Geometria das Cônicas

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Secções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções Cônicas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Ana Paula Pedroso
Secções Cônicas
Elipse
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só
uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se
elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que
1F 2F
( ) ( )1 2, ,d P F d P F+ é constante.
ANIMAÇÕES
ou
Fazendo o esboço com um lápis...
Verificando a soma...
Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva
simétrica em relação à reta e também à mediatriz do
segmento conforme mostra a figura.
1 2 ,FF
1 2 ,FF
O
.
2F
.
1F
.
Mediatriz de 1 2FF
P
.
P′′
.
P′
.
Equações de Elipses na posição-padrão
..
a a
cc
b
b
..
2 2b c+
b
cc
.
P
.
Q
2 2b c+
( )a c−
( )a c− 2 2 2 2b c b c+ + ++ ( )a c+ =
2a = 2 22 b c+
a = 2 2b c+
( )1,dist F Q a=
( )2 ,dist F Q a=



( ) ( )1 2, , 2dist F Q dist F Q a+ =
2 2 2a b c= +
( )1 ,0F c= −
.
( )1,d F P =
( ) ( )1 2, , constantedist P F dist P F+ =
y
x
( ),P x y=.
( )2 ,0F c=
.
( ) ( )1 2, , 2dist P F dist P F a+ =
( )2 2x c y+ +
( )2 ,d F P = ( )2 2x c y− +
sabemos que
⇒ ( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + + − + =
2 2
   
   
   
( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + + − + =
( )22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y+ + = − − + + − +
2 2
   
   
   
( )2 2 2 22 ( )x c y a x c y+ + = − − +
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c+ + = − − + + − +
2 2 2( )a x c y a xc− + = −
( )( ) 222 2 4 2 22a x c y a a xc x c− + = − +
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a xc a c a y a a xc x c− + + = − +
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c− + = −
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c− + = −
2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =
2 2 2 2 2 2a b a b a b
+ =
2 2 2 2 2 2b x a y a b
lembrando que resulta2 2 2 ,a b c= +
2 2
2 2 1
x y
a b
+ =
com focos em
centro
,Ox
( )0,0 . e b a<
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c− + = −
ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃO
y
x
y
x( ),0c
.
( ),0c−
.
aa−
b
b−
( ),0c
.
( ),0c−
.
a
a−
bb−
2 2
2 2 1
x y
a b
+ =
2 2
2 2 1
y x
a b
+ =
Uma técnica para esboçar elipses
Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso
pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na
equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo
maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e
está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os
denominadores forem iguais, a elipse é um círculo.
Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a
unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior,
e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo
menor.
Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu
centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados
interseccionam os eixos coordenados.
Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses.
2 2
1
9 16
x y
+ =(a) 2 22 4x y+ =(b)
Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos
e o eixo maior com extremos( )0, 2± ( )0, 4 .±
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta
ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se
hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que
1F 2F
( ) ( )1 2, ,d P F d P F− é constante.
P
Hipérbole
Equações da hipérbole na posição-padrão
• •
c c
a a1F 2F
• •
1F 2F
a
c
Do triângulo retângulo obtido no
esquema ao lado, chamaremos
de b o cateto ainda indefinido e
escreveremos que
2 2 2b c a= −
b
2 2b c a= −
⇓
2 2c a b= +
• •
a a
•
c a− c a−
Pela definição de hipérbole
( ) ( )1 2, , constante:dist P F dist P F− =
( ) ( )1 2, , 2dist P F dist P F a− =
para ( ) ( )1 2, ,dist P F dist P F>
P•
•
V
−( ) 2c a a − +  ( )c a− = 2a
daí
• •
a a
•
( ),P x y=•
•
V
( ),0c( ),0c−
( ) ( )1 2, , 2 ,dist P F dist P F a− =
sabemos que
então vale que
( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + − − + =
2 2
   
   
   
( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + − − + =
( )22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y+ + = + − + + − +
2 2
   
   
   
