Apostila (Resumida Final)204r CÁLCULO II

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COLETÂNEA DE EXERCÍCIOS 
CÁLCULO II 
Prof. Me. Flávio da Silva 
 
 
 
 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛⟶∞
 𝑓 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE NORTE CAPIXABA DE SÃO MATEUS 
 
 
Março de 2017 
2 
 
Apresentação da Coletânea 
Caro aluno, 
Este material é o segundo de uma trilogia abordando o Cálculo Diferencial e Integral e 
foi elaborado para servir como referência teórico-aplicativa aos estudos da disciplina 
Cálculo II, das engenharias Civil, Química e Mecânica. A elaboração deste trabalho foi 
motivada, principalmente, por vários pedidos de alunos. Você encontrará aqui 
exercícios nas mais variadas formas de abordagem: algebricamente, geometricamente, 
numericamente e verbalmente. Em geral, os exercícios aparecem numa progressão 
gradativa de dificuldade, variando desde uma simples checagem de uma determinada 
propriedade, a exercícios mais desafiadores entre teóricos, numéricos e conceituais. 
Cada exercício contido nesta coletânea foi escolhido criteriosamente, e isto faz deste 
material que tens em mãos, não meramente um conjunto de exercícios tomados a esmo, 
sem pretensão alguma e sem qualquer fundamentação, mas sim, uma extensão natural 
da teoria. Tais exercícios não só visam à prática de certas habilidades específicas, mas 
também envolvem o desafio de situações novas, fornecendo estímulo intelectual e, por 
que não, divertimento. Vários dos exercícios são problemas contextuais, que ilustram 
variadas aplicações dos temas estudados a situações concretas em outras disciplinas e 
conexões com outras áreas da Matemática, procurando assim motivar e justificar a 
presença dos mesmos no currículo. Diversos destes buscam responder as perguntas mais 
freqüentes, a saber: “Pra que serve? Onde vou usar? Qual a importância pra minha vida 
profissional?” Assim, sempre que possível, tente relacioná-los com exemplos que você 
conhece. No que tange a resolução dos exercícios propostos, temos por preocupação o 
fato geral de que não se aprende matemática de forma passiva, é necessária a sua 
participação de forma ativa, em outras palavras, jogue os papéis sobre a mesa, tome um 
lápis, e mãos a obra. É precisamente esse esforço que, bem ou mal sucedido, o 
conduzirá ao êxito de seu trabalho. Porém, chamamos a sua atenção de que só faz 
sentido tentar resolvê-los, após um estudo minucioso da matéria lecionada nas aulas 
teóricas, caso contrário, será de grande frustração o resultado final, uma mera tentativa 
mecânica de resolução sem fundamentação alguma. É bom salientar que caso você 
tenha que ler mais de uma vez alguma coisa, não é para se preocupar, pois isto faz parte 
do aprendizado. Ao término da resolução de um exercício, quando for possível, peça a 
um colega de classe para ler o que você escreveu. Se não fizer sentido para ele (leitor), 
muito provavelmente não faz sentido mesmo! Assim, busque uma resolução clara, 
lógica e conexa. É bom salientar também que, mesmo quando sua resposta for diferente 
da apresentada, ela ainda poderá estar correta (sabemos que há mais de uma maneira de 
se expressar certas soluções, por exemplo, 1 = 0,999...). Este trabalho se encontra 
dividido em cinco tópicos na ordem que se segue: Integrais, Técnicas de Integração, 
Aplicações de Integração, Curvas Parametrizadas no Plano e no Espaço e Cálculo 
Diferencial de Funções Multivariáveis. Bons estudos e seja bem vindo a uma jornada ao 
“Mundo das Integrais”. 
São Mateus, março de 2017. 
4 
 
Sumário 
 
1. Integrais 
2. Técnicas de Integração 
3. Aplicações de Integração 
4. Curvas Parametrizadas no Plano e no Espaço 
5. Cálculo Diferencial de Funções Multivariáveis 
6. Respostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Capítulo 1. Integrais 
 
Seção 1. Áreas 
1. Sejam 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑥𝑖
∗)∆𝑥𝑛𝑖=1 uma soma de Riemann. 
a) Se 𝑓(𝑥) ≥ 0, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? 
b) Se 𝑓(𝑥) assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma 
de Riemann? 
c) Ilustre com um diagrama os casos acima. 
2. Use o gráfico de 𝑓 dado abaixo para encontrar a soma de Riemann com seis subintervalos, 
primeiro tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas e depois os pontos 
médios. Em cada caso, faça um diagrama e explique o que representa a soma de Riemann. 
 
3. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2, com 1 ≤ 𝑥 ≤ 6. Calcule a soma de Riemann com 𝑛 = 5 correta até a 
sexta casa decimal, tomando como pontos amostrais 𝑥𝑖
∗ os pontos médios. Novamente, diga o 
que representa a soma de Riemann e faça uma ilustração via diagrama. 
4. Seja 𝑆 a área da região sob o gráfico de 𝑓 𝑥 = 1/𝑥, limitada pelo eixo 𝑥 e as retas verticais 
𝑥 = 1 e 𝑥 = 5. 
a) Estime a área 𝑆 usando quatro retângulos aproximantes e extremos direitos. 
b) Esboce o gráfico de 𝑓 e os retângulos aproximantes. 
c) Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa? 
d) Repita a parte (a) usando extremos esquerdos. 
5. Refaça o exercício (4) considerando a área da região 𝑅 sob o gráfico de 𝑔 𝑥 = 25 − 𝑥2, 
limitada pelas retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 5. 
6. Em nosso primeiro dia de aula vimos que o limite 
𝐴: = Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
 𝑓 𝑥1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
6 
 
da soma das áreas dos “retângulos” aproximantes 𝑆𝑖 corresponde, por definição, a área da 
região que está sob o gráfico de uma função contínua 𝑓 definida num intervalo limitado e 
fechado [𝑎, 𝑏], conforme esboço que segue (aqui, ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 corresponde a largura e 𝑓(𝑥𝑖) a 
altura, avaliada no extremo direito dos intervalos de cada “retângulo” de área 𝑆𝑖 .): 
 
Use esta definição para encontrar uma expressão para a área sob o gráfico de 𝑓 como um 
limite, nos seguintes casos: 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥
3
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ln 𝑥, 2 ≤ 𝑥 ≤ 6 
7. No exercício (6), foi pedido que encontrássemos o limite expresso como uma área de uma 
região conhecida. Agora, dado o limite abaixo, encontre a região correspondente. 
lim
𝑛→∞
 
𝜋
4𝑛
𝑡𝑔 
𝑖𝜋
4𝑛
 
𝑛
𝑖=1
 
8. Seja 𝐴 o limite definido no exercício (6) (área sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝑎 até 𝑏). 
a) Use 𝐴 para achar uma expressão para a área sob a curva 𝑦 = 𝑥3 de 0 até 1 como um limite. 
b) Utilize a fórmula abaixo (fórmula da soma dos cubos dos primeiros 𝑛 inteiros, provada em 
sala de aula) para calcular o limite da parte (a). 
13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = 
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
2
 
9. Seja 𝐴𝑛 a área de um polígono com 𝑛 lados iguais inscrito num círculo com raio 𝑟. À medida 
que 𝑛 cresce, 𝐴𝑛 fica cada vez mais próxima da área real do círculo (método da exaustão), veja 
 
a) Dividindo o polígono em 𝑛 triângulos congruentes com 
2𝜋
𝑛
 de ângulo central, mostre que 
𝐴𝑛 =
1
2
𝑛𝑟2𝑠𝑒𝑛 
2𝜋
𝑛
 
b) Prove: 
lim
𝑛→∞
𝐴𝑛 = 𝜋𝑟
2 
7 
 
Seção 2. Integral Definida 
1. Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏]. Responda as questões e ilustre com um diagrama. 
a) Qual a interpretação geométrica de 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 se 𝑓(𝑥) ≥ 0? 
b) Qual a interpretação geométrica de 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 se 𝑓(𝑥) assumir valores positivos e negativos? 
2. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. 
a) lim𝑛→∞ 𝑥𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑖 ∆𝑥
𝑛
𝑖=1 , [0, 𝜋] 
b) lim𝑛→∞ 
𝑒𝑥𝑖
1 + 𝑥𝑖
 ∆𝑥𝑛𝑖=1 , [1, 5] 
c) lim𝑛→∞ 2 𝑥𝑖
∗ 2 − 5𝑥𝑖
∗ ∆𝑥𝑛𝑖=1 , [0, 1] 
3. Expresse o limite como uma integral definida. 
𝑖) lim
𝑛→∞
 
𝑖4
𝑛5
𝑛
𝑖=1𝑖𝑖) lim
𝑛→∞
 
1
1 + (𝑖/𝑛)2
𝑛
𝑖=1
 
4. Calcule as integrais pela definição, ou seja, como o limite da soma de Riemann 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
 𝑓(𝑥𝑖
∗)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
 
a) 1 + 3𝑥 𝑑𝑥
5
−1
 b) 2 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
0
 c) 1 + 2𝑥3 𝑑𝑥
5
0
 d) 𝑥3 𝑑𝑥
2
1
 
5. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo [0, 𝜋] e então calcule a integral. 
lim
𝑛→∞
 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
 ∆𝑥 
6. A figura a seguir mostra os gráficos de 𝑓, 𝑓’ e 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
0
. Identifique cada gráfico e explique 
suas escolhas. 
 
7. Prove: 
𝑖) 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑏2 − 𝑎2
2
 𝑖𝑖) 𝑥2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑏3 − 𝑎3
3
 
8 
 
8. Calcule a integral definida: 
 2 cos 𝑥 − 5𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 
9. Escreva a soma ou diferença dada como uma integral única na forma 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
a) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
3
1
+ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
6
3
+ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
12
6
 b) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
10
2
− 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
7
2
 
10. Calcule a integral que segue interpretando-a em termos de áreas. 
 𝑥 + 1 − 𝑥2 𝑑𝑥
1
0
 
 
11. Resolva a seguinte questão: Seja 𝑓 uma função contínua definida no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 
𝐇𝐢𝐩ó𝐭𝐞𝐬𝐞: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
8
2
= 1,7 e 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
8
5
= 2,5 
 
𝐓𝐞𝐬𝐞: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
5
2
=? 
12. Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. 
a) 5 − 𝑥 𝑑𝑥
2
1
≥ 𝑥 + 1 𝑑𝑥
2
1
 b) 2 ≤ 1 + 𝑥2 𝑑𝑥
1
−1
≤ 2 2 
13. Em sala de aula provamos a seguinte propriedade das integrais (propriedade 10): 
Se 𝑓 é contínua e 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎). 
Use esta propriedade para estimar o valor das integrais que segue. 
a) 
1
𝑥
 𝑑𝑥
2
1
 b) 𝑥3 + 1 𝑑𝑥
2
0
 c) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥
3𝜋/4
𝜋/4
 
14. Use o exercício (7 – 𝑖, 𝑖𝑖), e as propriedades das integrais, para provar as desigualdades: 
a) 𝑥4 + 1 𝑑𝑥
3
1
≥
26
3
 b) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
𝜋/2
0
≤
𝜋2
8
 
15. Prove a seguinte propriedade das integrais (propriedade 3, estudada em sala de aula): 
 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
16. Mostre que se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏], então 
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 ≤ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
17. Encontre 
 𝑥−2 𝑑𝑥
2
1
 
 
9 
 
Seção 3. Teorema Fundamental do Cálculo 
1. Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções. 
a) 𝑔 𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0
 b) 𝑔 𝑟 = 𝑙𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑟
1
 c) 𝑔 𝑦 = t2 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡
𝑦
2
 
d) 𝐹 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (t2) 𝑑𝑡
2
𝑥
 e) 𝑕 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡
1/𝑥
2
 f) 𝑕 𝑥 = 1 + r3 𝑑𝑟
𝑥2
0
 
g) 𝑦 = 
𝑐𝑜𝑠 (t)
𝑡
 𝑑𝑡
 𝑥
3
 h) 𝐺 𝑥 = [t + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ] 𝑑𝑡
𝑐𝑜𝑠 (x)
1
 i) 𝐻 𝑥 = 
𝑢3
1 + 𝑢2
 𝑑𝑢
1
1−3𝑥
 
j) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑠) 𝑑𝑠
0
𝑒𝑥
 k) 𝑔 𝑥 = 
𝑢2− 1
𝑢2+ 1
 𝑑𝑢
3𝑥
2𝑥
 l) 𝑔 𝑥 = 
1
 2 + 𝑡4
 𝑑𝑡
𝑥2
𝑡𝑔 (𝑥)
 
m) 𝑦 = 
𝑒 𝑡
𝑡
 𝑑𝑡
𝑥
 𝑥
 n) 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡
𝑥3
 𝑥
 o) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (u2) 𝑑𝑢
5𝑥
𝑐𝑜𝑠 (x)
 
2. Use a Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais, caso existam. 
a) 𝑥5 𝑑𝑥
3
−1
 b) 4𝑥 + 3 𝑑𝑥
8
2
 c) 1 + 3𝑦 − y2 𝑑𝑦
4
0
 
d) 
3
𝑡4
 𝑑𝑡
2
1
 e) 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) 𝑑𝜃
2𝜋
𝜋
 f) 
1
 𝑥
 𝑑𝑥
4
1
 
g) 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃
𝜋
𝜋/4
 h) 
1
2𝑥
 𝑑𝑥
9
1
 i) 1 − 2𝑥 − 3𝑥2 𝑑𝑥
1
0
 
j) 2𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥
0
−1
 k) 2𝑒𝑥 + 4 𝑐𝑜𝑠 (x) 𝑑𝑥
5
0
 l) 
5
𝑥
 𝑑𝑥
4
1
 
m) 
1 + 𝑐𝑜𝑠 2(𝜃)
𝑐𝑜𝑠 2(𝜃)
 𝑑𝜃
𝜋/4
0
 n) 
𝑥2+ 𝑥 + 1
𝑥
 𝑑𝑥
𝑒
1
 o) 𝑥 +
1
 𝑥
 
2
 𝑑𝑥
9
4
 
p) 
𝑑
𝑑𝑥
𝜋/2
0
 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
2
 𝑐𝑜𝑠 
𝑥
3
 𝑑𝑥 p) 𝑥 − 2 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
 q) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0
 
3. Calcule: 
𝑖) 
𝑑
𝑑𝑥
1
0
 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑖)
𝑑
𝑑𝑥
 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 𝑖𝑖𝑖)
𝑑
𝑑𝑥
 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0
 
4. (Exercício de Advertência) Cuidado! 
Se 𝑓 e 𝑔 são contínuas em [𝑎, 𝑏], então é verdade que: 
a) 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
b) 𝑥𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑥 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
c) 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, onde 𝑓(𝑥) ≥ 0 
d) O que está errado na equação? 
 𝑥−4 𝑑𝑥
1
−2
= 
𝑥−3
−3
 
−2
1
= −
3
8
 
10 
 
Nota: Todas as funções contínuas têm derivadas? A resposta é NÃO! De fato, para um contra-
exemplo, apesar de a função modular 𝑓(𝑥) = 𝑥 ser contínua, ela não é diferenciável em 0. E 
quanto a antiderivadas. Todas as funções contínuas têm antiderivadas? A resposta é SIM! 
Pergunta: Que resultado da teoria garante a veracidade de tal afirmação? 
5. Se 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
1
, onde 𝑓 𝑡 = 
 1 + 𝑢4
𝑢
 𝑑𝑢
𝑡2
1
, então 𝐹′′ 2 = ? 
6. Em qual intervalo a curva 𝑦 abaixo é côncava para cima? 
𝑦 = 
1
1 + 𝑡 + t2
 𝑑𝑡
𝑥
0
 
7. Embora uma fórmula da forma 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
 𝑑𝑡 possa parecer uma maneira estranha de 
definir uma função, livros de física, química e estatística estão repletos dessas funções. Por 
exemplo, a função de Fresnel 𝑆 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋𝑡2
2
 
𝑥
0
 𝑑𝑡 é assim chamada em homenagem ao 
físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus estudos em óptica. Essa função 
apareceu pela primeira vez na teoria de difração das ondas de luz de Fresnel, porém mais 
recentemente foi aplicada no planejamento de autoestradas. A parte 1 do Teorema 
Fundamental nos diz como derivar a função de Fresnel: 𝑆′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋𝑥2
2
 . Isso significa que 
podemos aplicar todos os métodos do cálculo diferencial para analisar 𝑆 (veja o exercício no 
final do texto). A 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 (𝑎) abaixo mostra os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥2/2 e 𝑆(𝑥). 
Um computador foi usado para construir um gráfico de 𝑆, calculando o valor dessa integral para 
vários valores de 𝑥. De fato, parece que 𝑆(𝑥) é a área sob o gráfico de 𝑓 de 0 até 𝑥 (mais 
especificamente, até 𝑥 = 1,4, quando 𝑆(𝑥) torna-se a diferença de áreas). A 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 (𝑏) que 
segue mostra uma parte maior do gráfico de 𝑆. 
(𝑎) (𝑏)
𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎
 
Se começarmos agora com o gráfico da 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 (𝑎) e pensarmos sobre como deve ser sua 
derivada, parece razoável que 𝑆′(𝑥) = 𝑓(𝑥) (por exemplo, 𝑆 é crescente quando 𝑓(𝑥) > 0 e 
decrescente quando 𝑓(𝑥) < 0). Logo, isso nos dá a confirmação visual da Parte 1 do Teorema 
Fundamental do Cálculo. De acordo com o texto acima, diga em que valores de 𝑥 essa função 
tem valores máximos locais? Em queintervalos a função é côncava para cima? 
8. Calcule 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
−3
 interpretando a integral como uma diferença de áreas, onde 
 
𝑓 𝑥 = 
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 0
− 1 − 𝑥2, 𝑠𝑒 − 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 
 
9. Calcule os limites a seguir do seguinte modo: 
Reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann de uma função definida em [0, 1]. 
11 
 
𝑖) lim
𝑛→∞
 
𝑖3
𝑛4
𝑛
𝑖=1
 𝑖𝑖) lim
𝑛→∞
1
𝑛
 
1
𝑛
+ 
2
𝑛
+ 
3
𝑛
+ ⋯ + 
𝑛
𝑛
 
10. Se 𝑓 é contínua e 𝑔 e 𝑕 são funções deriváveis, encontre uma fórmula para 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑕(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
11. Para todo 𝑥 > 0, ache uma função 𝑓 e um número 𝑎 tais que 
6 + 
𝑓(𝑡)
t2
 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= 2 𝑥 
12. Ache: 
lim
𝑕→0
 1 + 𝑡3
2+𝑕
2
𝑑𝑡
𝑕
 
13. Calcule o limite 
lim
𝑛→∞
1
𝑛
 
1
𝑛
 
2017
+ 
2
𝑛
 
2017
+ 
3
𝑛
 
2017
+ ⋯ + 
𝑛
𝑛
 
2017
 
14. Comparando áreas, mostre que: 
a) 
1
3
< ln 1,5 <
5
12
 b) 
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
< ln 𝑛 < 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛 − 1
 
c) ln 2 < 1 < ln 3 d) 2 < 𝑒 < 3 
15. Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua 𝑓 = 𝑓(𝑡), onde 𝑡 é 
o tempo medido em meses desde seu último recondicionamento. Como a cada vez em que a 
máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo 𝐾, a empresa deseja determinar o 
tempo ideal 𝑇 (em meses) entre os recondicionamentos. 
a) Explique por que 𝑓(𝑠) 𝑑𝑠
𝑡
0
 representa a perda do valor da máquina sobre o período de 
tempo 𝑡 desde o último recondicionamento. 
b) O que representa 𝐶 = 𝐶(𝑡), dado pela função abaixo, e por que a empresa quer minimizá-la? 
𝐶 𝑡 = 
1
𝑡
 𝐾 + 𝑓(𝑠) 𝑑𝑠
𝑡
0
 
c) Mostre que 𝐶 tem um valor mínimo nos números 𝑡 = 𝑇, onde 𝐶(𝑇) = 𝑓(𝑇). 
16. Suponha que a temperatura em uma barra longa e fina colocada sobre o eixo 𝑥 seja 
inicialmente 𝐶/(2𝑎) se 𝑥 ≤ 𝑎 e 0 se 𝑥 > 𝑎. Pode ser mostrado que se a difusividade do calor 
da barra for 𝑘, então sua temperatura em um ponto 𝑥 no instante 𝑡 é 
𝑇 𝑥, 𝑡 =
𝐶
𝑎 4𝜋𝑘𝑡
 𝑒− 𝑥−𝑢 
2/ 4𝑘𝑡 𝑑𝑢
𝑎
0
 
Para acharmos a distribuição de temperatura que resulta de uma área quente concentrada 
inicialmente na origem, precisamos calcular lim𝑎→0 𝑇 𝑥, 𝑡 . Use a Regra de L’Hôspital para 
encontrar esse limite. 
12 
 
Seção 4. Integral Indefinida 
1. Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏]. 
a) Explique o significado da integral indefinida 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 
b) A qual resultado atribui-se a conexão entre a integral definida e a integral indefinida? 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
𝑎
𝑏
 
c) Explique exatamente o significado da afirmação: 
“derivação e integração são processos inversos” 
2. Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. 
a) 𝑥 cos (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 b) 
1
 𝑎2 − 𝑥2 3
 𝑑𝑥 =
𝑥
𝑎2 𝑎2 − 𝑥2
+ 𝐶 
3. Ache a função integral indefinida geral. 
a) 𝑥−3/4 𝑑𝑥 b) 𝑥3 + 6𝑥 + 1 𝑑𝑥 c) (1 − 𝑡)(2 + t2) 𝑑𝑡 
d) 2 − 𝑥 
2
𝑑𝑥 e) 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛 2(𝑥)
 𝑑𝑥 f) 
𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 𝑑𝑥 
Observação: Os próximos exercícios buscam responder as perguntas mais freqüentes, a 
saber: “Pra que serve? Onde vou usar? Qual a importância pra minha vida profissional?” 
Comentário: (Aplicações) 
A Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se 𝑓 for contínua em [𝑎, 𝑏], então 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 
onde 𝐹 é qualquer primitiva de 𝑓. Isso significa que 𝐹′ = 𝑓, de modo que a equação pode ser 
reescrita como 
 𝐹′(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 
Sabemos que 𝐹′(𝑥) representa a taxa de variação de 𝑦 = 𝐹(𝑥) em relação a 𝑥 e 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) é 
a variação em 𝑦 quando 𝑥 muda de 𝑎 para 𝑏. Logo, podemos reformular a Parte II do Teorema 
Fundamental do Cálculo em palavras da forma a seguir. 
Teorema da Variação Total. A integral de uma taxa de variação é a variação total: 
 𝐹′(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 
Esse princípio pode ser aplicado a todas as taxas de variação, nas ciências naturais e sociais, 
nos fornecendo uma gama de possibilidades dessa idéia conforme exercícios a seguir: 
13 
 
4. Suponha que uma partícula mova-se para frente e para trás ao longo de uma linha reta com 
uma velocidade 𝑣(𝑡), medida em metros por segundo, e aceleração 𝛼(𝑡). 
a) Qual o significado de 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
120
60
? 
b) Qual o significado de 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
120
60
? 
c) Qual o significado de 𝛼(𝑡) 𝑑𝑡
120
60
? 
5. Se 𝑤’(𝑡) for a taxa de crescimento de uma criança em quilogramas por ano, o que 
 𝑤’(𝑡) 𝑑𝑡
10
5
 representa? 
6. Se vazar óleo de um tanque a uma taxa de 𝑟 𝑡 galões por minuto em um instante 𝑡, o que 
 𝑟 𝑡 𝑑𝑡
120
0
 representa? 
7. Uma colméia com uma população inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de 𝑛′(𝑡) abelhas 
por semana. O que 100 + 𝑛′ 𝑡 𝑑𝑡
15
0
 representa? 
8. Em Economia, defini-se função rendimento marginal 𝑅′(𝑥) como a derivada da função 
rendimento 𝑅(𝑥), onde 𝑥 é o número de unidades vendidas. O que 𝑅′ 𝑡 𝑑𝑡
5000
1000
 representa? 
9. Uma corrente existe sempre que cargas elétricas se movem. A figura abaixo ilustra parte de 
um fio e elétrons movimentando-se através de uma superfície plana sombreada em vermelho. 
 
Se ∆𝑄 é a quantidade de carga líquida que passa através dessa superfície durante um período 
de tempo ∆𝑡, então a corrente média durante esse intervalo de tempo é definida como 
∆𝑄
∆𝑡
=
𝑄2 − 𝑄1
𝑡2 − 𝑡1
 
Se fizermos o limite dessa corrente média sobre intervalos de tempo cada vez menores, 
obteremos o que denominamos corrente 𝐼 em um dado tempo 𝑡1: 
𝐼 = lim
∆𝑡→0
∆𝑄
∆𝑡
=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 
Assim, a corrente (medida em unidades de carga por unidade de tempo, frequentemente 
coulombs por segundo, chamados ampères) é a taxa na qual a carga flui através de uma 
superfície. 
Em outras palavras: 
A corrente em um fio elétrico é definida como a derivada da carga, isto é, 
𝐼 𝑡 = 𝑄′ (𝑡) 
Pergunta: 
O que 𝐼 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 representa? 
14 
 
10. A função velocidade (em metros por segundo), definida por 𝑣 𝑡 = 3𝑡 − 5, em 0 ≤ 𝑡 ≤ 3, é 
dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Durante o intervalo de tempo 
dado, encontre: 
a) O deslocamento da partícula. 
b) A distância percorrida pela partícula. 
11. A função aceleração (em 𝑚/𝑠2), dada por 𝛼 𝑡 = 𝑡 + 4, e a velocidade inicial 𝑣 0 = 5 são 
dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta, para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. Durante o 
intervalo de tempo dado, encontre: 
a) A velocidade no instante 𝑡. 
b) A distância percorrida pela partícula. 
12. Como é possível medir a distribuição de renda entre os habitantes de um determinado 
país? Uma dessas medidas é o índice de Gini, que leva o nome do economista italiano Corrado 
Gini, o qual foi o primeiro a idealizá-lo em 1912. Economistas usam uma distribuição 
acumulada chamada de curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre famílias 
em um dado país (a curva de Lorenz é assim denominada em homenagem ao economista 
norte-americano Max Lorenz). Tipicamente, uma curva de Lorenz é contínua, definida em [0, 1], 
passa pelos pontos (0, 0) e (1, 1), crescente e côncava para cima. Os pontos sobre essa curva 
são determinadosclassificando-se todas as famílias pela renda e então computando-se a 
porcentagem dada da renda total do país. Por exemplo, o ponto (𝑎/100,𝑏/100) está sobre a 
curva de Lorenz se 𝑎% de famílias recebe no máximo 𝑏% da renda total. Igualdade absoluta da 
distribuição de renda ocorreria se a parte mais baixa 𝑎% das famílias recebesse 𝑎% da renda, 
e nesse caso a curva de Lorenz seria a reta 𝑦 = 𝑥. A área entre a curva de Lorenz e a reta 
𝑦 = 𝑥 mede quanto a distribuição de renda difere da igualdade absoluta. O índice de Gini 
(algumas vezes chamado de coeficiente Gini ou de coeficiente de desigualdade) é a razão da 
área entre a curva de Lorenz e a reta 𝑦 = 𝑥 para a área sob 𝑦 = 𝑥. Veja figura abaixo. 
 
a) Mostre que o coeficiente de desigualdade é o dobro da área entre a curva de Lorenz e a reta 
𝑦 = 𝑥, isto é, mostre que 
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 = 2 𝑥 − 𝐿(𝑥) 𝑑𝑥
1
0
 
b) A distribuição de renda para um certo país está representada pela curva de Lorenz definida 
pela equação 
𝐿 𝑥 =
5
12
𝑥2 +
7
12
𝑥 
Qual a percentagem da renda total recebida pela parte de baixo das 50% das famílias? Ache o 
coeficiente de desigualdade. 
15 
 
Seção 5. Desafios 
1. Calcule 𝑓(4), onde 𝑓 é uma função contínua tal que, 
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 = 𝑓 𝑡 
𝑥2
0
𝑑𝑡 
2. Mostre 
1
17
≤ 
1
1 + 𝑥4
2
1
 𝑑𝑥 ≤
7
24
 
3. Ache 𝑓’(𝜋/2), sabendo que 
𝑓 𝑥 = 
1
1 + 𝑥4
 1+𝑠𝑒𝑛 (𝑡2) 
cos 𝑥 
0 𝑑𝑡
0
 𝑑𝑥 
4. Encontre as derivadas. 
𝑖) 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 (𝑡2) 𝑑𝑡
𝑥
0
 𝑖𝑖) 
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
 1 + 𝑢4 𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
1
 𝑑𝑡
𝑥
0
 
5. Calcule os limites. 
𝑖) lim
𝑥→0
1
𝑥
 1 − 𝑡𝑔 2𝑡 
1
𝑡
𝑥
0
 𝑑𝑡 𝑖𝑖) lim
𝑥→3
 
𝑥
𝑥 − 3
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
𝑡
𝑥
3
 𝑑𝑡 
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑛→∞
 
1
𝑛 𝑛 + 1
+
1
𝑛 𝑛 + 2
+ ⋯ +
1
𝑛 𝑛 + 𝑛
 
6. As figuras abaixo mostram duas regiões no primeiro quadrante, a saber, as áreas 𝐴(𝑡), sob a 
curva de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) de 0 a 𝑡, e 𝐵(𝑡), do triângulo com vértices 𝑂, 𝑃 e (𝑡, 0): 
 
Ache o limite 
lim
𝑡→0+
𝐴(𝑡)
𝐵(𝑡)
 
7. Estime a soma 
 𝑖
10000
𝑖=1
 
16 
 
8. A função maior inteiro é definida por 𝑥 = max 𝑎 ∈ ℞; 𝑎 ≤ 𝑥 (por exemplo, 7 = 7, 𝜋 = 3, 
 −0,5 = −1, 2 = 1). Sejam 𝑛 um inteiro positivo, 𝑎 e 𝑏 números reais com 0 ≤ 𝑎 < 𝑏. 
Calcule: 
𝑖) 𝑥 𝑑𝑥
𝑛
0
 𝑖𝑖) 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
9. Demonstre que se 𝑓 for contínua, então 
 𝑓 𝑢 (𝑥 − 𝑢) 𝑑𝑢
𝑥
0
= 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑢
0
 𝑑𝑢
𝑥
0
 
10. Vimos e provamos em sala de aula as seguintes fórmulas de somatória, necessárias para 
encontrar áreas e computar integrais: 
𝑖) 𝑖
𝑛
𝑖=1
=
𝑛(𝑛 + 1)
2
 𝑖𝑖) 𝑖2
𝑛
𝑖=1
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
 𝑖𝑖𝑖) 𝑖3
𝑛
𝑖=1
= 
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
2
 
Essas são as somas das 𝑘-ésimas potências dos 𝑛 primeiros inteiros positivos, para 𝑘 = 1, 2, 3. 
Neste exercício vamos generalizar tais somas, para 𝑘 real qualquer. Essas fórmulas foram 
publicadas pela primeira vez em 1713 pelo matemático suíço James Bernoulli em seu livro Ars 
Conjectandi. 
a) Defini-se Polinômios de Bernoulli 𝐵𝑛 por 𝐵0 𝑥 = 1, 𝐵′𝑛 𝑥 = 𝐵𝑛−1 𝑥 e 𝐵𝑛 𝑥 
1
0
𝑑𝑥 = 0, para 
𝑛 = 1, 2, 3, … . Ache 𝐵𝑛 𝑥 para 𝑛 = 1, 2, 3 e 4. 
b) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que 𝐵𝑛 0 = 𝐵𝑛 1 para 𝑛 ≥ 2. 
c) Se introduzirmos os números de Bernoulli 𝑏𝑛 = 𝑛! 𝐵𝑛 0 , então podemos escrever 
𝐵0 𝑥 = 𝑏0 
𝐵1 𝑥 =
𝑥
1!
+
𝑏1
1!
 
𝐵2 𝑥 =
𝑥2
2!
+
𝑏1
1!
𝑥
1!
+
𝑏2
2!
 
𝐵3 𝑥 =
𝑥3
3!
+
𝑏1
1!
𝑥2
2!
+
𝑏2
2!
𝑥
1!
+
𝑏3
3!
 
⋮ 
𝐵𝑛 𝑥 =
1
𝑛!
 
𝑛
𝑘
 
𝑛
𝑘=0
𝑏𝑘𝑥
𝑛−𝑘 , onde 
𝑛
𝑘
 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
 
Aqui, os números 𝑛
𝑘
 são os coeficientes binomiais. Para 𝑛 ≥ 2, use o item (b) para mostrar 
que 𝑏𝑛 = 
𝑛
𝑘
 𝑛𝑘=0 𝑏𝑘 e, portanto, 
𝑏𝑛−1 = −
1
𝑛
 
𝑛
0
 𝑏0 + 
𝑛
1
 𝑏1 + 
𝑛
2
 𝑏2 + ⋯ + 
𝑛
𝑛 − 2
 𝑏𝑛−2 
Isso dá uma maneira eficiente de calcular os números de Bernoulii e, portanto, os polinômios 
de Bernoulii. 
17 
 
d) Mostre a igualdade abaixo e deduza que 𝑏2𝑛+1 = 0, para 𝑛 > 0. 
𝐵𝑛 1 − 𝑥 = −1 
𝑛𝐵𝑛 𝑥 
e) Calcule: 
1) Os números de Bernoulli 𝑏6 e 𝑏8 usando os item (c) e (d). 
2) Os polinômios 𝐵5, 𝐵6, 𝐵7, 𝐵8, e 𝐵9 usando (1). 
f) Use a indução matemática para provar a seguinte fórmula de recorrência: 
𝐵𝑘+1(𝑥 + 1) − 𝐵𝑘+1(𝑥) = 𝑥
𝑘/𝑘! 
g) Colocando 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛 no item (f), prove que 
1𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑘! 𝐵𝑘+1(𝑛 + 1) − 𝐵𝑘+1(0) = 𝑘! 𝐵𝑘 𝑥 
𝑛+1
0
 𝑑𝑥 
h) Use o item (g), com 𝑘 = 3, e a fórmula para 𝐵4 no item (a) para confirmar a fórmula da soma 
dos 𝑛 primeiros cubos, dado em (𝑖𝑖𝑖). 
i) Mostre que a fórmula no item (g) pode ser escrita simbolicamente como 
1𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 + ⋯ + 𝑛𝑘 =
1
𝑘 + 1
 𝑛 + 1 + 𝑏 𝑘+1 − 𝑏𝑘+1 
onde a expressão 𝑛 + 1 + 𝑏 𝑘+1 deve ser expandida formalmente usando-se o Teorema do 
Binômio e cada potência 𝑏𝑖 deve ser substitui8da pelo número de Bernoulli 𝑏𝑖 . 
j) Use o item (i) para encontrar uma fórmula para a soma 
15 + 25 + 35 + ⋯ + 𝑛5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Capítulo 2. Técnicas de Integração 
 
Seção 1. Regra da Substituição 
1. Devido ao Teorema Fundamental do Cálculo, cada regra (técnica) de derivação tem outra 
correspondente de integração. Em particular, a Regra da Substituição para a integração 
corresponde à Regra da Cadeia para a derivação (é bom salientar que a Regra da Substituição 
foi demonstrada em sala de aula fazendo uso da Regra da Cadeia). O método da substituição 
é a técnica de integração mais importante do Cálculo, e a descreveremos a seguir: 
Teorema. (A Regra da Substituição) Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função derivável cuja imagem é um 
intervalo 𝐼 e 𝑓 for contínua em 𝐼, então 
 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 (∗) 
Note que se 𝑢 = 𝑔(𝑥), então 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥. Assim, uma forma de recordar a Regra da 
Substituição é imaginar 𝑑𝑥 e 𝑑𝑢 em (∗) como diferenciais. Pergunta: 
O que a Regra da Substituição estabelece? Noutras palavras, na prática, como fazer uso dela? 
2. Calcule as integrais definida, se existirem, e indefinida. 
a) 2𝑥 𝑥2 + 3 4 𝑑𝑥 b) 𝑥 − 1 25
2
0
𝑑𝑥 c) 2 − 𝑥 6 𝑑𝑥 
d) 
𝑑𝑥
5−3𝑥
 e) 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝑥2)
 𝜋
0
 𝑑𝑥 f) 
1+4𝑥
 1+𝑥+2𝑥2
𝑑𝑥 
g) 1 − 2𝑦 1,3 𝑑𝑦 h) 
1
𝑥2
 1 +
1
𝑥
 
