Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL 
CÁLCULO NUMÉRICO 
Prof. Pedro A. P. Borges
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE ZEROS DE FUNÇÕES
1. Encontre um intervalo que contenha ao menos uma raiz de cada função (utilize o 
teorema de localização de raízes):
a) f(x)= x2 -5x +2 b) f(x)=xex-2 c) f(x)=ex-5sen(x) d) f(x)=x3-3x2-5x+2
2. Com base em gráficos das funções do Ex.1:
a) Localize todas as raízes de cada função e determine intervalos (a,b) que
 contenham apenas uma raiz.
b) É possível reduzir ainda mais o tamanho dos intervalos encontrados no item 2.a?
3. Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e
 que f’(x) mantenha o sinal.
a) f(x) = 3x – 5 b) f(x) = x2 +3x - 5
b) f(x) = x3+x2 -3x -3 d) f(x) = ex -3
e) f(x) = ex +cosx
4. Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
F(x) = f(x) + g(x)
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale F(x) a zero. Obtém-se : 0 = f(x) + g(x) ou - f(x) = g(x) .
b) Faça o gráfico de - f(x) e g(x) no mesmo plano cartesiano. Os pontos onde estas
 duas funções se interceptam são raízes de F(x). Veja o exemplo.
Dada F(x) = -x2 +0,5x + 1. Escolhemos as funções f(x)= -x2 e g(x) = 0,5x + 1.
 Fazendo o gráfico de - f(x) e g(x) temos a indicação aproximada da posição de todas
 as raízes de F(x).
Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que 
contenha cada raiz. 
a) f(x) = x2 + x - 2,5 b) f(x) = cosx –x 
c) f(x) = ex -2 d) f(x) = ex -3 e) f(x) =lnx -2cosx. 
5. Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela. 
Use precisão  =10-2. Compare o número de iterações de cada método. Pode-se 
afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais? 
 
Função Bisseção Cordas Newton 
raiz n raiz n raiz n 
y=ecosx+x3-3 
y=0,1x3-e2x+2 
y=x3-5x2+x+3 
6. Dada a função f(x)= x3-5x2+x+3, faça as seguintes tarefas com auxílio do computador:: 
a) Faça o gráfico de f(x). 
b) Isole todas as raízes com base no gráfico 
c) Calcule todas as raízes com precisão  =10-2, usando o Método de Newton. 
d) Escolha uma raiz e calcule-a com  =10-6, usando o Método de Newton. Faça uma 
tabela das raízes obtidas a cada iteração e observe a convergência. 
e) Repita o exercício (6.d) para o Método da Bisseção. A convergência é semelhante 
ao Método de Newton ? 
7. O preço à vista (PV) de uma mercadoria é R$ 312.000,00, mas pode ser financiado 
com uma entrada (E) de R$ 91.051,90 e 12 (P) prestações mensais (PM) de R$ 
26.000,00. Calcule a taxa de juros (j) sabendo que 
PM
EPV
j
)j1(1 P 

 
 
8. Uma bola é arremessada para cima com velocidade vo = 30 m/s, a partir de uma altura 
xo = 5 m, em um local onde a aceleração da gravidade é g = -9,81 m/s
2. Sabendo que 
2
oo gt
2
1
tvx)t(h 
 
Qual será o tempo gasto para a bola tocar no solo, desconsiderando o atrito com ar. 
9. Determinar o comprimento (L) de um cabo suspenso em dois pontos do mesmo nível 
e distantes (2x)400m, com flexa (f) de 100m, sabendo que 







a
x
senha2L 
 ,sendo a a raiz da equação 
0f1
a
x
cosha 











. 
 
Fonte problemas 7,8 e 9 : BARROSO, et al. Cálculo Numérico com aplicações. 2ª ed. 
São Paulo, Ed. Harbra, 1987. 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - (Sistemas Lineares – Métodos iterativos) 
 
1. Determine os coeficientes a e b da reta que passa pelos pontos P1=(1,2) e P2=(3,5). 
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos P1 e P2 na equação y = ax +b e 
construa um sistema linear onde as incógnitas são a e b . Resolva o sistema 
usando o Método de Gauss-Seidel. Use  = 10-2. 
2. Os ensaios de tração realizados em uma barra de aço apresentaram os seguintes 
resultados: 
i  (m) (kPa) 
1 0,012 20 
2 0,02 40 
 Onde i é o número da medida (i=1,2,...),  é a Tensão (eixo vertical) e  é a 
Deformação (eixo horizontal). 
 a) Faça um gráfico de Tensão pela Deformação. 
 b) Supondo que a deformação no intervalo é elástica, utilize o conhecimento do 
Ex.1 para determinar a e b da equação de Tensão-Deformação. 
 )= a + b. 
3. Determine os coeficientes A, B e C da parábola que passa pelos pontos P1=(0,1) e 
P2=(0.5,1.5) e P3=(1.2,2). 
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos P1 , P2 e P3 na equação 
y = Ax2 +Bx+C e construa um sistema linear onde as incógnitas são A , B e C. 
Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use  = 10-2. 
4. Um objeto desloca-se em queda-livre. Determine a posição inicial (yo), a velocidade 
inicial (vo) e a gravidade (g), sabendo os valores da posição y e do tempo t em três 
instantes, dados pela tabela. Utilize a equação y(t) = yo + vo t – At
2, onde A=g/2. 
i t (s) y(m) 
1 0,0 4 
2 0,6 2,23 
3 1,0 -0,91 
5. a) Teste o Método de Gauss-Seidel para o sistema: 
 x + 2y - 3z = 2 ; 3x + y - z = 4 ; 0,5x + y - 5z = 1 
b) Troque a posição das linhas e verifique a convergência do Método de Gauss-
Seidel. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE INTERPOLAÇÃO 
 
1. Dada a função f(x) = x2-2x +1: 
a) Faça uma tabela de valores de x e y. Use x = {0,2,4} . 
b) Interpole x = 1,5 usando Lagrange 
c) Interpole x = 1,5 usando Diferenças Divididas 
d) Interpole x = 1,5 usando Diferenças Finitas 
e) Compare os resultados obtidos nas letras (b), (c) e (d) com f(1,5) 
f) Explique os resultados da letra (e). 
 
2. A Tabela abaixo apresenta a condutividade térmica da água (kf) em função da 
temperatura. Calcule a condutividade para T = 310 K: 
 
T (K) 295 300 320 340 
kf (W/mK)x10
3 606 613 640 660 
 
a) Usando interpolação linear. 
b) Usando interpolação por diferenças divididas. Compare os resultados. 
 
3. Dada a função f(x) = e2x : 
a) Faça uma tabela de valores de x e y. Use x = {0,1,2 3,4} . 
b) Interpole x = 2,1 usando Lagrange 
c) Interpole x = 2,1 usando Diferenças Divididas 
d) Interpole x = 2,1 usando Diferenças Finitas 
e) Compare os resultados obtidos nas letras (b), (c) e (d) com f(2,1) 
f) Explique os resultados da letra (e). (Compare com o Ex.1) 
 
4. A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da tabela, 
determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100oC. 
 
Temperatura (oC) 86 93.3 98.9 104.4 110 
Velocidade (m/s) 1 552 1 548 1 544 1 538 1 532 
 
 
5. Dada a função f(x) = 1/(1+x2) 
a) Faça uma tabela de valores de x e y. Use x = {-4,-3,-2,-1,0,1,2 3,4} . 
b) Faça um gráfico de f(x) e da interpolação com diferenças finitas. Compare as 
curvas. 
c) Verifique se a interpolação reproduz razoavelmente os pontos de f(x). 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
1. Calcule as integrais definidas, usando o método analítico, o método dos trapézios, a 
1a e 2a Regra de Simpson. Compare os resultados e tente explicar porque um 
resultado é melhor que o outro. (Use 7 pontos) 
Integral Mét. Analítico Trapézios 1a Simpson (1/3) 2a Simpson (3/8) 
∫ (3𝑥 + 1)𝑑𝑥
2
0
 
 
∫ (𝑒𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
0
 
 
∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋/4
0
 
 
∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
3
1
 
 
2. As integrais abaixo têm soluções analíticas trabalhosas ou impossíveis, resolva-as 
numericamente usando a 1a Regra de Simpson com 3 e depois com 5 pontos. 
Compare os resultados. 
a) ∫ 4𝑒2𝑥
1
0
 dx b) ∫ √𝑒𝑥 + 1 𝑑𝑥
2
0
 
3. Use o programa computacional para calcular as integrais dadas pelos métodos 
indicados, com o respectivo número de pontos. Analise a precisão dos resultados. 
Integrais 
∫ √𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥
𝜋/3
0
 ∫ ln(𝑡𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
𝜋/4
𝜋/6
 ∫
𝑒𝑥 + 1
𝑥
1
0
𝑑𝑥 ∫ (𝑥3 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥
2
0
 
Trapézios 7 
13 
25 
31 
Simpson 
1/3 
7 
13 
25 
31 
Simpson 
3/8 
7 
13 
25 
31 
 
EXERCÍCIOS SOBRE AJUSTES DE CURVAS 
 
1. Considereos dados da tabela. 
a) Faça um ajuste linear e calcule o coeficiente de 
correlação (reta ajustada). 
b) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos P1 
e P4. Compare com os coeficientes da reta do item (a). 
c) Calcule o coeficiente de correlação da reta que passa pelos pontos P1 e P4 e 
compare com o resultado do item (a). 
d) Faça um gráfico mostrando os pontos dados, a reta ajustada e a reta que passa em 
P1 e P4. 
2. Os dados da tabela ao lado se referem a um 
ensaio de limites físicos de uma amostra 
de solo: 
a) Faça um ajuste linear da função G(U) e calcule o coeficiente de correlação. 
b) Calcule o número de golpes esperado para U = 44 %. 
c) Faça uma interpolação usando Diferenças Divididas e calcule U = 44 %. 
d) Compare com o resultado do item (b). Você esperava o mesmo valor? Justifique 
sua resposta. 
 
