Estatistica Parte 2 2 VAZÕES MAXIMAS

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Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
Universidade de São Paulo 
Escola Politécnica 
Departamento de Engenharia Hidráulica e 
Ambiental 
Aula 18 – Parte 2 de 2 
Estatística de Extremos – 
Vazões Máximas e Mínimas 
PHA3307 
Hidrologia Aplicada 
Prof. Dr. Arisvaldo Méllo 
Prof. Dr. Joaquin Garcia 
Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
Objetivos da Aula 
1. Conhecer algumas distribuições de 
probabilidades de extremos. 
2. Aprender as distribuições Normal, Log 
Normal, Log Pearson III e Gumbel (máximas) e 
Weibull (mínimas). 
3. Aprender a fazer um papel de probabilidades. 
4. Conhecer alternativas de ajustes de 
distribuições de probabilidades a vazões 
extremas (máximas e mínimas). 
5. Aprender o conceito e fazer uma aplicação 
prática da determinação da Q7,10. 
 
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Revisão Aula16 - Estatística 
 Eventos Hidrológicos: Variáveis Aleatórias 
 Conceitos de Período de Retorno e Risco 
 Determinação de Condições Extremas 
 Seleção da Amostra 
 Cálculo das Estatísticas Básicas 
 Ordenação e Estimação: Distribuição Probabilística 
Empírica, Posição de Plotagem 
 Ajuste de distribuição probabilística, 1a opção: 
Distribuição Normal 
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Distribuições de Probabilidade 
 As distribuições de probabilidades que 
normalmente se adaptam bem a vazões 
máximas são: 
 GUMBEL (2 parâmetros) 
 LOG GUMBEL (2 parâmetros) 
 LOG NORMAL (2 parâmetros) 
 LOG PEARSON III (3 parâmetros) 
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Distribuição Normal 
Função de distribuição de 
probabilidade 
Função acumulada de 
probabilidades de não 
excedência 
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0 20 40 60 80 100
x
f(x
)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 20 40 60 80 100
x
F(
x)
     


x
xXPdxxfxF 
 





 

2
2
2
exp
2
1



x
xf
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Distribuição Normal – variável normal padronizada 
     


x
xXPdxxfxF



x
z
 
 
  0 para 1
0 para 
019527.0000344.0115194.0196854.01
2
1 4432




zBzF
zBzF
zzzzB
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Função de probabilidade acumulada de não 
excedência 
Tratando de 
máximas (colocamos 
os dados em ordem 
decrescente), se F(x) 
é função acumulada 
de probabilidades de 
não excedência, ela 
é igual a 1 menos a 
probabilidade de 
excedência 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 20 40 60 80 100
x
F(
x)
P 
F = 1 - P = 1 - 1/T 
𝑭 𝒙 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒅𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝟏 − 𝑷 𝑿 ≥ 𝒙 = 𝟏 −
𝟏
𝑻
𝒙
−∞
 
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Fator de Frequência 
A magnitude de um evento hidrológico xT pode ser representada pela média 
acrescida de uma variação xT em torno da média: 
TT xxx 
A variação pode ser considerada igual ao produto do desvio padrão e um fator 
de frequência KT, que está em função do período de retorno e do tipo de 
distribuição de probabilidade usada na análise: 
sKxx TT 
x
xT 
f(
x)
 
+ 
KT s 
   


Tx
T dxxf
T
xXP
1
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Distribuição Log Normal 
Admite que os logaritmos das vazões máximas anuais 
seguem uma distribuição normal (x = ln(Q)). 0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.450
0 200 400 600 800
Q (m³/s)
f(x
)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 200 400 600 800
Q (m³/s)
F(
x)
 
 







 

2
2
2
exp
2
1
y
yy
x
xf



Onde y = ln (x) 
Extensão: x > 0 
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Fator de Frequência para Distribuição Normal 
s
xx
K TT





x
z
Variável normal padronizada 
O valor de z corresponde a uma probabilidade de excedência de p (p = 
1/T) e pode ser calculada com o auxílio de uma variável intermediária w: 
 
ppp
p
p
w
www
ww
wzKT

















1por substituir 5.0 Quando
5.00 
1
ln
001308.0189269.0432788.11
010328.0802853.0515517.2
2
1
2
32
2
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Exemplo – Distribuição Normal 
Qual a vazão máxima anual para um período de retorno de 10 anos do rio 
Jaguari calculada usando o fator de freqüência para a distribuição 
Normal? 
T = 10 anos, p = 1/10 = 0.1 
/sm 3.31046.952818.197.187
2818.1
146.2001308.0146.2189269.0146.2432788.11
146.2010328.0146.2802853.0515517.2
146.2
146.2
1.0
1
ln
3
32
2
2
2
1


















sKxx
K
w
TT
T
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Usando a distribuição Log Normal 
 Calcular os logaritmos das Q máximas anuais: x = ln(Q) 
 Calcular a média: 
 Calcular o desvio padrão: S 
 Obter os valores de x para probabilidades de 50, 20, 10, 4, 
2, 1%, etc, que correspondem aos T de 2, 5, 10, 25, 50, 100 
anos, etc. 
 Calcular as vazões correspondentes (Q=ex) para cada T 
 
 Dica: no Excel podem ser utilizadas as funções 
DIST.NORM(x;média;desv_padrão;cumulativo) e a inversa 
INV.NORM(probabilidade;média;desv_padrão) ou 
diretamente a DIST.LOGNORMAL e INVLOG 
x
Retorna o inverso da distribuição log-normal cumulativa de x, onde 
ln(x) é normalmente distribuída. 
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Distribuição Log Pearson Tipo III 
 
   
 






 

sx
g
s
x
ex
xf
x














2
1
2  
   














 1
:epropriedad a Com
51840
139
288
1
12
1
1 21
:oaproximaçã seguinte ausar se-pode inteiro não Para
gama função 
32
e
Utiliza, além da média e do desvio padrão, um terceiro 
parâmetro estimado a partir dos dados, que é o 
coeficiente de assimetria. 
Karl Pearson,1857-1936 
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Fator de Frequência para Log Pearson III 
Os valores de K podem ser calculados ou tabelados para 
diferentes valores do coeficiente de assimetria. 
T Tx x S K  
O fator de frequência depende do período de retorno T e do coeficiente de 
assimetria g. 
Quando g = 0; KT = z (variável normal padronizada) 
Quando g ≠ 0; KT é calculado por: 
     
543
2
2
32
63
1
66
1
6
6
3
1
6
1 
























gg
z
g
z
g
zz
g
zzKT
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Exemplo KT Log Pearson III 
Qual a vazão máxima anual para um período de retorno de 10 anos do rio 
Jaguari calculada usando o fator de freqüência para a distribuição Pearson 
Tipo III? 
/sm 7.31446.953277.197.187 3 sKxx TT
146.2
1.0
1
ln
1
ln
2
1
2
2
1
2

























p
w
2818.1
001308.0189269.0432788.11
010328.0802853.0515517.232
2




www
ww
wz
      3277.1
6
3671.1
3
1
6
3671.1
6
3671.1
1
6
3671.1
6
3
1
6
3671.1
1
543
2
2
32 























 zzzzzzKT
g = 1.367 
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Distribuição Gumbel 
densidade f(x) acumulada F(x) 
Emil Gumbel (1891–1966) 
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Distribuição Gumbel 
 




5772.0
7797.0
6
 









 


xu
s
s
x
exF
ux
e

ux
y


 
yeexF

TT xxdeadeprobabilidxF )(
 
 
 
 
 






















 
xF
y
e
xF
e
x
x
exF
y
y
e y
1
lnln
ln
1
lnln
1 
xF
1
ln-
1
lnln
lnln
 
 
 
 
T
T
xF
T
xF
T
xxP
T
xxP
T
T
T
T
1
1
1
1
1
1



















1
lnln
T
T
yT
Na distribuição Gumbel o cálculo é direto, não 
depende de integração numérica ou consulta a 
tabelas! 
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Relação de xT com yT na distribuição Gumbel 
 
s
sxx
y
s
sxxux
y
yux
T
T
TT
T
TT
7797,0
45,0
7797,0
7797,05772,0









Desenvolva um modelo de análise de frequência de vazões máximas anuais para 
o Rio Jaguari , usando a distribuição de Gumbel e calcule a vazão para um 
período de retorno de 10 anos. 1455772,0
43,74
6
4604,95
9706.187







xu
s
s
x
 





 


43,74
145x
eexF
/sm 5,31225,243,74145
25,2
110
10
lnln
anos 10
3















T
T
x
y
T
Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
KT para Distribuição Gumbel 














1
lnln
T
T
yT
45,07797,0
7797,0
45,0
7797,0
45,0






TT
TT
T
yK
s
sxsKx
s
sxx
y
sKxx TT  /sm 5,31246,95304,197,187
304,145,025,27797,0
25.2
110
10
lnln
anos 10
3
















T
T
T
x
K
y
T
Qual a vazão máxima anual para um período de retorno de 10 anos do rio Jaguari 
calculada usando o fator de freqüência para a distribuição Gumbel? 
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Correção de KT 
Ano 
Vazão 
máxima 
(m3/s) 
Ordem P T Y Kt Qt 
1970 457.43 1 0.0625 16,000 2.741 2.183 416.57 
1971 352.43 2 0.1250 8,000 2.013 1.470 330.11 
1972 295.97 3 0.1875 5,333 1.572 1.038 277.61 
1974 154.18 4 0.2500 4,000 1.246 0.718 238.84 
1975 152.79 5 0.3125 3,200 0.982 0.459 207.41 
1976 131.16 6 0.3750 2.667 0.755 0.237 180.46 
1977 116.70 7 0.4375 2,286 0.553 0.039 156.41 
1978 110.39 8 0.5000 2,000 0.367 -0.143 134.27 
1979 106.77 9 0.5625 1,778 0.190 -0.316 113.32 
1980 100.17 10 0.6250 1,600 0.019 -0.484 92.99 
1981 86.07 11 0.6875 1,455 -0.151 -0.651 72.71 
1982 62.25 12 0.7500 1,333 -0.327 -0.823 51.84 
1983 50.77 13 0.8125 1,231 -0.515 -1.007 29.42 
1984 49.16 14 0.8750 1,143 -0.732 -1.220 3.62 
1985 48.79 15 0.9375 1,067 -1.019 -1.502 -30.59 
n
n
n
T
T
S
y
S
y
K 














1
lnln
T
T
yT
0205.1
5128.0


n
n
S
y
1827.2
0205.1
5128.0
0205.1
7404.2
TK
45.07797.0  TT yK
6867.145.07404.27797.0  xKT smxQSKQQ TTT /57.41636.1211827.267.151
3
KT não corrigido 
yn – média de y 
Sn – desvio padrão 
populacional de y 
(no Excel, DESVPAD.P) 
QT=151.67+1.6867x121.36=356.37 
Correção de KT 
KT corrigido 
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Usando a distribuição Gumbel 
 Calcular a média (𝑋) e o desvio padrão (S) (estimadores de  e 
) para obter os parâmetros a e b da distribuição Gumbel: 
 
 Obter os valores de x para probabilidades de 50, 20, 10, 4, 2, 1%, 
etc, que correspondem aos T de 2, 5, 10, 25, 50, 100 anos, etc 
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Comparação de resultados Rio Guaporé 
T Normal Log Normal Log Pearson III Gumbel 
2 754 678 685 696 
5 1050 1010 1013 1007 
10 1204 1245 1236 1212 
25 1369 1554 1522 1472 
50 1475 1794 1737 1665 
100 1571 2041 1953 1856 
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Teste de Aderência 
 Teste de ajuste entre frequências observadas em uma 
amostra (oi) e frequências esperadas (ei) para uma 
variável aleatória de uma população. 
 
 
 
 O valor crítico de ² pode ser obtido em tabelas para 
um nível de significância () e graus de liberdade (k-p), 
em que p é o número de parâmetros da distribuição. 
 
