Prática 6 – Estudo do momento de inércia de sistemas discretos pelo método científico

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Física Experimental A 
Turma J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prática 6 – 
Estudo do momento de inércia de sistemas discretos pelo método científico 
Augusto Vitor Nanzer RA: 744219 
 Gustavo Camargo RA: 746028 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 de junho de 2018 
 
RESUMO 
A prática 6 teve como objetivo medir o momento de inércia de um sistema discreto 
de partículas através de seu momento de inércia total e do próprio sistema que 
possibilitou o experimento. Isso se deu seguindo etapas. 
Medindo a massa de cada peça do conjunto obteve-se a somatória das massas. 
Primeiramente variou-se a somatória das massas para calcular o momento de 
inércia Ic em função da somatória, sendo possível achar o valor do coeficiente k = 1 
através do emprego do método visual ao gráfico dessa função, que só foi possível 
ao aplicar conhecimentos matemáticos sobre logaritmo para linearizar o gráfico. 
Para achar o valor do coeficiente n, também empregou-se o método visual variando 
o raio r do conjunto em função de Ic, mantendo a somatória das massas uma 
constante; também utilizando dos conhecimentos sobre log. 
Nesses passos, para facilitar o cálculo das incertezas, manteve-se uma altura h = 
2,3 m e um Diâmetro D do carretel constantes. 
A variação do tempo dada por alterar o raio e a somatória das massas, tinha como 
consequência a variação do momento de inércia total. Por fim, fim utilizando esse 
momento de inércia total subtraído do momento de inércia do sistema, achou-se 
cada Ic. 
OBJETIVOS 
Esta prática experimental tem como objetivos medir o momento de inércia de 
sistemas discretos, estimando também quais variáveis nas medições são mais 
importantes para determinar a incerteza desse momento de inércia. 
Outro objetivo foi determinar a relação empírica do momento de inércia com a massa 
e a distribuição da massa de sistemas discretos. 
 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
Quando se estuda o movimento de translação de corpos rígidos, as partículas que 
compõem um corpo individualmente são desconsideradas pois todos os pontos 
possuem a mesma velocidade v de translação. Assim o momento linear p de um 
corpo qualquer é dado pelo produto de sua massa total M pela sua velocidade v. Na 
segunda lei de Newton, temos: 
 
 
 M . vp = 
 dp/dt M . aF = = 
Para descrever um movimento de rotação o raciocínio é análogo ao movimento de 
translação porém as grandezas são substituídas. A velocidade angular equivale a ω 
v, o momento de inércia I equivale a M, et cetera. Seguindo o raciocínio: 
ωL = I 
L/dt ατ = d = I 
Sendo o torque, a aceleração angular e L o momento angular. Podemos τ α 
descrever de modo geral o momento de inércia de uma partícula como: 
 M r I = C 
K
 
n 
sendo M a massa da partícula e r a distância para o eixo de rotação. As potências k 
e n são números inteiros e C uma constante sem dimensão. Para um sistema 
discreto de partículas esta representação pode ser generalizada como: 
 .. r I t = I
 
1 + I
 
2 + . + I
 
n = C ∑
n
i=1
M i
k
i
n 
Para o sistema usado durante as aulas experimentais, aplicando a 2ª lei de Newton, 
temos a seguinte relação para o movimento de queda da massa vertical: 
a gm = m − T 
sendo T a tensão no fio ligado ao sistema, que equivale à força tangencial aplicada 
ao sistema. 
 /(D/2) α/(D/2)T = F tangencial = τ = I 
Considerando a queda da massa como um movimento uniformemente acelerado, 
equivalente à aceleração tangencial, chega-se a: 
h/t ² a = 2 = α tangencial 
com t tempo de queda e h a altura da qual parte a massa. 
Juntando as três últimas equações chegamos a: 
 D ²/4 . [gt ²/2h ]I T = m − 1 
Assim, medindo o tempo e altura de uma massa em queda, pode-se determinar o 
momento de inércia do sistema. E pelo princípio da superposição dos momentos de 
inércia, podemos achar o momento de inércia do sistema discreto de corpos, ou 
seja: 
 
 
 I T = I
 
s + I c ⇒ I c = I T + I
 
S 
sendo que representa o momento de inércia dos corpos discretos, representa I c I T 
o total e S, o momento de inércia do sistema vazio. 
 
MATERIAL UTILIZADO 
Balança Tríplice Escala – Balança JB., precisão 0,1 g; 
Paquímetro – KINGTOOLS., precisão 0,02 mm; 
Cronômetro Digital acionado manualmente; 
Trena manual, precisão 0,5 mm; 
5 conjuntos de peças com massas diferentes; 
Massa suspensa; 
Papéis de gráfico di-log e milimetrado. 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Primeiramente, estabeleceu-se uma altura h da qual seria solta a massa. O tempo 
de queda da massa m com sistema vazio saindo dessa altura h foi medido três 
vezes chegando a um valor médio para t ( e sua respectiva incerteza. Assim, )< t s > 
substituindo nas duas últimas fórmulas, possibilitou-se o cálculo do momento de 
inércia do sistema vazio e sua incerteza . I s (I )u s 
Depois, foram medidas as massas de de cada uma das peças de todos os M i 
conjuntos, dados presentes na tabela 2. 
Daí em diante, fez-se um procedimento muito parecido com a prática 5, variando 
primeiramente a massa do sistema discreto e o raio r. ∑
 
 
M i 
Cada conjunto de massas foi fixado próximo às extremidades da cruzeta, de modo 
que r fosse idêntico para cada corpo. Assim mediu-se três vezes o tempo de queda 
da massa m a uma altura h e obteve-se uma média do tempo e sua respectiva < t > 
incerteza . Esses dados estão representados na tabela 3.(< )u t > 
Posteriormente selecionou-se o conjunto de peças de maior massa e elas ∑
 
 
M i 
foram fixadas nas extremidades das cruzetas, enquanto r variou em outras quatro 
distâncias menores igualmente espaçadas. Para cada r, mediu-se três vezes o 
 
 
tempo de queda da massa m de uma altura h, chegando a um . u (< )< t > ± t > 
Dados na tabela 4. 
A partir disso, pôde-se calcular o momento de inércia total de cada um dos conjuntos 
em análise e, obviamente, o momento de inércia de cada um dos sistemas I c 
discretos com suas respectivas incertezas .(I )u c 
Construiu-se então,os gráficos em di-log de versus e versus r. Assim I c ∑
 
 
M i I
 
c 
se tornou possível determinar os coeficientes k e n da equação 
 r I T = C ∑
n
i=1
M i
k
i
n 
aplicando o critério de ajuste de reta mais provável pelo método visual, onde as 
potências foram arredondadas para os números inteiros mais próximos. 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS 
Tabela 1: Medidas da massa m em queda, do diâmetro D do carretel 
m ± u(m) [g] 65,5 ± 0,2 
D ± u(D) [mm] 37,8 ± 0,02 
h ± u(h) [m] 2,300 ± 0,001 
 
Tabela 2: Massas de cada peça dos conjuntos em estudo. 
M [g] Madeira Alumínio Latão I Latão II Ferro 
M1 ± u(M1) 20 ± 0,2 49,9 ± 0,2 79 ± 0,2 108 ± 0,2 133 ± 0,2 
M2 ± u(M2) 20 ± 0,2 49,9 ± 0,2 79 ± 0,2 104,8 ± 0,2 102,2 ± 0,2 
M3 ± u(M3) 21,1 ± 0,2 49,9 ± 0,2 77,8 ± 0,2 107 ± 0,2 102 ± 0,2 
M4 ± u(M4) 20,9 ± 0,2 48,5 ± 0,2 78,5 ± 0,2 106 ± 0,2 101 ± 0,2 
ΣM ​±​ u(M) 82,0 ± 0,8 198,2 ± 0,8 314,13 ± 0,8 425,8 ± 0,8 438,2 ± 0,8 
 
 
 
Auxiliar Tabela 3: tempost medidos para cada material e respectivas médias. 
 t [s] <t>±u(<t>)[s] 
Sistema 
experimental 
vazio 
5,94 ​±​ 0,3 
5,95667± 0,30 6,03± 0,3 
5,9± 0,3 
Madeira 
8,75 ± 0,3 
8,70667 ± 0,42 8,97 ± 0,3 
8,4 ± 0,3 
Alumínio 
10,81 ± 0,3 
10,90333 ± 
0,32 10,9 ± 0,3 
11 ± 0,3 
Latão I 
12,94 ± 0,3 
13,08667 ± 
0,39 13,38 ± 0,3 
12,94 ± 0,3 
Latão II 
15,09 ± 0,3 
14,82333 ± 
0,47 14,41 ± 0,3 
14,97 ± 0,3 
Ferro 
16 ± 0,3 
16,12667 ± 
0,33 
16,1 ± 0,3 
16,28 ± 0,3 
 
Tabela 3: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema e das I s 
peças em função da massa do conjunto, onde r é a distância fixa ao eixo I c ∑
 
 
M i 
de rotação, m a massa suspensa em queda e t o tempo de queda. 
 
 
 
 Sistema Madeira Alumínio Latão I Latão II Ferro 
r ± u( r ) 
[mm] 
135,82 ± 
0,02 
135,82 ± 
0,02 
135,82 ± 
0,02 135,82 ± 0,02 
135,82 ± 
0,02 
m ± u(m) 
[g] 
65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 
<t> ± u(t) 
[s] 5,96 ± 0,30 8,71 ± 0,42 10,90 ± 0,32 13,09 ± 0,39 14,82 ± 0,47 16,13 ± 0,33 
It ± u(It) 
[g.m²] 1,7 ± 0,2 3,7± 0,4 5,9 ± 0,3 8,5 ± 0,5 10,9 ± 0,7 12,9 ± 0,5 
Ic ± u(Ic) 
[g.m²] 0 2,0 ± 0,4 4,1± 0,4 6,8± 0,5 9,2± 0,7 11,2 ± 0,5 
 
Auxiliar Tabela a: tempos t medidos para cada raio e respectivas médias. 
 
r [mm] t ± u(t) [s] <t> ± u(<t>) [m] 
120 
14,63 ± 0,3 
14,7833 ± 0,38 14,66 ± 0,3 
15,06 ± 0,3 
100 
12,19 ± 0,3 
12,41667 ± 0,36 12,56 ± 0,3 
12,5 ± 0,3 
80 
10,72 ± 0,3 
10,7333 ± 0,32 10,85 ± 0,3 
10,63 ± 0,3 
60 
9 ± 0,3 
9,03 ± 0,30 9 ± 0,3 
9,09 ± 0,3 
40 
7,53 ± 0,3 
7,42667 ± 0,33 7,25 ± 0,3 
 
 
7,5 ± 0,3 
 
Tabela 4: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema e das I s 
peças em função da distância do eixo de rotação r, mantendo fixa a massa I c ∑
 
 
M i 
do conjunto, com as peças de ferro, onde m é a massa suspensa em queda e t o 
tempo de queda. 
 
r ± u( r ) [mm] 40 ± 0,02 60 ± 0,02 80 ± 0,02 100 ± 0,02 120 ± 0,02 135,82 ± 0,02 
m ± u(m) [g] 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 65,5 ± 0,2 
<t> ± u(<t>) [s] 7,43 ± 0,33 
9,03 ± 
0,30 
10,73 ± 
0,32 12,42 ± 0,36 14,78 ± 0,38 16,13 ± 0,33 
It ± u(It) [g.m²] 2,7 ± 0,2 4,0 ± 0,3 5,7 ± 0,3 7,6 ± 0,4 10,8 ± 0,6 12,9 ± 0,5 
Ic ± u(Ic) 
[g.m²] 1,0 ± 0,3 2,3 ± 0,4 4,0 ± 0,4 5,9 ± 0,4 9,1 ± 0,6 11,2 ± 0,5 
Valor de k calculado pelo método visual: , 3k visual ≈ 0 9 ⇒ k = 1 
Valor de h calculado pelo método visual: 2, 1h visual ≈ 0 ⇒ h = 2 
Portanto, após todos os procedimentos, chega-se a uma equação para o momento 
de inércia dada por: 
 r ²I t = C ∑
N
i=1
M i i 
CONCLUSÕES 
O experimento foi bem sucedido, onde conseguiu-se determinar o valor dos 
coeficiente k e n para a determinação da equação empírica do momento de inércia. 
O momento de inércia de cada conjunto de sistemas discretos também foi 
encontrado através do momento de inércia total e do sistema. Percebeu-se que 
quanto maior a massa, maior o momento de inércia, uma relação que cresce 
proporcionalmente. 
Enquanto isso, o momento de inércia aumenta ao quadrado conforme o aumento do 
raio das partículas. 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
UFSCAR, Departamento de física. Física Experimental A. São Carlos: Centro de 
Ciências Exatas e Tecnologia, 2015. 
APÊNDICES 
Para o cálculo de : ( )u ∑
 
 
M i (y) u c = √a²u²(x ) ²u²(x )...1 + a 2 
Para <t>±u(<t>): e = )/n< x > (∑
n
i=1
x i (y) u
 
c = √s² + u2B 
Para : tI D ²/4 . [gt ²/2h ]I T = m − 1 
Para e : (It)u (It)u (y) ( ) u (x )u 2c = ∑
N
i=1
∂f
∂xi
2 2
i 
Para o cálculo de k e n visuais: , onde arredondou-se as potências k en = log(x )−log(x )f i
log(y )−log(y )f i 
n para o número inteiro mais próximo. 
Para e : (n )u visual (k )u
 
visual 2
a −a max mín