APOSTILA_DE_LIMITES

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APOSTILA DE CÁLCULO I 
LIMITES E DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 LIMITES 
 
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. 
A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, 
conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que 
lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da 
matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. 
 
O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da 
Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, 
quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um 
procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez 
menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que 
no vácuo ela seria igual ao valor L. 
 
Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos 
representar esse resultado por: 
 
Lxf
x


)( lim
0 
 
 
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental 
importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na 
física, eletricidade, mecânica, etc. 
 
 Limites: Breve histórico 
 
Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para 
encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, 
relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de 
áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. 
 
Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que 
se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de 
calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com 
número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir. 
 
 
 
 
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices 
no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito 
a todos os elementos da seqüência em questão. 
 
 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857). 
 
... 
 3 
 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos: 
L)x(flim
px


 
 
Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos 
estes casos precisamente em limites laterais. 
 
Exemplos: 
1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, )1x2(lim
2x


. 
Solução: 
Determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita(valores 
superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) 
 
Esquerda Direita 
x 2x+1 x 2x+1 
1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 
1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 
1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 
1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 
1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 
1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 
1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 
... ... ... ... 
    
2 5 2 5 
 
 
 
Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) 
se aproxima de 5. 
 
Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos 5122)12(lim
2


x
x
 
2) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule )1x(lim
1x


 
Solução: 
 
Esquerda Direita 
x x+1 x x+1 
2 1+2 = 3 0,5 1+0,5 = 1,5 
1,5 1+1,5 = 2,5 0,9 1+0,9 = 1,9 
1,1 1+1,1 = 2,1 0,99 1+0,99 = 1,99 
1,01 1+1,01 = 2,01 0,999 1+0,999 = 1,999 
1,001 1+1,001 = 2,001 0,9999 1+0,9999 = 1,9999 
... ... ... ... 
    
1 2 1 2 
 
 
 
 4 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES 
 
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a 
pesquisa do número  que aparece na definição de limite. 
 
 (P0) Se 1)(lim Lxf
ax


 e 2)(lim Lxf
ax


, então .21 LL  (Teorema da Unicidade do limite) 
 
 (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então cc
ax

 
lim isto é o limite de uma constante é a 
própria constante. 
 
 (P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmx
ax


)(lim 
 
 
 
Exemplo: 754.3)53(lim
4 


x
x
 
 
 (P3) Se ,)(lim e )(lim
 
MxgLxf
axax


 então: 
 
a) )]()([lim
 
MLxgxf
ax


 
 
b) )]()([lim
 
MLxgxf
ax


 
 
c) 0M que desde 
M
L
=
)(
)(
lim
 

 xg
xf
ax
 
 
d)   n) positivo inteiro p/ ( )(lim
 


nn
ax
Lxf 
 
e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim
 


nn
ax
Lxf 
 
f)   0 L que desde , .ln)(ln lim
 


Lxf
ax
 
 
g)   )( cosf(x) cos lim
 
L
ax


 
 
h)   )( f(x)sen lim
 
Lsen
ax


 
 
i) lim )(
 
Lxf
ax
ee 

 
 
Exemplo: Determine o seguinte limite: 
 


)13(lim 2
2 
xx
x
112.321lim3limlim 2
2
2 2 
2
2 
3


P
xxx
P
xx 
 
 
Vemos neste exemplo que o valor de )()(lim
 
afxf
ax


 
 
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: 
 
 5 
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim
 
afxf
ax


. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule )15(lim 2
2 


xx
x
512522  
 
2) Calcule 


 
 2>xse ,x
2xse 3x,
 sendo)(lim
22 
xf
x
 . 
Solução: Se 623)(lim 2
2 x


xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x
2
2 x +


xf . Portanto, 
não existe o limite. 
 
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. 
 
Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: 
 
)()(lim aqxq
ax


 
Exemplos: 
1) Calcule 
76
125
lim
2
3 

 x
xx
x
 
Solução: 
11
7
3
11
40
736
13235
76
125
lim
22
3 






 x
xx
x
 
 
 
2) Calcular 3
2
5 
943lim 

xx
x
 
Solução: 
464 9+20-75 =943lim943lim 333 2
5
3 2
5 


xxxx
xx
 
 
Em resumo: 
 
 Sejam f e g funções tais que: 2
px
1
px
L)x(flim e L)x(flim 

então: 
 
1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf
pxpxpx 
 , ou seja, o limite da soma é igual a soma dos 
limites. 
 