 Se ² < c² não há diferença estatística entre os dados 
observados e calculados 
 
2
2
1
k
i i
i i
e o
e



 
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2 
 
Distribuição 2 
GL  0,1 0,05 0,02
15 22,307 24,996 28,259
20 28,412 31,410 35,020
25 34,382 37,652 41,566
30 40,256 43,773 47,962
35 46,059 49,802 54,244
40 51,805 55,758 60,436
45 57,505 61,656 66,555
50 63,167 67,505 72,613
Dica: No Excel: 
=INV.QUIQUA.CD(, GL) 
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Papel de Probabilidade 
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho
Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
Ajuste gráfico que lineariza a 
função de probabilidade. Os 
dados plotados são ajustados a 
uma reta para propósito de 
interpolação e extrapolação 
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Procedimento 
Ordenar as vazões em ordem decrescente e atribuir a 
cada uma delas uma frequência amostral: P(q>Q) = 
m/(N+1) 
Número de Vazão Probabilidade Período de
Ordem m Q P(q>=Q) Retorno 
T=1/P
1 Q1 1/(N+1) (N+1)
2 Q2 2/(N+1) (N+1)/2
3 Q3 3/(N+1) (N+1)/3
| | | |
| | | |
N QN N/(N+1) (N+1)/N
Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
QmaxAno
81.61947
73.11948
60.21949
49.71950
68.31951
114.51952
89.91953
40.41954
44.61955
68.71956
59.61957
67.71958
70.31959
47.01960
69.41961
48.81962
33.91963
71.51964
93.51965
79.51966
107.91967
73.31968
40.71969
92.21970
68.31971
54.81972
61.91973
38.41974
59.21975
52.41976
101.21977
TPacumQmaxAnoN. de Ordem
N+1m/N+1m
31.000.03114.519521
15.500.06107.919672
10.330.1093.519653
7.750.1392.219704
6.200.1689.919535
5.170.1981.619476
4.430.2379.519667
3.880.2673.319688
3.440.2973.119489
3.100.3271.5196410
2.820.3570.3195911
2.580.3969.4196112
2.380.4268.7195613
2.210.4568.3195114
2.070.4868.3197115
1.940.5267.7195816
1.820.5561.9197317
1.720.5860.2194918
1.630.6159.6195719
1.550.6559.2197520
1.480.6854.8197221
1.410.7152.4197622
1.350.7449.7195023
1.290.7748.8196224
1.240.8147.0196025
1.190.8444.6195526
1.150.8740.7196927
1.110.9040.4195428
1.070.9438.4197429
1.030.9733.9196330
Vazão média: 
Qm= 63.04 
 
Desvio padrão: 
SQ= 19.70 
Aplicação do procedimento gráficoDepartamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho
Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
para T= 10 anos: y10= 2.250 Q10= 89 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
para T= 100 anos: y100= 4.601 Q100= 125 para T= 1000 anos: y1000= 6.907 Q1000= 160 
Reta teórica 
Definição da Reta Teórica 
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Aplicativo de Ajuste de Distribuição 
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Aplicativo de Ajuste de Distribuição 
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Análise Crítica da Metodologia Estatística 
Definição da série de valores extremos 
Hipótese: os valores extremos são 
variáveis aleatórias com população 
infinita. 
Ajuste de alguns modelos matemáticos 
de distribuição probabilística 
Escolha da Distribuição 
Extrapolação da Distribuição 
Probabilística escolhida 
 incertezas da curva-chave 
• distribuições não tem limite superior 
 
