APOSTILA GAAL-C2

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1 
 
 
→ geratriz 
 
 
 
ESTUDO DAS 
CÔNICAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Nesse capítulo vamos estudar as cônicas: parábola, elipse e hipérbole, as 
quais tem grande aplicação na Física. 
Uma secção cônica ou, simplesmente, uma cônica é uma curva obtida 
cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, 
chamado de plano secante. 
Dependendo do corte no cone, as intersecções podem ser: círculo, parábola, 
hipérbole e elipse. Veja as figuras abaixo: 
 
Círculo Elipse Parábola Hipérbole 
 
 
 
Quando se toma um cone duplo e se faz um corte através de um plano 
paralelo à base desse cone, a figura resultante é o que chamamos de circunferência. 
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz, e corta só uma das duas folhas do 
cone, a cônica é uma elipse. Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a 
cônica é uma parábola. Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta 
ambas folhas do cone, a cônica é uma hipérbole. 
 
OBS.: No caso de um plano que passa pelo vértice do cone obtemos, como é fácil 
visualizar, um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes. Estas são chamadas 
cônicas degeneradas. 
Capítulo 
22 
2 
 
 
 
 
2.1 – DEFINIÇÃO DAS CÔNICAS COMO LUGAR 
GEOMÉTRICO1 
Estudaremos as secções cônicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos 
definições que se referem somente ao plano no qual está a curva e que dependem de 
pontos especiais desse plano, chamados focos da curva. 
• Parábola: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distância d1 de 
P a um ponto fixo F , chamado foco da parábola, é igual à distância d2 de 
P a uma reta fixa D , chamada diretriz da parábola. 
 
 
 
 
 
 
d1 = d2 
 
 
 
• Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que é constante a soma 
d1 + d2 das distâncias d1 e d2 , respectivamente, de P a dois pontos fixos F1 
e F2 , chamados focos da elipse. 
 
 
 
 
 
 
d1 + d2 = constante 
 
• Hipérbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que é constante o 
módulo da diferença d1 − d2 das distâncias d1 e d2 , respectivamente, de P 
a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos da hipérbole. 
 
 
P 
d1 d2 
F1 F2 
d1 − d2 
 
= constante 
 
 
 
1 Lugar Geométrico (L.G.) é uma região do plano ou uma geometria em que todos os pontos 
obedecem a uma lei ou propriedade. 
P 
d1 d2 
F1 F2 
D d2 P 
d1 
F 
3 
 
 
 
 
2.2 – EQUAÇÃO CANÔNICA DAS CÔNICAS 
 
A fim de determinar mais facilmente as equações cônicas, escolhemos 
inicialmente, para a elipse e a hipérbole, um sistema de coordenadas tal que os 
focos estejam no eixo x . Para a parábola escolhemos um sistema tal que o foco 
esteja no eixo x e a origem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos as 
equações a seguir, chamadas equações cônicas. 
 
 
2.2.1 – PARÁBOLA 
 
Parábola é o nome dado ao Lugar Geométrico dos pontos de um plano 
equidistantes de um ponto fixo F , chamado foco, e de uma reta fixa d do plano. 
Para obtermos a equação da parábola, devemos considerar dois casos: 
 
1º caso: Fixamos um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice V 
da parábola e com o eixo de simetria contido no eixo x . 
 
d y 
D1 (− p, y) P (x, y) 
V F (p, 0)x 
0 
D(− p, 0) − p p 
 
Foco: F (p, 0) 
Vértice: V (0, 0) 
Diretriz: D : x = − p 
 
Determinada pelo seu foco 
parábola tem a seguinte equação: 
F (p, 0) e por sua diretriz D : x = − p , uma 
d (F, P) = d (D1, P) 
= (x + p)2 + (y − y)2 
(x − p)2 + y2 = (x + p)2 
x2 − 2 px + p2 + y2 = x2 + 2 px + p2 
y2 = 2 px + 2 px 
 
