Capítulo III - Equilíbrio dos Corpos Rígidos

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.1 Introdução
Ou, decompondo-se forças e momentos em temos das componentes cartesianas, então,
Condições de Equilíbrio: 
Para que haja o equilíbrio de um corpo rígido é preciso que o somatório de forças e momentos seja nulo, ou seja,
, 
, 
e
, 
e
Estas equações permitem determinar forças desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou até mesmo reações exercidas por vínculos.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.2 Diagrama do Corpo Livre
A decomposição das forças em componentes mostra que as forças externas se compensam nas direções x, y e z;
 A decomposição dos momentos mostra que os momentos das forças externas em relação aos eixos x, y e z se anulam.
Diagrama do Corpo Livre: 
Para a solução de problemas que envolvem o equilíbrio de corpo-rígido, é necessário identificar todas as forças atuantes sobre tal corpo a partir da esquematização dos diagramas de corpo livre.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.2 Diagrama do Corpo Livre
Escolha do corpo livre a ser considerado: Uma vez escolhido, tal corpo é destacado do solo e separado dos demais para construção do diagrama;
Identificação das forças externas: As forças externas representam a ação exercida sobre o corpo livre pelo solo e pelos corpos dos quais foi separado. Tais forças são aplicadas nos locais onde o corpo livre estará vinculado ao solo ou a outros corpos.
 Etapas para a construção de diagramas de corpo livre:
O peso deve ser incluído entre as forças externas e aplicado ao baricentro do corpo.
Quando o corpo livre é constituído por várias partes, as forças exercidas umas sobre as outras não são incluídas entre as forças externas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.2 Diagrama do Corpo Livre
Representação do módulo, direção e sentido das forças externas: Devem ser corretamente descritos nos diagramas de corpo livre o módulo, a direção e o sentido das forças externas conhecidas. Em relação ao sentido das forças, devem ser mostrados os sentidos das forças exercidas sobre o corpo e não aqueles associados aos das forças exercidas pelo corpo livre;
As forças externas conhecidas são:
Peso do corpo;
Forças aplicadas ao corpo.
As forças externas desconhecidas são:
Reações ou forças de vínculo → Ação do solo e de outros corpos contrária ao movimento do corpo livre mantendo-o equilibrado. 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.2 Diagrama do Corpo Livre
Dimensões: As dimensões devem aparecer num diagrama de corpo livre para o cálculo dos momentos das forças;
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Reações nos Vínculos de uma Estrutura 2D: 
Dividem-se em três classes associadas a três tipos de vínculos:
Reações Equivalentes a uma força com linha de ação conhecida: Vínculos que causam reações: roletes, balancins, superfícies lisas, hastes curtas e cabos, cursores e pinos deslizantes sem atrito.
Estes vínculos impedem o movimento em apenas uma direção. Estas reações tem como incógnita o seu módulo e suas linhas de ação são conhecidas e devem ser indicadas claramente no diagrama de corpo livre.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Reações em apoios e conexões 2D 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Reações Equivalentes a uma força de direção desconhecida: Vínculos que causam reações: pinos polidos, articulações e superfícies ásperas. Estes vínculos restringem a translação de um corpo livre em todas as direções mas não a rotação em torno da conexão.
Estas reações originam duas incógnitas representadas pelas suas componentes x e y.