• ajustadas combase em poucos e, 
relativamente, baixos valores 
 desvinculação da hidrometeorologia e 
da física, passando para estatística 
 critérios subjetivos 
 não permite verificar se valores 
extremos inferidos são factíveis 
Vazões mínimas 
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Abastecimento de Água, Pesca e Agropecuária 
Importância do Estudo das Vazões Mínimas 
38 
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Geração de Energia Elétrica, Lazer e Turismo 
Importância do Estudo das Vazões Mínimas 
39 
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Navegação, Poluição de Córregos e Represas 
Importância do Estudo das Vazões Mínimas 
40 
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Importância do Estudo das Vazões Mínimas 
41 
Todas as Regiões do 
Brasil 
Amazonas 
Rio Grande do Sul 
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Causas Antrópicas e Aleatoriedade 
42 
Existe influência das atividades do homem, mas o fenômeno 
também é aleatório, como as ocorrências das grandes vazões 
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Vazões Mínimas 
 A análise de vazões mínimas é semelhante à análise 
de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das 
vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de 
ocorrência de vazões iguais ou menores do que um 
determinado limite. 
 Na análise utilizando probabilidades empíricas, esta 
diferença implica em que os valores de vazão devem 
ser organizados em ordem crescente, ao contrário da 
ordem decrescente utilizada no caso das vazões 
máximas. 
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Vazões Mínimas 
 Usos 
 Disponibilidade hídrica em períodos críticos 
 Legislação de qualidade de água 
 Outorgas 
 Normalmente, as vazões mínimas que interessam 
têm a duração de vários dias 
 Q7,10 é a menor média das vazões em sete dias 
consecutivos com recorrência de 10 anos 
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Vazões mínimas de cada ano 
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Série de Vazões Mínimas 
0
50
100
150
200
250
300
350
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
ano
Q 
(m
³/s
)
Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 
ano Q(m³/s)
1970 118.7
1971 221.8
1972 184.0
1973 250.6
1974 143.0
1975 198.0
1976 194.0
1977 106.3
1978 77.5
1979 108.0
1980 202.0
1981 128.6
1982 111.4
1983 269.0
1984 158.2
1985 77.5
1986 77.5
1987 166.0
1988 70.0
1989 219.6
1990 221.8
1991 111.4
1992 204.2
1993 196.0
1994 172.0
1995 130.4
1996 121.6
1997 198.0
1998 320.6
1999 101.2
2000 118.2
2001 213.0
i ano Q(m³/s) P T(anos)
1 1988 70.0 3.0% 33.0
2 1978 77.5 6.1% 16.5
3 1985 77.5 9.1% 11.0
4 1986 77.5 12.1% 8.3
5 1999 101.2 15.2% 6.6
6 1977 106.3 18.2% 5.5
7 1979 108.0 21.2% 4.7
8 1982 111.4 24.2% 4.1
9 1991 111.4 27.3% 3.7
10 2000 118.2 30.3% 3.3
11 1970 118.7 33.3% 3.0
12 1996 121.6 36.4% 2.8
13 1981 128.6 39.4% 2.5
14 1995 130.4 42.4% 2.4
15 1974 143.0 45.5% 2.2
16 1984 158.2 48.5% 2.1
17 1987 166.0 51.5% 1.9
18 1994 172.0 54.5% 1.8
19 1972 184.0 57.6% 1.7
20 1976 194.0 60.6% 1.7
21 1993 196.0 63.6% 1.6
22 1975 198.0 66.7% 1.5
23 1997 198.0 69.7% 1.4
24 1980 202.0 72.7% 1.4
25 1992 204.2 75.8% 1.3
26 2001 213.0 78.8% 1.3
27 1989 219.6 81.8% 1.2
28 1971 221.8 84.8% 1.2
29 1990 221.8 87.9% 1.1
30 1973 250.6 90.9% 1.1
31 1983 269.0 93.9% 1.1
32 1998 320.6 97.0% 1.0
Seleção da Amostra Ordenação e Distribuição 
Probabilística Empírica 
média 162.2
devio padrão 61.9
assimetria 0.46
1

N
i
P
P
T
1

Procedimentos 
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Distribuição Weibull 
 
 
 
 
  e  podem ser obtidos com o ”solver” ( >0 e  >0) 
 no Excel, (x)=EXP(LNGAMA(x)) 
 no Excel, F(x)=WEIBULL(x,,,verdadeiro) 
Waloddi Weibull 
(1887-1979) 
  

