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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Me´todos Nume´ricos
2a¯ Lista de Exerc´ıcios
Ajuste de Curvas pelo me´todo dos Quadrados Mı´nimos
1. Ajuste, aos dados da tabela abaixo, por uma reta e uma para´bola atrave´s do me´todo dos quadrados
mı´nimos.
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
Qual das duas curvas melhor se ajusta aos dados da tabela no sentido dos quadrados mı´nimos?
Justique.
2. Um estudo de engenharia de transporte foi conduzido para determinar um projeto adequado de
faixas para bicicletas. Foram coletados dados sobre a largura das faixas para bicicletas e a distaˆncia
me´dia entre as biclicletas e os carros trafegando. Os dados de nove ruas sa˜o:
Distancia (m) 2,4 1,5 2,4 1,8 1,8 2,9 1,2 3 1,2
Largura da faixa (m) 2,9 2,1 2,3 2,1 1,8 2,7 1,5 2,9 1,5
(a) Trace os dados.
(b) Ajuste uma reta aos dados.
(c) Se for considerado que a distaˆncia mı´nima me´dia segura entre as bicicletas e os carros trafe-
gando e´ 2m. Determine a largura mı´nima da faixa correspondente.
3. A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas entre as idades de 25 a
29 anos:
altura(cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178
peso(kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73
(a) fac¸a o diagrama de dispersa˜o dos dados e observe que parece existir uma relac¸a˜o linear entre
a altura e o peso.
(b) ajuste uma reta que descreva o comportamento do peso em func¸a˜o da altura.
(c) estime o peso de uma pessoa com 175cm de altura e estime a altura de uma pessoa com 80kg.
4. Utilizando o me´todo dos quadrados mı´nimos, aproxime a func¸a˜o e−x no intervalo [1, 3] por um
polinoˆmio de grau 1.
5. Seja f(x) = x4−5x. Usando o me´todo dos quadrados mı´nimos, aproxime f(x) no intervalo [-1,1] por
um polinoˆmio de grau 2.
andree
Highlight
andree
Highlight
6. O nu´mero de bacte´rias por unidade de volume, existente em uma cultura apo´s x horas e´ apresentado
na tabela:
n0 de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
n0 de bacte´rias por vol. unita´rio(y) 32 47 65 92 132 190 275
(a) verifique que a curva para se ajustar ao diagrama de dispersa˜o e´ do tipo exponencial.
(b) ajuste aos dados as curvas y ' abx e y ' axb. Escolha uma das curvas para representar os
dados e justifique sua escolha.
(c) avalie da melhor forma o valor de y(x) para x = 7.
7. Considere a tabela:
t -9 -6 -4 -2 0 2 4
u(t) 30 10 9 6 5 4 4
Por qual das func¸o˜es x(t) = t/(at+ b) ou y(t) = abt voceˆ aproximaria a func¸a˜o u(t)? Justifique.
8. Aproxime os dados da tabela abaixo por uma func¸a˜o do tipo g(x) = 1 + a.ebx usando quadrados
mı´nimos:
x 0 0,5 1,0 2,5 3,0
y 2,0 2,6 3,7 13,2 21,0
9. A tabela abaixo fornece o nu´mero de habitantes do Brasil (em milho˜es) desde 1960:
ano(t) 1960 1970 1980 1991 2000
habitantes p(t) 70,2 93,1 119,0 146,2 169,8
Ajuste os dados a uma curva do tipo: g(t) = α1e
α2(t−1959) atrave´s do me´todo dos quadrados
mı´nimos. Use esta curva e obtenha uma estimativa da populac¸a˜o do Brasil no ano de 2010.
10. Suponha que num laborato´rio obtivemos experimentalmente os seguintes valores:
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
(a) Ajuste os dados, usando o me´todo dos quadrados mı´nimos, para a func¸a˜o y = c1e
−c2x
(b) Calcule o res´ıduo da sua aproximac¸a˜o.
Interpolac¸a˜o Polinomial
11. Dada a tabela abaixo, calcule e3,1 usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o na forma de Lagrange
sobre treˆs pontos. Deˆ um limitante para o erro cometido.
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
ex 11,02 13,46 16,44 20,08 24,53 29,96 36,59 44,70
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12. A tabela abaixo relaciona calor espec´ıfico da a´gua e temperatura:
temperatura(o) 20 25 30 35 40 45 50
calor espec. 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 0,99849 0,99878
Resolver os itens abaixo atrave´s de um polinoˆnimo de interpolac¸a˜o na forma de Newton de grau no
ma´ximo 2:
(a) o calor espec´ıfico da a´gua a 32, 5o;
(b) a temperatura para qual o calor espec´ıfico e´ 0, 99837.
13. Sabendo-se que a equac¸a˜o x− e−x = 0 admite uma raiz no intervalo (0, 1), determine a valor desta
raiz usando interpolac¸a˜o quadra´tica.
14. Com que grau de precisa˜o podemos calcular
√
115 usando interpolac¸a˜o sobre os pontos x0 =
100, x1 = 121, x2 = 144?
15. Dados
w 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9
f(w) 0,905 0,819 0,67 0,549 0,449 0,407
x 1,0 1,2 1,4 1,7 1,8
g(x) 0,210 0,320 0,480 0,560 0,780
Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x)) = 0, 6, usando polinoˆmios interpolantes de grau 2.
