Aula07B EM423A S2 2018

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Prof. José Ricardo P. Mendes
DE/FEM/UNICAMP
05 de Outubro de 2018
STD
Propriedades MecânicasPropriedades Mecânicas
dos Sólidosdos Sólidos
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
 
Resistência dos Materiais
Coeficiente de PoissonCoeficiente de Poisson
Bloco de borracha comprimido (deformação negativa), seus lados expandem-se 
(deformação positiva). A relação entre estas deformações é constante
Repouso Comprimido
 
Resistência dos Materiais
Coeficiente de PoissonCoeficiente de Poisson
Material homogêneo e isotrópico: 
Assim chamado em homenagem ao 
matemático francês Siméon Denis Poisson 
(1781 – 1840). Percebeu que a razão entre as 
deformações é uma constante.
Definiçãoo:
ν =−deformação lateral
deformação axial
ou:
ν =−
εy
εx =−
εz
εx
Usando a Lei de Hooke podemos escrever 
(carregamento axial em x):
εx =
σx
E
εy = εz =−
νσ x
E
Nota: O coeficiente de Poisson é adimensional.
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 33Exercício de Aula 33
Observa-se que uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro, feita de 
um material homogêneo e isotrópico, aumenta no tamanho de 300 mm, e diminui no 
diâmetro em 2,4 mm quando submetida a uma força axial de 12 kN. Determine o módulo 
de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
Solução:
Calculando as tensões e deformações: 
σ x=
P
A
=58,9MPa εx=
δx
L
=600×10−6
εy=
δ y
d
=−150×10−6
Da lei de Hooke σ x=E εx obtemos: 
E=
σx
εx =99,5 GPa ν=−
ε y
εx =0,25e 
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 34Exercício de Aula 34
Um pequeno bloco cilíndrico de alumínio 6061-T6, com diâmetro original de 20 mm e 
comprimento de 75 mm, é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até 
a carga axial aplicada de 5 kN. Determinar:
a) O decréscimo do comprimento.
b) O novo diâmetro.
E = 68,9 GPa
ν = 0,35
Dados:
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke para CisalhamentoLei de Hooke para Cisalhamento
Para a maioria dos materiais em 
engenharia o comportamento elástico é 
linear e, desse modo, a Lei de Hooke para 
cisalhamento fica:
τ = G γ
Onde:
G: módulo de elasticidade transversal ou 
rigidez
 : deformação por cisalhamentoγ
 
 
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke para CisalhamentoLei de Hooke para Cisalhamento
Para a maioria dos materiais em 
engenharia o comportamento elástico é 
linear e, desse modo, a Lei de Hooke para 
cisalhamento fica:
τ = G γ
Onde:
G: módulo de elasticidade transversal ou 
rigidez
 : deformação por cisalhamentoγ
τu
τ pl
 : limite de resistência ao cisalhamento
 : limite de proporcionalidade
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 35Exercício de Aula 35
Um amortecedor construído conforme a figura abaixo é usado para suportar um 
instrumento delicado.
a) Obtenha uma fórmula para a tensão de cisalhamento na borracha a uma 
distância r a partir do centro do amortecedor;
b) Obtenha uma fórmula para o deslocamento para baixo da barra central devido 
a carga P.
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
Material homogêneo, isotrópico e linear
σ x● Aplicando a deformação: εx =
σ x
E
εx =+
σx
E
−
νσ y
E
−
νσ z
E
σ y● Aplicando a deformação: εx =−
νσ y
E
σ z● Aplicando a deformação: εx =−
νσ z
E
Deformaçãoo na direçãoo x:
Pelo princípio da superposição:
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
Material homogêneo, isotrópico e linear
Considerando as direções x, y e z:
Como o material é isotrópico o elemento 
permanecerá um bloco retangular quando 
submetido a tensões normais
εx =+
σ x
E
−
νσ y
E
−
νσ z
E
ε y =−
νσ x
E
+
σ y
E
−
νσ z
E
εz =−
νσ x
E
−
νσ y
E
+
σ z
E
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
Material homogêneo, isotrópico e linear
Se aplicarmos uma tensão de cisalhamento , observações experimentais indicam que o 
material se deformará devido somente a uma deformação de cisalhamento γxy
τxy
γxy =
1
G
τxy γ yz =
1
G
τ yz γzx =
1
G
τ zx
Logo:
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
Material homogêneo, isotrópico e linear
εx =+
σ x
E
−
νσ y
E
−
νσ z
E
εy =−
νσ x
E
+
σ y
E
−
νσ z
E
εz =−
νσ x
E
−
νσ y
E
+
σ z
E
γxy =
1
G
τxy
γ yz =
1
G
τ yz
γzx =
1
G
τzx
Um exame destas equações pode nos levar a 
acreditar que três constantes distintas, E, ν e G, 
devem ser determinadas se quisermos prever as 
deformações
Somente 2 das constantes precisam ser 
determinadas, pois:
G = E
2(1+ν)
ExercícioExercício
Nota: Este resultado é válido somente quando as 
tensões não excederem o limite de proporcionalidade 
e desde que a deformações envolvidas permaneçam 
pequenas.
 