3. a) Utilize o Método dos Mínimos Quadrados na versão 
matricial para ajustar linearmente os dados da tabela. 
b) Escreva as equações normais do ajuste linear. 
 
4. Determine a terna de parâmetros a, b e c do plano que 
melhor descreve a distribuição de pontos no espaço, 
dada pela tabela: (Equação do plano: z = ax + by + c) 
 
 
5. Os dados da tabela e a figura abaixo referem-se a um ensaio de compactação de solo. 
|O objetivo é determinar o percentual de umidade U para a maior massa específica 
aparente(). 
U, Umidade, (%) 21,16 22,96 25,11 27,02 29,64 32,00 
 (kN/m3) 13,41 13,87 14,50 14,60 14,45 13,60 
a) Faça um ajuste com um polinômio de 2o Grau. ( (U) = AU2 + BU + C ) 
b) Derive a função (U) e iguale-a a zero.' 
c) Calcule a raiz de '(U)=0. 
d) Escreva o significado do resultado do item (c) no problema proposto. 
i 1 2 3 4 
X 1 1,4 2 3,1 
Y 4 3,7 2 0,5 
U, Umidade (%) 43,42 45,25 49,27 53,42 
G, Golpes (un) 27 22 17 9 
i 1 2 3 
X 0,5 1 2 
Y 5 2 1 
i 1 2 3 4 
X 1 0 0 0,5 
Y 0 1 0 0,5 
Z 0 0 1 0,5 
6. Gere 5 valores da função y = x1/3 no intervalo [0,1]. Aproxime a função dada usando 
polinômios de 1º, 2º e 3º graus. Qual é a melhor aproximação? 
7. Ajustar os pontos da tabela à função Z = a·ebX: 
 
i 1 2 3 4 5 
xi 0,1 1,5 3,3 4,5 5 
zi 5,9 8,8 12 19,8 21,5 
8. A constante de velocidade (k) de uma reação química de 1ª ordem é relacionada com 
a concentração (C) e o tempo pela equação 
 C = Co e
-kt 
onde Co é a concentração inicial. Calcule a constante de velocidade da reação cujos 
valores de t e C são dados na tabela. 
i 1 2 3 4 5 6 
ti(s) 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 
zi(M) 0,86 0,68 0,59 0,47 0,43 0,38 
 
9. Para uma reação química de 2ª ordem, o modelo matemático é 
 1/C = 1/Co + kt. 
 Calcule a constante de velocidade (k) da reação usando os dados do exercício 
anterior. Qual dos dois modelos (1ª ou 2ª ordem ) é o melhor para expressar os dados 
da reação ? 
10. Ajuste os pontos abaixo ao modelo Y = bo + b1X1 + b2X2. Calcule o coeficiente de 
correlação. 
i 1 2 3 4 5 6 7 
x1i -5 -3 -1 0 1 3 4 
x2i 0 0,2 0,3 0,5 0,6 0,8 1 
yi 5,1 6,3 7,4 8,9 9,5 10,7 11,5 
11. Ajuste os pontos da tabela do exercício anterior ao modelo Y = bo + b1X12+ b2X22. 
Compare com o exercício anterior. 
 
RESPOSTAS: 
9. 1/C = 0.8680192 + 5.9095229 t ; 1/Co = 1.1520483; R2 = 0.9933672 
10. y = 7.1342688 + 0.4134417X1 + 2.9039882 X2 ; R2 = 0.9923990 
11. y = 7.2197687 - 0.0922615X1
2 + 6.0880561 X2
2 ; R2 = 0.9827995 
 
EXERCÍCIOS SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
1. Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) 
y' = x – y + 2 ; y(0) = 2. 
Na malha de [0,1] com 
a) h = 0,05 
b) h = 0,01 
Sugestão: implemente as soluções no computador e compare os resultados. 
 
2. Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) 
y' = y - 2x/y ; y(0) = 1. 
Na malha de [0,1] com h = 0,2 
 
3. a) Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) 
y' = 1/x ; y(1) = 0. 
Na malha de [1,2] com h = 0,1. 
b) Compare os resultados da solução numérica com os resultados da solução 
analítica: 
y = ln(x) + 2. 
 
4. Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno 
y” + y' + 2y =0 ; y(0) = 0 e y(1) = 1. 
a) Na malha de [0,1] com h = 0,2. 
b) Na malha de [0,1] com h = 0,01. 
 
5. Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno 
y” + 2y' + 5y = 8ex ; y(0) = 1 e y(1) = e. 
Na malha de [0,10] com h = 0,1. 
(Sugestão: implemente a solução no computador) 
 
6. Encontrar aproximações para a solução do problema de condições de contorno 
 
y” + xy' + y = xcosx ; y(0) = 0 e y() = 1. 
 
Na malha de [0,1] com h = 0,1. 
(Sugestão: implemente a solução no computador)