APOSTILA DE ESTATÍSTICA ADM 2018.2

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APOSTILA DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
CURSO: ADMINISTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR: GERALDO MAGELA PERDIGÃO DIZ RAMOS 
 
 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
 
1 CAPÍTULO 1: PANORAMA HISTÓRICO 03 
1.1 O que é Estatística 03 
2 CAPÍTULO2: POPULAÇÃO E VARIÁVEL 04 
2.1 População Estatística ou Universo Estatístico 04 
2.2 Variável 04 
3 CAPÍTULO 3: TABELA ESTATÍSTICA 08 
4 CAPÍTULO 4: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 09 
4.1 Elementos de uma Distribuição de Frequências 10 
4.2 Tipos de Frequências 12 
5 CAPÍTULO 5: MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
18 
5.1 Média Aritmética 18 
5.2 Moda 23 
5,3 Mediana 26 
5,4 Quartil 30 
5.5 Decil 30 
5.6 Percentil 30 
 REFERÊNCIAS 37 
 
 
 
 
 
 
 3 
CAPÍTULO 1 
 
PANORAMA HISTÓRICO 
 
Historicamente, o desenvolvimento da estatística pode ser entendido a partir de dois 
fenômenos: a necessidade de governos coletarem dados censitários e o desenvolvimento da 
teoria do cálculo das probabilidades. 
 
Dados têm sido coletados através de toda a história. Na Antiguidade, vários povos já 
registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das 
riquezas sociais, distribuíam equitativamente terras aos povos, cobravam impostos e 
realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje,chamaríamos de “estatísticas”. 
Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. 
Atualmente, informações numéricas são necessárias para cidadãos e organizações de 
qualquer natureza, e de qualquer parte do mundo globalizado. 
 
1.1 O que é Estatística? 
 
Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e 
medir os fenômenos coletivos. Em outras palavras, é a ciência que se preocupa com a 
coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e interpretação de dados 
experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma população. 
Este estudo pode ser feito de duas maneiras: 
a) Investigando todos os elementos da população; 
b) Amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população. 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
CAPÍTULO 2 
 
POPULAÇÃO E VARIÁVEL 
 
 
2.1 População Estatística ou Universo Estatístico 
 
O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome 
de população ou universo. A população congrega todas as observações que sejam 
relevantes para o estudo de uma ou mais características dos indivíduos, os quais podem ser 
concebidos tanto como seres animados ou inanimados. Em linguagem mais formal, a 
população é o conjunto constituído por todos os indivíduos que apresentem pelo menos 
uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). 
 
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo: 
• para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e feminino; 
• para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso 
através do números naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n; 
• para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem 
tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo. 
 
Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou 
população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis 
podem ter valores numéricos ou não numéricos. 
2.2 Variável 
Variáveis podem ser classificadas da seguinte forma: 
I) Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala 
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser 
contínuas ou discretas: 
 5 
a) Variáveis discretas: características mensuráveis que podem assumir apenas um número 
finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. 
Geralmente são os resultados de contagens. Exemplos: número de filhos, número de 
bactérias por litro de leite, número de alunos, dentre outras. 
b) Variáveis contínuas, características mensuráveis que assumem valores em uma escala 
contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem 
ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo 
(relógio), pressão arterial, idade. 
II) Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não possuem 
valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, 
representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais: 
a) Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos 
olhos, fumante/não fumante, doente/sadio. 
b) Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade 
(1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação 
(janeiro, fevereiro,..., dezembro). 
As distinções são menos rígidas do que a descrição acima insinua. 
Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa. 
Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa (contínua); mas, 
se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 11 anos, etc...), é qualitativa (ordinal). 
Outro exemplo é o peso dos lutadores de boxe, uma variável quantitativa (contínua) se 
trabalharmos com o valor obtido na balança, mas qualitativa (ordinal) se o classificarmos 
nas categorias do boxe (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.). 
 
Veja alguns exemplos: 
 
Universo: Funcionários de uma empresa 
Variáveis: a) Número de funcionários ⇒ Variável quantitativa discreta 
 6 
 b) Sexo dos funcionários ⇒ Variável qualitativa nominal 
 c) Pesos dos funcionários ⇒ Variável quantitativa contínua 
 
Universo: Alunos de uma determinada universidade 
Variáveis: a) Número de alunos ⇒ Variável: ----------------------------------- 
 b) Religião dos alunos ⇒ Variável: ----------------------------------- 
 c) Idade dos alunos ⇒ Variável: ----------------------------------- 
 d) Cor da pele ⇒ Variável: ----------------------------------- 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Classifique as variáveis em qualitativas(nominais ou ordinais) ou quantitativas 
(contínuas ou discretas): 
a. Universo: alunos de uma faculdade. 
 Variável: cor dos cabelos 
b. Universo: casais residentes em uma cidade. 
 Variável: número de filhos 
c. Universo: as jogadas de um dado. 
 Variável: o ponto obtido em cada jogada 
d. Universo: peças produzidas por certa máquina. 
 Variável: número de peças produzidas por hora 
e. Universo: peças produzidas por certa máquina. 
 Variável: diâmetro externo 
 
2. Quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas: 
a. População: estação meteorológica de uma cidade. 
 Variável: precipitação pluviométrica, durante um ano. 
 
 7 
b. População: Bolsa de Valores de São Paulo. 
 Variável: número de ações negociadas. 
c. População: pregos produzidos por uma máquina. 
 Variável: comprimento. 
d. População: propriedades agrícolas do Brasil. 
 Variável: produção de algodão. 
e. População: segmentos de reta. 
 Variável: comprimento. 
f. População: bibliotecas da cidade de Ipatinga. 
 Variável: número de volumes. 
f. População: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. 
 Variável: número de defeitos por unidade. 
g. População: indústrias de uma cidade. 
 Variável: índice de liquidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
CAPÍTULO 3TABELAS ESTATÍSTICAS 
 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E isto 
ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos 
fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. 
 
Tabela é o resumo de um conjunto de observações. 
 
Uma tabela compõe-se de: 
a) Corpo: conjunto de linhas e colunas que contem informações sobre a variável em 
estudo; 
b) Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
c) Coluna Indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
d) Título: conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às 
perguntas: O quê ?, Onde?, Quando?, localizado no topo da tabela. 
 
Além de título, corpo, cabeçalho e coluna indicadora, as tabelas ainda podem conter os 
seguintes elementos: fonte, notas e chamadas, que são colocadas no rodapé da tabela. 
 
 Evolução do IPCA (1) – Brasil – 1º. Quadrimestre/2016 
 Período Índice (%) 
Janeiro 1,27 
Fevereiro 0,90 
Março 0,43 
Abril 0,61 
 Fonte: IBGE (2) (2016). 
 Notas: (1) IPCA – Índice de Preços ao Consumidor Amplo. 
 (2) IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 
 9 
CAPÍTULO 4 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
Após a coleta de dados, surge a necessidade de sumarizar ou sintetizar o fenômeno com a 
finalidade de se obter as suas características quantitativas, visando a descrição numérica do 
fenômeno. 
 
A idéia fundamental para sumarizar um conjunto de observações constitui a criação de 
grupos, classes ou níveis, com intervalos, geralmente regulares, contendo todas as 
observações relativas ao fenômeno estudado. 
 
Distribuição de freqüências é a forma pela qual pode-se descrever os dados estatísticos 
resultantes de variáveis quantitativas , como por exemplo, as notas obtidas pelos alunos de 
uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários recebidos pelos operários de uma 
fábrica, etc. 
 
Exemplo: 
 
Um teste de estatística, contendo 100 perguntas do tipo certo-errado, foi aplicado em uma 
turma de 20 estudantes. A distribuição abaixo apresenta os resultados do teste. 
Notas Número de alunos (fi) 
 0 ├ 20 02 
20 ├ 40 08 
40 ├ 60 04 
60 ├ 80 04 
80 ├ 100 02 
Total 20 
 
 
 
 10
Notas: 
 
� Ao agrupar os valores da variável em classes, ganha-se em simplicidade mas perde-se 
em pormenores. 
� Quando os dados estão organizados em uma distribuição de frequências, são 
comumente denominados dados agrupados em classes. 
� Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886/66 do 
IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando para isso o 
símbolo ├ (inclusão do limite inferior e exclusão do limite superior). 
 
Para a construção de uma distribuição de frequências, deve-se conceituar: 
 
a) Dados Brutos: são aqueles que não foram numericamente arranjados, isto é, são 
aqueles que ainda não foram colocados em uma ordem de grandeza. 
Exemplo: 7, 6, 3, 4, 2 , 0 
 
b) Rol: é o arranjo dos dados brutos em uma ordem de grandeza crescente ou decrescente. 
Exemplo: 0, 2, 3, 4, 6, 7 (crescente) ou 7, 6, 4, 3, 2, 0 (decrescente) 
 
4.1 Elementos de uma Distribuição de Frequências 
 
a) Classes: são os intervalos de variação de uma variável. As classes são representadas 
simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3,..., k (onde k é o número total de classes da 
distribuição). Para a determinação do número total de classes de uma distribuição podemos 
lançar mão da regra de Edmund Preston Sturges (1898 – 1959), que nos dá o número de 
classes em função do número de valores da variável. 
onde: 
k é o número total de classes; 
n é o número total de dados (número de elementos do rol). 
Essa regra nos permite obter a seguinte tabela: 
K= 1 + 3,3 . log n 
 11
n k 
3 ├� 5 3 
 6 ├� 11 4 
12 ├� 22 5 
23 ├� 46 6 
47 ├� 90 7 
 91 ├� 181 8 
182 ├�362 9 
... ... 
 
onde: 
n é o número total de dados; 
k é o número total de classes. 
 
b) Limites de classes: os valores extremos de uma classe são denominados de limites de 
classe. Estes valores são denominados de limites inferior e superior da classe, sendo 
simbolizados por limite inferior (li) e limite superior (Li). 
 
c) Amplitude Total (AT): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do rol. 
 
d) Intervalo de classe (h): é a medida do intervalo que define a classe. É obtido através da 
seguinte fórmula: 
 
onde: 
AT = amplitude total; 
k = número total de classes 
 
h = AT 
 k 
 12
e) Ponto médio de uma classe (xi): é o ponto que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais. Para obter o ponto médio de uma classe, calcula-se a média aritmética 
simples entre os limites da classe: 
 
onde: 
li = limite inferior de uma classe; 
Li = limite superior de uma classe. 
 
4.2 Tipos de Frequências 
 
a) Frequências simples ou absolutas (fi): é o número de observações correspondentes a 
uma classe ou a um valor. A soma das frequências simples é igual ao número total dos 
dados do rol: 
 
b) Frequências perecentuais (fpi): são os valores das razões entre as frequências simples e 
a frequência total: 
 
 
A soma das frequências percentuais de todas as classes é igual 100%. 
O propósito das frequências percentuais é o de permitir a análise ou facilitar as 
comparações. 
 
c) Frequência acumulada: a frequência acumulada de uma classe é o somatório das 
frequências anteriores ou posteriores, inclusive a frequência da respectiva classe. As 
xi = li + Li 
 2 
∑∑∑∑ fi = n 
fpi = 100fi 
 ∑∑∑∑ fi 
 13
frequências acumuladas poderão ser obtidas através das expressões “abaixo de” ou “acima 
de” , isto é, as frequências acumuladas poderão ser crescente (fac) ou decrescente (fad). A 
frequência acumulada crescente (fac) é obtida repetindo a frequência simples da 1ª classe, e 
somando-se sucessivamente as demais frequências, obtendo-se assim as frequências 
acumuladas de cada classe. Exprimi-se a frequência acumulada crescente (“abaixo de”) 
através do limite superior de uma classe. A frequência acumulada decrescente (fad) é obtida 
repetindo a frequência simples da última classe e somando-se sucessivamente as demais 
frequências, obtendo-se, assim, as frequências acumuladas de cada classe. Verifica-se que a 
frequência acumulada decrescente (“acima de”) é expressa através dos limites inferiores da 
respectiva classe. 
 
Exemplo: 
 
Os valores abaixo são referentes à empréstimos solicitados por 40 empresas à uma 
instituição financeira: 
 
2000 – 2000 – 2000 – 2100 – 2150 – 2150 – 2200 – 2200 – 2400 – 2400 – 2500 – 2500 
2550 – 2600 – 2700 – 2700 – 2800 – 2830 – 2900 – 3000 – 3200 – 3251 – 3300 – 3400 
3500 – 3500 – 3600 – 3640 – 3650 – 3700 – 3700 – 3750 – 4000 – 4200 – 4400 – 4500 
 4600 – 4650 – 4700 - 4801 
 
1) Com relação aos dados acima, elabore uma distribuição de frequências, sabendo-se que 
k = 6 e arredondando o valor de h para (f0). 
 
2) Calcule: 
a) O ponto médio de cada classe. (xi) 
b) A frequência percentual de cada classe. (fpi) 
c) A frequência acumulada crescente de cada classe (fac). 
d) A frequência acumulada decrescente de cada classe (fad). 
 
 
 14
Passos fundamentais para a confecção de uma tabela de frequências: 
 
a) Elaborar o rol; 
b) Determinar o número total de classes (k); 
c) Calcular a amplitude total (AT); 
d) Calcular o intervalo de classe (h). 
 
 
Empréstimos solicitados por 40 empresas à uma instituição financeira 
Empréstimos (R$) Número de empresas (fi) xi fpifac fad 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 - - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Todas as séries abaixo constituem róis, exceto: 
 
a) –5, -4, 0, 1, 2 
b) 10, 9, 8, 7 , 5 
c) –3, -1, 1, 2, 0 
d) 5, 4, 4, 2, 1 
 
 
2) Quais das séries abaixo constituem dados brutos: 
 
a) 0, 3, 4, 7, 6, 4 
b) –5, -4, 0, 2, 1 
c) –1, -2, 3, 4, 5 
d) 8, 7, 6, 5, 0 
 
 
3) Os dados abaixo representam os valores dos depósitos efetuados por alguns clientes no 
Banco Delta (em R$): 
 
5200 – 5255 – 5300 – 5360 – 5370 – 5375 – 5400 – 5450 – 5450 – 5490 
5500 – 5550 – 5560 – 5570 – 5570 – 5580 – 5600 – 5600 – 5600 – 5650 
5650 – 5680 – 5690 – 5690 – 5695 – 5695 – 5695 – 5697 – 5698 – 5699 
5740 – 5750 – 5760 – 5760 – 5770 – 5780 – 5780 – 5789 – 5799 – 5799 
 
Com relação aos dados acima, forme uma distribuição de frequências, sabendo–se que k = 
6 e arredondando o valor de “h” para (f0). 
 
 
 
 
Depósitos (R$) Número de depositantes (fi) 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 16
4) Os dados abaixo referem-se aos valores de crédito para capital de giro solicitados por 30 
empresas : 
 
15.000 – 18.000 – 19.000 – 21.000 – 22.000 – 23.000 – 23.000 – 24.000 – 25.000 – 25.000 
25.000 – 25.000 – 26.000 – 26.000 – 26.000 – 28.000 – 28.000 – 28.000 – 29.000 – 
29.000 - 31.000 – 32.000 – 33.000 – 33.000 – 36.000 – 38.000 – 38.000 – 38.000 – 
39.000 – 40.001 
 
Construa uma tabela de frequências, sabendo-se que K = 6 e arredondando o valor de “h” 
(f0) 
 
 
Valores (R$) Número de Empresas (fi) 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
5) A distribuição abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora em um 
determinado período. 
Preço Unitário (US$) Número de livros comercializados (fi) 
 0 ├ 10 4.000 
10 ├ 20 13.500 
20 ├ 30 25.600 
30 ├ 40 43.240 
40 ├ 50 26.800 
50 ├ 60 1.750 
∑ 114.890 
 
 
Pergunta-se: 
 
 
a) Qual é o ponto médio da terceira classe? 
 
 
 
b) Qual é o intervalo de classe utilizado na distribuição acima? 
 
 
 
c) Qual é o percentual de livros comercializados abaixo de US$20,00 (exclusive)? 
(Arredonde para o centésimo ou f2) 
 
 
 
d) Qual é a quantidade de livros comercializados entre US$20,00 (inclusive) a US$50,00 
(exclusive)? 
 
 
 
e) Qual é a quantidade de livros comercializados acima de US$10,00 (inclusive)? 
 
 
 
f) Qual é a frequência acumulada crescente da quinta classe? 
 
 
 
 
 18
 
CAPÍTULO 5 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
São estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da 
distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas). 
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem 
tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em 
torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos: 
a) a média aritmética; 
b) a mediana; 
c) a moda. 
As outras medidas de posição, são as separatrizes, que englobam: 
a) a própria mediana; 
b) os quartis; 
c) os decis; 
d) os percentis . 
 
5.1 Média Aritmética ( X ) 
 
Éuma das principais medidas de posição, cuja aplicação é seguramente a mais usada. Em 
um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias. Porém, em nossos estudos 
iremos nos limitar à mais importante: a média aritmética. 
a) Média aritmética simples: é o quociente da divisão da soma dos valores da variável 
pelo número deles: 
onde: 
X = média aritmética; 
x = os valores da variável; 
n = número de elementos. 
X = ∑∑∑∑ x 
 n 
 19
Exemplos: 
 
a) A tabela abaixo demonstra as vendas diárias de um determinado produto durante uma 
semana 
Dia da semana Unidades Vendidas 
Segunda 50 
Terça 40 
Quarta 35 
Quinta 28 
Sexta 45 
Sábado 35 
Domingo 20 
 
Determine a média das vendas neste período. (f1) 
 
 
 
 
 
b) A quantidade de lixo coletada em uma determinada região num período de 10 dias foi 
de: 550, 570, 400, 600, 230, 350, 250, 400, 500, 550 toneladas. Calcule a quantidade média 
de lixo coletada neste período. 
 
 
 
 
b) Média aritmética ponderada: no caso de os valores estarem afetados por pesos, que 
são números indicadores da intensidade do valor no conjunto, a média aritmética se diz 
ponderada. A média aritmética ponderada é igual ao quociente da divisão cujo dividendo é 
formado pela soma dos produtos dos valores pelos respectivos pesos e cujo divisor é a 
soma dos pesos. 
 
X p = a1p1 + a2p2 + ... + anpn 
 p1 + p2 + ... + pn 
 
 20
Exemplos: 
 
a) O gerente administrativo do setor de atendimento da Empresa X resolveu promover um 
dos seus três assistentes administrativos. Para tanto foi aplicado um teste que continha 
questões de matemática, português, informática e conhecimentos gerais, nesta ordem. Cada 
teste era composto de 10 questões. Sabe-se que os pesos atribuídos para cada teste foi, 
respectivamente: 3, 3, 2 e 1. Foram os seguintes resultados obtidos: 
 
Notas Matemática Português Informática Conhecimentos Gerais 
Candidato A 10,0 8,5 9,5 5,5 
Candidato B 9,5 9,5 7,5 8,5 
Candidato C 8,5 9,5 10,0 9,5 
 
Pergunta-se: dos três candidatos submetidos ao teste, quem obteve o melhor resultado? (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
b) Os dados abaixo retratam as horas trabalhadas e o salário por hora para uma amostra de 
06 funcionários da área de logística de uma determinada empresa: 
Horas 33 37 34 40 35 33 
Salário (R$) 12,16 9,98 10,79 11,71 11,80 11,51 
 
Calcule o salário médio. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Uma carteira é composta por 3 ativos: 
Ativo Rentabilidade Anual (%) Valor (R$) 
A 12 25.000,00 
B 15 20.000,00 
C 13 35.000,00 
 
Calcule a rentabilidade anual ponderada desta carteira. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
c) Média aritmética para dados agrupados em classes: é definida como sendo o 
quociente entre a soma dos produtos das frequências simples (fi), pelos pontos médios de 
cada classe (xi), cujo divisor é a soma de todas as frequências simples. Assim, tem-se: 
onde: 
X = média aritmética; 
fi = frequência simples ou absoluta; 
xi = ponto médio por classe; 
 
Exemplos: 
a) A prefeitura de uma pequena cidade resolveu lançar uma campanha contra o desperdício 
da água . Foi realizada ações educativas voltadas para voltadas para a comunidade. Sabe-se 
que o consumo médio de água antes da campanha era de 15 m3. Após a campanha foi 
realizada uma pesquisa para a avaliação dos resultados que se encontram na tabela abaixo: 
Volume (m3) fi xi fi . xi 
 8 ├ 10 1.200 
10 ├ 12 1.800 
12 ├ 14 1.900 
14 ├ 16 
16 ├ 18 
 4.100 
 1.000 
 
∑ 10.000 - 
 
Verifique se a campanha teve efeitos satisfatórios, ou seja, reduziu o consumo médio de 
água. 
 
 
 
 
X = ∑∑∑∑ (fi . xi) 
 ∑∑∑∑ fi 
 23
2) A distribuição abaixo figura o consumo de energia elétrica em uma determinada região 
Consumo (Kwh) fi xi fi . xi 
1000 ├1200 8 
1200 ├ 1400 10 
1400 ├ 1600 14 
1600 ├ 1800 14 
1800 ├ 2000 12 
2000 ├ 2200 7 
2200 ├ 2400 15 
∑ 80 - 
 
Calcule o consumo médio de energia. (f2) 
 
 
 
 
5.2 MODA (Mo) 
 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. A 
moda éo valor preponderante, o valor dominante de um conjunto. O termo moda foi 
utilizado primeiramente por Karl Pearson (1851 – 1936) em 1895, talvez como uma 
associação a sua concepção na linguagem comum. 
Deste modo, o salário modal dos funcionários de uma indústria química é o salário mais 
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. 
 
a) Moda para dados não agrupados em classes: para a identificação da moda em um 
conjunto ordenado de valores não agrupados em classes, basta verificar no conjunto, aquele 
valor ou valores que aparecem com maior frequência. 
 
 
 
 24
Exemplos: 
 
X1 = {1,2,3,4,5,6} → (Conjunto amodal) 
X2 = {10,10,12,13,18}→ Mo = 10 (Conjunto unimodal) 
X3 = { 100,100,200,200,300,600} → Mo = 100 e 200 (Conjunto bimodal) 
X4 = {2,2,5,5,8,8}→ observe que todos os elementos do conjunto apresentam a mesma 
frequência. Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior frequência, e 
diremos que o conjunto é amodal. 
 
Obs.: Pode-se encontrar sequências trimodais, tetramodais e assim sucessivamente. Estas 
sequências serão chamadas de forma genérica por sequências polimodais. 
 
Determine a moda dos conjuntos abaixo, classificando-a: 
 
A = { 10, 12, 4, 3, 7, 7, 3, 7 } 
Mo = 
 
B = { 0, 2, 5, 4, 3, 6 } 
Mo = 
 
C = { 30, 40, 50, 30, 60, 40 } 
Mo = 
 
b) Moda para dados agrupados em classes: para dados agrupados a moda é calculada 
pela fórmula de Emanuel Czuber (1851 – 1925): 
 
 
onde: 
Mo = li + ∆1 x h 
 ∆1 + ∆2 
 
 25
 
Mo = moda; 
li = limite inferior da classe modal; 
∆1 = fim – fia ( fi da classe modal – fi anterior à classe modal); 
∆2 = fim – fip ( fi da classe modal – fi posterior à classe modal); 
h = intervalo de classe 
 
Para calcular a moda de uma distribuição de frequências deve-se: 
a) Localizar a classe modal, isto é, a classe que contém a maior frequência simples ou 
absoluta, ou seja, o maior valor de fi 
b) Identificar os valores relativos à classe e aplicar a fórmula. 
 
Exemplos: 
1) A distribuição abaixo representa a folha de pagamento dos funcionários da empresa 
Criarte Ltda referente a um determinado período. 
Salários (R$) Número de funcionários (fi) 
1000 ├ 2000 8 
2000 ├ 3000 7 
3000 ├ 4000 6 
4000 ├ 5000 10 
5000 ├ 6000 3 
∑ 34 
 
Calcule o salário dominante desta empresa. (f0) 
 
 
 
 
 
 
 26
2) A distribuição abaixo representa o tempo gasto por empregados na execução de uma 
determinada operação em uma fábrica 
Tempo (minutos) Número de funcionários (fi) 
10 ├ 15 8 
15 ├ 20 7 
20 ├ 25 6 
25 ├ 30 10 
30 ├ 35 3 
∑ 34 
 
Calcule o tempo modal gasto pelos empregados. (f1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 MEDIANA (Md) 
 
A mediana é um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores 
ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes 
iguais, cujo valor está sucedido de 50% e antecedido de 50% desse conjunto de 
observações. 
Nota: Md = Q2 = D5 = P50 = 50%. 
 
a) Mediana para dados não agrupados em classes: dado um conjunto qualquer de 
valores, o primeiro passo é ordenar estes valores. Isto poderá ser feito tanto em ordem 
crescente quanto decrescente. E, como segundo passo, verificar se o número de elementos 
que compõe este conjunto é par ou ímpar. Vamos analisar cada passo em separado: 
 27
a.1) Se o número de elementos for ímpar, a mediana será o valor central do conjunto. 
 
Exemplo 1: 
A rentabilidade de um determinado fundo de investimento durante os meses de janeiro a 
julho de um determinado período foi, respectivamente (em %): 1,13; 0,99; 1,26; 1,17; 1,24; 
1,32; 1,25 Ordenando as taxas, temos: 0,99; 1,13; 1,17; 1,24; 1,25; 1,26; 1,32 logo a 
mediana será o valor central do conjunto ordenado: Md = 1,24%, ou seja, 50% das taxas de 
rentabilidade estão abaixo ou igual a 1,24% e os outros 50% acima ou igual a 1,24%. 
 
a.2) Se o número de elementos for par, a mediana será dada pela média aritmética simples 
dos dois valores centrais. 
 
Exemplo 2: 
Uma pesquisa de mercado foi especialmente direcionada aos preços de uma determinada 
marca de sabão em pó em 8 hipermercados brasileiros, chegando aos seguintes resultados 
(em R$): 5,50; 5,75; 6,25; 4,50; 6,15; 5,95; 6,05; 7,67. Ordenando os valores, temos: 4,50; 
5,50; 5,75; 5,95; 6,05; 6,15; 6,25; 7,67, logo a mediana será a média aritmética simples 
entre os dois valores centrais do conjunto ordenado: Md = 5,95 + 6,05 = R$6,00. 
 2 
Interpretação: 50% dos valores pesquisados estão abaixo ou igual a R$6,00 e os outros 
50% restantes acima ou igual a R$6,00. 
 
Exemplo 3: Um levantamento levado a efeito em uma determinada empresa revelou que os 
salários brutos mensais de seis funcionários administrativos são: R$1.500,00; R$2.300,00; 
R$850,00; R$3.000,00; R$870,00 e R$2.150,00. 
Calcule o salário mediano desses funcionários. 
 
 
 
 28
Exemplo 4: O lucro mensal de uma empresa de médio porte no segundo semestre de um 
determinado período foi respectivamente (em R$): 450.000,00; 355.000,00; 560.000,00; 
700.000,00; 800.000,00; 600.000,00. Qual foi o lucro mediano neste período? 
 