(forma padrão da equação da parábola de 
foco F (p, 0) e diretriz x = − p ) 
(x − p)2 + (y − 0)2 
y2 = 4 px 
 
4 
 
 
2º caso: Fixamos um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice V 
da parábola e com o eixo de simetria contido no eixo y . 
 
y 
 
F (0, p) 
p P (x, y) 
O x 
V 
− p 
d 
D(0, − p) D1 (x, − p) 
 
Foco: F (0, p) 
Vértice: V (0, 0) 
Diretriz: D : y = − p 
Logo: d (F, P) = d (D1, P) 
= (x − x)2 + (y + p)2 
x2 + (y − p)2 = (y + p)2 
x2 + y2 − 2 py + p2 = y2 + 2 py + p2 
x2 = 2 py + 2 py 
(forma padrão da equação da parábola de 
foco F (0, p) e diretriz y = − p ) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Uma parábola tem o foco F na intersecção das retas 
na origem dos eixos coordenados. 
a) Determinar a equação da diretriz dessa parábola; 
b) determinar a equação dessa parábola. 
 
Solução: 
 
y = 0 e 
 
x = 8 
 
e o vértice 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Diretriz: 
x = −8 . 
• Equação da parábola: 
y2 = 4 px  
 
y2 = 48 x  
 
y2 − 32x = 0 
(x − 0)2 + (y − p)2 
d y 
(− 8, 0) V F (8, 0) 
p = 8 
x 
x2 = 4 py 
5 
 
 
 
2 
 
 
2
 
4 
e  
 
−  
02. Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos de 
coordenadas, e o eixo de simetria é o eixo y e passa pelo ponto P (− 3, 7). 
• Se o eixo de simetria é o eixo y , temos: 
x2 = 4 py  (− 3)2 = 4 p(7)  28 p = 9  p = 
9 
. 
28 
• Transportando o valor de p para a forma padrão: 
x2 = 4 py  x2 = 4  
9 
 y  
28 
x2 = 
9 
y 
7 
 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d , nos seguintes casos: 
a) F (1, 0) e D : x = −1 
b) F (0, 3) e D : y = −3 
c) F (− 4, 0) e D : x − 4 = 0 
d) F 
 
0, 
 
− 
3  
e
 
 
D : y − 
3 
= 0 
2 
 
2. Determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz das seguintes 
parábolas: 
a) y2 − 6x = 0 
b) y2 + 20x = 0 
c) x2 − 4 y = 0 
d) x2 + y = 0 
 
3. Numa parábola, o vértice é o ponto (0, 0) e o eixo de simetria é o eixo x . 
Determine a equação da parábola, sabendo que ela passa pelo ponto P (3, − 6). 
 
4. Determine a equação da parábola cujo vértice é o ponto V (0, 0) e o eixo de 
simetria é o eixo y , sabendo que ela passa pelo ponto P(− 2, 4). 
 
5. Determine os pontos de intersecção da parábola, de equação x2 − 4 y = 0 , com a 
reta de equação y − 9 = 0 . 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. a) y 2 − 4x = 0 b) x2 −12 y = 0 c) y 2 +16x = 0 d) x2 + 6 y = 0 
2. a) F 
 3 
, 
 
 (d ): x + 
3 
= 0 
 2 
b) F (− 5, 0) e (d ): x − 5 = 0 c) F (0, 1) e (d ): y = −1 
d) F  0, 
1 
 
  
e (d ) : y = 
1
 
4 
3. y 2 −12x = 0 
4. x2 − y = 0 
5. (6, 9) e (− 6, 9) 
0 
6 
 
 
(x + c)2 + y2 
− 2cx + c2 + y 
(x + c)2 + y2 
(x + c)2 + y2 
  
 
 
2.2.2 – ELIPSE 
A elipse é o nome dado ao Lugar Geométrico dos pontos do plano, tais que 
a soma das distâncias de qualquer ponto desse conjunto a dois pontos fixos, 
chamados focos, é constante e igual a 2a . Para achar a equação de uma elipse, 
vamos introduzir sistemas convenientes de coordenadas para estudar analiticamente 
uma elipse. 
 