2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfk
pxpx 
 
 
3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[lim
pxpx
21
px 
 
 
4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf
pxpxpx 
 
 
5) 0L que desde ,
)x(glim
)x(flim
L
L
)x(g
)x(f
lim 2
px
px
2
1
px




 
6) Nn ,)x(flimL)]x(f[lim
n
px
n
1
n
px






 
 6 
7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1n
px
n
1
n
px


 
 
8) 

k ,lim kk
px
, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante. 
 
9) pxlim
px


 
 
10) 
)x(glim
px
L
1
)x(g
px
px
2 )x(flimL)x(flim






 
 
 L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nn
px
22
px
11
px


, então 
 
11) n21n21
px
L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim 

 
 
12) n21n21
px
L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim 

 , 2n,Nn  
 
 
LIMITES INDETERMINADOS 
 
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal 
procedimento nos deparamos com resultados do tipo 
0
0
 ou .


 
 
Exemplo: 
 
1) Calcular o limite abaixo: 
4
2
lim
2
2
2 

x
xx
x
 
Solução: 
 
Seja f(x) = x
2 
- x – 2 e g(x) = x
2
 - 4. 
 
Então: 
f(2) = 2
2
- 2 - 2 = 0 e g(2) = 2
2 
- 4 = 0 
 
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo 
0
0
, logo tal procedimento não 
pode ser utilizado. 
 
No caso de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


 há vários métodos que podem ser aplicados de acordo 
com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método 
prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital. 
 7 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor finito 
 
1) )1x5xx(lim 23
1x


= 
 
2) )3x4x2x(lim 23
1x


= 
 
3) )1x2x2x4(lim 23
2x


= 
 
4) 
5x
4x5x
lim
2
2
3x 


= 
 
5) 
2x
10x7x
lim
2
2x 


= 
 
6) 
3x
3x2x
lim
2
3x 


= 
 
7) 
xx
x2x5xx3
lim
2
234
0x 


= 
 
8) 
1x2x
3x4x
lim
5
3
1x 


= 
 
9) 
6x
36x
lim
2
6x 


= 
 
 
10) 
2x3x
1x
lim
2
2
1x 


= 
 
 
 
11) 
2x
32x
lim
5
2x 


= 
 
12) 
27x54x36x10x
27x18x8x
lim
234
234
3x 


= 
 
13) 
4x2
2x
lim
2x 


= 
 
14) 
2x
4x
lim
4x 


= 
 
15) 
x42
x
lim
0x 
= 
 
16) 
x22
x
lim
0x 
= 
 
17) 
1x
x32
lim
1x 


= 
 
18) 
11x
x
lim
0x 
= 
 
19) 
2x
3x21
lim
4x 


= 
 
20) 
11x5x3
22x3x2
lim
2
2
2x 


=
 
Respostas: 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
8 4 - 5 - 26 5 -3 -4 -2 
3
1
 
12 -2 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
80 2 0 4 4 22 
4
1
 
2 
3
4
 
14
5
 
 
 
 
 
 8 
LIMITES NO INFINITO 
 
1. Introdução: 
 
Consideremos a função f definida por 
x
xf
1
)(  e analisemos, mediante uma tabela, o seu 
comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos. 
 
x 
4
1
 
3
1
 
2
1
 
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
)(xf 4 3 2 1 
2
1
 
3
1
 
4
1
 
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
 
Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os 
valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos 
tal fato por: 0)(lim 

xf
x
, que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é 
igual a zero”. 
 
Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de 
valores positivos, escrevemos: “ x ”. Devemos enfatizar que  não é um número real. 
O símbolo  indica, portanto, o comportamento da variável independente x . 
 
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x 
decrescem ilimitadamente através de valores negativos. 
 
x 
-
4
1
 -
3
1
 -
2
1
 
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
)(xf -4 -3 -2 -1 
-
2
1
 -
3
1
 -
4
1
 
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
 
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem 
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez 
mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ x ” para indicar os valores de x que estão 
decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 
0)(lim 

xf
x
, que se lê: “limite de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero. 
 
 
Pelo gráfico da função 
x
xf
1
)(  cujo 
esboço é indicado pela figura ao lado, 
notamos que quando x cresce 
ilimitadamente através de valores positivos 
( x ), os valores da função )(xf 
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, 
portanto, simbolicamente podemos escrever 
0)(lim 

xf
x
 ou 0
1
lim 
 xx
. 
 