16. Considere a tabela
x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
f(x) -2,78 -2,241 -1,65 -0,594 1,34 4,564
Usando um polinoˆmio interpolador na Forma de Newton de grau 3 estime o valor de f(1, 23). Deˆ
um estimativa para o erro cometido.
17. Considere:
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y 1,0 1,2408 1,5735 2,0333 2,6995 3,7183
Usando interpolac¸a˜o de interpolac¸a˜o de grau 3, obtenha x tal que f(x) = 2, 3. Deˆ uma estimativa
para o erro cometido.
Integrac¸a˜o Nume´rica
18. Seja I =
∫ 14
2
1√
x
dx.
(a) Calcule o valor aproximado para I pela regra dos trape´zios e 1/3 de Simpson, usando quatro
e seis diviso˜es de [2,14]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido.
(b) Quantos diviso˜es, no mı´nimo, podemos esperar obter erros menores que 10−5 pela regra dos
trape´zios e 1/3 de Simpson?
19. Calcule o valor aproximado de
∫ 0.6
0
1
1+ x
dx, com treˆs casas decimais de precisa˜o usando regra 1/3
de Simpson.
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20. Dada a tabela:
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f(x) 1,0 1,2408 1,5735 2,0333 2,6965 3,7183
Sabendo que a regra 1/3 de Simpson e´, em geral, mais precisa que a regra dos trape´zios, qual
seria o modo mais adequado de calcular
∫ 1
0
f(x)dx, usando a tabela acima? Aplique este processo e
determine esta integral.
21. Calcule pi da relac¸a˜o pi4 =
∫ 1
0
1
1+ x2
dx com erro inferior a 10−3 pela regra 1/3 de Simpson.
22. Determine a distaˆncia percorrida para os seguintes dados:
t(min) 1 2 3,25 4,5 6 7 8 9 9,5 10
v(m/s) 5 6 5,5 7 8,5 8 6 7 7 5
Use:
(a) Regra do trape´zio
(b) A melhor combinac¸a˜o das regras do trape´zio e de Simpson.
23. Uma pessoa desliza, sem atrito, do alto de um escorrega (do ponto A), acoplando-se a um carrinho
que se encontra em repouso no ponto B. A partir deste instante, a pessoa e o carrinho movem-se
juntos na a´gua ate´ parar.
Sabendo que a velocidade do conjunto pessoa carrinho imediatamente apo´s o acoplamento e´ 4m/s
e que a velocidade, v, em cada instante t na a´gua e´ dada pela tabela seguinte, calcule (usando todos
os pontos) a distaˆncia percorrida na a´gua pelo conjunto pessoa-carrinho ate´ parar.
t 0,0 0,3 0,6 0,8 1,0 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2
v 4,0 3,9 3,7 3,5 3,3 2,9 2,5 2,0 1,25 0,75 0,0
24. Um fluido atravessa a secc¸a˜o circular de um tubo com velocidade:
v(r) = 3
(
1−
r
r0
) 1
7
em que r e´ a distaˆncia radial ao centro da secc¸a˜o e r0 = 4cm e´ o raio da secc¸a˜o. Determine a
quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa esta secc¸a˜o, sendo dada por:
Q = 2pi
∫ r0
0
r v(r)dr
No ca´lculo utilize 5 pontos igualmente espac¸ados no intervalo [0,2] e 6 pontos igualmente espac¸ados
no restante do intervalo.
25. Uma viga de 11m esta´ sujeita a uma carga, e a forc¸a de cisalhamento segue a equac¸a˜o
V(x) = 5+ 0, 25x2,
em que V e´ a forc¸a de cisalhamento e x e´ a distaˆncia ao longo da viga. Sabemos que V = dM/dx
e M e´ o momento de deformac¸a˜o. A integrac¸a˜o fornece a relac¸a˜o
M =Mo +
∫x
0
V dx.
Se M0 = 0 e x = 11, calcule M usando as regras de Simpson( 1/3 e/ou 3/8) com incremento de 1m.
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26. Utilizando a Quadratura Gaussiana com dois pontos, calcule o valor aproximado para:
(a)
∫ 2
−2
e−
x2
2 dx
(b)
∫ 3
2x3
3
dx
Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria
27. Dado o PVI:
y
′
= 4− 2x
y(0) = 2.
(a) Encontre uma aproximac¸a˜o para y(1) usando o me´todo de Euler Aperfeic¸oado com h = 0, 25.
(b) Compare seus resultados com a soluc¸a˜o exata: y(x) = −x2 + 4x+ 2.
28. Considere o PVI:
y
′
= 1+ yx
y(1) = 2.
Encontre aproximac¸o˜es para y(2) com h = 0, 25, utilizando:
(a) Me´todo de Euler
(b) Me´todo de Euler Aperfeic¸oado
29. Considere o PVI:
y
′
= y
y(0) = 1.
Mostre que o me´todo de Euler Aperfeic¸oado quando aplicado a esta equac¸a˜o fornece:
yk+1 =
(
1+ h+ h
2
2
)k+1
.
30. Considere o PVI:
y
′
= yx2 − y
y(0) = 1.
Encontre a soluc¸a˜o aproximada para o PVI com h = 0, 5 e considerando x ∈ [0, 2] utilizando:
(a) Me´todo de Euler Aperfeic¸oado;
(b) Me´todo de Taylor de segunda ordem;
(c) Sabendo que a soluc¸a˜o anal´ıtica do problema e´ y = e(−x+
x3
3
). Analise o erro absoluto dos
valores obtidos no item (a) e (b).
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