modelagem e controle de sistemas AS I

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Modelagem e Controle 
de Sistemas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Clauda Barros dos Santos
Revisão Textual:
Prof. Esp. Claudio Pereira do Nascimento
Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
• Sistema de Controle;
• Tipos de Sistemas de Controle;
• Classificação de Sistemas de Controle;
• Diagrama de Blocos;
• Mas Por Que Estudamos Sistemas e Controle de Sistemas?
 · Compreender o que é um sistema de controle;
 · Representar um sistema de controle;
 · Interpretar um sistema de acordo com sua representação.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Representação de Sistemas
por Meio de Diagramas de Blocos
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
Sistema de Controle
A partir de agora, em nosso texto, veremos repetidamente surgir as palavras 
Sistema de Controle. Logo, para começarmos a leitura, precisamos deixar claro, 
em nossa mente e em nossos estudos o significado amplo dessas palavras dentro 
do contexto das Engenharias.
Sistema de controle é a disposição de componentes físicos conectados ou re-
lacionados de tal forma que possam comandar, dirigir ou regular a si próprio ou 
a outros sistemas. Sendo assim, os sistemas de controle são amplamente aplica-
dos na automatização de processos. Aliás, podemos citar como primeiro trabalho 
relevante na automatização de um processo o controlador de velocidade de uma 
máquina a vapor, construído por James Watt no século XVIII. Não obstante, esse 
período é conhecido como revolução industrial.
Note que um sistema de controle, embora seja arquitetado para atender a de-
manda de grandes produções, em pouco tempo chegam ao cotidiano e uso po-
pular. Esse é um dos grandes objetivos e desafios de toda geração de tecnologia. 
Inicialmente, a tecnologia tem um custo elevado e atende pequenos nichos, que 
podem idealizar e pagar por ela. No entanto, com o tempo, com o domínio dos 
meios de produção e know-how, os custos tendem a cair e sua utilização tende a se 
expandir. Para compreender, basta pensarmos no uso de computadores.
Vamos observar e tomar como exemplo alguns sistemas de controle utilizados:
Ladrão
Aspiração Retorno
Esgoto - Drenar
Pré-	ltro
BombaFiltro
Sentido 
da Água
Ralo de fundoRalo de fundo
Figura 1 – Sistema hidráulico para tratamento de água
Fazem parte do sistema, um conjunto de canos, filtros e bomba que garantem o 
retorno da água (limpa) à piscina. Note que o sistema existe, principalmente por-
que é relativo a um processo, que se repete ou não.
8
9
Sistema de posição mecânico: https://goo.gl/VnZLDD
Ex
pl
or
Fazem parte do sistema uma rosca e ainda um parafuso para fazer pressão no 
objeto que será posicionado. 
No próximo exemplo, veremos um sistema de controle, mas numa representa-
ção mais ampla.
Sinal de Retroação
Câmera de
televisão
Máquina de 
Usinagem
Equipamento 
periférico
Atuador Controlador
Dispositivo
de entrada
Dispositivo
de saída
Fonte de
potência
Figura 2 – Controle de posição eletromecânico
No sistema acima, além de ilustrar a máquina de usinagem, a câmera de visão, 
um equipamento periférico e um atuador, a imagem mostra também outros equipa-
mentos interligados por setas. Essa é uma maneira usual de representar um sistema 
e os processos recorrentes nele. É o que conhecemos por diagrama. Mais a frente 
vamos estudar detalhadamente esse tipo de representação. Ela é adequada para en-
tendermos a estrutura, a lógica matemática e os processos existentes num sistema de 
controle. Podemos sintetizar a representação de um sistema na seguinte sequência:
Modelo 
Matemático
do Sistema
Sistema Físico
Solução 
Matemática 
do Problema
Figura 3
9
UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
A compreensão e construção do modelo matemático, assim como sua solução, 
estão amplamente relacionados à construção lógica de programas computacionais 
que possam executar com perfeição as tarefas de controle para o sistema físico. 
Por isso, são fundamentais no estudo da modelagem e sistemas de controle. No 
geral, vamos estudar sistemas que são ativados por sinais de entrada e reconhe-
cidos por sinais de saída. Esses sinais de entrada e saída podem ser uma corrente 
elétrica, uma variação de potência, um ruído, a temperatura de uma substância etc.
Tipos de Sistemas de Controle
Os sistemas podem ser classificados como:
1. Naturais: podemos utilizar como exemplo o sistema circulatório humano, 
controlado pelo coração humano num ciclo periódico. Podemos dizer que 
o coração é o sistema de controle.