Reações Equivalentes a uma força e um binário: Vínculos que causam reações: apoios fixos. Estes vínculos imobilizam completamente o corpo livre e produzem forças sobre toda a superfície de contato que podem ser reduzidas a uma força a um binário em razão do sistema de forças que originam.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Estas reações fornecem três incógnitas, ou seja, duas componentes da força e o momento do binário.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Equilíbrio de um corpo rígido em duas dimensões: 
 Aproximando-se ao caso bidimensional, as equações de equilíbrio podem ser simplificadas quando escolhe-se os eixos x e y no plano da estrutura por:
ou seja,
; 
; 
Simplificação ao caso 2D 
; 
; 
Equações de equilíbrio em 2D
Mas, independentemente da escolha da origem O, Mo = 0, as equações de equilíbrio para uma estrutura 2D podem ser escritas de forma generalizada, ou seja,
; 
; 
onde A é qualquer ponto no plano da estrutura.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
 Ex.: Considere a treliça abaixo, submetida às forças N, Q e S, e mantida no lugar por uma articulação em A e um rolete em B. A articulação em A impede a movimentação deste ponto e exerce sobre a treliça uma força que tem componentes Ax e Ay. O rolete impede as rotações da treliça em relação a A e exerce uma força vertical em B.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
O diagrama do corpo livre inclui as reações Ax, Ay e B, as forças aplicadas N, Q e S e o peso P da treliça.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Já que a soma dos momentos em relação a A e das forças é nula, tem-se que
Determinação da intensidade B (não contém Ax e Ay) 
Determinação de Ax e Ay 
Além disso, equações adicionais podem ser obtidas igualando-se a zero a soma dos momentos das forças externas em relação a outros pontos da estrutura.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Por exemplo, tem-se que,
Esta equação de equilíbrio não fornece novas informações uma vez que o sistema de forças mostrado no diagrama de corpo livre é nulo. Entretanto, pode-se utilizá-la na verificação da solução das três equações de equilíbrio originalmente obtidas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Vinculação Parcial – Treliça: 
 No caso anterior, vínculos utilizados impediam os movimentos de corpo rígido. Neste caso, o corpo estava completamente vinculado. Além disso, as três incógnitas relacionadas às equivalentes reações de cada vínculo são obtidas pela solução das equações de equilíbrio, ou seja, tais reações são estaticamente determinadas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Considere a treliça vinculada por articulações em A e B,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Estes vínculos restringem, além do necessário, os movimentos da treliça sob
cargas dadas. O diagrama do corpo livre permite identificar quatro incógnitas associadas às reações. Assim, 
Bx
P
 Incógnitas: 
 Ax; Ay
 
 Bx; By
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Portanto, existem mais incógnitas do que equações, ou seja, 
Determinação de By e Ay 
Determinação de Ax + Bx 
Logo as componentes Ax e Bx são denominadas estaticamente indeterminadas. Além disso, a estrutura em questão está demasiadamente restringida, ou seja, é hiperestática.
; 
Solução: Para tanto deve-se considerar as deformações impostas à treliça pelo carregamento adotado, que é objeto da disciplina Resistência dos Materiais.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Estrutura Parcialmente Vinculada: 
 Considere a treliça abaixo vinculada em A e B por roletes, 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Os vínculos não são suficientes para manter a treliça sem movimento, pois o movimento horizontal é notório. Desta forma, tal estrutura está parcialmente vinculada ou hipoestática.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Entretanto, observam-se três equações,
P
O diagrama do corpo livre revela a existência de duas reações (A e B), ou seja, duas incógnitas, logo
; 
; 
O último somatório, Fx , somente será satisfeito se,
Neste caso, existem mais equações que incógnitas!!!!
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Vinculação Ineficaz: 
Considere a treliça abaixo vinculada em A, B e C por roletes, 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
E
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
O diagrama do corpo livre revela a existência das reações desconhecidas A, B e E, ou seja, 
P
E
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
 A equação, ∑Fx = 0 será satisfeita somente se, Nx+ Qx+ Sx = 0; 
 Apesar de um número suficiente de vínculos, estes não estão adequadamente dispostos, o que permite movimentos horizontais da treliça. Neste caso, a estrutura está ineficazmente vinculada;
 Como existem somente duas equações de equilíbrio e três incógnitas, as reações são estaticamente indeterminadas.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.4 Equilíbrio de um Corpo a Duas Forças
Equilíbrio de um Corpo Submetidos a Duas Forças: 
Um corpo submetido a duas forças estará equilibrado quando tais forças apresentarem mesmo módulo e linha de ação e sentidos opostos.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Considere a placa em L submetida às forças F1 em A e F2 em B. Se esta placa está em equilíbrio a soma dos momentos de F1 e F2 em relação a qualquer eixo é zero. 
