado no meio de uma viga, a qual está
apoiada em A e B. Você pode se perguntar: essa estrutura irá se romper? Quais as mínimas
dimensões que a viga deve ter para evitar o rompimento? Qual material deve ser usado? Caso não
haja rompimento, a viga irá se deformar? Vocês vão aprender a responder a essas perguntas na
disciplina de resistência dos materiais.
Figura 1 – Caminhão em uma viga, suportada pelos apoios A e B
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Fonte: Botelho, 2015.
Mas, para responder a essas perguntas, devemos saber todas as forças e momentos que agem
no corpo; por isso, os conceitos vistos em Estática serão muito importantes nessa disciplina. Por
conta disso, no próximo tema, vamos rever alguns princípios que foram estudados em Estática.
TEMA 2 – PRINCÍPIOS DE ESTÁTICA
Quando um corpo está estático, ele está em equilíbrio; quando isso acontece, o somatório de
todos as forças atuando nesse corpo e o somatório de todos os momentos atuando nesse corpo
deve ser zero:
Podemos escrever essas equações para o sistema de coordenadas x, y e z:
2.1 CARGAS EXTERNAS
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As cargas externas atuantes em um corpo podem ser basicamente de três tipos. A primeira é a
força concentrada, que é quando um corpo está aplicando carga sobre outro corpo em uma área
bem pequena, ou seja, pontual.
O segundo tipo de cargas externas é a força distribuída, em que um corpo está aplicando carga
sobre outro corpo em uma área estreita, ou seja, linear. O terceiro tipo é o efeito da força da
gravidade no corpo, o peso próprio. 
2.2 REAÇÕES DE APOIO
Quando um corpo está apoiado em outro corpo, ou em uma superfície, nós temos o que
chamado de reações de apoio. A Figura 2 mostra alguns exemplos de apoios e suas reações para
sistemas coplanares.
Figura 2 – Apoios comuns para sistemas coplanares
Fonte: Hibbeler, 2015.
2.3 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al., 2013) Determine as reações de apoio da viga para a carga dada:
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Solução:
Vamos fazer o diagrama de corpo livre. Começamos substituindo as forças distribuídas por
concentradas, e então substituímos o apoio por suas reações.
A força distribuída foi dividida em três figuras, como mostra a figura a seguir. Para descobrir o
valor de w1, w2 e w3, vamos achar a área do triangulo e dos retângulos pintados na figura.
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Agora, vamos utilizar as equações de equilíbrio para descobrir os valores da reação de apoio.
O sinal de negativo em ambos os resultados demonstra que, no diagrama de corpo livre, a
direção de FAy e MA está invertida.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2010) A barra está fixada por três mancais radiais lisos em A, B e C.
Determine as componentes da reação nesses mancais.
Solução:
Vamos fazer o diagrama de corpo livre, sendo que as reações de apoio foram desenhadas em
vermelho.
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Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio:
Mas já sabemos o valor de
Substituindo nas outras equações os valores conhecidos:
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TEMA 3 – ESFORÇOS INTERNOS NOS ELEMENTOS
Quando um corpo sofre ação de cargas externas, as cargas internas nos elementos são o que
mantém o corpo unido. Imagine um corpo em equilíbrio sobre o qual agem quatro cargas externas,
como na    Figura 8. Fazemos uma seção e retiramos uma das partes. Cada pedacinho dessa parte
recém cortada apresenta uma força de reação as forças externas. Então, fazemos a resultante de
todas essas forças passando pelo centro da área seccionada, como na Figura 9. Essas são as cargas
internas desse corpo para essa seção.
Figura 8 – Corpo em que agem quatro cargas externas
Fonte: Hibbeler, 2015.
Figura 9 – Seção mostrando a força normal, a força de cisalhamento e o momento fletor
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Fonte: Hibbeler, 2015.
Outro ponto importante a ser observado e que as forças internas em cada uma das seções têm o
sentido oposto, mas o mesmo valor em módulo. Para os exercícios, deve-se utilizar o sentido
convencionado na Figura 5, para o sentido dos esforços internos.
Figura 10 – Convenção de sinal
Fonte: elaborado com base em Hibbeler, 2010.
3.1 OS TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS
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As forças podem ser aplicadas em uma estrutura de diversas maneiras, e isso pode gerar
diferentes tipos de esforços nas estruturas.