 
 
Resistência dos Materiais
Lei de Hooke GeneralizadaLei de Hooke Generalizada
Material homogêneo, isotrópico e linear
εx =+
σ x
E
−
νσ y
E
−
νσ z
E
εy =−
νσ x
E
+
σ y
E
−
νσ z
E
εz =−
νσ x
E
−
νσ y
E
+
σ z
E
γxy =
1
G
τ xy
γ yz =
1
G
τ yz
γzx =
1
G
τzx
σ x = λ(εx+ε y+εz)+mεx
σ y = λ(εx+ε y+εz)+mεy
σ z = λ(εx+ε y+εz)+mεz
τxy = Gγxy
τ yx = Gγ yx
τ zx = G γzx
Resolvendo para as tensões:
λ = νE
(1+ν)(1−2 ν)
m = E
(1+ν)
Parâmetros de Lamé:
Nota: Este resultado é válido somente quando as 
tensões não excederem o limite de proporcionalidade 
e desde que a deformações envolvidas permaneçam 
pequenas.
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 36Exercício de Aula 36
Uma barra de cobre está submetida a um carregamento uniforme ao longo de suas 
bordas como mostrado. Se a barra tiver comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e 
espessura t = 20 mm antes da carga ser aplicada, determine seus novos comprimento, 
largura e espessura após o carregamento.
Dados: E = 120 GPa e ν = 0,34 
 
Resistência dos Materiais
Dilataçãoo VolumétricaDilataçãoo Volumétrica
Material homogêneo, isotrópico e linear
Volume original:
Após a aplicação 
da tensão:
Elemento de volume submetido as tensões 
principais: σx ,σ y ,σ z
Mudança de volume: 
δV =(1+εx)(1+ε y)(1+ε z)dxdydz−dxdydz
Desprezando o produto das deformações: 
δV=(εx+ε y+εz)dxdydz
Dilatação 
volumétrica: e =
δV
dv
= εx+εy+εz
Utilizando a Lei de Hooke Generalizada: 
e = 1−2ν
E
(σ x+σ y+σ z)
 
Resistência dos Materiais
Dilataçãoo VolumétricaDilataçãoo Volumétrica
Material homogêneo, isotrópico e linear
Tensão Hidrostática: Para um estado de carga hidrostática: 
σx = σ y = σ z =−p
Então: 
e = 1−2ν
E
(σ x+σ y+σ z)
Módulo de Compressibilidade: 
k =− p
e
= E
3(1−2 ν)
Para a maioria dos metais: ν = 1
3
Assim: k≈E
Nota: O volume de um sólido sujeito a uma pressão hidrostática só pode diminuir. Assim dilação 
volumétrica e é negativa. Logo o módulo de compressibilidade k é positivo. Examinado a última equação 
concluímos: . Por outro lado, v é positivo para todos os materiais de engenharia.
Portanto:
ν < 1 /2
Caso Especial:
0 < ν < 1
2
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 37Exercício de Aula 37
Se um bloco retangular estiver submetido a uma pressão uniforme p = 20 psi, quais serão a 
dilatação e a mudança de comprimento em cada lado?
Dados: E = 600 psi e ν = 0,45
c=3 in
b=2 ina=4 in
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 38Exercício de Aula 38
Um tubo de aço A36 está submetido a uma carga axial de 60 kN. Determinar a mudança de 
volume no material depois que a carga for aplicada.
Dados: E = 200 GPa e ν = 0,32
 
 
 
Resistênciados Materiais
Exercício de Aula 39Exercício de Aula 39
Um vaso de pressão cilíndrico com paredes finas, raio interno r e espessura t é submetido a 
uma pressão interna p. Se as constantes do material forem E e ν, quais serão as 
deformações nas direções circunferencial e longitudinal? Usando esses resultados, calcular 
o aumento do diâmetro e de comprimento em um vaso de pressão feito de aço e cheio de ar, 
com pressão manométrica interna de 20 MPa. O vaso tem 2m de comprimento, raio interno 
de 0,4m e espessura de 10mm.
Dados: E = 200 GPa e ν = 0,3
(homework)(homework)
 
Resistência dos Materiais
Exercício de Aula 40Exercício de Aula 40
Os tubos e conexões usados na perfuração de um poço de petróleo com 
profundidade de 15000 ft são feitos de aço A-36 que pesam 20 lbf/ft. 
Estes tubos possuem diâmetro externo de 4½ in e diâmetro interno de 
3,640 in. Determinar a força P necessária para retirar toda a coluna de 
tubos (desconsidere o atrito). Qual é o alongamento da coluna quando 
ela começa a ser retirada?
(homework)(homework)
 
Resistência dos Materiais
Este material refere-se às notas de aula do curso EM423 (Resistência 
dos Materiais) da Faculdade de Engenharia Mecânica da 
UNICAMP. 
Este material não substitui o livro texto, as referências recomendadas 
e nem as aulas expositivas.
Este material não pode ser reproduzido sem autorização prévia do 
autor. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de 
ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.
Observações: