Lista de VGA

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Instituto de Matema´tica
Lista 1 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Dr. Bruno Dias Amaro
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1. Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado nos seguintes casos.
a) ~v = (1,−2, 1) e sua origem e´ o ponto P = (1, 0, 1).
b) ~v = (−1, 0, 1) e sua origem e´ o ponto me´dio entre os pontos P1 = (1, 1, 3) e P2 =
(−1, 1, 1).
c) ~v = (1, 1, 1) e sua extremidade e´ o ponto P = (1, 1, 1).
2. Verifique se os pontos abaixo sa˜o colineares.
a) A = (1, 0, 1), B = (2, 2, 0) e C = (0,−2, 2).
b) A = (0, 1,−1), B = (1, 2, 0) e C = (0, 2, 1).
c) A = (3, 1, 4), B = (2, 7, 1) e C = (0, 1, 5).
3. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) e C = (0, 1, 2).
a) Determine o ponto D tal que A,B,C e D sejam ve´rtices consecutivos de um paralelo-
gramo.
b) Determine o ponto me´dio entre A e C e o ponto me´dio entre B e D.
4. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (Sugesta˜o: Sejam M e
N os pontos me´dios das duas diagonais. Mostre que
−−→
MN = ~0.)
5. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases e seu comprimento e´ a me´dia aritme´tica dos comprimentos da base.
6. Sejam
−→
0A e
−→
0B dois vetores na˜o colineares no espac¸o. Qual e´ o conjunto dos pontos P tais
que
−→
0P = λ
−→
0A+ (1− λ)−→0B, λ ∈ R?
7. Mostre que as medianas de um triaˆngulo interceptam-se num ponto. Encontre a raza˜o em
que esse ponto divide cada mediana.
8. Tente generalizar o exerc´ıcio anterior para tetraedros.
9. A a´rea de um triaˆngulo ABC e´
√
6. Sabendo que A = (2, 1, 0), B = (−1, 2, 1) e que o ve´rtice
C esta´ no eixo y, encontre as coordenadas de C.
1
10. Dado um triaˆngulo iso´sceles, mostre que a mediana relativa a` base e´ a mediatriz (isto e´, e´
perpendicular a base).
11. Mostre que se um triaˆngulo tem duas medianas iguais, enta˜o ele e´ iso´sceles.
12. Sejam ~u e ~v dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer nu´meros a e b,
os vetores a~u + b~v e a~v + b~u teˆm o mesmo comprimento. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica
ao problema.
13. Ache a soma dos vetores indicados na figura em cada caso:
a) (Tetraedros)
A B
C
D
E F
G
H
b) (Paralelep´ıpedo)
A
B
C D
E F
G
H
2
c) (Hexa´gonos regulares)
F E
D
CB
A
L K
J
IH
G
14. Prove que:
a) α~v = ~0⇒ α = 0 ou ~v = ~0.
b) α~u = α~v e α 6= 0⇒ ~u = ~v.
c) Se ~v 6= 0 enta˜o o vetor ~u = v||~v|| e´ um vetor unita´rio (comprimento igual a 1). Tal vetor
e´ dito versor de ~v (vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido de ~v).
15. Sendo ABCDEF um hexa´gono regular, prove que
−→
AB+
−→
AC+
−−→
AD+
−→
AE+
−→
AF = 6
−→
AO, onde
O e´ o centro do hexa´gono.
16. Sejam A,B e C ve´rtices do triaˆngulo ABC e X um ponto no segmento AB tal que a medida
do segmento AX e´ a metade do segmento XB. Expresse o vetor
−−→
CX em func¸a˜o dos vetores−→
CA e
−−→
CB.
17. Resolva o seguinte sistema, nas inco´gnitas x e y.{
3x− 2y = ~u
4x+ y = ~u+ ~v
18. Considere o triaˆngulo determinado pelos pontos A,B e C e sejam M,N e P os pontos me´dios
dos lados AB, CB e CA, respectivamente.
a) Escreva
−−→
BP ,
−−→
AN e
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
AB e
−→
AC.
b) Mostre que as retas suportes de duas medianas quaisquer de um triaˆngulo se encontram
num ponto.
c) Prove que as treˆs medianas de um triaˆngulo se encontram num mesmo ponto, que divide
cada uma delas na raza˜o 2:1 a partir do ve´rtice correspondente.
19. Prove que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio.
20. Dado um vetor ~v 6= ~0, determine um vetor ~u de tamanho 3, paralelo a ~v e de mesmo sentido
de ~v.
3
21. Sejam ~u e ~v vetores paralelos.
a) Se ~u e ~v teˆm mesmo sentido, prove que ||~u+ ~v|| = ||~u||+ ||~v||.
b) Se ~u e ~v teˆm sentidos contra´rios, prove que ||~u+ ~v|| = | ||~u|| − ||~v|| |.
22. Se M,N e P sa˜o os pontos me´dios dos lados AB, BC e AC de um triaˆngulo, respectivamente,
mostre que
−−→
AN +
−−→
BP +
−−→
CM = ~0.
23. Sendo ABCDEF um hexa´gono regular de centro O, prove que
−→
AB+
−→
AC+
−−→
AD+
−→
AE+
−→
AF =
6
−→
AO.
24. Seja OABC um tetraedro e X o ponto da reta BC tal que
−−→
BX = m
−−→
BC. Exprima
−−→
OX e−−→
AX em func¸a˜o de
−→
OA,
−−→
OB e
−→
OC.
25. Sejam ~u =
−→
AB e ~v =
−→
AC vetores na˜o nulos e ABCD o paralelogramo determinado pelos
vetores ~u e ~v. Defina e desenhe os vetores ~u+~v e ~u−~v em termos do paralelogramo ABCD.
Bom Estudo!
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