metodos numericos (2) (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE GURUPI
ENGENHARIA DE BIOPROCESSOS E BIOTECNOLOGIA
DOCENTE: Prof. Dr. PEDRO ALEXANDRE CRUZ
AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Brenda Rodrigues
Gabriel Leda
Layane Alves
GURUPI – TO
Março/2015
1. INTRODUÇÃO
Conforme RUGGIERO e LOPES (1996), quando necessitamos obter um valor aproximado de uma determinada função em algum ponto que não esteja no intervalo de tabelamento, precisamos fazer um ajuste a estas funções, ou seja, iremos precisar de uma função que seja uma boa aproximação para esses determinados valores da tabela. 
E para que seja desenvolvida essa “aproximação”, contamos com um método matemático que é tema do presente trabalho, este método é conhecido como “MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS”.
Uma explicação menos complexa para o conceito deste método é que este minimiza a função, ou seja, como já foi dito, o critério deste método é fazer uma aproximação.
O Método dos Mínimos Quadrados se deu no século XIX. Segundo CRATO (2000), um dos maiores problemas que vários astrônomos tiveram que enfrentar na época, foi o de combinação de observações feitas necessariamente com erros, para se estimar parâmetros de posição dos corpos celestes. Os astrônomos aceitavam uma medida aproximada, que aos seus olhos, eram uma medida mais rigorosa.
Ainda de acordo com CRATO (2000), um renascentista chamado de TYCHO BRAHE se preocupou com a medida e ele sabia que o progresso da ciência apenas poderia resultar de um conhecimento empírico com mais rigor. E assim, essa preocupação deste homem o levou a refletir sobre o rigor das observações. 
O sistemático controle da precisão da medida ainda era uma novidade para a época, porém muitos matemáticos, mais tarde também começaram a estudar essa combinação de observações. Entre estes vários matemáticos, se encontrava o “Príncipe dos matemáticos”, assim conhecido CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855), que mais tarde seria o autor do método dos mínimos quadrados. 
Essa procura para tentar encontrar um método ideal de combinações de medidas, atravessou gerações. Porém a solução mais eficaz que teria um maior desenvolvimento teórico e aplicação prática seria o método dos mínimos quadrados, apresentado no século XIX por Légendre em 1805 na sua obra Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Cometes, e por Gauss em 1809 na Theoria Motus Corporum Coelestium (CRATO, 2000). 
Estes dois matemáticos vieram a envolver-se em polêmica sobre a autoria da descoberta. Embora Légendre tenha divulgado primeiro os seus resultados, há relatos que Gauss os tinha obtido muito antes, em 1794-1795, mesmo com essa polêmica se atribui a este último a prioridade da criação do método (PLACKETT, 1972 apud CRATO, 2000). 
Os estudos de Gauss, o levou a estabelecer um método de combinar observações e, com base nelas, estimar os parâmetros de uma função, neste caso, uma órbita. Esse método veio a solucionar um problema com o qual há décadas se debatiam as melhores mentes europeias (CRATO, 2000). 
Dados coletados experimentalmente dificilmente atendem a uma única função e assim, normalmente, essa busca por parâmetros que caracterizam tal função, resulta em sistemas impossíveis. Este tipo de sistema aparece muitas vezes na realização de experimentos. O motivo para esse fato são as muitas equações, resultantes de várias medições. Desse modo, faz-se necessário determinar uma função cujo gráfico melhor representa os dados. 
Na engenharia, por exemplo, inúmeros testes são realizados em laboratórios na expectativa da validação de sistemas reais. Nota-se que o método dos mínimos quadrados continua sendo útil para diversas áreas do conhecimento, inclusive para a astronomia que motivou o seu desenvolvimento. 
2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Como foi descrito na introdução deste trabalho, o método dos mínimos quadrados é um método utilizado para se fazer uma aproximação de uma determinada função. Este método está situado no ramo da matemática numérica e pode ser implementado em diversos softwares numéricos. 