1º caso: A origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior 
está no eixo x . 
y 
M1 (0, + b) 
P (x, y) 
 
V2 (− a, 0) 0 V1 (+ a, 0) 
F2 (− c, 0) F1 (+ c, 0) x 
 
M 2 (0, − b) 
Focos: F1 (+ c, 0), F2 (− c, 0) 
Vértices: V1 (+ a, 0), V2 (− a, 0) 
M1 (0, + b), M 2 (0, − b) 
Centro: C (0, 0) 
 
 
Semieixo maior: V1V2 = 2a 
 
 
Semieixo menor: M1M 2 = 2b 
 
Relação fundamental: 
a2 = b2 + c2 
 
Considere a elipse da figura ao lado. 
d (P, F1 )+ d (P, F2 ) = 2a 
+ 
 
= 2a 
= 2a − 
2 2 
 (x − c)2 + y2  =  2a −  
  
elevandoambosos menbrosao quadrado 
(x − c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 
x2 2 = 4a2 − 4a 
4a = 4a2 + 4cx 
a (x + c)2 + y2 = a2 + cx 
+ x2 + 2cx + c2 + y2 

simplificandoa equação 
 a 
2 
= (a2 + cx)2 
 
elevandoambosos menbrosaoquadrado 
a2 (x + c)2 + y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
(x − c)2 + (y − 0)2 (x + c)2 + (y − 0)2 
(x − c)2 + y2 (x + c)2 + y2 
(x + c)2 + y2 
 
7 
 
 
a2x2 + 2cx + c2 + y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2 y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
a2x2 −c2x2 + a2 y2 = a4 − a2c2 
x2 (a2 − c2 )+ a2 y2 = a2 (a2 − c2 ) → como a2 = b2 + c2  a2 − c2 = b2 
b2x2 + a2 y2 = a2b2 (b  0, a  0) 
b2 x2 
+ 
a2 y2 
= 
a2b2 
 
a2b2 a2b2 a2b2 
dividindoambosos menbrospora2b2 
 
x2 
+ 
y2 
=
 
a2 b2 
1 
(Equação reduzida da elipse com foco 
no eixo x e centro na origem) 
 
 
 
 
2º caso: A origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior 
está no eixo y . 
 
 
y 
V1 
F1 
 
 
M 2 M1 
0 x 
 
F2 P (x, y) 
V2 
Focos: F1 (0, + c), F2 (0, − c) 
Vértices: V1 (0, + a), V2 (0, − a) 
M1 (+ b, 0), M 2 (− b, 0) 
Centro: C (0, 0) 
 
 
Semieixo maior: V1V2 = 2a 
 
 
Semieixo menor: M1M 2 = 2b 
Pela elipse da figura acima, temos: 
d (P, F1 )+ d (P, F2 ) = 2a 
+ 
 
 
= 2a 
 
Desenvolvendo algebricamente como no caso anterior, obtemos a equação: 
 
x2 
+ 
y 2 
=
 
b2 a2 
1 
(Equação reduzida da elipse com foco 
no eixo y e centro na origem) 
(x − 0)2 + (y − c)2 (x − 0)2 + (y + c)2 
 
8 
 
 
3c2 
EXCENTRICIDADE DA ELIPSE 
Denomina-se excentricidade da uma elipse o quociente entre sua 
semidistância focal e o semieixo maior. 
 