 
 
b) Mediana para dados agrupados em classes: se os dados se agrupam em uma 
distribuição de frequências, o cálculo da mediana se processa através da determinação 
prévia das frequências acumuladas. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe 
na qual se acha a mediana – classe mediana, através da seguinte fórmula: 
 
 
Tal valor será localizado na coluna da fac (frequência acumulada crescente). 
Na prática, executa-se os seguintes passos: 
a) Determinamos as frequências acumuladas crescentes (fac). 
b) Encontramos a classe mediana através da fórmula: ∑ fi / 2. 
c) Marcamos a classe mediana correspondente na coluna da fac e, em seguida, emprega-se 
a seguinte fórmula: 
 
 
onde: 
 
Md = mediana; 
faca = frequência acumulada crescente anterior à classe mediana; 
h = intervalo de classe. 
 
 
∑∑∑∑ fi 
 2 
Md = li + (∑∑∑∑ fi / 2) – faca . h 
 fi da classe 
 29
Exemplo 1: Após uma campanha de educação ambiental, uma cooperativa de reciclagem 
resolveu distribuir o lucro (sobras) entre seus cooperados de acordo com a produtividade, 
conforme tabela abaixo: 
Valores (R$) Número de cooperados (fi) fac 
 500 ├ 1.000 12 
1.000 ├ 1.500 8 
1.500 ├ 2.000 13 
2.000 ├ 2.500 10 
2.500 ├ 3.000 15 
∑ 58 
 
Calcule o lucro mediano desses cooperados. (f2) 
 
 
 
 
Exemplo 2: O Departamento pessoal de uma certa empresa fez um levantamento dos 
salários de 25 funcionários do setor de telemarketing, obtendo os seguintes resultados: 
Salários (R$) Número. de funcionários (fi) fac 
1000 ├ 1500 9 
1500 ├ 2000 3 
2000 ├ 2500 7 
2500 ├ 3000 2 
3000 ├ 3500 2 
3500 ├ 4000 1 
4000 ├ 4500 1 
∑ 25 - 
 
Calcule o salário mediano desses funcionários. (f2) 
 
 
 30
5.4 QUARTIL (Q) 
 
Divide a distribuição em quatro partes iguais em um conjunto ordenado de valores. 
Há três quartis correspondentes, respectivamente: 
a) Primeiro quartil (Q1): valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) 
dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores. 
 Q1 = P25 
b) Segundo quartil (Q2): igual ao valor mediano. Q2 = Md = D5 = P50 
c) Terceiro quartil (Q3): valor situado de tal modo que as três quartaspartes (75%) dos 
termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. Q3 = P75 
Resumindo, tem-se: 
a) Q1 = 25% 
b) Q2 = 50% 
c) Q3 = 75% 
 
5.5 DECIL (D) 
 
Divide a distribuição em dez partes iguais em um conjunto ordenado de valores. 
Assim, poderemos ter: D1, D2, D3, ..., D9 
Em cada uma das partes determinadas pelos decis temos 10% dos dados. 
Assim: D1 = 10%, D2 = 20%, D3 = 30%, ..., D9 = 90%. 
 
5.6 PERCENTIL (P) 
 
É a divisão de um conjunto ordenado em cem partes iguais. 
Assim, poderemos ter: P1, P2, P3, ..., P99. 
 
Em cada uma das partes determinadas pelos percentis temos 1% dos dados. 
Assim: P1 = 1%, P2 = 2%, P3 = 3%, ..., P99 = 99%. 
 31
Exemplo 1: Numa linha de produção é importante que o tempo gasto, em horas, numa 
determinada operação não varie muito de empregado para empregado. A distribuição 
abaixo figura o tempo gasto pelos empregados de uma determinada indústria na execução 
de um mesmo serviço. 
Tempo Número de empregados (fi) fac 
2 ├ 4 12 
4 ├ 6 11 
6 ├ 8 10 
 8 ├ 10 10 
10 ├ 12 7 
∑ 50 - 
 
Calcule: 
a) O quadragésimo percentil. (f1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O octogésimo sexto percentil. (f1) 
 
 
 
 
 
 
 
 32
Exemplo 2: A distribuição abaixo figura os diferentes preços de um determinado produto 
em 20 lojas pesquisadas 
 
Preço (R$) Número de lojas (fi) fac 
 4 ├ 6 2 
 6 ├ 8 3 
 8 ├ 10 1 
 10 ├ 12 5 
 12 ├ 14 4 
 14 ├ 16 5 
∑ 20 - 
 
 
Calcule: 
 
a) O décimo percentil. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O nonagésimo percentil. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) No departamento de Marketing de uma empresa, há 3 níveis salariais com 3, 5 e 2 
funcionários respectivamente. O departamento concebeu reajuste nos salários de 5,5 %, 4% 
e 5% a cada nível, respectivamente. Qual o reajuste médio dado pela empresa? (f1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Para determinar o tempo médio de chamadas locais em um escritório, 20 chamadas 
foram escolhidas ao acaso. A duração de cada uma é mostrada a seguir ( em minutos): 2, 
12, 10, 3, 5, 6, 3, 8, 4, 5, 5,4, 5, 4, 9 , 2, 10, 20, 7, 7. Calcule a duração média das 
chamadas. (f1) 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um caminhão cujo peso vazio é 3000 Kg será carregado com 480 caixas de 10 Kg cada, 
350 caixas de 8 Kg cada, 500 caixas de 4 Kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista 
do caminhão pesa 80 Kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 Kg. Pergunta-se: 
 
a) Qual é o peso médio das caixas carregadas no caminhão? (f0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagens a 
caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança? 
 
 
 
 
 
 34
4) Uma empresa comprou barris de óleo de vários fornecedores. O preço de compra por 
barril e o número de barris comprados são mostrados abaixo: 
 
Fornecedor Preço por Barril (US$) Número de Barris 
A 17 4.000 
 
B 19 3.000 
 
C 18 9.000 
 
D 16 20.000 
 
 
Calcule o preço médio ponderado. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dados os conjuntos de valores abaixo: 
 
A = { 6, 8, 9, 10, 10, 12, 11, 12, 17 } 
B = { 4, 7, 10, 13, 10, 15 } 
C = { - 2, 0, 3, - 1, 7 } 
 
Pode-se afirmar que: 
 
a) O conjunto A é bimodal e média aritmética do conjunto B é 9,83. 
b) A mediana do conjunto B é 13 e a média aritmética do conjunto B é 6,5. 
c) A amplitude total do conjunto C é 9 e o conjunto A é amodal. 
d) A amplitude total do conjunto C é 5 e o conjunto B é plurimodal. 
 
 
 
 35
6) ) A média aritmética simples de um conjunto de 5 elementos é 16. Sabe-se que quatro 
elementos que compõem o conjunto são:12 , 18 , 15 , 13. Qual é o quinto elemento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) A média aritmética entre 100 números é igual a 45. Dois números são retirados: o 
número 35 e o 12. Calcule a média aritmética dos números que restaram. (f2) 
 
 
 
 
 
8) A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiçoamento sempre foi 
baixa, da ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender todas as idades, 
decidiu-se fazer uma campanha de divulgação. Para verificar se a campanha foi ou não 
eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos à última promoção, e os 
resultados estão na distribuição a seguir: 
 
Idades Número de candidatos (fi) xi fi . xi 
18 ├ 20 18 
20 ├ 22 12 
22 ├ 24 10 
24 ├ 26 8 
26 ├ 28 1 
28 ├ 30 1 
∑ 50 - 
 
Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha produziu algum efeito, isto é, 
aumentou a idade média? 
 
 
 
 
 
 36
9) Uma indústria embala peças em caixas de 100 unidades. O controle de qualidade 
selecionou 50 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. 
Número de peças 
defeituosas 
Número de caixas (fi) xi fi . xi fac 
0 ├ 2 18 
2 ├ 4 12 
4 ├ 6 10 
6 ├ 8 8 
 8 ├ 10 1 
10 ├ 12 1 
∑ 50 - 
 
Com relação aos dados da questão 7, calcule: 
 
a) O valor médio desses aluguéis. (f2) 
b) O valor modal propiciado por esses aluguéis. (f2) 
c) O valor mediano propiciado por esses aluguéis. (f2) 
d) O trigésimo percentil. (f2) 
e) O septuagésimo quinto percentil. (f2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37
REFERÊNCIAS 
 
 
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Atlas, 2007. 
 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
FONSECA, Jairo; MARTINS, Gilberto de Andrade Simon. Curso de Estatística. São 
Paulo: Atlas, 1979. 
 
LARSON, Ron e FARBER, Betsy. Estatistica Aplicada. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3 ed. São Paulo: Atlas, 
2005. 
 
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O. Estatística Básica. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 
2013. 
 
PEREIRA, Wilson e TANAKA, Oswaldo K. Estatística – Conceitos Básicos, 2 ed. São 
Paulo: Afiliada, 1990. 
 
SILVA, Elio Medeiros; GONÇALVES, Valter; SILVA, Ermes Medeiros; MUROLO, 
Antônio Carlos. Estatística. 1 ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
 
SMAILES, Joanne e MCGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. 1 ed. 
São Paulo: Atlas, 2005. 
 
TOLEDO, Geraldo Luciano, OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística Básica. 2ª ed. São Paulo: 
Atlas, 1987. 
 
VIEIRA, Sônia. Elementos de Estatística . 4 ed. São Paulo: Atlas, 2003.