Gabarito P1 SUB calculo1A 2018 2

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
1a Avaliação (29/09/2018) - Gabarito
Questão 1.
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,0pt) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
Resolução: Inicialmente observe que temos uma indeterminação do tipo 0
0
, pois −1 é raiz de
x3 + 1 e também de x+ 1; portanto, vale a fatoração
x3 + 1 = (x+ 1)(1− x+ x2), donde x
3 + 1
x+ 1
= 1− x+ x2
e, portanto,
lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
= lim
x→−1
3
√
1− x+ x2 (1)= 3
√
1− (−1) + 1 = 3
√
3
Justificativa:
(1) Segue da continuidade de 3
√· e 1− x+ x2
——————————————————————————————
(b) (1,0pt) lim
x→0
sen2(3x)
x2
Resolução: Note que
sen2(3x)
x2
=
(
sen 3x
x
)2
Fazendo u = 3x, tem-se x = u/3 e x→ 0⇐⇒ u→ 0, logo, substituindo tem-se
lim
x→0
(
sen 3x
x
)2
= lim
u→0
(
senu
u/3
)2
(1)
=
(
lim
u→0
senu
u/3
)2
(2)
=
(
3 · lim
u→0
senu
u
)2 (3)
= (3 · 1)2 = 9
Justificativa:
(1) continuidade de x2
(2) reescrita de
senu
u
3
=
senu
u
· 3
1
e retirada da constante 3 para fora do limite
(3) limite trigonométrico fundamental lim
θ→0
sen θ
θ
= 1.
——————————————————————————————
1
(c) (1,0pt) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
Resolução/justificativa: Trata-se de uma indeterminação tipo ∞∞ . (1) Ponha em evidência e
cancele o termo de mais alto grau;
lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(1)
= lim
x→−∞
@@x
2
(
1− 2
x
+
3
x2
)
@@x
2
(
3 +
1
x
+
1
x2
) (2)= limx→−∞
(
1− 2
x
+
3
x2
)
lim
x→−∞
(
3 +
1
x
+
1
x2
) = 1
3
(2) note que denominador e numerador agora têm limites finitos (e denominador 6→ 0), x → −∞, e
conclua com a propriedade: limite do quociente é o quociente dos limites
——————————————————————————————
(d) (1,0pt) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
Resolução:
Tem-se uma indeterminação da forma 0
0
, pois ambas
√
x−1→ 0 e √2x+ 3−√5→ 0 com x→ 1.
Notar também que:
√
x− 1√
2x+ 3−√5
(1)
=
√
x− 1√
2x+ 3−√5 ·
√
2x+ 3 +
√
5√
2x+ 3 +
√
5
=
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x+ 3− 5
=
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x− 2
(2)
=
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2(x− 1)
= �
���
�
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2���
��(
√
x− 1)(√x+ 1)
(3)→
√
2 · 1 + 3 +√5
2(
√
1 + 1)
=
2
√
5
4
, com x→ 1
Justificativa:
(1) – multiplicação e divisão pelo conjugado,
√
2x+ 3 +
√
5, do denominador
(2) – reescrita 2x− 2 = 2(x− 1) = 2(√x− 1)(√x+ 1) e redução de termos semelhantes
(3) – continuidade de numerador e denominador (e denominador 6→ 0), com x → 1; conclua com
a propriedade: limite do quociente é o quociente dos limites
Questão 2.
Considere a função
f(x) =
{
ax2, se x < 2,
ax− 1, se x ≥ 2.
(a) Determine o valor de a ∈ R que torna a função f contínua em x = 2.
Resolução/Justificativa: a) (1,0 pt) Conforme a definição, é necessário que lim
x→2
f(x) = f(2).
Entretanto
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(ax− 1) = 2a− 1 = f(2) e lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(ax2) = 4a.
A igualdade entre lim
x→2−
f(x) e limx→2+ f(x) implica 4a = 2a− 1 = f(2), donde a = −1
2——————————————————————————————
2
(b) Faça um esboço do gráfico de f considerando o valor a encontrado no item anterior.
b) (1,0 pt)
Justificativa: à esquerda de x = 2, é parabólico
−x2
2
; para x ≥ 2, é reto −1− x
2
.
Questão 3.
Seja f uma função definida em R tal que, para todo x 6= 1,
3x− x2 ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x).
Resolução/justificativa: como 3x− x2 → 2, com x→ 1 e x
2 − 1
x− 1 =
XXXX(x− 1)(x+ 1)
XXXx− 1 = x+1, x 6= 1,
também
x2 − 1
x− 1 → 2, com x→ 1.
Por aplicação direta do teorema do confronto, segundo o qual, nas condições acima,
lim
x→1
3x− x2 = lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2 − 1
x− 1 , conclui-se limx→1 f(x) = 2
Questão 4.
(Carga de um Capacitor) Um capacitor é um equipamento que armazena carga elétrica. A carga
em um capacitor é acumulada segundo a função
Q(t) = a(1− e−t/c)
onde a e c são constantes físicas positivas e t é medido em segundos.
(a) (1,0pt) Qual é a carga inicial do capacitor?
Resolução: Carga no instante t = 0, é o valor numérico Q(0) = a(1− e0/c) = a(1− 1) = 0
——————————————————————————————
3
(b) (1,0pt) O Estado estacionário da carga em um capacitor é o valor do qual Q(t) se aproxima
quando o tempo cresce muito. Determine este valor.
Resolução:
QE = lim
t→+∞
Q(t) = lim
t→+∞
a(1− e−t/c) = a− lim
t→+∞
ae−t/c = a− lim
t→+∞
a
et/c
= a.
Justificativa: sendo a, c > 0 constantes, tem-se
a
et/c
→ 0, com t → +∞, pois et/c → +∞, com
t→ +∞.
——————————————————————————————
(c) (1,0pt) Qual o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja a metade do estado esta-
cionário?
Resolução: Para determinar t∗ tal que Q(t∗) =
QE
2
, resolve-se a equação
QE
2
= Q(t∗)
(1)⇐⇒ a
2
= a(1− e−t∗/c) (2)⇐⇒ 1
2
=
1
et∗/c
(3)⇐⇒ ln 2 = t
∗
c
∴ t∗ = c ln 2
Justificativa:
(1) – valor obtido em b) e pela definição de Q
(2) – cancelamento da consntante a > 0
(3) – equivalências
1
2
=
1
et∗/c
e 2 = et∗/c e desta com ln 2 =
t∗
c
.
4