 
y 
M1 
 
 
c 
V
2 
0  V1 
x
 
a 
F2 F1 
 
 
M 2 
e = 
c
 
a 
 
Como c  a , temos: 
0  e 1 
 
 
A excentricidade de 
uma elipse mede seu maior 
ou menor achatamento. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Encontrar a equação de uma elipse que está centrada na origem, com eixo focal 
coincidente com o eixo Ox , de excentricidade 0,5 e que passa pelo ponto (10, 0). 
• Como a excentricidade é 0,5 : 
1 
= 
c  a = 2c 
2 a 
• Pela relação fundamental obtemos c : 
(2c)2 = b2 + c2 
b2 = 4c2 − c2 
b2 = 3c2 
b = = c 
• Coordenadas do centro e do ponto da elipse: 
C (0, 0) 
P (10, 0) 
• Cálculo da semidistância focal: x2 
+ 
y2 
=  
 
 
102 
+ 
02 
=
 
 
a2 b2 (2c)2 
102 
+
 
4c2 
(c 
02 
3c
2 
3)2 
1
 
= 1 
100 = 4c 2 
c 
2 
= 
100 
4 
c = 25 = 5 
1 
3 
9 
 
 
2 
1 
2 
1 
• Equação da elipse: 
x2 
+ 
y2 
=
 
 
 
 
x2 y 2 
a
2 
b
2 
1  (2c)2 
+ 
(c 3)2 
= 1 
x2 
(2 5)2 
+ 
(5 
2 
3)2 
= 1 
x2 
 
 
100 
+ 
y 2 
= 
75 
 
02. Determinar a equação da elipse de focos 
comprimento de eixo menor é 2 . 
F1 (0, − 3) e F2 (0, + 3), sabendo-se que o 
Como os focos estão no eixo y , a forma padrão da equação é: 
 
• De acordo com os dados do problema, temos: 
c = 3 
x 
+ 
y 2 
b2 a2 
= 1. 
2b = 2  b =1 
• Da relação fundamental obtemos a 2 : 
a2 = b2 + c2 
a2 = 12 + 32 
a2 = 10 
• Equação da elipse: 
x2 
+ 
y2 
=  
 
x 
+ 
y 2 
=
 
 
b2 a2 1 10 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Numa elipse o eixo maior está contido no eixo x e seu comprimento é 16. 
Sabendo-se que a distância entre os focos é 10, determinar a equação da elipse. 
2. Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices, e a excentricidade da elipse 
de equação: 4x2 + 25y2 =100 . 
3. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0, + 6) e V2 (0, − 6) e passa pelo 
ponto P (3, 2). 
 
4. Determinar a excentricidade da elipse de equação x2 + 5y2 = 20 . 
5. Determinar a equação da elipse de focos 
comprimento do eixo maior é 8 . 
F1 (3, 0) e F2 (− 3, 0) sabendo que o 
6. Determinar as medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação 
x2 
 
 
144 
+ 
y 2 
= . 
81 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. x 
2 
+ 
y 2 
=
 
64 39 
y 
1 
1 
1 
10 
 
 
2. F1 ( 21, 0) , F2 (− 21, 0) , V1 (5, 0) , V2 (− 5, 0) , e =
 21 
5 
3. 8x 
2 
+ 
y 2 
=
 
81 
4. e = 
5. x 
2 
+ 
y 2 
=
 1 
16 7 
6. 24 e 18 
 
 
2.2.3 – HIPÉRBOLE 
 
A Hipérbole é o nome dado ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano, 
tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos, 
do plano é uma constante positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos. 
 