 
 
 
 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura 
indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores 
negativos ( x ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). 
Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim 

xf
x
ou 0
1
lim 
 xx
. 
 9 
Exemplos: 
 
1) Observe o gráfico da função 
x
xf
1
1)(  apresentado na Figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
1) 
2) Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando 
x tende para o infinito. Isto é, 1y quando .x  Denotamos por 1
1
1lim 






 xx
 
 
 
2) A função 
1
12
)(



x
x
xf tende para 2 quando x como podemos observar na Figura 
a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
podemos escrever: 
 
2
1
12
lim 


 x
x
x
 
 
 10 
2. Propriedades dos Limites no Infinito 
 
2.1. Limite de uma função Polinomial 
 
Consideremos a função polinomial 13764)( 23  xxxxP , podemos escrevê-la na 
seguinte forma: 
 







32
3
4
13
4
7
4
6
14)(
xxx
xxP 
Portanto, 







 32
3
4
13
4
7
4
6
1lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
Ora, é claro que: 
1
4
13
4
7
4
6
1lim
32







 xxxx
 
Temos, então: 
)4(lim)(lim 3xxP
xx


 
Assim, temos dois casos: 
 


)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e 

)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
 
 
Generalizando, sendo 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 , podemos sempre escrever: 
 
n
n
xx
xaxP

 lim)(lim 
 
 
2.2. Limite de uma função racional 
 
Dada a função racional 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf  , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 e 01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m 

 
 
Sendo 0na e .0mb Tem-se então que: 
 
mn
x
m
n
m
m
n
n
xm
m
x
n
n
x
x
x
xx
x
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xP
xf 






 limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(
lim)(lim 
 
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 
 
1
o
) 

)(lim xfmn
x
 
2
o
) 0)(lim 

xfmn
x
 
3
o
) 
m
n
x b
a
xfmn 

)(lim 
 
 11 
Exemplos: 
 
1) 



x
x
x
xx
xxx
xxx
lim
9
10
9
10
lim
4109
115810
lim
2
3
2
23
 
 
2) 0015
1
lim15
15
lim
21012
1196815
lim
4
3
24
23





 xx
x
xxx
xxx
xxx
 
 
3) 
5
7
1lim
5
7
5
7
lim
58145
21187
lim
3
3
23
23



 xxx x
x
xxx
xxx
 
 
4) Calcule 
1
lim
2  x
x
x
 
Solução: 
 
Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx  ( ,0x pois )x e então dividimos o 
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 
 
1
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
222
2
2
2
2
2
2







 
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
5) Calcule xxx
x


43lim 2 
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx  432 , temos: 
 
     
  xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxx 








 43
43
lim
43
43
lim
43
43
43lim43lim
22
22
2
2
22
 
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 
 
 
2
3
11
3
1
43
1
4
3
lim
43
43
lim43lim
2222
2
2 









xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
 
 12 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Calcule o limite das funções seguintes, quando x e quando .x 
a) 683)( 234  xxxxf Resposta:  e  
b) 5724)( 23  xxxxf Resposta:  e - 
c) 29785)( 23  xxxxf Resposta: - e  
d) 1010814)( 357  xxxxf Resposta: - e  
e) 5924)( 246  xxxxf Resposta: - e - 
f) 432 147831)( xxxxxf  Resposta:  e  
g) )135()483()( 23  xxxxxf Resposta:  e - 
h) 9)( 5678  xxxxxf Resposta:  e  
 
2) Calcule os limites indicados: 
a) 
43
3
lim
2
2


 x
xx
x
 Resposta: 1/3 
b) 
35
23
lim
2 

 x
x
x
 Resposta: 0 
c) 
62
3
lim
2 

 x
x
x
 Resposta: 0 
d) 
x
x
x 
 2
34
lim Resposta: 2 
e) xx
x


1lim 2 Resposta: 0 
f) xxx
x


2lim Resposta: 1 
g) 
xx
1
lim

 Resposta: 0 
h) 
xx
1
2lim 

 Resposta: 2 
i) 4lim
2 

xx
x
 Resposta:  
j) x
x
e

lim Resposta: 0 
k) 
2
2
1lim 






 xx
 Resposta: 1 
l) 
3
1
1lim 






 xx
 Resposta: 1 
m) 











x
x
e
1
3lim Resposta: 4 
n)  1lnlim 2 

x
x
 Resposta:  
o)  1lnlim 2 

x
x
 Resposta:  
p) 1lim
2 

xx
x
 Resposta: 0 
 
 
 13 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor infinito 
 
1) )1x2x3x5(lim 23
x


 Resposta:  
2) )1x2xx2(lim 245
x


 Resposta:  
3) )1x2x3(lim 24
x


 Resposta:  
4) )8x5x3(lim 24
x


 Resposta:  
5) )2x3x5(lim 3
x


 Resposta:  
6) )2x3x(lim 2
x


 Resposta:  
7) 
3xx
1xx3x2
lim
2
23
x 


 Resposta:  
8) 
1x
1x2
lim
2
2
x 


 Resposta: 2 
9) 
3x
x3
lim
2x 
 Resposta: 0 
10) 
3xx5x9
1x2x5x3
lim
23
23
x 


 Resposta: 1/3 
11) 
7x8x4
8x5x2
lim
5
23
x 


 Resposta: 0 
12) 
7x
1x2x5
lim
23
x 


 Resposta:  
13) 
33
2
x x)1x(
1xx
lim



 Resposta:1/3 
14) 
)1x4)(1x3(x2
)2x3(
lim
3
x 


 Resposta: 9/8 
15) 
1x
1xx
lim
2
x 


 Resposta: 1 
16) 
1x
1xx
lim
2
x 


 Resposta:-1 
17) 
1x
5x3x2
lim
4
2
x 


 Resposta: 2 
18) 
1x
5x3x2
lim
4
2
x 


 Resposta: 2 
 
 
 14 
LIMITES LATERAIS 
 
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o 
comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a. 
 
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é 
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para 
a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. 
 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 
 
 Limite à esquerda: )(lim
 
xf
ax 
, teremos x < a logo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
 Limite à direita: )x(flim
ax 
, teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples 
calcular os limites laterais. 
 
Exemplos: 
1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: 
)(lim))(lim)
1 1 
xfbxfa
xx  
 
 
Solução: 
Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim
1 1 

 
xfexf
xx
 
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 
 
2) Seja a função: 









 2 x para ,x-9
2 xpara , 2
2x para, 1
)(
2
2x
xf Calcule: 
 )(lim (c)
 )(lim)(
)(lim)(
2 
2 
2 
xf
xfb
xfa
x
x
x





 
Solução: 
 Quando  2x significa x > 2 logo 
29)( xxf  assim 52-9 x-9lim
22
2

x
 
 Quando  2x significa x < 2 logo 1)(
2  xxf assim 512 1xlim 22
2 

x
 
 
Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim
2


xf
x
 
 
 15 
Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos 
que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais. 
 
Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição: 
 
 Quando )(lim
 
xf
ax 
 fazemos x = a + h 
 Quando )(lim
 
xf
ax 
 fazemos x = a – h 
 
Onde h é positivo e muito pequeno. 
 
3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das 
funções abaixo, nos pontos indicados: 
1 21)
2 )
1 12)
2
2



xemxxyc
xemxyb
xemxya
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo: 
  
15limd) 
7816
364
lim)
43lim b) 723lim)
2x
3
2
2
2x
3
2
2
1 




xx
xx
c
xxxxa
x
x
 
3
2
2
34
32
1
42
2
1
352
limh) 
)56(
)354(
limg)
 
92
16
limf) 
276
352
lim)
2
1










x
xx
t
tt
s
s
xx
xx
e
xt
sx
 









3 xsex +4
-3< xse 
9
sendo f(x)limj)
 2343lim)
2
3x
32
2
x
xxi
x
 


 
 2> xse2x -4
2 xse x
= f(x) sendo ),(lim)
3
2
xfk
x
 
 
2) Calcule os seguintes limites: 
   
3
8 7
02
lim) 2lim)
45lim) 32lim)
xdxc
xbxa
xx
xx




 
 
3) Calcule os limites: 
 
2
3x2
2
1
32x5
x-9- xlimd) 
344
62x
 lim)
x2
2x-5
 limb) 
1-x
23x
 lim)






xx
x
c
a
x
x
 
 
4) Considere a função definida por: 









1 1
1 4
1 3
)(
2 xsex
xse
xsex
xf , determine: 
 )(lim (c) )(lim )()(lim)(
1x1x1x
xfxfbxfa
 