Conforme KLEIN et al(2011), o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é um dos critérios mais utilizados para o ajustamento de informações onde o número de observações é superabundante e o sistema de equações, devido à presença de erros no processo experimental de medições, inconsistente. Este método adota como solução única para tais problemas aquela que minimiza a soma do quadrado dos erros aleatórios. 
3.AJUSTES DE CURVAS
Dado um conjunto de pontos (Xk, f(Xk)), K=1,..., m, o problema de ajustes de curvas consiste em encontrar uma função φ(x), tal que o desvio em cada ponto k seja o menor possível. 
Conforme Ruggiero e Lopes (1996), o ajuste de curvas é a aplicação mais comum das soluções de quadrados mínimos. Embora, uma das formas de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial, ela não é aconselhável quando: 
a) É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar. 
b) Os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma pesquisa, porque, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis. 
Daí então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja uma "boa aproximação" para os valores tabelados e que permita extrapolar com certa margem de segurança. O ajuste de curvas é a aplicação mais comum das soluções de quadrados mínimos (RUGGIERO e LOPES, 1996). 
O problema do ajuste de curvas no caso em que temos uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..., (xm, f(xm)) com x1, x2, ..., xm, pertencentes a um intervalo [a, b], consiste em: escolhidas n funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), contínuas em [a, b], obter n constantes α1, α2, ..., αn tais que a função φ (x) = α1g1(x) + α2g2(x) + ... + αngn(x) se aproxime ao máximo de f(x). 
Genericamente, no caso linear, estaremos supondo que os dados serão aproximados por uma função do tipo: f(x) ≅ φ (x) = α1g1(x) + α2g2(x) +... + αngn(x), onde as funções g1(x), g2(x),..., gn(x) são preestabelecidas. 
Dizemos que este é um modelo matemático linear porque os coeficientes a determinar, α1, α2,...,αn, aparecem linearmente, embora as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x) 
possam ser funções não lineares de x, como por exemplo, g1(x) = 𝑒𝑥, g2(x) = (x2 + 2), g3(x) = sen(x), etc. 
A escolha das funções pode ser feita observando o gráfico dos pontos conhecidos ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que nos forneceu a tabela. Portanto, dada uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..., (xm, f(xm)), deve-se, em primeiramente, colocar estes pontos num gráfico cartesiano. Este gráfico é chamado de diagrama de dispersão. Através deste diagrama podemos visualizar a curva que melhor se ajusta aos dados. Ou seja, o objetivo é encontrar uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados de e que nos permita extrapolar com uma margem de segurança (RUGGIERO e LOPES, 1996). 
O método dos mínimos quadrados se divide em caso discreto e caso contínuo. O caso discreto resolve problemas em que se têm dados tabelados e deseja-se a aproximação por uma função. Já o caso contínuo necessita que se tenha uma função, deste modo se faz necessário que esta função tenha uma nova aproximação.
O caso discreto pode ser linear ou não linear, caso seja não linear é preciso que linearizamos a função. No presente trabalho iremos usar o caso discreto, onde iremos encontrar uma função que melhor se ajusta aos dados, para determinar o crescimento populacional da cidade de Jurupinga. A partir da determinação da função aproximada,será possível estimar o número de habitantes em qualquer ano.
No caso discreto são dados determinados pontos, por exemplo (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..., (xm, f(xm)) e as n funções g1(x), g2(x),..., gn(x) escolhidas de alguma forma. Considerando queo número de pontos m, tabelados, é sempre maior ou igual a n o número de funções escolhidas ou o número de coeficientes αi a se determinar. O objetivo é encontrar os coeficientes α1, α 2, ..., α n tais que a função φ(x) = α1g1(x) + α2g2(x) + ... + αngn(x) se aproxime ao máximo de f(x) (RUGGIERO e LOPES, 1996).
 
	 De acordo com Sanches e Furlan (2007),o ajuste linear simples é dado a partir de uma tabela com m valores (xi, f(xi)), i = 1, 2,..., m, queremos encontrar a reta que melhor ajusta esta tabela, no sentido dos quadrados mínimos. Como o ajuste será feito por uma reta, tomaremos g1(x) = 1 e g2(x) = x, isto é:
f(x) = φ(x) = α1 + α2x
O resíduo para cada par (α1, α2) e para cada x será r (α1, α2; x) = f(x) – α1 – α2x. Assim, pelo método dos quadrados mínimos devemos procurar α1 e α2 que minimizam a função:
 a solução do sistema de equações lineares é α1 e α2 e com seus valores os resíduos apresentam o seu menor valor.
O ajuste linear simples é um caso especial do ajuste polinomial. 
A equação geral do ajuste polinomial é dada por (SANCHES e FURLAN 2007):
φ(x) = α1 + α2x + α3x2 +... + αn+1xn
	Em alguns casos, algumas funções escolhidas pode ser não linear nos parâmetros, como, por exemplo, se ao diagrama de dispersão de uma determinada função se ajustar uma exponencial do tipo f(x) ≈ φ(x) = α1, α1 e α2 positivos.
Para se aplicar o método dos quadrados mínimos, é necessário que se efetue uma 
linearização do problema através de alguma transformação conveniente (RUGGIERO e LOPES, 1996).
Por exemplo:
f(x) = α1. Então ln (f(x)) = ln(α1)) = ln (α1 ) + ln ()
ln (f(x)) = ln α1 + α2 x ln() = ln α1 + α2 x
Fazendo Z = ln f(x), β1 = ln α1 e β2 = α2 . Logo, obtém-se:
Z = β1 + β2 x . 
	O método dos quadrados mínimos pode então ser aplicado na resolução do
problema linearizado. Após obter os parâmetros deste problema, podemos usar esses valores para calcular os parâmetros originais.
O outra divisão do quadrados mínimos é o caso contínuo, neste, é dado uma função f(x) contínua em um intervalo [a, b] e g1(x) e g2(x) duas funções 
contínuas em [a, b] que foram escolhidas de alguma forma. Faz se necessário encontrar duas constantes reais α1 e α2 tais que φ(x) = α1g1(x) + α2g2(x) esteja o “mais próximo possível” de f(x) (RUGGIERO e LOPES, 1996).
Conforme o critério dos quadrados mínimos para o conceito de proximidade entre φ(x) e f(x), os coeficientes α1 e α2 a serem obtidos deverão ser tais que o valor de seja o menor possível (RUGGIERO e LOPES, 1996).
 
REFERÊNCIAS BlBLIOGRÁFICAS
CRATO, N. O papel dos mínimos quadrados na descoberta dos planetas. Instituto Superior de Economia e Gestão, Lisboa, e Dept. of Math. Sci., New Jersey Institute of Technology, Newark. Disponível em:< http://pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/papers/MinQdSPM.pdf>.
KOZAMA, T.T.; TIAGO, G. M. Aplicação do método dos mínimos quadrados: problema do paraquedista em queda livre. In: Sinergia, São Paulo, v. 12, n. 1, p. 93-98, jan./abr. 2011. Disponível em:< http://www.cefetsp.br/edu/prp/sinergia/complemento/sinergia_2011_n1/pdf_s/segmentos/artigo_10_v12_n1.pdf>. Acesso em 22 de setembro de 2014.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo numérico – Aspectos teóricos e computacionais. In: Capítulo 6 – Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados. 2 ed. São Paulo: Pearson, 1996. 
KLEIN, Ivandro; MATSUOKA, Marcelo Tomio; SOUZA, Sergio Florencio de  and  VERONEZ, Mauricio Roberto. Ajustamento de observações: uma interpretação geométrica para o método dos mínimos quadrados. Bol. Ciênc. Geod. (Online) [online]. 2011, vol.17, n.2, pp. 272-294. ISSN 1982-2170. Disponível em : http://dx.doi.org/10.1590/S1982-21702011000200007.