ELEMENTOS: 
 
 
y 
M1 (0, + b) 
b c 
V2 (− a, 0) V1 (+ a, 0) x 
F2 0 a F1 
 
M 2 (0, − b) 
Focos: F1 (+ c, 0), F2 (− c, 0) 
Vértices: V1 (+ a, 0), V2 (− a, 0) 
Centro: C (0, 0) 
 
 
Eixo real: V1V2 = 2a 
 
 
Eixo imaginário: M1M 2 = 2b 
Excentricidade: e = 
c 
(e  1) 
a 
Relação fundamental: 
c2 = a2 + b2 
EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE: 
1ºcaso: Consideremos a hipérbole na qual os focos pertencem ao eixo das abscissas 
 
y 
P (x, y) 
V2 (− a, 0) V1 (+ a, 0)x 
F2 (− c, 0) 0 F1 (+ c, 0) 
e a origem do sistema de 
coordenadas é o ponto 
médio do segmento cujas 
extremidades são os focos. 
36 
2 5 
5 
1 
11 
 
 
(x + c)2 + y2 
(x + c)2 + y2 
− 2cx + c2 + y 
(x + c)2 + y2 
(x + c)2 + y 2 
  
O ponto P (x, y) pertence à hipérbole se, e somente se: 
d (P, 
− 
= 2a + 
2 
F1 )− d (P, F2 ) = 2a 
= 2a 
 
2 
 (x − c)2 + y2  =  2a +  
   
elevandoambosos menbrosaoquadrado 
(x − c)2 + y2 = 4a2 + 4a + (x + c)2 + y2 
x2 2 = 4a2 + 4a 
4a = −4a2 − 4cx 
a (x + c)2 + y2 = −a2 − cx 
+ x2 + 2cx + c2 + y2 

simplificandoa equação 
 a 
2 
= (− a2 − cx)2 

elevando ambos os menbrosao quadrado 
a2 (x + c)2 + y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
a2x2 + 2cx + c2 + y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2 y2 = a4 + 2a2cx + c2x2 
a2x2 − c2x2 + a2 y2 = a4 − a2c2 
c2 x2 − a2 x2 − a2 y2 = a2c2 − a4 
x2 (x2 − a2 )− a2 y2 = a2 (c2 − a2 ) → como c2 = a2 + b2  c2 − a2 = b2 
b2 x2 − a2 y2 = a2b2 (b  0, a  0) 
b2 x2 
+ 
a2 y2 
= 
a2b2 
 
a2b2 a2b2 a2b2 
dividindoambosos menbrospora2b2 
 
x2 
− 
y 2 
=
 
a2 b2 
1 
(Equação reduzida da hipérbole com 
foco no eixo x e centro na origem) 
2ºcaso: Caso os focos da hipérbole pertençam ao eixo das ordenadas, a forma 
 
y 
F1 (0, c) 
P (x, y) 
V1 (0, a)x 
V2 (0, − a) 
F2 (0, − c) 
padrão da equação da hipérbole será: 
 
y 2 
− 
x2 
=
 
2 
1 
a2 b 
 
(Equação reduzida da hipérbole 
com foco no eixo y e centro na 
origem) 
(x − c)2 + (y − 0)2 (x + c)2 + (y − 0)2 
(x − c)2 + y2 (x + c)2 + y2 
(x + c)2 + y2 
12 
 
 
16 
 
 
1 
2 
ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE: 
Observando a hipérbole da figura ao lado, temos um retângulo ABCD cujos 
lados medem 2a e 2b . 
 
r1 y r2 
M1 
V2 (− a, 0) V1 (+ a, 0) 
F1 F2 x 
 
M 2 
As retas r1 e r2 que 
contém as diagonais desse 
retângulo, são chamadas 
assíntotas da hipérbole: 
 
y = − 
b 
x e y = 
b 
x 
a a 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Determinar a equação da hipérbole de focos 
 
F1 (5, 
 
0) e 
 
F2 (− 5, 
 
0) e de vértices 
V1 (3, 0) e V2 (− 3, 0). 
• Pelos dados do problema, temos: 
a = 3 
. 
c = 5 
• Da relação fundamental obtemos b : 
c2 = a2 + b2  52 = 32 + b2 
b = 
b = = 4 
• Como os focos pertencem ao eixo das abscissas, temos: 
x2 
− 
y2 
=  
 
x 
− 
y 2 
=
 
 
a2 b2 9 16 
02. Determinar a equação da hipérbole de focos 
que o comprimento do eixo real é 6 unidades. 
• Pelos dados do problema, temos: 
c = 4
 
F1 (0, 4) e F2 (0, − 4), sabendo-se 
2a = 6  
• Pela relação fundamental obtemos c : 
a = 3 
c2 = a2 + b2  42 = 32 + b2 
b2 = 16 − 9 
b2 = 7 
• Como os focos pertencem ao eixo das ordenadas, a forma padrão é: y2 
+ 
x2 
=  
 
 
y 2 
+ 
x2 
=
 
 
a2 b2 
1 
9 7 
1
 
52 − 32 
1 
 
13 
 
 
3 
1 1 
 
 
PRATICANDO: 
1. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (0, 6) e F2 (0, − 6), sabendo que o 
eixo imaginário tem 8 unidades de comprimento. 
2. Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 12. 
Determine a equação da hipérbole, sabendo que os focos pertencem ao eixo das 
abscissas. 
3. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (0, 4) e F2 (0, − 4) e de vértices 
V1 (0, 1) e V2 (0, −1). 
4. Os focos de uma hipérbole são F1 (4, 0) e F2 (− 4, 0), e o eixo imaginário tem 
2 unidades de comprimento. Determine a equação da hipérbole. 
 
5. Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginárioe da distância focal da 
hipérbole de equação 9x2 −16y2 = 144 . 
 
6. Determinar a excentricidade e a equação das assíntotas da hipérbole de equação 
4x2 − y2 =16 . 
 
7. Determine a equação da hipérbole de focos 
excentricidade e = 
5 
. 
3 
F1 (5, 0) e F2 (− 5, 0) e de 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. y 
2
 − 
x 
2 
= 2. x 
2 
− 
y 2 
=
 
 
 
3. y 2 − 
x 
2 
= 
20 16 36 28 15 
4. x 
2 
− 
y 2 
=
 
 
13 3 
 
 
5. V1V2 = 8 , 
 
 
M1M 2 = 6 , 
 
 
F1 F2 = 10 
6. e = 5 , y = 2x , y = −2x 
7. x 
2 
− 
y 2 
=
 
 
9 16 
 
 
 
2.3 – EQUAÇÃO CANÔNICA DAS CÔNICAS COM 
CENTRO GENÉRICO (h, k) 
 
 
As equações canônicas das cônicas descritas anteriormente têm todas focos 
no eixo x ou y e, centro ou vértice em (0, 0). Analisamos agora o caso em que o 
centro ou o vértice é um ponto (h, k ) qualquer do plano e os focos estão na reta 
y = k paralela ao eixo x , ou na reta x = h paralela ao eixo y . 
1 
1 
1 
 
14 
 
 
y 
P (x, y) 
eixo de simetria 
F (1, 4) 
V (h, k ) 
O x 
d 
• As equações com um centro genérico em (h, k ) e focos na reta y = k são: 
 
 
Parábola: (x − h)2 = 4 p (y − k ) 
Foco: F (h, k + p) 
Diretriz: D : y = k − p 
 
Elipse: 
(x − h)2 (y − k )2 
+ = 1 
b2 a2 
Focos: F1 (h, k + c) , F2 (h, k − c) 
Vértices: V1 (h, k + a) , V2 (h, k − a) 
M1 (h + b, k ), M 2 (h − b, k ) 
 
Hipérbole: 
(y − k )2 (x − h)2 
− = 1 
a2 b2 
Focos: F1 (h, k + c) , F2 (h, k − c) 
Vértices: V1 (h, k + a) , V2 (h, k − a) 
 
• As equações respectivas com centro ou vértice genérico em (h, k ), mas 
focos na reta x = h , são obtidas trocando x − h por y − k nas equações acima: 
 
 
Parábola: (y − k )
2 
= 4 p (x − h) 
Foco: F (h + p, k ) 
Diretriz: D : x = h − p 
 
Elipse: 
(x − h)2 (y − k )2 
a2 
+ 
b2 
= 1 
Focos: F1 (h + c, k ) , F2 (h − c, k ) 
Vértices: V1 (h + a, k ) , V2 (h − a, k ) 
M1 (h, k + b), M 2 (h, k − b) 
 
Hipérbole: 
(x − h)2 (y − k )2 
− = 1 
a 2 b2 
Focos: F1 (h + c, k ) , F2 (h − c, k ) 
Vértices: V1 (h + a, k ) , V2 (h − a, k ) 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Determinar as coordenadas do vértice V (h, k ), a distância p do vértice ao foco 
e a equação da parábola de foco F (1, 4) e cuja diretriz é a reta de equação 
y + 2 = 0 . 
• Diretriz: y + 2 = 0  y = −2 , então e eixo de simetria da parábola é vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D1 (x, − 2) − 2 D2 (1, − 2) 
 
• Cálculo das coordenadas do vértice: 
h = 
1 + 1 
= 
2 
= 1 
2 2 
k = 
4 − 2 
= 
2 
= 1  V (1, 1) 
2 2 
 
15 
 
 
16 
• Distância do vértice ao foco: 
p = d (V , F ) 
 
• Equação da parábola: 
 p = 
p = 9 
p = 3 
(x − h)2 = 4 p (y − k )  (x −1)2 = 4 3(y −1) 
(x −1)2 =12(y −1) 
 
 
 
02. Dada a equação da elipse 
(x − 2)2 
25 
(y + 5)2 
9 
 
= 1, determine o valor do semi-eixo 
maior, do semi-eixo menor, as coordenadas dos focos, dos vértices, do centro e o 
valor da excentricidade. 
Como o maior parâmetro está em baixo do termo de x , a elipse tem eixo focal paralelo 
ao eixo Ox . 
• Semieixo maior: 
a2 = 
• Semieixo menor 
b2 = 
 a = 5 . 
 
 b = 3 . 
• Da relação fundamental obtemos c : 
a2 = b2 + c2 
c = 
c = = 4 
• Coordenadas do centro são: 
C (2, − 5) 
• Coordenadas dos focos: 
F1 (2 − 4, − 5) = (− 2, − 5) 
F2 (2 + 4, − 5) = (6, − 5) 
• Coordenadas dos vértices: 
V1 (2 − 5, − 5) = (− 3, − 5) 
V2 (2 + 5, − 5) = (7, − 5) 
• Excentricidade: 
e = 
c 
= 
4 
= 0,8 
a 5 
 
03. Achar a equação da hipérbole de centro (4, − 2) e eixo real paralelo ao eixo x , 
sabendo que 2a =10 e 2b = 4 . 
• Calculo de a e b : 
2a =10 
2b = 4 
 
 a = 5 
 b = 2 
(1−1)2 + (4 −1)2 
25 
: 
9 
52 − 32 
+ 
16 
 
 
• Equação da hipérbole: 
Se o eixo real é paralelo ao eixo x , a equação tem a forma: 
(x − h)2 
a2 
(y − k )2 
1 
b2 
(x − 4)2 
52 
(x − 4)2 
25 
(y + 2)2 
1 
22 
(y + 2)2 
1 
4 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Determine as coordenadas do foco, as coordenadas do vértice e a equação da 
diretriz das seguintes parábolas: 
a) y2 − 6y −12x + 21 = 0 
b) y2 − 4y − 4x − 8 = 0 
c) x2 + 4x + 8y +12 = 0 
d) x2 − 2x − y + 4 = 0 
 
2. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d , nos seguintes casos: 
a) F (2, − 2) e D : y + 6 = 0 
b) F (4, 6) e D : y −1 = 0 
c) F (− 4, − 3) e D : x = −8 
 
3. Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da 
diretriz da parábola de equação y2 − 4y − 8x + 28 = 0 . 
 
4. Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da 
diretriz da parábola de equação x2 + 2x + 4y −15 = 0 
 
5. Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos e as medidas dos 
semieixos da elipse de equação 
(x − 4)2 
25 
(y + 3)2 
1 
16 
 
6. Escrever a equação da elipse 9x2 + 5y2 + 54x − 40y −19 = 0 . 
 
7. Determinar a equação da elipse de eixo maior vertical, sabendo que as 
coordenadas do centro são (2, − 7) e os semieixos valem a = 8 e b = 1. 
 
8. Determinar as coordenadas do centro, do vértice e do foco da hipérbole 
y2 − x2 + 2y − 2x −1 = 0 
 
9. Ache a equação da hipérbole de centro (− 3, 
nos seguintes casos: 
4) e eixo real paralelo ao eixo y , 
a) 2a = 20 e 2b =10 
b) 2b = 6 e 2c =12 
− =  − 
− 
= 
= 
+ = 
17 
 
 
2 
10. Determinar as coordenadas do centro da hipérbole de equação: 
4x2 − 9y2 − 8x − 54y − 221 = 0 
 
11. Identifique a cônica de equação 
faça um esboço de seu gráfico. 
4x2 + 9y2 −16x +18y −11 = 0 , seus elementos e 
 
12. Identifique a cônica de equação 
elementos e faça um esboço de seu gráfico. 
25x2 − 36y2 −100x − 72y − 836 = 0 , seus 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. a) F (4, 3), V (1, 3) e (d ): x = −2 b) F (− 2, 2), V (− 3, 2) e (d ): x = −4 
c) F (− 2, − 3), V (− 2, −1) e (d ): y = 1 d)  13  ( ) ( ) 11 F 1, 
 
, V 1, 3 e 
 
d : y = 
4 
2. a) (x − 2)2 = 8(y + 4) b) (x − 4)2 =  
− 
7  
 
 
c) (y + 3)2 = 8(x + 6) 
3. V (3, 2) , F (5, 2) , 
 
x = 1 
10 y  
  
4. V (−1, 
5. O (4, 
4) , 
− 3) , 
F (−1, 3) , 
F1 (7, 3) , 
y = 5 
F2 (1, − 3) , 
 
a = 5 , 
 
b = 4 
6. (x + 3)
2
 
20 
7. (x − 2)
2
 
1 
(y − 4)2 
1 
36 
(y + 7)2 
1 64 
8. O (−1, −1) , V1 (−1, 0) , V2 (−1, − 2) , F1 (−1, −1+ 2) , F2 (−1, −1 − 2) 
9. a) (y − 4)
2
 
100 
(x + 3)2 
1 
25 
b) (y − 4)
2
 
27 
(x + 3)2 
1 
9 
10. O (1, − 3) 
11. Elipse: 
C (2, −1) , V1 (−1, −1) , V2 (5, −1) , M1 (2, 1) , M 2 (2, − 3) , F1 (2 + 5, −1), F2 (2 − 5, −1), e =
 3
 
5 
12. Hipérbole: C (2, −1) , V1 (8, −1) , V2 (− 4, −1) , F1 (2 + 61, −1), F2 (2 − 61, −1), e =
 61
 
6 
 
 
4 
− 
− 
= 
= 
− = − = 
	INTRODUÇÃO
	2.1 – DEFINIÇÃO DAS CÔNICAS COMO LUGAR GEOMÉTRICO1
	2.2 – EQUAÇÃO CANÔNICA DAS CÔNICAS
	2.2.1 – PARÁBOLA
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:
	2.2.2 – ELIPSE
	EXCENTRICIDADE DA ELIPSE
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:
	2.2.3 – HIPÉRBOLE
	ELEMENTOS:
	ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE:
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:
	2.3 – EQUAÇÃO CANÔNICA DAS CÔNICAS COM CENTRO GENÉRICO (h, k)
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO: