Cálculo II_ Módulo 2_Séries Infinitas

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CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Curso de BACHARELADO em ENGENHARIA CIVIL 				Turma: ENC D2A
Disciplina: Cálculo II
Professora: Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
UNIDADE I: SEQUÊNCIAS E SÉRIES – Módulo 2 : Séries Infinitas
Definições:
 Série é soma dos termos de uma sequência, isto é + .... 
 Série geométrica é série que tem a forma , que pode ser escrita como ou ou simplesmente , onde a e r são reais fixos e a . A razão r pode ter ou 
Aplicação: para encontrar geratriz ou distância percorrida por um objeto, entre outros. Exemplos: 
Expressar a dízima periódica 5,23232323... como razão de dois inteiros.
, onde primeiro termo é 1 e a razão r = 1/102. Logo, .
Uma bola cai de uma altura h de 6 metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície, ela rebate a uma distância hr, onde r é positivo, porém menor que 1. Qual a distância total percorrida pela bola, quicando para cima e para baixo, até parar, quando r = 2/3?
Solução: A série que expressa a situação descrita é:
1º termo = h (cai da altura h)
2º termo = 2hr (sobe até a distância hr e desce hr)
3º termo = 2hr2 (sobe até hr2 e desce a mesma distância)
4º termo = 2hr3 (sobre até hr3 e desce o mesmo tanto)
.........................................................................................
Logo S = h + (2hr + 2hr2 + 2hr3 + ... ) = h + 
	 A distância total S será: S = 6 + 6 + 8.(3)= 30m.
Estudo da convergência ou divergência de uma série geométrica, em relação à razão r.
 
Dependendo da razão, a série geométrica converge ou diverge.
Se , isto é, quando – 1 < r < 1 e a a série geométrica converge para . 
Se , isto é, quando r > 1 ou r < - 1 e a 1 a série geométrica diverge.
Exemplo 1) Estudar a convergência da série geométrica onde a = 1/9 e r = 1/3. 
		 Solução: Como a e -1 < r= 1/3 < 1, a série converge para 1/6, pois: 
 
Exemplo 2) Identificar os elementos da série e calcule a soma. Ela diverge?
		 Solução: Termo a = 5 e razão r = - ¼ . Portanto, converge; não diverge, pois:
Combinação de Séries
Se = A e = B forem séries convergentes, então vale a Regra da:
Soma: ;
Diferença: ;
Multiplicação por uma Constante k: 
Atenção: se uma das séries for divergente, a combinação da soma ou diferença com qualquer outra resulta em série divergente. 
Uma série divergente, multiplicada por uma constante não nula, obtém-se série divergente.
No entanto, nem sempre duas séries divergentes produzem série divergente. 
Exemplo: (1 + 1 + 1 + ...) e (-1 + (-1) + (-1) + ...) são séries divergentes, e a sua série soma é convergente pois resulta em ( 0, 0 , 0 , ... ), que converge para 0.
Exercício M2.1.) Calcule a soma das séries:
		 a) b) c) 
 
Teoremas para averiguar convergência/divergência de séries
5.1 Testes de Divergência ou Convergência de Séries Infinitas, em função do 
T 1: Se uma série infinita +... converge, então a n 0 .
	 A recíproca não é verdadeira, isto é, o fato do , não se pode concluir que a série 
 +... converge. Por exemplo, a série harmônica (1 + ½ + 1/3 + ¼ + ...) tem limite nula, no entanto, é divergente, porque as somas parciais estão agrupadas em blocos que somam 1 e o resultado é ilimitado. 
 O que se pode afirmar é que a série ou não existe. 
 Exemplos: 1) porque 
	2) diverge, porque 
	3) porque não existe. 
	4) diverge, porque 
5.2 TESTE DA INTEGRAL 
T.2: Seja {a n } uma sequência de termos positivos. Suponha que a n = f(n), onde f é uma função de x contínua, positiva e decrescente inteiro positivo. Então, tanto a série , quanto a integral convergem ou tanto um quanto outro divergem. 
	 Por exemplo: converge ou diverge?
		Solução: Seja f(x) = 1/x2 , a área sob a curva y = 1/x2 .
	 	 = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = f(1) + 
		 = 1 + = 1 + = 1 + = 1 + = 
 = 1 + = 1 + + 1 = 1+0+1 = 2.
TESTE DA COMPARAÇÃO
T.3: Seja uma série com termos não-negativos. 
 a) converge, se existe uma série convergente , com a n c n , N algum inteiro;
 b) diverge, se existe uma série divergente de termos na -negativos , com 
 a n d n , N algum inteiro.
 Exemplo 1: A série diverge, pois ao compará-la com a série harmônica , tem-se que
		 . 
Exemplo 2: A série + ... converge ou diverge?
	Tomando-se a série para comparação, temos que .
	Como a n c n , e c n converge, então converge.
	Exercício M2.2: Quais das seguintes séries convergem e quais divergem?
 + ....	c) 
 		d) 
TESTE DA RAZÃO 
T.4. Seja uma série de termos positivos e suponha que Então, 
 se a série converge;
 se > 1, a série diverge;
 se , o teste é inconcludente. 
 
