Geometria Analítica - Lista 2

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UFF - IME - GGM
Disciplinas: GGM 127/125/160
2a Lista de Exerćıcios (2020)
1. Dados −→v = (3, 7),−→u = (−1, 2) e −→w = (11, 4), verifique que os vetores −→v e −→u não são múltiplos e determine os
números x e y que tornam verdadeira a igualdade x−→v + y−→u = −→w , ou seja, escreva −→w como combinação linear
de −→v e −→u .
2. Calcule o ângulo θ entre os vetores −→u e −→v nos casos abaixo:
(a) −→u = (1, 0) e −→v = (0, 1)
(b) −→u = (1, 1) e −→v =
√
3, 0)
(c) −→u = (1, 3), −→v = (4, 12)
3. Seja θ o ângulo entre os vetores −→u = (k, 1) e −→v = (1, 2). Calcule o valor de k para o qual cos θ = 1√
5
.
4. Dados os vetores −→u = (2, k) e −→v = (3,−2), calcule k para que os vetores −→u e −→v :
(a) sejam paralelos.
(b) sejam perpendiculares.
(c) formem um ângulo de π/3 radianos.
5. Se −→a = −2−→u + k−→v e
−→
b = 5−→u − 3−→v , ache k sabendo que −→u e −→v são ortogonais e unitários e que 〈−→a ,
−→
b 〉 = 6.
6. Mostre que 〈−→u ,−→v 〉 = 14 (‖
−→u + −→v ‖2 − ‖−→u − −→v ‖2) e conclua que −→u e −→v são perpendiculares se e somente se
‖−→u +−→v ‖ = ‖−→u −−→v ‖.
7. Dados dois vetores −→u e −→v , prove que os vetores −→u +−→v e −→u −−→v são ortogonais se e só se ||−→u || = ||−→v ||.
8. Determine o conjunto de vetores no plano cuja projeção sobre o vetor −→v = (3, 1) seja o próprio −→v .
9. Um dos vértices do quadrado OABC é a origem e o outro é o ponto A = (2, 3). Quais são as coordenadas dos
pontos B e C?
10. Considere um quadrado ABCD cujos lados tem medida 2 e M é o ponto médio do lado BC. Determine o
cosseno de ângulo B̂DM .
11. Seja ABCD um retângulo cujos lados AB e BC têm medidas 2 e 4, respectivamente, e considere os pontos P,Q
e R, assinalados na figura abaixo com d(A,Q) = d(P,C) = 1. Mostre que
−→
PR = 25
−−→
PD.
A B
CD
B
R
Q
P
12. Calcule a área do triângulo ABC se A = (−3,−1), B = (0, 4) e C = (6, 1).
13. Calcule o valor de m para que um paralelogramo ABDC, em que A = (2,−1), B = (4, 2), C = (m,m), tenha
área igual a 12.
14. Prove que se A, B e C são os vértices de um triângulo e G é o seu baricentro (ponto de corte das medianas),
então
área(ABC) = 3 área(ABG).
1
15. Uma fazenda tem o formato de um quadrilárero que em um dado sistema de eixos cartesianos possui vértices
A = (0, 0), B = (1, 4), C = (5, 1) e D = (4, 5). Calcule a área da fazenda.
2
1. x = 2, y = −5.
2. (a) 90◦.
(b) 45◦.
(c) 0◦.
3. k = − 34 .
4. (a) k = − 43 .
(b) k = 3.
(c) k = 48±2
√
507
3 .
5. k = − 163 .
6.
7.
8. (3, 1) + k(−1, 3), k ∈ R.
9. B = (−1, 5), C = (−3, 2) ou B = (5, 1), C = (3,−2).
10. 310
√
10.
11.
12. 392 .
13. m = −4 ou m = 20.
14.
15. 16.
3