Super compilado cálculo numérico AV2

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1a Questão (Ref.: 201102194614) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma 
estrutura de concreto. 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
 
 Y = ax
2
 + bx + c 
 2a Questão (Ref.: 201102163369) Pontos: 1,0 / 1,0 
Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x2 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta aproximada 
o valor de: 
 
 0,38 
 3a Questão (Ref.: 201102194841) Pontos: 1,5 / 1,5 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos 
iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201102194764) Pontos: 1,5 / 1,5 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes 
podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do 
método de Romberg: 
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios 
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios 
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 5a Questão (Ref.: 201102195149) Pontos: 1,5 / 1,5 
Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma 
f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função 
f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x
3
 + x
2
 - 8. 
A raiz desta função é um valor de x tal que x
3
 + x
2
 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma 
possível função equivalente é: 
 
 (x) = 8/(x
2
 + x) 
 6a Questão (Ref.: 201102152842) Pontos: 1,5 / 1,5 
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x3 - 4x + 7 = 0 
 
 -7/(x
2 - 4) 
 1a Questão (Ref.: 201102327032) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + 4 com a condição de valor inicial y (2) = 
2. Dividindo o intervalo [ 2; 3 ] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, 
determine o valor aproximado de y (3) para a equação dada. 
 
 
10 
 3a Questão (Ref.: 201102380901) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
17/16 
 
 4a Questão (Ref.: 201102358162) Pontos: 1,5 / 1,5 
Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson 
(trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir. 
 
 
 Se considerarmos a integral definida , o valor encontrado para F(x) utilizando a 
regra de Simpson será equivalente a: 
 
 
 Área do trapézio 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201102316372) Pontos: 1,5 / 1,5 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais 
para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
valor: 
 
 
1,5 
 
 6a Questão (Ref.: 201102316327) Pontos: 1,5 / 1,5 
Seja uma grandeza A = B.C, em que B = 5 e C = 10. Sejam também Ea = 0,1 e Eb = 0,2 os erros absolutos no 
cálculo A e B, respectivamente. Assim, o erro no cálculo de C é, aproximadamente: 
 
 
2 
 
 1a Questão (Ref.: 201102184119) 
 Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se: 
 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 
 2a Questão (Ref.: 201102152840) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição 
de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
3 
 
 3a Questão (Ref.: 201102184160) Pontos: 1,5 / 1,5 
Considere a equação x
3
 - x
2
 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (-1,5; - 1,0) 
 
 4a Questão (Ref.: 201102142176) Pontos: 0,0 / 1,5 
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da 
equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0 
 
 
5/(x-3) 
 
 6a Questão (Ref.: 201102142180) Pontos: 1,5 / 1,5 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se 
como pontos iniciais x0 = 2 e x1= 4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 
 
 
2,4 
 
 1a Questão (Ref.: 200902384608) Pontos: 0,0 / 1,0 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio 
P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. 
Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador? 
 grau 30 
 
 4a Questão (Ref.: 200902381642) Pontos: 1,5 / 1,5 
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações: 
 
I - É um método de alta precisão 
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É correto afirmar que: 
 
 apenas I e II são corretas 
 
 5a Questão (Ref.: 200902378791) Pontos: 0,0 / 1,5 
 
O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
 20,099 
 
 6a Questão (Ref.: 200902347351) Pontos: 0,0 / 1,5 
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de 
interpolação polinomial, obtém-se a função: 
 
 
3x - 1 
 
 
 
 
1a Questão (Ref.: 201101677889) Pontos: 1,0 / 1,0 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o 
valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x. 
 
 1000 + 0,05x 
 
 5a Questão (Ref.: 201101720294) Pontos: 0,0 / 1,5 
Considere a equação e
x
 - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto 
afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (0,5; 0,9) 
 
 6a Questão (Ref.: 201101677895) Pontos: 1,0 / 1,0 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 (11,14,17) 
 
 3a Questão (Ref.: 201303210667) Pontos: 0,5 / 0,5 
Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R
2
. Para que w = 3u - v, devemos ter x + y igual a: 
 
 
 6 
 
5a Questão (Ref.: 201201447271) Pontos:0,0 / 1,5 
Suponha a equação 3x
3
 - 5x
2
 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma 
raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta 
equação. 
 
 0,625 
 
 
6a Questão (Ref.: 201201447183) Pontos:0,0 / 1,5 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
Newton Raphson 
 
 4a Questão (Ref.: 201303168699) Pontos: 0,0 / 0,5 
Sejaa função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para 
pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
-6 
 
 5a Questão (Ref.: 201303168650) Pontos: 0,5 / 0,5 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de: 
 
 
Erro relativo 
 
 6a Questão (Ref.: 201303168686) Pontos: 0,5 / 0,5 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para 
determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1 
 
 
2 e 3 
 
 9a Questão (Ref.: 201303180050) Pontos: 0,0 / 1,5 
 
 
 
Resposta: f(x)=2x^3+x2-2f(x)'=2x^- 
 
 
Gabarito: 0,8581 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201201487069) Pontos: 0,0 / 0,5 
Considere a função polinomial f(x) = 2x
5
 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as 
raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto 
inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será: 
 
 -0,75 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201487085) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É 
correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (0,2; 0,5) 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201486698) Pontos: 1,0 / 1,5 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e
x
, onde a é 
um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) 
= 3, determine o valor de a para esta condição. 
 