4
1
𝑑𝑥 i) 
 ln 𝑥 2
𝑥
 𝑑𝑥 
j) 
𝑡𝑔−1(𝑥)
1+ 𝑥 2
𝑑𝑥 k) 
𝑑𝑥
 2𝑥−3 2
2
0
 l) 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 1 + 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 
m) 𝑒𝑥 1 + 𝑒𝑥 𝑑𝑥 n) 𝑥 𝑒−𝑥
21
0
𝑑𝑥 o) 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑒𝑥) 𝑑𝑥 
p) 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 q) 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 
𝜋/3
0
𝑑𝑥 r) 
𝑎𝑥+𝑏
 𝑎𝑥2+2𝑏𝑥 +𝑐
𝑑𝑥 
s) 
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
 t) 
𝑑𝑥
 1+2𝑥 2
3
13
0
 u) 
𝑒𝑥
𝑒𝑥+1
 𝑑𝑥v) 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 x) 𝑥 𝑥 − 1
2
1
𝑑𝑥 y) 
𝑐𝑜𝑠 (𝜋/𝑥)
𝑥2
𝑑𝑥 
w) 
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥 z) 
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
 𝑒4
𝑒
𝑑𝑥 A) 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
1+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 
 𝑑𝑥 
B) 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑔 (𝑥) 𝑑𝑥 C) 
𝑠𝑒𝑛 −1(𝑥)
 1−𝑥2
1/2
0
𝑑𝑥 D) 𝑥3 + 1
3
𝑥5 𝑑𝑥 
E) 𝑥𝑎 𝑏 + 𝑐𝑥𝑎+1
3
 𝑑𝑥, onde 𝑐 ≠ 0 e 𝑎 ≠ −1, ∀𝑥 ∈ ℝ F) 
𝑑𝑥
 𝑥−2 3
4
0
𝑑𝑥 
G) 
1+𝑥
1+𝑥 2
 𝑑𝑥 H) 
𝑥
1+ 𝑥4 
 𝑑𝑥 I) 𝑥 𝑎2 − 𝑥2
𝑎
0
𝑑𝑥 
19 
 
3. Se 𝑓′ for contínua em [𝑎, 𝑏], mostre que 
2 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓(𝑏) 2 − 𝑓(𝑎) 2 
4. Se 𝑓 for contínua em [0, 1], prove que 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= 𝑓 1 − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 
5. Suponha 𝑓 contínua em ℝ. 
a) Prove que são verdadeiras as seguintes equações: 
𝑖) 𝑓 −𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−𝑎
−𝑏
 𝑖𝑖) 𝑓 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏+𝑐
𝑎+𝑐
 
b) Faça um diagrama para interpretar geometricamente a equação (𝑖) (para o caso onde 
𝑓(𝑥) ≥ 0 e 0 < 𝑎 < 𝑏) e a equação (𝑖𝑖) (para o caso onde 𝑓(𝑥) ≥ 0) como uma igualdade de 
áreas. 
6. Se 𝑎 e 𝑏 forem números positivos, mostre que 
 𝑥𝑎 1 − 𝑥 𝑏𝑑𝑥
1
0
= 𝑥𝑏 1 − 𝑥 𝑎𝑑𝑥
1
0
 
7. Se 𝑓 é contínua em [0, 𝜋], use a substituição 𝑢 = 𝜋 − 𝑥 para demonstrar que 
𝜋
2
=
 𝑥 𝑓 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 𝑓 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 
8. Use o exercício (7) para calcular a integral 
 
𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
𝑑𝑥
𝜋
0
 
9. A respiração é cíclica e o ciclo completo respiratório desde o início da inalação até o fim da 
expiração demora cerca de 5𝑠. A taxa máxima de fluxo de ar nos pulmões é cerca de 0,5𝐿/𝑠. 
Isso explica, em partes, porque a função definida por 
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡/5) 
tem sido frequentemente utilizada para modelar a taxa de fluxo de ar nos pulmões. Use esse 
modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante 𝑡. 
10. A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova 
calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após 𝑡 semanas é 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 5000 1 −
100
 𝑡 + 10 2
 
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo, mas a 
produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas. 
Encontre o número de calculadoras produzidas no começo da terceira semana até o fim da 
quarta semana. 
20 
 
Seção 2. Integração Por Partes 
1. Na seção anterior vimos que a Regra da Substituição para a integração corresponde à 
Regra da Cadeia para a derivação. Qual a regra do “mundo das derivadas” corresponde a 
Integração Por Partes do “mundo das integrais”? Na prática, como fazer uso dela? 
Dica: revisite demonstração feita, em sala de aula, da integração por partes. 
2. Use integração por partes para avaliar as seguintes integrais: 
a) 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 b) ln 𝑥 2𝑑𝑥 c) 𝑥3𝑒𝑥 𝑑𝑥 
d) 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 e) 𝑒−𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 f) 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑥 𝑑𝑥 
g) 
ln 𝑥
𝑥2
2
1
 𝑑𝑥 h) 𝑥
4
1
ln 𝑥 𝑑𝑥 i) ln 𝑥 𝑑𝑥
4
1
 
j) 𝑥5𝑥𝑑𝑥
1
0
 k) cos 𝑥 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 l) 
𝑥3
 4 + 𝑥2
 𝑑𝑥
1
0
 
m) 𝑥4 ln 𝑥 2𝑑𝑥
2
1
 n) 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
 
3. Faça uma substituição e use integração por partes para avaliar as seguintes integrais: 
a) sen 𝑥 𝑑𝑥 b) 𝑒 𝑥
4
1
𝑑𝑥 c) 𝑥3𝑐𝑜𝑠 𝑥2 
 𝜋
 𝜋/2
𝑑𝑥 d) 𝑥5𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 
4. Considere as seguintes fórmulas de redução: 
(1) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −
1
𝑛
cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝑥 +
𝑛−1
𝑛
 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑛 ≥ 2 é um inteiro. 
(2) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−1𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
𝑛−1
𝑛
 𝑐𝑜𝑠𝑛−2𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑛 ≥ 2 é um inteiro. 
(3) ln 𝑥 𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑛 − 𝑛 ln 𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥, onde 𝑛 ≥ 1 é um inteiro. 
(4) 𝑥𝑛𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛𝑒𝑥 − 𝑛 𝑥𝑛−1𝑒𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑛 ≥ 1 é um inteiro. 
a) Use integração por partes para provar as quatro fórmulas de redução. 
b) Use (2) para avaliar 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥. 
c) Use os itens (a) e (b) para avaliar 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥. 
d) Use (1) para mostrar que 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥 =
𝑛−1
𝑛
 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥. 
e) Use o item (d) para avaliar 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥 e 𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥. 
f) Use (3) para avaliar ln 𝑥 3 𝑑𝑥. 
g) Use (4) para avaliar 𝑥4𝑒𝑥 𝑑𝑥. 
5. Prove que, para potências pares de seno, 𝑠𝑒𝑛2𝑛𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥 =
1∙3∙5∙⋯∙(2𝑛−1)
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛
𝜋
2
. 
21 
 
6. Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região 
limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. 
a) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 𝑒−𝑥 , 𝑥 = 1; ao redor do eixo y. b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝜋; ao redor do eixo x. 
7. Um foguete acelera pela queima do combustível abordo, e assim, sua massa diminui com o 
tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo o combustível) seja 
𝑚, que o combustível seja consumido a uma taxa 𝑟, e que os gases de exaustão sejam 
ejetados a uma velocidade constante 𝑣𝑒 (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do 
foguete a um tempo 𝑡 é dado pela equação 𝑣 𝑡 = −𝑔𝑡 − 𝑣𝑒 ln
𝑚−𝑟𝑡
𝑚
, onde 𝑔 é a aceleração 
da gravidade, e 𝑡 não é muito grande. Se 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2, 𝑚 = 30000 𝑘𝑔, 𝑟 = 160 𝑘𝑔/𝑠 e 
𝑣𝑒 = 3000 𝑚/𝑠, ache a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento. 
8. Uma partícula que se move ao longo de uma linha reta tem, após 𝑡 segundos, velocidade 
igual a 𝑣 𝑡 = 𝑡2𝑒−𝑡 𝑚/𝑠. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros 𝑡 
segundos? 
9. Se 𝑓 0 = 𝑔 0 = 0, mostre que 
 𝑓 𝑥 𝑔′′(𝑥)
𝑎
0
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑔′ 𝑎 − 𝑓 ′ 𝑎 𝑔 𝑎 + 𝑓′′ 𝑥 𝑔(𝑥)
𝑎
0
𝑑𝑥 
10. Use integração por partes para mostrar que 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 − 𝑥𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥. 
11. Sejam 𝑓 e 𝑔 funções inversas e 𝑓′ é contínua. 
a) Prove que 𝑓 𝑥 
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑏𝑓 𝑏 − 𝑎𝑓 𝑎 − 𝑔(𝑦)
𝑓 𝑏 
𝑓 𝑎 
𝑑𝑦. 
Dica: Use o exercício (10) e faça a substituição 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
b) No caso onde 𝑓 e 𝑔 são funções positivas e 𝑏 > 𝑎 > 0, desenhe um diagrama para dar uma 
interpretação geométrica ao resultado do item (a). 
12. Use o exercício (11) para avaliar ln 𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥. 
13. Nas aplicações de integração chegamos à fórmula 𝑉 = 2𝜋𝑓 𝑥 
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, usando cascas 
cilíndricas. Agora, podemos usar integração por partes para prová-la usando o método do 
fatiamento, ao menos para o caso onde 𝑓 é um a um e portanto tem uma função inversa 𝑔. Use 
a figura abaixo para mostrar que 𝑉 = 𝜋𝑏2𝑑 − 𝜋𝑎2𝑐 − 𝜋 𝑔(𝑦) 2
𝑑
𝑐
𝑑𝑦. 
 
Faça a substituição 𝑦 = 𝑓(𝑥) e então use integração por partes na integral resultante para 
provar que 𝑉 = 2𝜋𝑓 𝑥 
𝑏
𝑎
𝑑𝑥. 
22 
 
Seção 3. Integrais Trigonométricas 
1. Use integrais trigonométricas para avaliar as seguintes integrais: 
a) 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛5𝑥
3𝜋/4
𝜋/2
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 c) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 
d) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 e) 𝑠𝑒𝑛3𝑚𝑥 𝑑𝑥 f) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 
g) 𝑠𝑒𝑛6𝜋𝑥 𝑑𝑥 h) 𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝜋/4
0
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 i)𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝜋/2
0
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
j) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 k) 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥2 𝑑𝑥 l) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑔3𝑥 𝑑𝑥 
m) 𝑐𝑜𝑡𝑔5𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 n) 
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 o) 
1
cos 𝑥 − 1
𝑑𝑥 
p) 𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 q) 𝑡𝑔4𝑥 𝑑𝑥 r) 𝑠𝑒𝑐6𝑥
𝜋/4
0
𝑑𝑥 
s) 𝑡𝑔4𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝜋/4
0
𝑑𝑥 t) 𝑡𝑔3𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 u) 𝑡𝑔5𝑥 𝑠𝑒𝑐6𝑥
𝜋/3
0
𝑑𝑥 
v) 𝑡𝑔5𝑥 𝑑𝑥 x) 𝑡𝑔6𝑎𝑥 𝑑𝑥 y) 𝑡𝑔2𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 
w) 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
𝜋/2
𝜋/6
𝑑𝑥 z) 𝑐𝑜𝑡𝑔3𝑥
𝜋/2
𝜋/4
𝑑𝑥 A) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 
B) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 C) 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 D) 𝑐𝑜𝑠 7𝑥 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥 
E) 
cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑑𝑥 F) 
1 − 𝑡𝑔2𝑥
𝑠𝑒𝑐 2𝑥
𝑑𝑥 G) 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠7 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
2. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade, definida por 
𝑣 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 
Encontre sua função de posição 𝑠 = 𝑓 𝑡 se 𝑓 0 = 0. 
3. Prove a fórmula, onde 𝑚 e 𝑛 são inteiros positivos: 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 
𝜋
−𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 
𝜋
−𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 
𝜋
−𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 
0 𝑠𝑒 𝑚 ≠ 𝑛
𝜋 𝑠𝑒 𝑚 = 𝑛
 