 
0
1 dxexz xz
  !1 nn 
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Distribuição Weibull 
no Excel, (x)=EXP(LNGAMA(x)) 
encontrar  e  para igualar  e ² 
com as restrições >0 e >0 
,² calculados 
com base na 
amostra 
=*(1+1/) 
²=²*((1+2/)–
²(1+1/)) 
Obtenção de  e  com o ”solver” 
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Distribuição Weibull - obtenção de  e  com o ”solver” 
no Excel, G(x)=EXP(LNGAMA(x)) 
encontrar  e  para igualar m e s² com as restrições  > 0 e  > 0 
51 
,² calculados 
com base na 
amostra 
=*(1+1/) Eq. 1 
²=²*((1+2/) –
²(1+1/)) Eq. 2 
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Distribuição Weibull 
52 
K65 
Min 
I60:I61 
 > 0 
 > 0 
GRG Não Linear 
Resolver 
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Distribuição Weibull - Desenho da curva teórica 
53 
5- Desenho da curva teórica de Weibull (Alternativa)
i Ano Q(m³/s) F amostral T(anos) Qteor
1 1988 70,0 0,03 33,0 53,4
2 1978 77,5 0,06 16,5 68,6
3 1985 77,5 0,09 11,0 79,5
4 1986 77,5 0,12 8,3 88,5
5 1999 101,2 0,15 6,6 96,4
6 1977 106,3 0,18 5,5 103,4
7 1979 108,0 0,21 4,7 109,9
8 1982 111,4 0,24 4,1 115,9
9 1991 111,4 0,27 3,7 121,7
10 2000 118,2 0,30 3,3 127,2
11 1970 118,7 0,33 3,0 132,5
12 1996 121,6 0,36 2,8 137,6
13 1981 128,6 0,39 2,5 142,7
14 1995 130,4 0,42 2,4 147,7
15 1974 143,0 0,45 2,2 152,6
16 1984 158,2 0,48 2,1 157,5
17 1987 166,0 0,52 1,9 162,5
18 1994 172,0 0,55 1,8 167,4
19 1972 184,0 0,58 1,7 172,4
20 1976 194,0 0,61 1,7 177,6
32 1998 320,6 0,97 1,0 282,9
5- Extrapolação da CurvaTeórica
T(anos) Qteor
34,0 52,8
35,0 52,3
40,0 49,9
45,0 47,8
50,0 46,1
50,0 46,1
75,0 39,9
100,0 36,0
0
50
100
150
200
250
300
350
1 10 100
Q 
(m
³/s
)
T (anos)
Dados
Distribuição teórica
Extrapolação da Curva teórica
Famostral = i/(N+1) 
(N=32) 
Tamostral =(N+1)/i 
(N=32) Qteor= =*(-LN(1-
Famostral))^(1/) 
Qteor= *(-LN(1-1/T)^(1/) 
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Distribuição Weibull 
0
50
100
150
200
250
300
350
1 10 100
T (anos)
Q 
(m
³/s
)
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Vazão Q7,10 
• Média históricadas vazões mínimas de 7 dias 
consecutivos, com período de retorno de 10 anos. 
 
• Variável utilizada na avaliação de mananciais para 
abastecimento público. 
 
• Usada como vazão de referência para outorga (mas 
não leva em conta critérios ambientais, nem 
econômicos). 
 
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Como calcular a Q7,10? 
• Vazões diárias do Rio Turvo em Olímpia/SP – posto 
5B-004 
5B-004 
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1) Seleção da amostra 
• Série histórica de vazões diárias de i anos (i  30 anos) 
2) Formação da série das Q7 mínimas observadas 
• Cálculo das médias-móveis de 7 dias (Q7) 
– 365 valores de Q7 para cada um dos i anos 
• Formar uma série de i elementos, composta pela menor Q7 
obtida em cada ano (Q7m) 
3) A série de i valores de Q7m deve ser ajustada a uma 
distribuição de probabilidade 
Média das Q7m Desvio pad. das Q7m 
Fator de frequência 
Como calcular a Q7,10? 
4) Para cada período de retorno T desejado tem-se: 
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• A expressão de KT varia conforme a distribuição 
probabilística utilizada: 
– Normal; Log-Normal 
– Gumbel; Log-Gumbel 
– Pearson; Weibull... 
• Qual é a melhor? 
– Os resultados devem ser coerentes com a 
realidade física da bacia! 
Como calcular a Q7,10? 
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Metodologia Estatística para Determinação de Valores 
Extremos 
Escolha da Posição de Plotagem 
Escolha do posto fluviométrico e 
análise de consistência dos dados 
Seleção da série de valores extremos no 
ano hidrológico 
cálculo de estatísticas básicas 
testes para verificação da presença de 
“outliers” ou valores excepcionais 
Hipótese: os valores extremos são 
variáveis aleatórias e independentes 
com população infinita 
Ajuste de distribuições probabilísticas, 
determinando seus parâmetros 
Escolha da Distribuição: ajuste gráfico e 
testes de aderência 
Extrapolação da Distribuição 
Probabilística escolhida 
Determinação dos valores extremos 
associados aos períodos de retorno 
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download gratuito do livro: 
 
http://www.cprm.gov.br/ 
 
 Recursos Hídricos 
 Produtos e Publicações 
 Livro Hidrologia Estatística 
Dica: Livro de Estatística 
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Exercício: Estatística 
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Chama o Alexandre! 
Chama! 
Olha a chuva que chega! 
É a enchente. 
Olha o chão que foge com a chuva... 
Olha a chuva que encharca a gente. 
Põe a chave na fechadura. 
Fecha a porta por causa da chuva, 
olha a rua como se enche!...