F1
F2
B
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.4 Equilíbrio de um Corpo a Duas Forças
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1
F2
 Soma dos momentos em relação a A: Já que os momentos de F1 e F2 são nulos, a linha de ação de F2 deve passar pelo ponto A. 
 A soma dos momentos em relação a B: Novamente, os momentos nulos de F1 e F2 mostram que a linha de ação de F1 passa pelo ponto B. 
B
A
F1
F2
B
A
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
Equilíbrio de um Corpo Submetidos a Três Forças: 
Considere o corpo rígido abaixo submetido às forças F1 em A, F2 em B e F3 em C.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1 
F2 
B
F3 
A 
C
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Já que o corpo está equilibrado, a soma dos momentos destas forças é nula. Assim, supondo-se que as linhas de ação de F1 e F2 se interceptem em D, pode-se somar os momentos em relação a D, logo, 
F1 
F2 
B
F3 
A 
C
D 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Mas como os momentos de F1 e F2 são nulos em relação a D, igualmente, o momento de F3 neste ponto D vale zero. Portanto, a linha de ação de F3 deve passar por D e as três linhas de ação são concorrentes.
F1 
F2 
B
F3 
A 
C
D 
Quando as linhas de ação não se cortam, isto é, são paralelas tem-se a única exceção!
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio em Três Dimensões
Reações nos Vínculos de uma Estrutura 3D: 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Tipos de Reação
Um única força (superfície lisa) → 1 incógnita
até 
Um sistema força-binário (engastamento)→ 6 incógnitas
Figura 4.10 Beer & Johnston 5ª Edição!
Identificação do tipo de reação relacionada a um dado vínculo: Verificar, dentre os seis movimentos fundamentais (translação e rotação nos eixos x, y e z) são permitidos e quais impedidos. 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Condição de Equilíbrio Tridimensional: 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
, 
e
, 
e
Equações resolvidas para até 6 incógnitas!!!
 Reações que envolvem mais de seis incógnitas: Há mais incógnitas do que equações. Neste caso, algumas reações são estaticamente indeterminadas e o corpo é hiperestático.
 Reações que envolvem menos de seis incógnitas: Há mais equações do que incógnitas e algumas equações não são satisfeitas sob condições gerais de carregamento. Assim, o corpo rígido está parcialmente vinculado e é denominado hipoestático.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
 Corpos Impropriamente Vinculados: Ainda com seis ou mais incógnitas é possível que algumas equações de equilíbrio não sejam satisfeitas. A estes casos estão relacionados a vínculos que produzem reações definidas por forças paralelas ou que interceptam a mesma reta. 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Reações em apoios e conexões 3D 
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Ex.: Um cartaz de 1,50 m x 2,40 m de densidade uniforme, pesa 1350 N e está vinculado por uma junta esférica em A e por dois cabos. Determine a força de tração em cada cabo e a reação A. 
A
D
C
B
0,90 m
2,40 m
1,20 m
0,60 m
y
x
1,80 m
0,60 m
1,50 m
E
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Solução: Esquematiza-se um diagrama do corpo livre, da seguinte forma, 
A
D
C
B
0,90 m
2,40 m
1,20 m
0,60 m
y
1,80 m
0,60 m
1,50 m
E
G
1,20 m
1,20 m
Ayj
Azk
Axi
TBD
TEC
P= -(1350 N) j 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
As componentes das forças TBD e TEC podem ser expressas em termos dos módulos TBD e TEC como se segue,
e
Logo, os vetores serão,
e
Desta forma, as tensões podem ser escritas como,
e
Chapter 12 Mixtures
and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Escrevendo as equações de equilíbrio,
Escrevendo em função das componentes,
Calculando os momentos em relação a A,
Tem-se,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Simplificando,
então,
e
Resolvendo a equação para o somatório das forças,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*