Tração: esforço que tende a esticar a peça no sentido da aplicação da força (Figura 5);
Compressão: esforço que tende a diminuir a dimensão da peça no sentido da aplicação da
força (Figura 5);
Cisalhamento: esforço tangencial à seção que tende a ser “cortada” (Figura 5).
Figura 11 – Força de compressão, força de tração e força de cisalhamento, respectivamente
Créditos: Sansanorth/Shutterstock.
Momento Fletor: esforço que faz a viga tender a se curvar (Figura 6);
C; F2; B; FBy.
Figura 12 – Efeito do momento fletor em viga
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Créditos: Fouad A. Saad/Shutterstock
Momento torsor: esforço que tende o corpo a girar em torno do seu eixo mais comprido.
Figura 13 – Momento torsor
Créditos: ScientificStock/Shutterstock.
3.2 EXEMPLOS
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Exemplo 01: (Hibbeler, 2015) A viga AB é suportada por um pino em A e também por um cabo
BC. Um cabo separado CG é usado para manter a estrutura na posição vertical. Se AB pesar 2 kN/m e
o peso da coluna FC for 3 kN/m, determine as cargas internas resultantes que agem nas seções
transversais localizadas nos pontos D e E. Despreze a espessura da viga e da coluna nos cálculos.
Solução:
Vamos começar com o trecho AB, fazendo o diagrama de copo livre do trecho:
Vamos descobrir o valor do ângulo  que chamei de θ. O triangulo ABC tem catetos 3,6 e 1,2
sendo o 3,6 adjacente à θ e 1,2 oposto à θ, portanto:
Agora, vamos calcular o peso para o trecho:
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Usando as equações de equilíbrio:
Agora, fazendo a seção em D e pegando um dos lados
Calculando o peso para o trecho:
Usando as equações de equilíbrio:
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Agora, vamos analisar o trecho CF, fazendo o diagrama de copo livre do trecho:
Vamos descobrir o valor do ângulo  que chamei de α. O triangulo CFG tem catetos 3,6 e 4,8
sendo o 4,8 adjacente a α e 3,6 oposto a α, portanto:
Agora, vamos calcular o peso para o trecho:
Usando as equações de equilíbrio:
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Fazendo a seção em E e pegando uns dos lados:
Calculando o peso para o trecho:Usando as equações de equilíbrio:
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Lembrando que os resultados que ficaram negativos simbolizam que o sentido da carga
arbitrado nos diagramas está invertido.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2015) O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B
e está sujeito às polias nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção
transversal que passa pelo ponto C. As forças de 400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80
N agem na direção +y. Os suportes A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o
eixo.
Solução:
Iniciamos com o diagrama de corpo livre, as reações de apoio estão em vermelho.
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Vamos então calcular as reações de apoio utilizando as equações de equilíbrio.
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Agora que achamos as reações de apoio, vamos fazer um corte em C, separar as duas partes e
pegar uma delas. Na parte separada, vamos colocar as forças e momentos em cada eixo para
compensar a parte retirada.
As setas verdes representam as forças normais ou cortantes e as setas duplas roxas representam
os momentos. O sentido foi dado arbitrariamente para todas, sendo que o sentido de rotação do
momento é dado pela regra da mão direita, com polegar apontado para a mesma direção da seta
dupla.
Para achas as cargas internas resultantes NCx, VCy, VCz, TCx, MCy e MCz, vamos utilizar as
equações de equilíbrio:
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Lembrando que os resultados que ficaram negativos simbolizam que o sentido da carga
arbitrado no diagrama está invertido.
TEMA 4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO
FLETOR
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor são muito importantes no estudo de
estruturas em engenharia, e existe mais de um método para traçá-los. Aqui vamos ver como traçar
esses diagramas pelo método da integração.
O diagrama de esforço cortante e momento fletor são representações gráficas dos esforços de
cisalhamento e momentos fletores, respectivamente, a que uma estrutura está sujeita.
