Cálculo II_ Módulo 1. Sequencias_docx

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CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Curso de BACHARELADO em ENGENHARIA CIVIL 				Turma: ENC D2A
Disciplina: Cálculo II
Professora: Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
UNIDADE I: SEQUÊNCIAS E SÉRIES – Módulo 1 : SEQUÊNCIA
Definição: Sequência é toda aplicação do conjunto dos números naturais não-nulos (ou conjunto dos números inteiros positivos) sobre o conjunto de números complexos, isto é,
 N* {a1 , a2 , a3 , ...} , resultando em (a1 , a2 , a3 , ...). Exemplo: (2,4,6,8, ..., 2n, ...), onde o primeiro termo a1 = 2 e o termo geral é a n = 2n. O n é denominado índice (de ordenamento). 
Notação: (a n) ou { a n } ou “a sequência a1 , a2 , a3 , ...” ou pelas leis de formação a seguir.
Lei de formação: Há 3 maneiras de se expressar a lei de formação de uma sequência: 
1ª) por Fórmula de Recorrência (ou Fórmula Recursiva): identificar o 1º termo da sequência a1 e relacionar o termo geral a n com o seu sucessor a n + 1 . Ex.: a1 = 3 e an+1 = a n + 4, que é a sequência (3, 7, 11, 15, ...). 
2ª) por Termo em função da posição: Ex.: a n = 2n2 – 3, . Nesse caso, (-1, 5, 15, 29, 47, ...)
3ª) por palavras. Ex.: Sequência de números primos positivos = (2, 3, 5, 7, 11, ...)
Tipos de Sequências: 
Sequência finita: quando possui último termo. Ex.: ( i, - 1, -i , 1). Note que ao final, reticências.
Sequência infinita: índice n tende ao infinito, isto é, o domínio é o conjunto N* . Ex.: (a n) = ou 
 {a n} = = 
Sequências iguais: duas sequências são iguais se e só se todos os termos de uma forem ordenadamente iguais aos da outra. Portanto, (1,3,5, 14) (14, 1,3,5).
Sequência crescente: quando a n +1 a n , Ex.: {n] ; , {5}, etc.
Sequência decrescente: quando a n +1 a n , Ex.: (1/n) = 1, ½, 1/3, ... 
Sequência convergente: quando {a n} infinita admite limite superior ou inferior L, L . Ex.: (1/n) 0
Sequência divergente: quando {a n} infinita não admite limite numérico L, mas um campo numérico (. Ex.: () 
Limite de uma sequência: uma sequência infinita (a1 , a2 , a3 , ..., a n , ...) tem um limite L se, dado > 0, pode ser encontrado um número natural N tal que , se n > N. 
Se {a n} converge para L, escrevemos , ou simplesmente, a n L .
Portanto, se esse número L não existe, dizemos que {a n} diverge, ou que {a n} é divergente.
Ex.1) A sequência de termos constantes definida por a n = c, , converge para c, pois por definição, . 
Ex.2) A converge para 0, pois , dado . Se N for um inteiro maior que , a implicação será verdadeira para todo n > N. Isso prova que . 
Ex.3) A diverge, pois à medida que n aumenta, os seus termos ficam maiores que qualquer número pré-definido. Portanto, .
Cálculo do limite de uma sequência: Considerando {an} e {bn} sequências de números reais e sendo números reais A e B os limites respectivos dessas sequências, valem as seguintes propriedades dos limites para o cálculo dos limites de sequências: 
Regra da soma: . Ex.: 1+0 = 1.
Regra da diferença: . Ex.: 1 - 0 = 1.
Regra do produto: . Ex.: 0.0 = 0.
Regra da multipl. por constante: . Ex.: 5.0 = 0.
Regra do quociente: . Ex.: = - 7 .
Pode-se usar outros recursos para o cálculo de limites, de maneira prática, como teorema do confronto, Regra de L’Hôpital e conhecimentos dos limites de sequências mais frequentes. Vejamos:
Teorema do Confronto para Sequências: Sejam {an} , {bn} e {cn} sequências de números reais, tal que , para todo n > N e se então . 
Ex.: Pelo Teorema do Confronto, . Como 
Regra de L’Hôpital para Sequências: Suponha que f(x) seja uma função definida para todo x n e que {an} seja uma sequência de números reais, tal que an = f(n), para . Então , o fato de ⇒ . 
Ex.: Aplicando a regra de L’Hôpital, .
Limites frequentes de algumas sequências: As seis sequências abaixo convergem para os limites indica dos: 1) = 0; 2) ; 3) = 1, para x > 0; 
 4) ; 5) 6). 
Exercícios:
Especificar, por meio de uma fórmula de recorrência, cada uma das sequências:
(10, 11, 12, 13, ...)
(1, 4, 16, 64, ...)
(1, 2, 4, 7, 11, ... )
(2, 2, 4, 64, 644 , ...)
Encontre o limite de cada sequência convergente. Quais são as sequências que divergem?
 
 = 1 + ( - 1 )n 
 
Considerando , escreva a s seguintes sequências: 
 	 d) 
 	 e) 
 	 f) 
Dada a fórmula recursiva, identificar os 10 termos iniciais de cada sequência e classificar em crescente ou decrescente:
Determine uma fórmula para o n-ésimo termo da sequência:
(2, 5, 8, 11, ...) 
(1, 3, 9, 27, ...)
(2, 10, 50, 250, ...)
(0, 3, 8, 15, 24, ...)
(1, -4, 9, -16, 25, ...)