Fisiologia − O coração: https://youtu.be/Hf23USnHDjc
Ex
pl
or
2. Artificiais: É todo sistema projetado artificialmente. Podemos citar siste-
mas de montagens automatizadas, sistemas de produção em que há uso 
de robôs que executam tarefas, sistemas com sensores que inspecionam 
produtos para o controle de qualidade etc.
3. Naturais e Artificias: são sistemas mistos que têm objetos naturais e 
artificias desempenhando papeis importantes em sistemas de controle.
Classificação de Sistemas de Controle
Vamos classificar os sistemas de controle em diversos aspectos.
Quanto à sua representação, poderemos representá-los com diagramas de blo-
cos e equações, ou diagrama de fluxo de sinais e equações, ou gráficos, ou somen-
te equações.
Quadro 1
Representação de 
sistemas de controle
Diagrama de blocos + Equações
Diagrama de fluxo de sinais + Equações
Gráficos
Equações. 
Em relação à configuração do sistema, ele poderá ser um sistema de Malha aber-
ta, ou seja, sem realimentação, não é comumente utilizado, visto que, num sistema 
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de controle os processos tendem a se repetir, ou poderá ser um sistema de Malha 
fechada, ou seja, há realimentação no processo.
Quadro 2
Confi guração dos 
sistemas de controle
Malha aberta
Malha fechada
Podemos classificar quanto ao número (tipos) de entradas e saídas.Quadro 3
Número de entradas 
e saídas
Entrada simples/Saída simples
Entradas múltiplas/Saídas múltiplas
Entradas múltiplas/Saídas simples
Podemos classificar quanto ao tipo de sinal.
Quadro 4
Continuidade do 
sinal 
Sinal Contínuo
Sinal Discreto
Para sinais com tempo contínuo, significa que as variáveis estudadas são contí-
nuas, independente do tempo. Em oposição, os sinais de tempo discreto e as va-
riáveis estudadas assumem apenas valores discretos, bem definidos. Observe esses 
conceitos nas imagens:
0 t
x (t)
x (n)
x [0]
x [-1] x [1]
x [2]
-9 -8 -7
-6
-5 -4 -3 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
n
(a)
(b)
Figura 4
A figura (a) representa uma variável x sendo analisada num intervalo de tempo 
contínuo. Já a figura (b) representa uma variável x que assume apenas valores 
discretos de n, que neste caso é um valor de tempo discreto.
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UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
Vamos nos dedicar no estudo de sinais contínuos no tempo.
Por último, classificamos o sistema quanto à sua linearidade ou não-linearidade. 
Sinais que obedecem ao princípio de superposição são parte de sistemas lineares e 
é nesses que o curso se concentra.
Diagrama de Blocos
É a representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente. 
Note, o diagrama não é a imagem ou indicação do componente, mas sua função. 
O diagrama de blocos representa principalmente o fluxo de sinais entre cada um 
de seus componentes.
Podemos colocar todos os elementos de um diagrama no seguinte quadro resu-
mo. Preste bastante atenção, estes elementos serão citados em todas as unidades 
de estudo.
Quadro 5
Elementos Representação
A seta que aponta para o bloco indica a entrada, a seta que 
aponta para fora do bloco representa a saída. Essas setas 
são designadas sinais. O bloco é um elemento do sistema. 
É onde o sinal é alterado por meio de uma função. Essa 
função G(s) é conhecida como função de transferência.
Função de
Transferência
G (s)
Somador: O círculo representa a operação de soma. 
Os sinais de mais ou menos na extremidade de cada 
seta indica se o sinal deve ser somado ou subtraído. As 
quantidades somadas ou subtraídas devem ter as mesmas 
dimensões e unidades de medidas.
a
b
a - b
A saída C(s) é religada (realimentada) no somador, então 
é comparada ao sinal de entrada R(s). A saída do bloco 
C(s), nesse caso, é obtida pela multiplicação da função de 
transferência G(s) pela entrada do bloco E(s).
Ponto de ramificação: É o ponto do qual o sinal que vem 
de um bloco avança simultaneamente em direção a outros 
blocos ou somadores. Em circuitos elétricos, diríamos que é 
um nó. Cuidado, não confunda, é um ponto de ramificação.
R (s) E (s)
Ponto de 
rami�caçãoSomador
C (s)
G (s)
Quando a saída é realimentada ao somador para 
comparação com a entrada, é necessário converter a forma 
do sinal de saída à do sinal de entrada. Quem faz essa 
função é o elemento de realimentação cuja função de 
transferência é H(s). Pode acontecer de H(s) ser unitário, 
então, simplesmente oculta-se o bloco H(s) e diz-se 
casualmente que a realimentação é UNITÁRIA.
R (s) E (s)
B (s)
C (s)
G (s)
H (s)
Fonte: OGATA, K., 2010
Podemos utilizar como exemplo um sistema de controle de temperatura. C(s) 
será normalmente o que se deseja: a temperatura controlada. O que o bloco H(s) 
faz é verificar se de fato a temperatura foi controlada por G(s). Ou seja, normal-
mente H(s) é um sensor.
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Como construir o diagrama de blocos?
1. Vamos escrever a equação que descreve o sistema dinâmico de cada 
componente (veremos detalhadamente mais adiante);
Vamos obter a transformada de Laplace;
A Transformada de Laplace transforma uma função do tempo em frequência, ou seja, a 
nova função poderá representar melhor um sinal que se propaga. Assim como a transformada 
inversa de Laplace transforma uma função de frequência em uma função de tempo.
Ex
pl
or
2. Vamos agrupar os elementos num diagrama completo.
Como Interpretar o Diagrama de Blocos de Acordo
com a Disposição das Funções de Transferência?
Observe na imagem, temos a Função de Transferência dada por blocos em a) 
cascata, b) blocos em paralelo e c) blocos com realimentação.
R (s)(c) E (s)
B (s)
C (s)
C (s)
G2 (s)
G1 (s)
R (s)
(b)
G2 (s)
G1 (s)
C (s)R (s)
(a)
G2 (s)G1 (s)
Figura 5
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UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
Quando um diagrama de blocos tem múltiplos blocos, como na imagem acima, 
podemos simplificá-lo, utilizando um único bloco, com uma única função de trans-
ferência denominada função de transferência de malha fechada.
Função de Transferência em Malha Fechada: https://goo.gl/okXjTp
Ex
pl
or
Vamos fazer o seguinte exercício: Os diagramas de bloco mais comuns são os 
que tem blocos em séries e em paralelos do tipo da imagem abaixo.
R (s) E (s)
B (s)
C (s)
G (s)
H (s)
Figura 6
Podemos simplificar este bloco utilizando a chamada função de transferência de 
malha fechada. Vamos lá!
1. Tenha em mente que toda anotação dentro de um bloco é uma função de 
transferência (por exemplo, G(s) e H(s)). Toda anotação fora dos blocos, 
mas rente às setas é um sinal (por exemplo E(s), B(s), R(s) e C(s)).
2. O nosso objetivo é encontrar C(s) em relação a R(s). E por quê? Note que 
C(s) é o sinal que sai do bloco e R(s) é o sinal que entra no bloco. Vamos 
encontrar (analisar) o sinal que saiu C(s) em relação ao sinal que entrou R(s).
3. Observe a primeira linha de todo o diagrama, ela é chamada função de 
transferência do ramo direto. Podemos escrever que:
C(s) = G(s) · E(s) (Equação I)
A pergunta que se faz é: Porque G(s) multiplica E(s). A resposta está no fato de 
um sinal E(s) entrar num bloco onde age a função G(s), logo G(s) age sobre E(s) e 
essa relação se dá por uma multiplicação.
4. Podemos nos perguntar qual é a relação de E(s) com a entrada R(s), basta 
olhar o diagrama e teremos:
E(s) = R(s) − B(s) (Equação II)
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5. Por último, vamos nos perguntar o que é o sinal B(s). Quando olhamos 
o diagrama, vemos que B(s) é o sinal que saiu da função de transferência 
H(s). Mas, se H(s) é função de transferência, por certo, ela agiu sobre um 
outro sinal, que sinal é este? Olhe o diagrama. Esse sinal é C(s). Portanto:
B(s) = H(s) · C(s) (Equação III)
Para encontrar a função de transferência de malha fechada C(s) em relação a 
R(s), basta organizarmos as equações I, II e III num sistema, eliminando os sinais 
E(s) e B(s). Se prepare com lápis e papel, organize-se e concentre-se.
C(s) = G(s) · E(s) (Equação I)
E(s) = R(s) − B(s) (Equação II)
B(s) = H(s) · C(s) (Equação III)
Vamos colocar a equação III dentro da equação II, teremos como resultado:
E(s) = R(s) − H(s) · C(s)
Agora, vamos introduzir o resultado acima dentro da equação I, então:
C(s) = G(s) · (R(s) − H(s) · C(s))
Observe, na equação acima há somente as variáveis que nos interessam: a saída 
C(s), a entrada R(s), a função de transferência G(s) e a função de transferência H(s). 
Para finalizar, vamos reescrever C(s) como uma função do sinal de entrada 
R(s). Então:
I. Aplica-se na equação a propriedade distributiva da multiplicação:
C(s) = G(s) · R(s) − G(s) · H(s) · C(s)
II. Vamos isolar C(s) em apenas um dos lados da equação e em segui-
da isolá-lo:
C(s) + G(s) · H(s) · C(s) = G(s) · R(s)
C(s) [1 + G(s) · H(s)] = G(s) · R(s) Portanto:
C s
G s
G s H s
R s( )
( )
( ) ( )
( )=
+
⋅
1
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UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
A última equação é o nosso objetivo final, e ela representa a simplificação total 
do diagramade blocos do nosso exemplo. Poderemos redesenhá-lo com a função 
de transferência de malha fechada, com a seguinte representação:
R (s) C (s)G s
G s H s
( )
( ) ( )
.
1+
Figura 7
Note que a função dentro do bloco é a função total que age sobre a entrada R(s). 
O aluno poderá em todo momento utilizar a equação geral demonstrada para esse 
tipo de diagrama, no entanto, vale a pena ter o conhecimento sobre como desen-
volver as equações, visto que a configuração dos blocos pode mudar em alguma 
situação prática do cotidiano profissional.
Outra observação importante está no fato de que utilizamos funções de uma vari-
ável s. Essas funções são funções relativas a sinais. Logo, são funções de frequência 
de sinais definidas, não necessariamente, no conjunto de números reais.
Agora, vamos exercitar o contrário do que fizemos na atividade acima. É dada 
uma equação, ou seja, uma somatória de sinais da seguinte maneira:
X4(t) = a1X1(t) + a2X2(t) + a3X3(t)
Como podemos representar a somatória de sinais acima, por meio de um 
diagrama de blocos?
Antes de observar a solução, tente representar o diagrama de blocos com os 
elementos que estudamos acima (setas para sinais, blocos para funções de transfe-
rência, elemento somador e ponto de ramificação).
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A solução é a seguinte:
Observe a saída X4 (t) é uma somatória de diversas entradas X1, X2 e X3. Cada 
uma das entradas tem um coeficiente a1, a2 e a3. Logo, cada uma das entradas 
passa por um bloco. Podemos representar da seguinte maneira:
X2
a2
a1
a3
X1
X3
X4
Figura 8
Essa é a solução que você imaginou?
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UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
Mas Por Que Estudamos Sistemas e 
Controle de Sistemas?
A principal motivação para estudarmos modelagem e controle de sistemas 
é o fato do mundo contemporâneo ser baseado em automações. Vemos que a 
maioria dos sistemas de produção automatizados, os sistemas financeiros e até 
a produção de muitos serviços já é automatizada. Sendo assim, o objetivo de 
dominarmos as técnicas de controle é fazer com que erros de sistemas sejam 
minimizados para o usuário final. Seja ele o operador de uma grande máquina 
em uma produção ou um simples operador de caixa eletrônico. É necessário 
que possamos compreender, analisar e realizar a melhor intervenção para que um 
sistema seja o mais otimizado que pode.
Os controladores que estudamos em sistemas, como vocês já perceberam, 
comparam o valor da saída de uma planta com o valor de entrada, que pode ser 
um valor desejado, ou seja, uma referência. O sistema então deve ser projetado 
para determinar qual é o desvio da saída em relação a entrada, reduzir esse desvio 
a zero ou minimizar erros suficientemente para torná-lo viável. Ainda é possível 
projetar ou otimizar o controle do sistema de tal maneira que se pode obter uma 
resposta desejada de forma rápida. Cada uma dessas ações é denominada ação 
de controle. A saída de um controlador é o que no geral alimenta o motor de um 
dispositivo. A maioria de vocês já deve ter ouvido expressões como:
1. Controlador proporcional;
2. Controlador integral;
3. Controlador derivativo;
4. Controlador proporcional-integra, ou PI;
5. Controlador proporcional-derivativo, ou PD;
6. Controlador proporcional-integral-derivativo ou PID.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Sinais e Sistemas
Oppenheim, A. & Willsky, A. Sinais e Sistemas. 2. Ed. São Paulo: Pearson, 2010.
 Vídeos
Para a compreensão do diagrama de blocos e do resumo do diagrama de blocos com a função de transferência de 
malha fechada
https://youtu.be/g5Iuumwtgog
Para álgebra dos diagramas de bloco
https://youtu.be/VhbIGDqdX3E
 Leitura
Para fazer uma síntese do que é função de transferência de malha fechada e compreender o objetivo do curso
https://goo.gl/M2WW9V
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UNIDADE Representação de Sistemas por Meio de Diagramas de Blocos
Referências
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2010. 
KUO, B. C. Automatic Control Systems. 2. ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 
International, 1982. 
PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e Realimentação. v. 
1. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1996.
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