4. Chamamos de série finita de Fourier a soma definida por 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥
𝑁
𝑛=1
= 𝑎1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑁𝑠𝑒𝑛 𝑁𝑥 
Mostre que o 𝑚 -ésimo coeficiente 𝑎𝑚 é dado pela fórmula 
𝑎𝑚 =
1
𝜋
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥 
23 
 
Seção 4. Substituição Trigonométrica 
1. Use substituição trigonométrica para avaliar as seguintes integrais: 
a) 
𝑥3
 16 − 𝑥2
 𝑑𝑥
2 3
0
 b) 
1
𝑥3 𝑥2 − 1
 𝑑𝑥
2
 2
 c) 𝑥3 𝑥2 + 4 𝑑𝑥
2
0
 
d) 
1
𝑥2 25 − 𝑥2
 𝑑𝑥 e) 
 𝑥2 − 𝑎2
𝑥4
 𝑑𝑥 f) 1 − 4𝑥2 𝑑𝑥 
g) 
1
𝑥 5 − 𝑥2
 𝑑𝑥 h) 
𝑥2
 𝑎2 − 𝑥2 3/2
 𝑑𝑥 i) 
1
𝑥2 16𝑥2 − 9
 𝑑𝑥 
j) 
𝑥
 𝑥2− 7
 𝑑𝑥 k) 
1
 𝑎𝑥 2 − 𝑏2 3/2
 𝑑𝑥 l) 𝑥3 4 − 9𝑥2 𝑑𝑥
2/3
0
 
m) 𝑥2 + 1 𝑑𝑥
1
0
 n) 
1
 𝑥2 − 6𝑥 + 13
 𝑑𝑥 o) 
1
 9𝑥2+ 6𝑥 − 8
 𝑑𝑥 
p) 
𝑥2
 4𝑥 − 𝑥2
 𝑑𝑥 q) 
1
 𝑥2 + 2𝑥 + 2 2
 𝑑𝑥 r) 
1
 5 − 4𝑥 − 𝑥2 5/2
 𝑑𝑥 
s) 𝑒𝑥 9 − 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
2. As fórmulas dos itens (a) e (b) a seguir estão interligadas pelo arco seno hiperbólico 
𝑠𝑒𝑛𝑕−1𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥2 + 1 
a) Use a substituição trigonométrica para mostrar que 
 
1
 𝑥2 + 𝑎2
 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 + 𝐶 
b) Use a substituição hiperbólica 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑡 para mostrar que 
 
1
 𝑥2 + 𝑎2
 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑕−1 
𝑥
𝑎
 + 𝐶 
3. Prove a fórmula que fornece a área de um setor circular com raio 𝑟 e ângulo central 𝜃. 
𝐴 =
1
2
𝑟2𝜃 
Dica: Assuma 0 < 𝜃 < 𝜋/2 e coloque o centro do círculo na origem do sistema cartesiano xOy. 
Assim, ele terá a simples equação 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
Então 𝐴 é a soma da área do triângulo 𝑃𝑂𝑄 e a área da região 𝑃𝑄𝑅 na figura a seguir. 
 
24 
 
4. Uma barra carregada de comprimido 𝐿 produz um campo elétrico no ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) dado por 
𝐸 𝑃 = 
𝜆𝑏
4𝜋 𝜀0 (𝑥2 + 𝑏2)3/2 
 𝑑𝑥
𝐿−𝑎
−𝑎
 
onde 𝜆 é a densidade de carga por unidade de comprimento da barra e 𝜀0 é a permissividade 
do vácuo (veja figura). Avalie a integral para determinar uma expressão para o campo elétrico 
𝐸 𝑃 . 
 
5. Um toro (o sólido com formato de rosquinha da figura abaixo) com raios 𝑟 e 𝑅 é gerado pela 
rotação do círculo descrito pela equação que segue, ao redor do eixo 𝑥: 
𝑥2 + 𝑦 − 𝑅 2 = 𝑟2 
Ache o volume limitado pelo toro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Seção 5. Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
1. Use frações parciais para avaliar as seguintes integrais: 
a) 
𝑥−9
 𝑥 + 5 (𝑥 − 2)
 𝑑𝑥 b) 
1
 𝑥 + 4 (𝑥 − 1)
 𝑑𝑥 c) 
1
 𝑥 + 𝑎 (𝑥 + 𝑏)
 𝑑𝑥 
d) 
2𝑥 + 3
 𝑥 + 1 2
 𝑑𝑥
1
0
 e) 
𝑥3+ 𝑥2− 12𝑥 + 1
𝑥2+ 𝑥 − 12
 𝑑𝑥
2
0
 f) 
4𝑥2− 7𝑥 − 12
𝑥 𝑥 + 2 (𝑥 − 3)
 𝑑𝑥
2
1
 
g) 
1
 𝑥 + 5 2(𝑥 − 1)
 𝑑𝑥 h) 
𝑥2
(𝑥 − 3) 𝑥 + 2 2
 𝑑𝑥 i) 
5𝑥2+ 3𝑥 − 2
𝑥3+ 2𝑥2
 𝑑𝑥 
j) 
1
𝑥2 𝑥 − 1 2
 𝑑𝑥 k) 
𝑥2
(𝑥 + 1)3
 𝑑𝑥 l) 
𝑥3
(𝑥 + 1)3
 𝑑𝑥 
m) 
𝑥2− 2𝑥 −1
 𝑥 − 1 2(𝑥2 + 1)
 𝑑𝑥 n) 
𝑥3− 2𝑥2+ 𝑥 + 1
𝑥4+ 5𝑥2+ 4
 𝑑𝑥 o) 
1
𝑥3− 1
 𝑑𝑥 
p) 
𝑥3
𝑥3+ 1
 𝑑𝑥 q) 
𝑥2+ 2𝑥
𝑥3+ 3𝑥2 +4
 𝑑𝑥
5
2
 r) 
2𝑥3+ 5𝑥
𝑥4+ 5𝑥2 +4
 𝑑𝑥
1
0
 
s) 
1
𝑥4− 𝑥2
 𝑑𝑥 t) 
𝑥 − 3
 𝑥2+ 2𝑥 + 4 2
 𝑑𝑥 u) 
𝑥4+ 1
𝑥 𝑥2+ 1 2
 𝑑𝑥 
2. Use uma substituição racionalizante apropriada para expressar o integrando como uma 
função racional e então avalie a integral. 
a) 
 𝑥
𝑥 − 4
 𝑑𝑥
16
9
 b) 
 𝑥
𝑥2+ 𝑥
 𝑑𝑥
3
1/3
 
c) 
1
 𝑥 − 𝑥
3 𝑑𝑥 (Dica: Substitua 𝑢 = 𝑥
6
 ) d) 
1
 𝑥
3
 + 𝑥
4 𝑑𝑥 (Dica: Substitua 𝑢 = 𝑥
12
 ) 
e) 
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥 + 3𝑒𝑥 + 2
 𝑑𝑥 f) 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑑𝑥 
3. Complete o quadrado e use a fórmula abaixo para avaliar as integrais que segue. 
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 
1
𝑥2 − 𝑎2
 𝑑𝑥 =
1
2𝑎
ln 
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
 + 𝐶 
a) 
1
𝑥2− 2𝑥
 𝑑𝑥 b) 
2𝑥 + 1
4𝑥2+ 12𝑥 − 7
 𝑑𝑥 
4. O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) notou que a substituição 𝑡 = 𝑡𝑔 
𝑥
2
 
converte qualquer função racional de 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e cos 𝑥 em uma função racional ordinária de 𝑡. 
a) Se 𝑡 = 𝑡𝑔 
𝑥
2
 , −𝜋 < 𝑥 < 𝜋, esboce um triângulo retângulo ou use identidades 
trigonométricas para mostrar que 𝑐𝑜𝑠 
𝑥
2
 =
1
 1 + 𝑡2
 e 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
2
 =
𝑡
 1 + 𝑡2
. 
b) Mostre que cos 𝑥 =
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
 e 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2𝑡
1 + 𝑡2
. 
c) Mostre que 𝑑𝑥 =
2
1 + 𝑡2
𝑑𝑡. 
26 
 
5. Use a substituição do exercício anterior para transformar o integrando em uma função 
racional e então avalie a integral. 
a) 
1
3 – 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑑𝑥 b) 
1
3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 4 cos 𝑥
 𝑑𝑥 
6. Encontre a área da região sob a curva dada de 𝑎 até 𝑏. 
a) 𝑦 =
1
𝑥2− 6𝑥 + 8
 , 𝑎 = 5 , 𝑏 = 10 b) 𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
 , 𝑎 = 2 , 𝑏 = 3 
7. Um método de retardar o crescimento de uma população de insetos sem usar pesticidas é 
introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas 
não produzem filhotes. Se 𝐹 representa o número de fêmeas na população de insetos, 𝑀 o 
número de machos estéreis introduzidos a cada geração e 𝑟 a taxa de crescimento 
populacional natural, então a população de fêmeas está relacionada com o instante 𝑡 por 
𝑡 = 
𝐹 + 𝑀
𝐹 𝑟 − 1 𝐹 − 𝑀 
 𝑑𝐹 
Suponha que uma população de insetos com 10.000 fêmeas cresça a uma taxa de 𝑟 = 0,10 eque 900 machos estéreis sejam adicionados. Avalie a integral para dar uma equação 
relacionando a população de fêmeas com o tempo (note que a equação resultante não pode 
ser resolvida explicitamente para 𝐹). 
8. Fatore 𝑥4 + 1 como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma 
quantidade. Use essa fatoração para avaliar 
 
1
𝑥4 + 1 
 𝑑𝑥 
9. Seja 𝑓 uma função quadrática que satisfaz as seguintes hipóteses: 
Hipótese 1: 
𝑓 0 = 1 
Hipótese 2: 
 
𝑓 𝑥 
x2(x + 1)3 
 𝑑𝑥 é uma função racional 
Encontre o valor de 𝑓′ 0 . 
 
 
 
 
 
27 
 
Seção 6. Estratégias de Integração 
Comentário. Como vimos, a integração é mais desafiadora que a derivação. Para acharmos a 
derivada de uma função é óbvia qual fórmula de derivação devemos aplicar. Porém, não é 
necessariamente óbvia qual técnica devemos aplicar para integrar uma dada função. Até 
agora, técnicas individuais têm sido aplicadas em cada seção. Nesta seção, contudo, 
apresentaremos uma coleção de integrais misturadas aleatoriamente, e o principal desafio será 
reconhecer quais técnicas ou fórmulas deverão ser usadas. Um pré-requisito para aplicar uma 
estratégia é o conhecimento das fórmulas básicas de integração. Na tabela seguinte juntamos 
as integrais de nossas listas anteriores com várias fórmulas adicionais que aprendemos. A 
maioria delas deveria ser memorizada. É útil conhecê-las todas, mas aquelas marcadas com 
asterisco não precisam ser memorizadas, porque podem ser facilmente deduzidas. A Fórmula 
19 pode ser evitada pelo uso de frações parciais e as substituições trigonométricas podem ser 
utilizadas no lugar da Fórmula 20. 
 
Exercício: 
Uma vez armado dessas fórmulas de integração, se não enxergar imediatamente como atacar 
uma dada integral, você poderá tentar a seguinte estratégia de quatro etapas. 
1. Simplifique o integrando, se possível 
2. Procure por uma substituição óbvia 
3. Classifique o integrando de acordo com sua forma 
4. Tente novamente 
28 
 
a) 
𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
1 + 𝑥2
1
−1
𝑑𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos⁡(cos 𝑥) 𝑑𝑥 c) 
𝑥
 3 − 𝑥4
𝑑𝑥 
d) 
𝑥
 1 − 𝑥2
1/2
0
 𝑑𝑥 e) 
𝑥2
 1 − 𝑥2
 2/2
0
 𝑑𝑥 f) 
2𝑥
(𝑥 − 3)2
 𝑑𝑥
2
0
 
g) 
𝑥 − 1
𝑥2 − 4𝑥 − 5
4
0
𝑑𝑥 h) 𝑒𝑥 + 𝑒
𝑥
 𝑑𝑥 i) 𝑒 𝑥
3
 𝑑𝑥 
j) 
 1 + ln 𝑥
𝑥𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥 k) 𝑥3 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 l) 𝑥 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 
m) (1 + 𝑥)8
1
0
𝑑𝑥 n) 
3𝑥2− 2
𝑥2− 2𝑥 − 8
𝑑𝑥 o) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ln⁡(sen 𝑥) 𝑑𝑥 
p) 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥 q) 
1 + 𝑥
1 − 𝑥
 𝑑𝑥 r) 
 2𝑥 − 1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 
s) 
3𝑥 − 1
𝑥 + 2
5
0
𝑑𝑥 t) 𝑥8 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1
−1
𝑑𝑥 u) 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 
v) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑔2𝑥
𝜋/4
0
𝑑𝑥 x) 
𝑥
1 − 𝑥2 + 1 − 𝑥2
 𝑑𝑥 y) 
1
 4𝑥2 − 4𝑥 − 3
𝑑𝑥 
w) 𝑥 𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 z) 𝑥5 𝑒−𝑥
3
 𝑑𝑥 A) 
1 + 𝑒𝑥
1 − 𝑒𝑥
 𝑑𝑥 
B) 
𝑥 + 𝑎
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑥 C) 
𝑥
 𝑥4 − 𝑎4
𝑑𝑥 D) 𝑥2 𝑡𝑔−1𝑥 𝑑𝑥 
E) 
1
𝑥 4𝑥 + 1
 𝑑𝑥 F) 
1
𝑥2 4𝑥 + 1
 𝑑𝑥 G) 
1
𝑥 4𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
H) 
1
𝑥( 𝑥4 + 1)
 𝑑𝑥 I) 
1
𝑥 + 4 + 4 𝑥 + 1
 𝑑𝑥 J) 
𝑥 ln 𝑥
 𝑥2 − 1
 𝑑𝑥 
K) 𝑥2 ln⁡(1 + 𝑥) 𝑑𝑥 L) 
1
𝑥 + 𝑥
3 𝑑𝑥 M) 
 𝑥4
 𝑥10 + 16
𝑑𝑥 
N) 
 𝑥3
 (𝑥 + 1)10 
𝑑𝑥 O) 
ln(𝑡𝑔 𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
𝜋/3
𝜋/4
𝑑𝑥 P) 
1
 𝑥 + 1 + 𝑥
 𝑑𝑥 
Q) 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
 𝑥
 𝑑𝑥 R) 
ln⁡(1+𝑥)
𝑥2
 𝑑𝑥 S) 
1 
 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 𝑑𝑥 
T) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
29 
 
Seção 7. Integrais Impróprias 
1. Quais das seguintes integrais é imprópria? Por quê? 
a) 𝑥4
∞
1
𝑒−𝑥
4
 𝑑𝑥 b) sec 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 c) 
𝑥
𝑥2 − 5𝑥 + 6
 𝑑𝑥
2
0
 
d) 
1
𝑥2 + 5
 𝑑𝑥
0
−∞
 e) 
1
2𝑥 − 1
2
1
 𝑑𝑥 f) 
1
2𝑥 − 1
1
0
 𝑑𝑥 
g) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + 𝑥2
∞
−∞
 𝑑𝑥 h) ln(𝑥 − 1)
2
1
𝑑𝑥 
2. O que está errado na equação? 
 
2𝑥
𝑥2 − 1
 𝑑𝑥
4
0
= ln 15 
3. Determine se cada integral é convergente ou divergente avaliando as que são convergentes. 
a) 
1
(3𝑥 + 1)2 
∞
1
 𝑑𝑥 b) 
1
 2 − 𝑥
−1
−∞
 𝑑𝑥 c) 𝑒−2𝑥
−1
−∞
 𝑑𝑥 
d) 𝑥𝑒−𝑥
2∞
−∞
 𝑑𝑥 e) 𝑥2𝑒−𝑥
3∞
−∞
 𝑑𝑥 f) cos 𝑥
∞
0
 𝑑𝑥 
g) 
ln 𝑥
𝑥
∞
1
 𝑑𝑥 h) 𝑒− 𝑥 
∞
−∞
 𝑑𝑥 i) 
𝑥
1 + 𝑥2
∞
−∞
 𝑑𝑥 
j) 
ln 𝑥
𝑥2
∞
1
 𝑑𝑥 k) 
ln 𝑥
𝑥3
∞
1
 𝑑𝑥 l) 
1
 𝑥
 𝑑𝑥
3
0
 
m) 
1
𝑥 𝑥
 𝑑𝑥
3
0
 n) 
1
𝑥4
3
−2
 𝑑𝑥 o) 
1
4𝑥 − 1
1
0
 𝑑𝑥 
p) sec 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 q) 
1
𝑥2 + 𝑥 − 6
4
0
 𝑑𝑥 r) 
𝑥 − 3
2𝑥 − 3
2
0
 𝑑𝑥 
s) 
ln 𝑥
 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
4. Esboce e encontre a área da região 𝑆 abaixo: 
𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2| 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑒𝑥 
5. Se 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
𝑑𝑥 e 𝑔(𝑥)
∞
𝑎
𝑑𝑥 são ambas convergentes (divergentes), então temos que 
 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 
∞
𝑎
𝑑𝑥 também é convergente (divergente). 
6. Se 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) e 𝑔(𝑥)
∞
0
𝑑𝑥 diverge, então 𝑓(𝑥)
∞
0
𝑑𝑥 também diverge. 
7. Use o teorema da comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. 
a) 
𝑐𝑜𝑠 2𝑥
1 + 𝑥2 
∞
1
 𝑑𝑥 b) 
1
𝑥 + 𝑒2𝑥 
∞
1
 𝑑𝑥 c) 
 1 + 𝑥
 𝑥 
∞
1
 𝑑𝑥 
d) 
1
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 e) 
𝑒−𝑥
 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
30 
 
8. A integral 𝑓(𝑥)
∞
0
𝑑𝑥, onde 𝑓(𝑥) = 1
 𝑥 (1 + 𝑥)
 , é imprópria por duas razões: 
i. [0, ∞) é infinito. ii. 𝑓(𝑥) tem uma descontinuidade infinita em 0. 
a) Avalie-a expressando-a como soma de integrais impróprias do Tipo 2 e Tipo 1, como segue: 
 
1
 𝑥 (1 + 𝑥)
∞
0
 𝑑𝑥 = 
1
 𝑥 (1 + 𝑥)
1
0
 𝑑𝑥 + 
1
 𝑥 (1 + 𝑥)
∞
1
 𝑑𝑥 
b) Avalie a integral 
1
𝑥 𝑥2 − 4 
∞
2
 𝑑𝑥 pelo mesmo método do item anterior. 
9. Ache 𝑝 para os quais a integral converge e avalie a integral para tais valores de 𝑝. 
a) 
1
 𝑥𝑝
1
0
 𝑑𝑥 b) 
1
 𝑥(𝑙𝑛 𝑥)𝑝
∞
𝑒
 𝑑𝑥 c) 𝑥𝑝 ln 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 
10. Em relação a integral 𝑥𝑛𝑒−𝑥
∞
0
 𝑑𝑥, onde 𝑛 é um inteiro qualquer, avalie-a: 
a) Para 𝑛 = 0,1,2,3. b) Para 𝑛 ≥ 4. c) Usando indução matemática. 
11. Advertência: Primeiro, mostre que 𝑥
∞
−∞
𝑑𝑥 é divergente e que lim𝑡⟶∞ 𝑥
𝑡
−𝑡 𝑑𝑥 = 0. Daí, 
conclua que não podemos definir uma integral imprópria como o limite 
 𝑓(𝑥)
∞
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑡⟶∞
 𝑓(𝑥)
𝑡
−𝑡
𝑑𝑥 
12. Proveque a velocidade média das moléculas em um gás ideal é 𝑣 = 
8𝑅𝑇
𝜋𝑀
, onde 𝑀 é o 
peso molecular do gás, 𝑅 é a constante do gás, 𝑇 é a temperatura do gás, 𝑣 é a velocidade 
molecular, e sabendo que 
𝑣 =
4
 𝜋
 
𝑀
2𝑅𝑇
 
3/2
 𝑣3
∞
0
𝑒−𝑀𝑣
2/(2𝑅𝑇) 𝑑𝑣 
13. Provamos em sala de aula que a integral imprópria 
1
𝑥
∞
1
𝑑𝑥 é divergente, em outras 
palavras, a região ℜ = 𝑥,𝑦 ∈ ℝ2| 𝑥 ≥ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1/𝑥 tem área infinita, veja figura: 
 
Mostre que pela rotação de ℜ ao redor do eixo 𝑥 obtemos um sólido com volume finito. 
31 
 
14. A Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois corpos com massas 𝑚1 e 𝑚2, 
situados a uma distância 𝑟 e de constante gravitacional 𝐺, atraem um ao outro com uma força 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑟2
 
Uma das grandes aplicações de integração é o cálculo do trabalho realizado por uma força 
variável (veja seção 6 do próximo capítulo: Aplicações à Física e à Engenharia). Calcule o 
trabalho necessário para lançar um veículo espacial de 100 𝑘𝑔 fora do campo gravitacional da 
Terra. Pode-se supor a massa da Terra igual a 5,98 × 1024𝑘𝑔 e concentrada no seu centro. 
Além disso, considere o Raio da Terra igual a 𝑅 = 6,37 × 106 𝑚 e 𝐺 = 6,67 × 10−11𝑁 ∙ 𝑚2/𝑘𝑔. 
15. Encontre a velocidade de escape 𝑣0 que é necessária para lançar um foguete de massa 𝑚 
fora do campo gravitacional de um planeta com massa 𝑀 e raio 𝑅. Use a Lei da Gravitação de 
Newton e o fato de que a energia cinética inicial de 
1
2
𝑚𝑣0
2 supre o trabalho necessário. 
16. Os astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar para determinar a 
densidade das estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional) 
observada, que pode ser analisada a partir de uma fotografia. Suponha que em um aglomerado 
esférico de raio 𝑅 a densidade das estrelas dependa somente da distância 𝑟 do centro do 
aglomerado. Se a densidade estelar aparente for dada por 𝑦(𝑠), onde 𝑠 é a distância planar 
observada do centro do aglomerado e 𝑥 ≔ 𝑥(𝑟) é a densidade real, pode ser mostrado que 
𝑦 𝑠 = 
2𝑟
 𝑟2 − 𝑠2 
𝑅
𝑠
𝑥(𝑟) 𝑑𝑟 
Se 𝑥 das estrelas em um aglomerado for 𝑥 𝑟 =
1
2
(𝑅 − 𝑟)2, ache a densidade aparente 𝑦(𝑠). 
17. Determine quão grande tem de ser o número 𝑎 de modo que 
1
𝑥2 + 1
∞
𝑎
𝑑𝑥 < 10−3 . 
18. Se 𝑓(𝑡) é contínua para 𝑡 ≥ 0, a Transformada de Laplace de 𝑓 é a função 𝐹 de domínio o 
conjunto de todos os números para os quais a integral converge, e é dada por 
𝐹 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 
∞
0
𝑑𝑡 
(notação: 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) ). Calcule a Transformada das funções 𝑓(𝑡) = 1, 𝑓(𝑡) = 𝑡 e 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑥 . 
19. Suponha que 0 ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝑎𝑡 e 0 ≤ 𝑓′(𝑡) ≤ 𝐾𝑒𝑎𝑡 para 𝑡 ≥ 0, onde 𝑓′ é contínua. Se as 
transformadas de 𝑓 e 𝑓′ são 𝐹(𝑠) e 𝐺(𝑠), mostre que 𝐺 𝑠 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0 , 𝑠 > 𝑎. 
20. Se 𝑓 𝑥 
∞
−∞
𝑑𝑥 é convergente e 𝑎 e 𝑏 são números reais, mostre que 
 𝑓 𝑥 
𝑎
−∞
𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 
∞
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 
𝑏
−∞
𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 
∞
𝑏
𝑑𝑥 
21. Prove as igualdades (no item (b), interpretando as integrais como áreas): 
a) 𝑥2𝑒−𝑥
2∞
0
𝑑𝑥 =
1
2
 𝑒−𝑥
2∞
0
𝑑𝑥 b) 𝑒−𝑥
2∞
0
𝑑𝑥 = − ln 𝑦 𝑑𝑦
1
0
 