 
 
 16 
5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem: 
 )(lim )()(lim )()(lim)(
111
xfiiixfiixfi
xxx  
 












1 xse x -3
1 xse 13
)()
1 xse 1x
1 xse 4
)()
2
x
xfb
x
xfa 









1 xse 2-x
1 xse 2
1 xse 
)()
2x
xfc 
 
RESPOSTAS: 
1) a)-13 b)  425  c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 3
4
5
 i) 6 j) 1 k ) não existe 
 
2) a) 1 b) 4 c)3 d)2 
 
3) a) 17/2 b) 1/64 c) 1 d)3 
 
4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)
111

 
xfxfxfa
xxx
 
 
5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)
111
xfxfxfa
xxx 


 
 2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)
111

 
xfxfxfb
xxx
 
 1)(limlogo1)(lim;1)(lim)
111

 
xfxfxfc
xxx
 
 
] 
REVISÃO DE LIMITES LATERAIS 
 
Em Símbolos: Limite pela direita: )x(flim
px 
 e Limite pela esquerda )x(flim
px 
 
Exemplo 1: 
Seja 






1 xse2x 
1 x se x
)x(f
2
 )x(flim e )x(flim
1x1x

 
 
11xlim 22.12xlim 22
1x1x

 
 
-5 0 5
-5
0
5
10
15
20
25
 
 
Definição: Dizemos que existe o limite de uma função quando os limites laterais forem iguais, isto 
é: 
)x(flim)x(flim
pxpx  
 
 
Exemplo 2 
Seja 












0 xse 1-
0 xse 1
x
x
 
0 xsex -
0 xse x
x 
x
x
)x(f 
 
)x(flim f(x)lim pois limite, existe não 11lim 11lim
0x0x0x0x  
 
 
 
 17 
 
Exemplo 3 
Seja 
1x
1
)x(f

 , calcule 
1x
1
lim
1x 
 
a) 
1x
1
lim
1x 
 
 
 
 
b) 
1x
1
lim
1x 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – LIMITES LATERAIS 
 
1) 72.34x3xlim 2
2x


 
 
2) 72.34x3xlim 2
2x


 
 
3) 
2x
x3
lim
2x
 
 
4) 
2x
x3
lim
2x 
 
 
5) x
1
0x
2lim

 
6) x
1
0x
2lim

 
7) 
x
1
0x
21
4
lim


 
8) 
x
1
0x
21
4
lim


 
9) 1x
1
1x
5lim 
 
 
 
10) 1x
1
1x
5lim 
 
 
 
11) 6x3lim
2x


 
 
12) 6x3lim
2x


 
 
 
Determine, caso exista. 
13) 










4 xse 210
4 x se 2
4 xse 10-3x
f(x) sendo )(lim
4
x
xf
x
 
 
14) 








3 xse 2
3 xse 1-4x
f(x) sendo )(lim
3-x
1
3
xf
x
 
 
15) 










2 xse x-5
2x1 se 3-2x
1 xse 5-x
f(x) sendo )(lim
 2
2
2
xf
x
 
 
16) Determine o valor de a para que exista 
2 x se 3
2 xse 
2
253
f(x) sendo )(lim
2
2
2











xax
x
xx
xf
x
 
 
 18 
 
Respostas 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
7 7 - + 0 + 4 0 0 + 
11 12 13 14 15 16 
não existe 0 2 não existe 1 a = - 4 
 
 
 19 
 
 
 20 
 
 
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
1º Fundamental: 1
sen
lim
0

 x
x
x
 
2º Fundamental: e
x
x
x








1
1lim 
3º Fundamental: b
x
bx
x
ln
1
lim
0



 
 
 
 
Conseqüências dos Fundamentais: 
a) 0
1cos
lim
0


 x
x
x
 
 
 23 
b) 1
1
lim
0


 x
ex
x
 
c) 1
)1ln(
lim
0


 z
z
z
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 
a) 
x
xsen
x
9
lim
0 
b) 
x
xsen
x 3
4
lim
0 
c) 
xsen
xsen
x 7
10
lim
0
 
d) 0,lim
0


b
bxsen
axsen
x
 
e) 
x
axtg
x 0
lim

 
Respostas: 1) a) 9 b) 4/3 c) 10/7d) a/b e) a 
 
 
2) 
 
 
 
Respostas 2) a) ln 2 b)5. lne = 5 c) 5/3 . ln2 d) 3
x
.ln2 
 
3) a) 

 x
x
x 3
16
lim
0
 b) 







x
x x2
1
1lim c) 

 x
ex
x 5
1
lim
0
 
 
 
Respostas 3) a) 1/3 . ln6 b) e
1/2
 c) 1/5. Lne d) e e) e
-6
 = 1/e
6
 f) e
1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
A Matemática tem sido a mais poderosa ferramenta para a conceitualização das leis que governam a 
Natureza. O Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de problemas: os relativos 
à derivação, que envolvem variação ou mudanças como, por exemplo, a extensão de uma epidemia, o 
comportamento econômico ou a propagação de poluentes na atmosfera, etc. Como os relativos a 
integração destacando-se o cálculo de áreas de regiões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e 
do trabalho realizado por uma partícula. 
 
 
DERIVADA 
 
A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos, ou seja, é a taxa 
de variação de uma função. 
 
E O QUE É TAXA DE VARIAÇÃO? 
 
É a medida de quanto uma determinada grandeza varia com relação à variável de referência. Veremos 
alguns exemplos para um curso de engenharia. 
 
1. Dimensionar trocadores de calor como radiadores, serpentinas de sistemas frigoríficos, etc: a 
variação de temperatura é proporcional à diferença de temperatura entre a fonte quente e a fonte fria, 
assim, você tem que escrever a função diferença de temperatura e derivar essa função para saber como 
a temperatura se comporta no tempo; 
 
2. Calcular a vazão de um fluido na saída de um reservatório: a velocidade de saída de um fluxo de 
fluido é proporcional à pressão estática do fluido. Você vai usar a derivada pra saber como a 
velocidade do fluxo de saída se comporta no tempo; 
 
3. Verificar se um automóvel, trem ou avião tem proteção suficiente para os passageiros no caso de 
uma batida ou freada brusca: você vai usar a derivada para calcular a maior variação da aceleração no 
tempo. Neste caso, se a aceleração estiver dentro dos limites especificados, mas a variação dela não, 
podem ocorrer danos à coluna vertebral dos passageiros (a derivada da aceleração é chamada de 'jerk', 
em inglês, que eu aqui livremente traduzo para 'puxão'); 
 
4. Resolver problemas de máximo e mínimo: funções quadráticas e de ordens superiores têm pontos de 
inflexão (uma parábola tem um ponto de inflexão que é máximo ou mínimo). Se você estiver tentando 
maximizar ou minimizar uma função, como por exemplo determinar qual a maior área cercada que 
você consegue construir com uma quantidade certa de cerca, você vai usar a derivada para encontrar 
esse valor. 
 
A ideia de variação de uma função esta relacionada com o seu comportamento (crescimento, 
decrescimento ou estabilidade) num determinado intervalo do seu domínio. 
 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1. Derivada de uma função constante. 
Se f (x) = c , c é uma constante real, então f ' (x) = 0 . 
 
2. Derivada da função potência. 
Se n é um inteiro positivo e f (x) = nx , então f ' (x) = n 1nx . 
 
 
 26 
Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) f (x) = x b) f (x) = x
2
 c) f (x) = x
5 
 
a) f (x) = x
1
 → f ' (x) = 1x
1−1 
= 1 . Logo f ' (x) = 1. 
b) f (x) = x
2
 → f ' (x) = 2x
2−1 
= 2x . Logo f ' (x) = 2x . 
c) f (x) = x
5
 → f ' (x) = 5x
5−1 
= 5x
4
 . Logo f ' (x) = 5x
4
. 
 
3. Derivada do produto de uma constante por uma função. 
Se f (x) é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g(x) = cf (x) tem derivada 
dada por g' (x) = cf ' (x). 
Exemplo: Se f (x) = 5x3 então f ' (x) = 5(3x2 )= 15x2 . 
 
4. Derivada de uma soma de funções. 
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)+ g(x) tem derivada dada por h' 
(x) = f ' (x)+ g' (x). 
Exemplo: Se f (x) = 4x3 + 3x2 − x + 5 então f ' (x) = 12x2 + 6 x − 1 . 
 
APLICAÇÕES 1 
 
1) Custo - O custo variável da fabricação de um componente elétrico é de R$ 7,75 a unidade e o 
custo fixo é R$ 500,00. Determine o custo C em função de x (nº de unidades produzidas). 
Mostre que a derivada desta função de custo C é uma constante e é igual ao custo variável. 
 
2) Cinemática - Nos itens abaixo, uma partícula se move ao longo de um eixo com equação 
horária dada. Encontre as expressões para a velocidade e a aceleração, descrevendo o 
movimento da partícula. 
a) 1282  tts b) 1492  tts c) 822  tts d) 152 2  tts 
e) 7103 2  tts f) 1249 23  ttts g) 7208 23  ttts h) 35 53 tts  
 
3) Modelagem de receita - Entre 1998 e 2005, a receita por ação R (em dólares) da McDonald´s 
Corporation pode ser modelada por: 
15844,8379,00598,0 2  tparattR 
em que t representa o ano e t = 8 corresponde a 1998. Qual a taxa de variação da receita por 
ação da McDonald´s em 2003? (Fonte: McDonald Corporation) 
 
 
- Taxa de Variação em Economia: Marginais 
 
Neste item veremos outra aplicação importante de taxa de variação aplicada ao campo da economia. A 
análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. 
Os economistas referem-se a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação 
do lucro, da receita e do custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas. A equação 
que relaciona essas três quantidades é: 
 
L = R – C 
 
 
 27 
em que L, R e C representam respectivamente o Lucro Total, Receita Total e Custo Total. As 
derivadas dessas quantidades são chamadas de Lucro Marginal, Receita Marginal e Custo 
Marginal. 

dx
dL
 lucro marginal, 
dx
dR
 receita marginal, 
dx
dC
custo marginal 
 
Exemplo1: 
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para fabricação de x 
refrigeradoresseja dado pela função custo total. 
 
 
a) Qual o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador? 
b) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a x quando x = 250. 
c) Compare os resultados obtidos nas partes (a) e (b). 
 
Solução 
a) O custo atual envolvido na produção do 251-ésimo refrigerador é igual à diferença entre os custos de 
produção de 251 e 250 refrigeradores: 
C(251) – C(250) = [8000 + 200.(251) – 0,2.(251) 2] - [8000 + 200.(250) – 0,2.(250) 2] 
C(251) – C(250) = 45.599,80 – 45.500 
C(251) – C(250) = 99,8 
ou seja de $ 99,80. 
 
b) A taxa de variação do custo total C com relação a x é dada pela derivada de C, isto é: 
 
C’(x) = 200 – 0,4x. 
 
Assim, quando a produção é de 250 refrigeradores, a taxa de variação do custo total com relação a x é dada 
por: 
C’(250) = 200 – 0,4.(250) 
C(250) = 100 
ou seja, de $ 100,00. 
O custo real envolvido na produção de uma unidade adicional de um certo bem por uma fábrica que já 
opera com um certo nível de produção é chamado de custo marginal. O valor deste custo é muito 
importante para a gerência e suas tomadas de decisões. Como vimos no Exemplo 1, o custo marginal é 
dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Por esta razão, 
os economistas definiram a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total 
correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida 
como sendo sua derivada C’. Assim, o adjetivo marginal é sinônimo de derivada de. 
 
 
Exemplo 2: O lucro proveniente da venda de x unidades de um despertador é dado por: 
 
xxL 100002,0 3  
 
a) Determine o lucro marginal para o nível de produção de 50 unidades. 
Resolução: como o lucro marginal é dado pela derivada 
dx
dL
, temos: 
 
 28 
 
unidadepor
xpara
x
dx
dL
50,11$
105,1
10500006,050
100006,0
2
2




 
 
 
APLICAÇÕES 2 
 
1) Medicamento – A eficácia E de um analgésico t horas após ter entrado na corrente sanguínea é 
dada por: 
  5,40,39
27
1 32  ttttE 
 
determine a taxa de variação de E para t = 3. 
 
2) Custo Marginal – Determine o custo marginal na produção de x unidades: 
a) xC 47,14500 b) xC 9800205000 c) 
225,047055000 xxC  
d) )39(100 xC  
 
3) Receita Marginal – Determine a receita marginal na produção de x unidades: 
a) 25,050 xxR  b) 230 xxR  c) xxxR 20086 23  d) )20(50 2
3
xxR  
 
4) Lucro Marginal - Determine o lucro marginal na produção de x unidades: 
a) 145722 2  xxL b) 125000200025,0 2  xxL 
c) 100025,164305,0 23  xxxL 
 
5) Crescimento Populacional – A população P (em milhares) do Japão pode ser modelada por 
 
1172165,7857,14 2  ttP 
 
 em que t é o tempo em anos, e t = 0 corresponde a 1980. (Fonte: U.S. Census Bureau). 
a) Determine a taxa de crescimento populacional. 
b) Calculo essa taxa de crescimento para os valores 10, 15 e 20. 
 
6) Saúde – A temperatura T (em graus Fahrenheit) de um doente pode ser modelada pela equação 
4,1003,00375,0 2  ttT 
em que t é o tempo em horas decorrido desde o momento em que a pessoa começou a apresentar 
sinais de febre. Determine dT/dt e explique seu significado. 
 
7) Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V galões de óleo no tanque t 
minutos após o início da drenagem, onde  2t7560V  . Calcule a taxa em que o óleo está fluindo 
para fora do tanque 30 minutos após o início da drenagem 
 
8) Um objeto se move ao longo de uma linha reta com deslocamento s(t) = t3 – 3t2 + 4t. Encontre a 
aceleração do objeto no instante t. 
 
 
 
 
 29 
5. Derivada de um produto de funções. 
Se f (x) e g(x) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)⋅ g(x) tem derivada dada por h' 
(x) = f ' (x)⋅ g(x)+ f (x)⋅ g' (x). 
 
Exemplo: 
Se f (x) = (x3 − x)(2 − x) então f ' (x) = (3x2 − 1)(2 − x)+ (x3 − x)(0 − 1) = −4x3 + 6 x2 + 2x − 2 . 
 
6. Derivada de um quociente de funções. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
2. Calcule as derivadas: 
 
a) y = 4x
2
 – 2x b) c) d) 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
3. Enunciado Respostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES 3 
 
1) Meio Ambiente - O modelo 
1
1
)(
2
2



t
tt
tf mede o nível de oxigênio em um lago, em que t é 
o tempo decorrido (em semanas) após os resíduos orgânicos terem sido despejados no lago. 
Determine a taxa de variação de f em relação a t quando: (a) t = 0,5, (b) t = 3 e (c) t = 8. 
 
2) Física – A temperatura T (em graus Fahrenheit) de alimentos colocados em um refrigerador é 
modelada por: 











104
75164
10
2
2
tt
tt
T 
 
em que t é o tempo (em horas). Qual é a temperatura inicial dos alimentos? Determine a taxa de 
variação de T em relação a t quando: (a) t = 1, (b) t = 3. 
 
3) Controle de qualidade – A porcentagem P de peças defeituosas produzidas por um 
funcionário novo t dias após ele ter começado a trabalhar pode ser modelada por 
 
 250
1750



t
t
P 
 
 
 31 
Determine as taxas de variação de P quando: (a) t = 1 e (b) t = 10. 
 
4) Física - Um forno industrial coze à temperatura constante de 608 graus centígrados. A 
temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de cozedura, é 
dada por: 
 
a) Qual a temperatura inicial do forno? 
b) Calcule a variação instantânea da temperatura para t 10. 
 
 5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS DAS APLICAÇÕES 1 
 
1) C´(x) = 7,75 é uma constante e é igual ao valor do custo variável . 
 
2) a) 82)´(  tts b) 92)´(  tts c) 22)´(  tts d) 14)´(  tts e) 
106)´(  tts f) 2493)´(
2  ttts g) 2083)´(
2  ttts h) 
24 1515)´( ttts  
 
 3) 1758,1:,13379,01196,0)(  RtemostparattR 
 
 
 
7 – Regra da Cadeia 
 
Esta regra é utilizada em funções compostas, ou seja, quando temos uma f(g(x)). Sempre que 
identificarmos uma função composta efetuaremos a derivada desta pela regra da cadeia. Definição: 
Se a f(x) for uma função composta definida por F(x) = f(g(x)), então F´é dada pelo produto: F´(x) 
f ´(g(x)) g´(x). 
 
 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
 
 
 
 
 34 
 
 
 35 
 
 36 
 
 37 
 
 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
 
 
 
 
 
 40 
 
 41 
 
 
 
 42 
 
 
 
 
 43 
 
 
 44 
 
 
 
 45 
 
 
 
 
 46 
 
 
 47 
 
 
 
 48 
 
 
 49 
 
 50 
 
 51 
 
 
 
 
 
 52 
 
 
 53 
 
 
 54 
 
 
 
 55