 Exemplo: Estudando convergência ou não da série pelo teste da razão, tem-se que : e . 
Calculando o limite da razão entre esses dois termos consecutivos, tem-se:
			Portanto, como , a série em questão converge.
	
	Exercício M2.3: Quais das seguintes séries convergem e quais divergem, pelo teste da razão?
		
 	b) c) 
APÊNDICE: Rápido estudo sobre Progressão Geométrica 
Definição de Progressão Geométrica: é toda sequência, na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante r dada. Em símbolos matemáticos, escrevemos: 
a1 = a , a n+1 = a n . r , onde r é dita razão e .
Exercício A1: Construa a P.G. , sendo dados o 1º termo a1 e a razão r, abaixo indicados:
	a 1
	r
	P.G.
	1
	2
	
	4
	½
	
	3
	1
	
	2
	- 3
	
	- ½
	1/5
	
	i
	I
	
	5
	0
	
	53
	1/5
	
Classificação das P.G.: 
Quanto ao número de termos, as P.G. podem ser: finitas ou infinitas (tem reticências).
As P.G. numéricas (formadas só por números) podem ser:
Crescentes (se cada termo é maior que o anterior). 
Constantes (se cada termo é igual ao anterior). 
Decrescentes (se cada termo é < que o anterior). 
Alternantes (se cada termo, a partir do segundo, tem sinal contrário ao do termo anterior). 
Singulares (quando zero é o termo da P.G, a partir do segundo termo). 
Exercício A2: Identifique a razão das seguintes P.G. e classifique-as: 
	P.G.
	r
	Tipo de P.G.
	(-1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, ...) 
	
	
	( 4, 2, , ½, ...)
	
	
	(- 81, - 27, - 9, - 3, ...)
	
	
	(0,0,0,0,0,0,0,0)
	
	
	( -5, - 5 , - 5, - 5, ...)
	
	
	(5, 0, 0, 0, 0, ...)
	
	
	(2, - 6, 18, - 54)
	
	
	( - 3, - 6, - 12, - 24, - 48)
	
	
Fórmula do Termo Geral de uma P.G.: a n = a 1 . r n – 1 , pois numa P.G. em que o primeiro termo é a 1 e a razão é r, podemos escrever :
o 1º termo como a 1 ;
o 2º termo como a 2 = a 1 . r;
o 3º termo como a 3 = a 2 . r = (a 1 . r).r = a 1 . r 2 ;
o 4º termo como a 4 = a 3 . r = (a 1 . r 2).r = a 1 . r 3 ;
..................................................................................
Logo, como o expoente da r é 1 unidade a menos que n, O n-ésimo termo será a n = a 1 . r n – 1 .
Série Geométrica: é a expressão que indica a soma dos termos de uma sequência geométrica.
{ a n } = (a1 , a2 , a3 , ...) é uma sequência.
+ .... é uma série.
 é uma série geométrica.
Exemplo: Se a = 1/9 e r = 1/3, a série geométrica será: 1/9 + 1/27 + 1/ 81 + ....
 Fórmula da Soma S das n parcelas de uma série geométrica: 
 
		 
		 
Como a n = a 1 . r n – 1 , a 1 = a n / r n – 1 . Substituindo essa expressão de a 1 isolada na equação anterior, tem-se:
	 = 
Exemplo de exercícios:
1) Obter a soma dos 20 termos iniciais de (2, 2 2, 2 3 , ... )
Solução: a 1 = 2; r = 2 e n = 20 .
2) Obter a soma da série S = 1 + 4 + 16 + ... + 1024.
Solução: a 1 = 1; r = 4 e a n = 1024 
Calculando o limitede Sn :
 
Analisando , temos: 
Se r > 1 ou r < - 1 , ou seja e a 1 Sn divergente;
Se – 1 < r < 1 e a 1 ;
Logo, a série geométrica infinita 
converge e se I r I < 1, sua soma é S = . 
Se a 1 , a série diverge. 
Se = 0, a série converge e sua soma é zero.
Exercício A3:
Obter a soma dos primeiros 10 termos da PG (4, 6, 9, ...).
Determinar uma PG, onde a1 + a6 = 120 e a7 + a9 = 960. 
Qual o número que deve ser somado a 1, 3 e 4, para que se tenham três números em P.G., nessa ordem?
Calcular o limite da soma dos elementos da P.G. (2, - 2/3, 2/9, - 2/27, ...).
Resolver a equação x2 + x2/2 + x2/4 + x2/8 + ... = 32.
Por meio da P.G., obter a geratriz das dízimas e .
Encontre a soma dos termos das sequências: a) (2, -1, ½, ...) ; b) (10, 1, 10-1, ...)