32 
 
Seção 8. Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hopital 
1. Calcule os seguintes limites. 
a) lim𝑥⟶−1
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
 b) lim𝑥⟶1
𝑥𝑎 − 1
𝑥𝑏 − 1
 c) lim𝑥⟶0
𝑡𝑔 𝑝𝑥
𝑡𝑔 𝑞𝑥
 
d) lim𝑥⟶∞
ln (ln 𝑥)
𝑥
 e) lim𝑥⟶0
5𝑡 − 3𝑡
𝑡
 f) lim𝑥⟶0
 𝑒𝑥 – 1 – 𝑥 − (𝑥2/2)
 𝑥3
 
g) lim𝑥⟶0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑕 𝑥
 h) lim𝑥⟶0
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 − cos 𝑛𝑥
𝑥2
 i) lim𝑥⟶0+ 𝑥 ln 𝑥 
j) lim𝑥⟶−∞ 𝑥
2𝑒𝑥 k) lim𝑥⟶∞ 𝑥
3 𝑒−𝑥
2
 l) lim𝑥⟶0(𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cotg 𝑥) 
m) lim𝑥⟶1 
1
ln 𝑥
−
1
𝑥 − 1
 n) lim𝑥⟶∞(𝑥 𝑒
1/𝑥 − 𝑥) o) lim𝑥⟶∞ 1 +
𝑎
𝑥
 
𝑏𝑥
 
p) lim𝑥⟶∞ 1 +
3
𝑥
+
5
𝑥2
 
𝑥
 q) lim𝑥⟶∞ 𝑥
ln 2/(1 + ln 𝑥) r) lim𝑥⟶∞ 𝑥
1/𝑥 
s) lim𝑥⟶∞ (𝑒
𝑥 + 𝑥)1/𝑥 t) lim𝑥⟶∞ 
𝑥
𝑥 + 1
 
𝑥
 u) lim𝑥⟶0 (cos 3𝑥)
5/𝑥 
v) lim𝑥⟶∞ 
2𝑥−3
2𝑥 + 5
 
2𝑥 + 1
 x) lim𝑥⟶𝜋/4 (tg 𝑥)
tg 2𝑥 
2. Prove que para qualquer inteiro positivo 𝑛, tem-se que 
lim
𝑥⟶∞
 𝑒𝑥
𝑥𝑛
= ∞ 
Conclusão: 
A função exponencial tende mais rápido ao infinito que qualquer potência de 𝒙. 
3. Prove que para todo número real 𝑝 positivo, tem-se que 
lim
𝑥⟶∞
ln 𝑥
𝑥𝑝
= 0 
Conclusão: 
A função logaritmo tende mais devagar ao infinito que qualquer potência de 𝒙. 
4. Se um montante inicial de dinheiro 𝐴0 for investido a uma taxa de juros 𝑖 capitalizada 
(composta) 𝑛 vezes ao ano, o valor do investimento após 𝑡 anos será 
𝐴 = 𝐴0 1 +
𝑖
𝑛
 
𝑛𝑡
 
Se fizermos 𝑛 ⟶ ∞, nos referimos à capitalização contínua de juros (chamamos isso de juros 
compostos continuamente). Use a regra de L’Hopital para mostrar que se os juros forem 
capitalizados continuamente (compostos continuamente), então o montante após 𝑡 anos será 
𝐴 = 𝐴0𝑒𝑖𝑡 
33 
 
5. Se um objeto de massa 𝑚 é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade 𝑣 
após 𝑡 segundos, levando-se em conta a resistência do ar, é 
𝑣 =
𝑚𝑔
𝑐
(1 − 𝑒−𝑐𝑡/𝑚 ) 
onde 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝑐 é uma constante positiva (no texto de Cálculo do 
Stewart - Capítulo 9, essa equação é deduzida a partir da hipótese de que a resistência do ar é 
proporcional à velocidade do objeto, onde 𝑐 é a constante proporcionalidade). 
a) Calcule lim𝑡⟶∞ 𝑣 e diga qual o significado desse limite? 
b) Para um valor fixo de 𝑡, use a regra de L’Hopital para calcular lim𝑚⟶∞ 𝑣. O que você pode 
concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo (ou a velocidade de um objeto muito 
pesado caindo)? 
6. A primeira publicação da regra de L’Hopital foi em um livro intitulado Analyse des infiniment 
petits do marquês de L’Hopital, em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado e o 
exemplo que o marquês usou nesse livro para ilustrar sua regra foi encontrar o limite da função 
𝑦 =
 2𝑎3𝑥 − 𝑥4 − 𝑎 𝑎𝑎𝑥
3
𝑎 − 𝑎𝑥3
4 
quando 𝑥 ⟶ 𝑎, onde 𝑎 > 0 (Naquele tempo costumava-se escrever 𝑎𝑎 no lugar de 𝑎2). 
Resolva esse problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Seção 9. Desafios 
1. Sejam ƒ uma função contínua e 𝑛 um inteiro positivo arbitrário. Demonstre: 
𝑖) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
0
= 𝑓(𝑎 − 𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
0
 𝑖𝑖) 
𝑠𝑒𝑛𝑛 (𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑛 (𝑥)
 𝑑𝑥
𝜋/2
0
=
𝜋
4
 
2. Ache a função integral indefinida geral. 
 
1
𝑥2017 − 𝑥
 𝑑𝑥 
3. Ache o valor mínimo da função 𝑓, definida em [0,2𝜋]. 
𝑓 𝑥 = cos 𝑡 
𝜋
0
cos 𝑥 − 𝑡 𝑑𝑡 
4. Se 𝑛 é um inteiro positivo, demonstre que 
 𝑙𝑛𝑛 
1
𝑥
 
1
0
 𝑑𝑥 = 𝑛! 
5. Calcule o limite, onde 0 < 𝑎 < 𝑏. 
lim
𝑡→0
 𝑏𝑥 + 𝑎 1 − 𝑥 𝑡
1
0
𝑑𝑥 
1
𝑡
 
6. Use integração por partes para mostrar que, para todo 𝑥 > 0, 
0 < 
𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
𝑙𝑛 (1 + 𝑥 + 𝑡)
 𝑑𝑥
∞
0
<
2
𝑙𝑛 (1 + 𝑥)
 
7. Um foguete é lançado verticalmente, sob uma força 𝐹, consumindo combustível a uma taxa 
constante de 𝑏 quilogramas por segundo. Seja 𝑣 = 𝑣(𝑡) a velocidade do foguete no instante 𝑡 e 
suponha que a velocidade da emissão de gases 𝑢 seja constante. Considere 𝑀 = 𝑀(𝑡) como a 
massa do foguete no tempo 𝑡 e observe que 𝑀 decresceà medida que o combustível queima. 
Se desprezarmos a resistência do ar, e pondo 𝐹 = −𝑀𝑔, segue da Segunda Lei de Newton que 
𝐹 = 𝑀
𝑑𝑣
𝑑𝑡
− 𝑢𝑏 
Logo, 
𝑀
𝑑𝑣
𝑑𝑡
− 𝑢𝑏 = −𝑀𝑔 ∗ 
Sejam 𝑀1 a massa do foguete sem combustível, 𝑀2 a massa inicial do combustível e a soma 
𝑀0 = 𝑀1 + 𝑀2. Daí, até ele ficar sem combustível no tempo 𝑡 = 𝑀2/𝑏, tem-se 𝑀 = 𝑀0 − 𝑏𝑡. 
a) Substitua 𝑀 = 𝑀0 − 𝑏𝑡 em ∗ , isole 𝑣 na equação resultante e use 𝑣(0) = 0 para calcular a 
constante. 
b) Determine a velocidade do foguete no instante 𝑡 = 𝑀2/𝑏, chamada de velocidade terminal. 
c) Qual é a altura do foguete 𝑕 = 𝑕(𝑡) no tempo terminal? E num instante 𝑡 qualquer? 
35 
 
8. A circunferência de raio 1 mostrada na figura abaixo toca a curva 𝑦 = 2𝑥 duas vezes. 
 
Determine a área da região que se encontra entre as duas curvas. 
9. Os polinômios de Chebyshev 𝑇𝑛 são definidos, para todo natural 𝑛 = 0, 1, 2, 3, . .., por 
𝑇𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) 
a) Qual é o domínio e a imagem dessas funções? 
b) Sabemos que 𝑇0 𝑥 = 1 e 𝑇1 𝑥 = 𝑥. Expresse 𝑇2 explicitamente como um polinômio 
quadrático e 𝑇3 como um polinômio cúbico. 
c) Mostre que, para 𝑛 ≥ 1, 
𝑇𝑛+1 𝑥 = 2𝑥𝑇𝑛 𝑥 − 𝑇𝑛−1 𝑥 
d) Use o item (c) para mostrar que 𝑇𝑛 é um polinômio de grau 𝑛. 
e) Use os itens (b) e (c) para expressar 𝑇4, 𝑇5, 𝑇6 e 𝑇7 explicitamente como polinômios. 
f) Use a substituição 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) para calcular, nos casos 𝑛 par e 𝑛 ímpar, a integral 
 𝑇𝑛 𝑥 
1
−1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Capítulo 3. Aplicações de Integração 
 
Aplicações à Geometria 
Seção 1. Áreas entre curvas 
1. Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas, desenhe um retângulo aproximante 
típico, identificando sua altura e largura, e calcule a área da região. 
a) 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 9 − 𝑥2, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋/2 
c) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 d) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥4 
e) 𝑦 = 1/𝑥, 𝑦 = 1/𝑥2, 𝑥 = 2 f) 𝑦 = 1 + 𝑥, 𝑦 = (3 + 𝑥)/3 
g) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦2 = 𝑥 h) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥
3
 
i) 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 j) 𝑥 = 1 − 𝑦2, 𝑥 = 𝑦2 − 1 
k) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥), 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋/2 l) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥), 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋/2 
m) 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 𝑥2 − 2 n) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥), 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥, 𝑥 = 2 
2. Use o que você aprendeu em Cálculo II para achar a área do triângulo (0, 0), (2, 1), (−1, 6). 
3. Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região. 
 𝑥3 − 𝑥 
1
−1
𝑑𝑥 
4. Encontre a área da região delimitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2, pela reta tangente a esta 
parábola em (1, 1) e pelo eixo 𝑥. 
5. Encontre o número 𝑏 tal que a reta 𝑦 = 𝑏 divida a região delimitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥2 e 
𝑦 = 4 em duas regiões com área igual. 
6. Encontre os valores de 𝑐 tais que a área da região delimitada pelas parábolas 𝑦 = 𝑥2 − 𝑐2 e 
𝑦 = 𝑐2 − 𝑥2 seja 576. 
7. Suponha que 0 < 𝑐 < 𝜋/2. Para qual valor de 𝑐 a área da região delimitada pelas curvas 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥), 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑐) e 𝑥 = 0 é igual à área da região delimitada pelas curvas, a saber, 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑐), 𝑥 = 𝜋 e 𝑦 = 0? 
 