( )2 2 2 22 ( )x c y a x c y+ + = + − +
22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c+ + = + − + + − +
2 2 2( )a x c y xc a− + = −
22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2a x a xc a c a y x c a xc a− + + = − +
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c− + = −
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c− + = −
2 2 2 2 2 2b x a y a b− + = −
2 2 2 2 2 2a b a b a b− − −
+ =
2 2 2 2 2 2b x a y a b− −
lembrando que resulta2 2 2 ,c a b= +
2 2
2 2 1
x y
a b
− =
( ) ( )2 2 2 2 2 2b x a y a b− + = −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c− + = −
y
x
.
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
( )0,c
( )0, c−
a
a−
bb−
2 2
2 2 1
x y
a b
− =
2 2
2 2 1
y x
a b
− =
aa−
b
b−
.( ),0c− ( ),0c
y
x
.
.
by x
a
=
by x
a
= −
ay x
b
=
ay x
b
= −
..
.
.
Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .
Determine os valores e e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o
gráfico da hipérbole.
x y
a b
Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
2 2
1
4 16
x y
− =(a)
2 2 1y x− =(b)
Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
e assíntotas( )0, 8± 4 .
3
y x= ±
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica 
é uma parábola.
Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um
plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano
que equidistam do ponto e da reta Ou seja,
dF
( ) ( ), ,dist P F dist P D=
F .d
Parábola
⋅
Equações de parábolas na posição-padrão
Diretriz
Eixo de Simetria
. .
p p
2p
2p
y
x
y
x
.
( ),0p
x p= − x p= −
.
( ),0p−
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO
Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox
.
2 4y px= 2 4y px= −
.
y
x
y
x
.
( )0, p
y p= −
y p=
.
( )0, p−
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO
Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy
.
2 4x py= 2 4y px= −
.
y
x
.
( ),0F p=
.
( ),D p y= −
( ),P x y=.
Pela definição de parábola,
sabemos que
( ) ( )dist PF dist PD=
PF = PD
dito de outra forma
( ) ( )2 22x p y x p− + = +
( )2 2PF x p y= − +
( )2PD x p= +
considerando que
( ) ( )2 22x p y x p− + = +
2 2
   
   
   
( ) ( )2 22x p y x p− + = +
2 2 22x xp p y− + + = 2 22x xp p+ +
22 2xp y xp− + = +
2 4y px=
Uma técnica para esboçar parábolas
Determine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y.
O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um
termo y2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2.
Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de
simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à
direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à
esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de
simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para
cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo
se forem negativos.
Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p
unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na
qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do
eixo de simetria.
Usando a caixa como guia, esboce a parábolade forma que seu
vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.
Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas.
e mostre o foco e a diretriz de cada um.
2 12x y=(a) 2 8 0y x+ =(b)
Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é
simétrica em relação ao eixo , tem vértice na origem e passa
no ponto .
y
( )5,2
CÔNICAS TRANSLADADAS
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo
( ) ( )2 4y k p x h− = −
( ) ( )2 4y k p x h− = − −
( ),h k x
[aberta à direita]
[aberta à esquerda]
Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo
( ) ( )2 4x k p y h− = −
( ) ( )2 4x k p y h− = − −
( ),h k y
[aberta para cima]
[aberta para baixo]
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo( ),h k x
( ) ( )2 2
2 2 1
x h y k
a b
− −
+ = [ ]b a≤
Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo( ),h k y
( ) ( )2 2
2 2 1
x h y k
b a
− −
+ = [ ]b a≤
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo( ),h k x
( ) ( )2 2
2 2 1
x h y k
a b
− −
− =
Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo( ),h k y
( ) ( )2 2
2 2 1
y k x h
a b
− −
− =
Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que
tenha seu vértice em e o foco em .( )1,2 ( )4,2
Exemplo 8: Determine o gráfico da equação
2 8 6 23 0y x y− − − =
Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação
2 216 9 64 54 1 0x y x y+ − − + =
Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação
2 2 4 8 21 0x y x y− − + − =
CÔNICAS ROTACIONADAS
Uma equação da forma
É chamada de uma equação de segundo grau em e . O
termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o
termo misto estiver ausente da equação , então a
equação se reduz a e, neste
caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente
degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada.
Pode ser provado que se o termo misto estiver presente ,
então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada)
rodada de sua orientação-padrão.
2 2 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =
x y
bxy
0b =
2 2 0ax cy dx ey f+ + + + =
PROPRIEDADES DA REFLEXÃO
DAS
SEÇÕES CÔNICAS
TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta
tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais
com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e
com a reta que passa por e o foco.
P
P
P
•
P
α
α
Eixo de 
simetria
Reta tangente em P
Foco
•
..
.P
Reta tangente em P
α
α
TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta
tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com
as retas que unem aos focos.P
P
TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma
reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais
com as retas que unem P aos focos.
α
..
α
Reta tangente em P
P
.
ANIMAÇÕES
Propriedade de Reflexão da Elipse 
Propriedade de Reflexão da Hipérbole
Propriedade de Reflexão da Parábola