Para traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor, alguns passos devem ser
seguidos:
1. Decomponha todas as forças que não estão perpendiculares ou no eixo da viga;
2. Calcular as reações de apoio;
3. Mantenha as forças distribuídas como forças distribuídas;
4. Separar a viga em seções. Cada vez que algo mudar na viga, acrescentamos uma seção, seja
uma reação de apoio, força concentrada ou distribuída ou um momento;
5. Cada seção será tratada separadamente;
6. Para cada seção, fazemos uma função W(x) para a carga distribuída;
7. A equação da cortante será: ;
8. A constante achada com a integração será a soma do último valor da cortante do diagrama da
seção anterior mais o valor da carga concentrada do início da seção atual, se existir;
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9. Substituindo valores para x, de zero até o comprimento total da seção, podemos traçar o
diagrama para a seção;
10. A equação do momento fletor será: ;
11. A constante achada com a integração será a soma do último valor de momento fletor do
diagrama da seção anterior mais o valor de momento do início da seção atual, se existir;
12. Substituindo valores para x, de zero até o comprimento total da seção, podemos traçar o
diagrama para a seção.
4.1 EXEMPLO
Exemplo 01: (Beer; Johnston JR, 2005) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga AB.
Solução: Vamos ao passo a passo:
1. Decomponha todas as forças que não estão perpendiculares ou no eixo da viga.
Todas as forças são perpendiculares ao eixo da viga; então, nenhuma força precisará ser
decomposta.
2. Calcular as reações de apoio.
Para achar as reações de apoio, fazemos o diagrama do corpo livre e aplicamos as
equações de equilíbrio. Aqui utilizaremos a carga distribuída como , que será
localizada na metade da carga distribuída, ou seja, na viga a 0,6 do ponto A.
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3. Mantenha as forças distribuídas como forças distribuídas.
4. Separar a viga em seções. Cada vez que algo mudar na viga, acrescentamos uma seção
milímetros antes da mudança, seja uma reação de apoio, força concentrada ou distribuída ou
um momento.
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5. Cada seção será tratada separadamente.
Seção AC:
–
Seção CD:
Seção DB:
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6. Para cada seção, fazemos uma função W(x) para a carga distribuída;
7. A equação da cortante será: ;
8. A constante achada com a integração será a soma do último valor da cortante do diagrama da
seção anterior mais o valor da carga concentrada do início da seção atual, se existir;
9. Substituindo valores para x, de zero até o comprimento total da seção, podemos traçar o
diagrama para a seção.
Seção AC:
Como não há seção anterior e também não há uma carga concentrada no início da seção C
= 0.
Substituindo valores de 0 até 1,2 em x, achamos os valores da cortante para traçar o
diagrama:
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Seção CD:
O último valor da cortante na seção anterior foi -39,96 e o valor da carga concentrada do
início da seção atual é 87,952, portanto (-39,96+87,952):
O gráfico será uma reta de valor constante 47,992.
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Seção DB:
O último valor da cortante na seção anterior foi 47,992 e o valor da carga concentrada do
início da seção atual é -100, portanto (47,992-100):
O gráfico será uma reta de valor constante -52,008.
10. A equação do momento fletor será: ;
11. A constante achada com a integração será a soma do último valor de momento fletor do
diagrama da seção anterior mais o valor de momento do início da seção atual, se existir;
12. Substituindo valores para x, de zero até o comprimento total da seção, podemos traçar o
diagrama para a seção.
Seção AC:
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Como não há seção anterior e também não há um momento no início da seção C = 0;
Substituindo valores de 0 até 1,2 em x, achamos os valores do momento para traçar o diagrama:
Seção CD:
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O último valor do momento fletor na seção anterior foi -23,976 e não há um momento no início
da seção, portanto:
Substituindo valores de 0 até 1,8 em x, achamos os valores do momento para traçar o diagrama:
Seção DB:
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O último valor da cortante na seção anterior foi 62,4096 e não há um momento no início da
seção, portanto:
Substituindo valores de 0 até 1,2 em x, achamos os valores do momento para traçar o diagrama:
Juntados todos os pedaços de gráficos, podemos traçar os diagramas de força cortante e
momento fletor para a viga AB:
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Exemplo 02 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor e ache a força cortante
máxima e o momento fletor máximo para a viga AB.
Solução:
Fazendo o diagrama de corpo livre e calculando as reações de apoio:
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Como nada muda ao longo da viga, temos apenas uma seção.
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Para calcular a função da carga distribuída, pegamos 2 coordenadas conhecidas da reta. No
ponto A (0,0) e no ponto B (5,15). Sabe-se que esse tipo de reta tem função sempre no formato W(x)
= ax +b. Substituindo as coordenadas na função:
Como não há seção anterior e no início da seção temos uma força concentradade 14,5kN:
Como não há seção anterior e no início da seção temos um momento de -10 kNm:
Substituindo valores de 0 até 1,2 em x para as duas funções achadas:
  0 1 2 3 4 5
V(x) 14,5 13 8,5 1 -9,5 -23
M(x) -10 4 15 20 16 0
Construindo o diagrama com os dados achados:
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Olhando o gráfico, podemos dizer que a força cortante máxima é -23 kN.
Já para calcular o momento fletor máximo na viga, vamos achar para qual x a cortante é zero,
pois nesse ponto o momento fletor será máximo.
TEMA 5 – CENTROIDE E MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIE
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Centroide e momento de inércia são dois conceitos que serão importantes na disciplina de
Resistencia dos Materiais; então, aqui vamos rever como calculá-los.
5.1 CENTROIDE
O centroide de uma figura plana é o seu centro geométrico. Quando temos uma figura qualquer,
como a Figura 2, podemos achar as coordenadas do centroide com a equação:
Figura 46 – Centroide de uma figura plana qualquer
Fonte: Hibbeler, 2015.
Se a figura plana tiver um eixo de simetria, o centroide deve estar posicionado nesse eixo; se
houver dois eixos de simetria, o centroide estará posicionado onde esses eixos se cruzam. As figuras
geométricas mais comuns têm equações tabeladas para localizar seu centroide, como mostra a
Figura 3.
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Figura 48 – Centroide de um semicírculo
Fonte: elaborado com base em Hibbeler, 2015.
Se a figura plana não tiver uma equação tabelada, mas puder ser separada em partes, e essas
partes tiverem equações tabeladas, pode–se usar a seguinte equação:
5.2 MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIE
O momento de inércia de superfície pode ser definido como:
Podemos dizer que o momento de inércia é o momento de segunda ordem de uma área. Eles
são em relação aos eixos x e y, e tem como unidade uma unidade de medida elevada a quarta
potência, como, por exemplo, m4.
Já o momento polar de inércia é definido pela equação abaixo.
Aonde ρ é a distância de perpendicular entre o eixo e o elemento dA.
As figuras geométricas mais comuns têm momentos de inércia já tabelados (Figura 4).
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Figura 49 – Área e momento de inércia de um retângulo
Fonte: Hibbeler, 2015.
Agora vamos conhecer o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema relaciona o momento de
inércia para eixos diferentes, o eixo passando pelo centroide e outro eixo qualquer paralelo ao eixo
que passa pelo centroide.
Sendo d a distância entre os dois eixos.
Então, momento de inércia é quanto o corpo resiste a rotação em torno de um eixo. Por isso,
quanto maior o momento de inércia, mais difícil será que ele rotacione em torno do eixo, como
mostra a Figura 8.
Figura 50 – Momento de inércia
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Créditos: Sansanorth/Shutterstock.
5.3 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Gere; Goodno, 2015) Determine as coordenadas do centroide C da figura em
formato de L mostrada na figura.
Solução:
Não temos uma equação tabelada para essa forma geométrica, mas podemos dividir a figura em
dois retângulos: o 1 tem 150 mm de altura e 12 mm de largura; o retângulo 2 tem (100-12) = 88 mm
de largura e 12 mm de altura.
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Exemplo 02: (Hibbeler, 2015) Determine os momentos de inércia da área da seção transversal da
viga mostrada na figura em torno dos eixos centroides  e .
Solução:
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Vamos dividir a figura em três triângulos A, B e D:
Para achar o momento de inércia, temos que usar o teorema dos eixos paralelos, já que a figura
não tem uma fórmula tabelada.
FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos o que resistência dos materiais. Além disso, revisamos alguns conceitos
que serão importantes nesta disciplina, como equilíbrio dos corpos, reações de apoio, cargas
internas, cargas internas nos elementos, tipos de esforços nas estruturas, diagramas de esforço
cortante e momento fletor, centroide e momento de inércia. Foram feitos exemplos dos assuntos
apresentados. Contudo, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos desta aula.
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REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5. Ed revisada.
São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R.; MAZUREK, D. F.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para
Engenheiros: Estática. 9. ed revisada. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2013.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos Materiais, para entender e gostar. 3. ed. revisada e
ampliada. São Paulo: Blucher, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil LTDA, 2010.
_____. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil LTDA, 2015.