 
 
 
 
37 
 
Seção 2. Cálculo de Volumes por Fatiamento 
1. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em 
torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. 
a) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, eixo 𝑥 b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, eixo 𝑥 
c) 𝑦 = 1/𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, eixo 𝑥 d) 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 5, 𝑦 = 0, eixo 𝑥 
e) 𝑦 = 𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦 = 4, 𝑥 = 0, eixo 𝑦 f) 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2, 𝑥 = 0, eixo 𝑦 
g) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦2 = 𝑥, eixo 𝑥 h) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 (𝑥), 𝑦 = 1, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, eixo 𝑥 
i) 𝑦2 = 𝑥, 𝑥 = 2𝑦, eixo 𝑦 j) 𝑦 = 𝑥2/3, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, eixo 𝑦 
k) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥, ao redor de 𝑦 = 1 l) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 4, ao redor de 𝑦 = 4 
m) 𝑦 = 𝑥4, 𝑦 = 1, ao redor de 𝑦 = 2 n) 𝑦 = 1/𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, ao redor de 𝑦 = −1 
o) 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 = 1, ao redor de 𝑥 = 1 p) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥, ao redor de 𝑥 = 2 
q) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2, ao redor de 𝑥 = −1 r) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4, ao redor de 𝑥 = 1 
2. Encontre o volume comum de duas esferas, cada qual com raio 𝑟, se o centro de cada 
esfera está na superfície da outra esfera. 
Observação: Tente resolver o exercício de dois modos distintos, a saber, pela teoria e usando 
a fórmula de volume que se obtém no exercício (4) a frente (volume da calota). 
3. Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirados pelo problema de 
encontrar os volumes de barris de vinho. Eles frequentemente aproximavam a forma dos lados 
por parábolas. 
Nota: De fato, Kepler publicou um livro em 1615, entitulado Stereometria doliorum, dedicado 
aos métodos para encontrar os volumes de barris. 
a) Um barril com altura 𝑕 e raio máximo 𝑅 é construído pela rotação ao redor do eixo da 
parábola 𝑦 = 𝑅 − 𝑐𝑥2, com – 𝑕/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑕/2, onde 𝑐 é uma constante positiva. Mostre que o raio 
de cada extremidade do barril é: 
𝑟 = 𝑅 − 𝑑, onde 𝑑 = 𝑐𝑕2/4 
b) Mostre que o volume delimitado pelo barril é: 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑕 2𝑅2 + 𝑟2 −
2
5
𝑑2 
4. Encontre o volume de uma calota de uma esfera de raio 𝑟 e altura 𝑕 (veja figura). 
 
38 
 
5. Uma cunha é cortada a partir de um cilindro circular de raio 4 por dois planos (veja figura). 
Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercecta o primeiro com um ângulo de 
30º ao longo de um diâmetro do cilindro. Encontre o volume da cunha. 
Observação: Tente resolver o exercício de dois modos distintos, a saber, pela teoria e 
tomando secções transversais paralelas à reta de intersecção dos dois planos. 
 
6. Considere 𝑇 um toro com raios 𝑟 e 𝑅 (ver exercício (5) da seção 4, capítulo 2). Interpretando 
a integral como uma área, encontre o volume de 𝑇. 
7. O Princípio de Cavalieri afirma que, se uma família de planos paralelos produzem áreas de 
secção transversal iguais para dois sólidos 𝑆1 e 𝑆2, então os volumes de 𝑆1 e 𝑆2 são iguais. 
a) Demonstre esse princípio. 
b) Use o Princípio de Cavalieri para encontrar o volume do cilindro oblíquo mostrado na figura. 
 
8. Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio 𝑟, se os eixos dos 
cilindros se intercectam em ângulos retos (veja figura abaixo). 
 
 
39 
 
Seção 3. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas 
1. Considere 𝑆 o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura abaixo em torno do 
eixo 𝑦. 
 
a) Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume 𝑉 de 𝑆. 
b) Esboce uma casca de aproximação típica, indicando a circunferência e a altura. 
c) Use cascas cilíndricas para encontrar 𝑉. 
2. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região 
delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado. Esboce a região e casca típica. 
a) 𝑦 = 1/𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, eixo 𝑦 b) 𝑥 = 1 + 𝑦2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑦 = 2, eixo 𝑥 
c) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, eixo 𝑦 d) 𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, eixo 𝑥 
e) 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, eixo 𝑦 f) 𝑥+ 𝑦 = 3, 𝑥 = 4 − 𝑦 − 1 2, eixo 𝑥 
g) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = −1, eixo 𝑦 h) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, eixo 𝑥 = 1 
i) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, eixo 𝑥 = 4 j) 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 8𝑥 − 2𝑥2, eixo 𝑥 = −2 
k) 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 5, eixo 𝑦 = 3 l) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2, eixo 𝑦 = −1 
3. Encontre o volume 𝑉 do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da região delimitada 
por 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2, pelos métodos do fatiamento e cascas cilíndricas. 
4. Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da 
região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. 
a) 𝑦 = ln 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, eixo 𝑦 b) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, eixo 𝑥 = 7 
5. Use cascas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos, já obtidos: 
a) Esfera de raio 𝑟 (exemplo feito em sala de aula pelo método do fatiamento). 
b) Toro com raios 𝑟 e 𝑅 (exercício (6) da seção anterior). 
 
 
 
 
40 
 
Seção 4. Comprimento de Arco 
1. Dado a curva 𝑦 = 2 − 3𝑥, onde −2 ≤ 𝑥 ≤ 1, vamos achar o seu comprimento de dois modos: 
a) (Geometria Analítica) Fórmula da Distância 
b) (Cálculo II) Fórmula do Comprimento de Arco 
Nota: Veja que a curva em questão é um segmento de reta 
2. Dado a curva 𝑦 = 4 − 𝑥2, onde 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, vamos achar o seu comprimento de dois modos: 
a) (Geometria Plana) Fórmula do Comprimento da Circunferência 
b) (Cálculo II) Fórmula do Comprimento de Arco 
Nota: Veja que a curva em questão é um quarto de círculo 
3. Calcule o comprimento da curva. 
a) 𝑦 =
𝑥 2
2
−
𝑙𝑛 (𝑥)
4
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 b) 𝑥 =
1
3
 𝑦(𝑦 − 3), 1 ≤ 𝑥 ≤ 9 
c) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑐 (𝑥)), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/4 d) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥), 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
e) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 f) 𝑦 = 𝑙𝑛 
𝑒𝑥+1
𝑒𝑥−1
 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑎 > 0 
4. Encontre a função comprimento de arco para a curva 𝑦 = 2𝑥3/2 com ponto inicial (1, 2). 
5. Um vento contínuo sopra uma pipa para oeste. A altura da pipa acima do solo a partir da 
posição horizontal 𝑥 = 0 até 𝑥 = 80 é dada por 𝑦 = 150 − 0,025 𝑥 − 50 2. Ache a distância 
percorrida pela pipa. 
6. Um falcão voando a 15 𝑚/𝑠 a uma altitude de 180 𝑚 acidentalmente derruba sua presa. A 
trajetória parabólica de sua presa caindo é descrita pela equação 𝑦 = 180 −
𝑥2
45
 até que ela 
atinja o solo, onde 𝑦 é a altura acima do solo e 𝑥, a distância horizontal percorrida em metros. 
Calcule a distância percorrida pela presa do momento em que ela é derrubada até o momento 
em que ela atinge o solo. Expresse sua resposta com precisão de um décimo de metro. 
7. Calcule o comprimento da curva 𝑦 = 𝑡3 − 1
𝑥
1
 𝑑𝑡, para 1 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
8. As curvas com equações 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 1, para 𝑛 = 4, 6, 8, …, são chamadas círculos gordos. 
Escreva uma integral para o comprimento 𝐿2𝑘 do círculo gordo, com 𝑛 = 2𝑘. Sem tentar 
calcular essa integral, determine o valor do limite lim𝑘→∞ 𝐿2𝑘 . 
9. A figura mostra um fio de telefone pendurado entre dois postes em 𝑥 = −𝑏 e 𝑥 = 𝑏. Ele tem o 
formato de uma catenária com a equação 𝑦 = 𝑐 + 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑕(𝑥/𝑎). Calcule o comprimento do fio. 
 
41 
 
Seção 5. Área de uma Superfície de Revolução 
1. Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo 𝑥. 
a) 𝑦 = 𝑥3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 b) 𝑦 = 𝑥, 4 ≤ 𝑥 ≤ 9 
c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 d) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑕 (𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
2. A curva dada por 𝑦 = 𝑥
3
, onde 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, é girada em torno do eixo 𝑦. Calcule a área da 
superfície resultante. 
3. Por um lado, a região ℜ = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2| 𝑥 ≥ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1/𝑥 tem área infinita, e por 
outro lado, se a girarmos em torno do eixo 𝑥, o volume do sólido resultante é finito (exercício 13 
da seção 7, capítulo 2). Mostre que a área da superfície é infinita (a superfície é mostrada na 
figura e é conhecida como trombeta de Gabriel). 
 
4. Se a curva infinita 𝑦 = 𝑒−𝑥 , onde 𝑥 ≥ 0, é girada em torno do eixo 𝑥, calcule a área da 
superfície resultante. 
5. Seja 𝐸 a elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, onde 𝑎 > 𝑏. 
a) Se 𝐸 é girada em torno do eixo 𝑥, a superfície resultante é chamada elipsoide ou esferoide 
prolato. Encontre a área da superfície deste elipsoide. 
b) Se 𝐸 é girada em torno de seu eixo menor (o eixo 𝑦), o elipsoide resultante é chamado um 
esferóide oblato. Encontre a área da superfície deste elipsoide. 
6. Ache a área da superfície do Toro (exercício (5) da seção 3) com raios 𝑟 e 𝑅. 
7. Ache a área da superfície obtida pela rotação do círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 em torno da reta 𝑦 = 𝑟. 
8. Mostre que a área da superfície de uma zona de uma esfera que está entre dois planos 
paralelos é 𝑆 = 𝜋𝑑𝑕, onde 𝑑 é o diâmetro da esfera e 𝑕, a distância entre os planos. 
Observação: 𝑆 depende apenas da distância entre os planos e não de sua localização, desde 
que ambos os planos intercectem a esfera. 
9. Seja 𝐿 o comprimento da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), com 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, onde 𝑓 é positiva e tem derivada 
contínua. Seja 𝑆𝑓 a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo 𝑥. Se 𝑐 é 
uma constante positiva, defina 𝑔 𝑥 : = 𝑓(𝑥) + 𝑐 e seja 𝑆𝑔 a área da superfície correspondente 
gerada pela curva 𝑦 = 𝑔(𝑥), com 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Expresse 𝑆𝑔 em termos de 𝑆𝑓 e 𝐿. 
 
 
42 
 
Aplicações à Física e à Engenharia 
Seção 6. Trabalho 
Comentário. O termo trabalho é usado na linguagem cotidiana significando a quantidade de 
esforço necessária para executar uma tarefa. Na física esse termo tem um significado técnico 
que depende do conceito de força. Intuitivamente, você pode pensar em força como 
descrevendo um empurrar ou puxar sobre um objeto. Por exemplo, um empurrão horizontal em 
um livro sobre uma mesa ou a ação da gravidade terrestre sobre uma bola. Em geral, se um 
objeto se move ao longo de uma reta com função de posição 𝑠(𝑡), então a força 𝐹 no objeto (na 
mesma direção) é definida pela Segunda Lei de Newton do Movimento como o produto de sua 
massa 𝑚 pela sua aceleração, 
𝐹 = 𝑚
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 
No Sistema Métrico Internacional (SI), a massa é medida em quilogramas (𝑘𝑔), o deslocamento 
em metros (𝑚), o tempo em segundos (𝑠) e a força em newtons (𝑁 = 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2). Então, uma 
força de 1 𝑁 atuando em uma massa de 1 𝑘𝑔 produz uma aceleração de 1 𝑚/𝑠2. No sistema 
usual norte-americano, a unidade de força escolhida é a libra. No caso de aceleração 
constante, a força 𝐹 também é constante, e o trabalho feito é definido pelo produto da força 𝐹 
pela distância 𝑑 na qual o objeto se move, 
𝑊 = 𝐹𝑑 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑕𝑜 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 × 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (∗) 
Se 𝐹 é medida em newtons e 𝑑, em metros, então a unidade para 𝑊 é o newton-metro, que é 
chamada joule (𝐽). Se 𝐹 é a medida em libras e 𝑑, em pés, então a unidade para 𝑊 é libra-pé 
(𝑙𝑏 − 𝑝é), que equivale a cerca de 1,36 𝐽. Como ilustração, o trabalho realizado por um 
levantador de pesos ao levantar uma barra de 60 𝑘𝑔 do solo até uma altura de 2 𝑚 é 1176 𝐽, 
visto que 𝑊 = 𝐹𝑑 = 60 ∙ 9,8 ∙ 2 = 1176 𝐽. A equação (∗) define trabalho desde que a força 
seja constante. Mas o que acontece se a força for variável? Suponha que o objeto se mova ao 
longo do eixo 𝑥 na direção positiva de 𝑥 = 𝑎 para 𝑥 = 𝑏, e em cada ponto 𝑥 entre 𝑎 e 𝑏 uma 
força 𝑓(𝑥) atue no objeto, onde 𝑓 é uma função contínua. Dividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 
subintervalos com extremidades 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 e larguras iguais a ∆𝑥. Escolhemos o ponto 
amostral 𝑥𝑖
∗ no