 
Resposta: y(x) = a.e
x 
  3 = a.e
0
  a = 3 
 
 
Gabarito: 
y(x) = a.e
x 
  3 = a.e
0
  a = 3 
 
 6a Questão (Ref.: 201201350790) Pontos: 0,5 / 0,5 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule 2u + v 
 
 (13,13,13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201201482805) Pontos: 0,5 / 0,5 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser 
representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito 
de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: 
 
 erro de truncamento 
 
 8a Questão (Ref.: 201201362190) Pontos: 1,5 / 1,5 
 
 
 
Resposta: 0,3168 
 
 
Gabarito: 0,3168 
 
 9a Questão (Ref.: 201201361354) Pontos: 0,5 / 0,5 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de 
sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do 
Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a: 
 
 (x
2 - 3x + 2)/2 
 
 10a Questão (Ref.: 201201350842) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o 
escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
intervalo: 
 [1,10] 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201001394158) 
Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor 
inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 6 
 
 6a Questão (Ref.: 201001383495) Pontos: 1,5 / 1,5 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se 
como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 
 
 2,63 
 
 3a Questão (Cód.: 158442) Pontos: 0,0 / 0,5 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a 
opção que encontra uma raiz desta equação. 
 
 
 y = e
x
 - 3 
 
 5a Questão (Cód.: 152616) Pontos: 0,0 / 0,5 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que 
grau? 
 
 primeiro 
 
 6a Questão (Cód.: 152617) Pontos: 0,0 / 0,5 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
 
 
 menor ou igual a n 
 
 5
a
 Questão (Ref.: 201101462220) Pontos: 1,5 / 1,5 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento 
tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material 
apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a: 
 
 -x
2 
+ 2x 
 
 6
a
 Questão (Ref.: 201101493679) Pontos: 1,5 / 1,5 
O cálculo do valor de e
x
 pode ser representado por uma série infinita dada por: 
 
Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a 
um erro conhecido como: 
 
 erro de truncamento 
 
 
2.) FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 110621 / 1
a sem. Pontos: 0,5 / 0,5 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 
-8 
 
4.) FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 110129 / 1a sem. Pontos: 0,0 / 0,5 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
-3 
 
5.) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 121207 / 7a sem. Pontos: 0,0 / 1,0 
Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos. 
 
 
0,328125 
 
7.) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 121265 / 8
a sem. Pontos: 0,0 / 1,0 
Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R1,1 da integral de f(x) = cos(x) no 
intervalo entre 0 e  
é dado por: 
 
 
-  
 
8.) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 121222 / 7
a sem. Pontos: 1,0 / 1,0 
Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se 
como resposta o valor de: 
 
 
0,3125 
 
9.) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 121282 / 8
a sem. Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de f(x) = cos(x) no 
intervalo entre 0 e  
é dado por: 
 
- 
 
 6a Questão (Ref.: 201102243162) Pontos: 0,0 / 1,5 
A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois 
pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que x0e x1 devem 
respeitar a seguinte propriedade: 
 
 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser diferentes 
 
 
 2a Questão (Cód.: 152997) Pontos: 0,0 / 0,5 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja 
satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a 
precisão desejada: 
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. 
 
 
 Mod(xi+1 - xi) < k 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Cód.: 110633) Pontos: 0,5 / 0,5 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro 
relativo. 
 
 
 
 
 
 0,026 E 0,023 
 
 
 4a Questão (Cód.: 121188) 
Pontos: 0,0 / 1,0 
Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois 
métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de 
aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que: 
 
 f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.8a Questão (Cód.: 121210) 
Pontos: 1,0 / 1,0 
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 
intervalos. 
 
 0,242 
 
 10a Questão (Cód.: 110621) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 -8 
 
 1a Questão (Ref.: 201101278531) Pontos: 0,5 / 0,5 
Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro 
relativo. 
 
 
 
 
 0,026 e 0,024 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201101289921) Pontos: 0,0 / 1,5 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: -1,0299 
 1a Questão (Cód.: 152470) Pontos: 0,0 / 0,5 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo 
[a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral 
definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 
 
 
 0,2 
 
 
 8a Questão (Cód.: 110634) Pontos: 0,5 / 0,5 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor 
aproximado" apresenta a definição de: 
 
 Erro absoluto