Aulas de matemática financeira

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CÁLCULO 
FINANCEIRO 
 
 
 
 
 
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Sejam Bem vindos! 
 
Este material foi concebido e escrito com objectivo de proporcionar ao aluno o 
entendimento dos princípios e dos fundamentos básicos de Cálculo Financeiro ou 
Matemática Financeira, e a utilização deles nas variadas operações financeiras de 
investimento ou financiamento, como por exemplo, um investimento de poupanças em 
depósitos à prazo ou empréstimos à habitação. Outrossim, os fundamentos básicos 
ajudam a resolver questões da vida prática como operações de descontos, amortizações 
de empréstimos, dentre outros. Queremos prôpor uma abordagem e uma organização 
que possibilitam que o assunto seja interessante, facilitar a aprendizagem, e incentivar a 
curiosidade. 
 
Com ênfase em aplicações e na solução de resolução de problemas, e direccionado para 
alunos dos cursos de economia e gestão, contabilidade e administração, etc. Este 
material contribuirá para o desenvolvimento do pensamento estratégico com vista a 
tomada de decisão. 
Ao longo do texto iremos utilizar os termos cálculo financeiro ou matemática financeira 
para significcar a mesma coisa. 
No entanto, ressaltamos alguns cuidados que vocês deverão ter para obter SUCESSO 
NESTA DISCIPLINA: 
 
1. Não transfira para a equipa de professores a responsabilidade de fazer com que 
você aprenda os conteúdos programáticos. Matemática se aprende lendo, 
relendo, reflectindo e treinando MUITO; 
2. Aprenda fazendo, ou seja, refaça os exercícios resolvidos e resolva os 
complementares e propostos; 
3. Aplique o conteúdo ou tema a ser abordado à sua vida diária-teste utilize os 
conhecimentos em exercícios que o estimulam a escrever a respeito da 
matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras; 
4. Revise os conceitos matemáticos básicos, pois embora as planilhas ou folhas de 
cálculos e calculadoras financeiras facilitem os cálculos associados à Cálculo 
Financeiro ou Matemática Financeira, para a estruturação do raciocínio lógico – 
matemáticos, a compreensão da matemática Elementar é fundamental; 
5. Utilize uma calculadora científica ou Financeira. 
 
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Os objectivos que se pretende alcançar dentres muitos são: 
 Abordar o conceito e o papel do valor temporal em finanças; 
 Compreender os conceitos de valor acumulado e valor presente de uma 
aplicação financeira; 
 Compreender e efectuar operações de descontos em aplicações financeiras; 
 Obter o valor acumulado e o valor presente de uma renda anual normal e uma 
renda anual antecipada e obter o valor presente de uma perpetuidade. 
 Compreender os conceitos e os sistemas de amortização de empréstimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO FINANCEIRO 
VALOR TEMPORAL DO DINHEIRO 
 Disciplina de Cálculo Financeiro é bastante fascinante, na medida em que 
se começa a ter uma noção e responsabilidade do valor temporal ou do 
preço de um activo importante o “dinheiro”. O valor temporal do dinheiro 
(VTD) representa o fundamento de análise das finanças. Significa dizer 
que o dinheiro (1 kwanza, 1 dólar, 1 euro ou outra moeda qualquer) possue valor 
diferente hoje e no futuro. São apontadas no mínimo três razões. A primeira, dinheiro 
disponivél hoje pode ser investido, no final de certo periodo rende juros e o capital 
acumulado será seguramente maior. A segunda, esta ligada com o valor real ou poder de 
compra do dinheiro que pode mudar em consequência da inflação. Finalmente, a 
incerteza do valor esperado. 
 
Para o desenvolvimento dos modelos em administração financeira, principalmente 
quando tratamos com economias altamente indexadas, como a nossa, se faz necessário 
previamente conhecer alguns cálculos financeiros básicos, como instrumento de apoio 
ao processo de tomada de decisão. 
Nos estudos de economia, aprende-se que os recursos (fontes) são limitados, e as 
necessidades infinitas. Entre essas necessidades, encontram-se os recursos financeiros, 
cada vez mais valorizados e disputados entre as empresas e pessoas. 
 
Logo, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma 
maneira de empregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja 
no mercado financeiro e/ou no mercado de capitais, ou, simplesmente, emprestando-o à 
terceiros por via de intermediarios financeiros -bancos comerciais ou outras instituições 
de crédito. Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a 
alguém espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional 
cobrada a título de aluguer do dinheiro. Em sociedades avançadas, esta prática é normal. 
Entretanto, o mesmo não se pode dizer das sociedades menos desenvolvidas, aonde 
esses conceitos ainda não são amplamente de domínio de todos. Essa quantia adicional 
cobrada a título de aluguer do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro. 
A 
 
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2. Rendimento. Aplicações Possíveis. 
O estudo da evolução do capital no tempo utiliza raciocínios, métodos e conceitos 
matemáticos ou cálculos, dali os termos matemática financeira ou cálculo financeiro. 
Podemos definir rendimento como sendo o resultado da produção de bens e serviços 
num determinado período de tempo. No caso mais geral, o rendimento apresenta-se 
sobre a forma de moeda. O rendimento dos agentes económicos possui variadas origens 
e, de uma forma genérica, pode ser classificado em dois tipos: o rendimento do sector 
privado e o rendimento do sector público. No sector privado, o rendimento tem 
normalmente origem em quatro fontes: os salários (rendimento do trabalho), as rendas 
(rendimento da terra), o juro (rendimento do capital) e o lucro (rendimento resultante da 
actividade económica das empresas). O rendimento no sector público, denominado 
rendimento nacional, pode ser considerado como uma medida do fluxo de bens e 
serviços numa dada economia. 
O rendimento dos agentes económicos pode ser aplicado de duas formas diferentes: em 
consumo ou em poupança. As chamadas “operações financeiras” estão intimamente 
ligadas à aplicação do rendimento em poupança, sendo a base do chamado 
“investimento financeira” da poupança. A génese do investimento financeiro reside no 
valor temporal do dinheiro (VTD) – o juro. Assim para analisar um investimento 
financeiro (quer seja na perspectiva de cedênciade moeda ou na óptica de 
financiamento) é necessário compreender a ligação que existe entre três elementos 
fundamentais e indissociáveis capital, tempo e juro. 
 
Estando o tempo presente em qualquer operação financeira e, variando o valor de um 
capital com este factor, existe a necessidade de efectuar a equivalência entre capitais 
reportados a instante de tempos diferentes. A equivalência entre capitais pode ser 
efectuada recorrendo a uma equação matemática, denominada equação de equivalência 
(ou de valor), que pode ser escrita através do conhecimento de dois processos (inversos 
um do outro): o processo de capitalização e de actualização. Ao longo dos capítulos 
seguintes serão abordados estes conceitos e será também introduzida a representação 
esquemática dos problemas de Cálculo Financeiro, muito útil na sua compreensão e 
resolução. 
Denomina-se por operação financeira qualquer operação que envolva a aplicação 
depoupança destinada a investimento onde estejam envolvidos simultaneamente 
 
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osfactores capital, tempo e taxa de juro. As operações financeiras são assim resultantes 
daaplicação da poupançaem investimento financeiro. 
 
As operações financeiras podem dividir-se em operações de curto, médio ou 
longoprazo, consoante o seu horizonte temporal seja até um ano, de um a cinco anos ou 
amais de cinco anos, respectivamente. Numa operação financeira intervêm, pelo 
menos,duas partes: o mutuário (o que pede emprestado - devedor) e o mutuante (aquele 
queempresta - credor). 
As instituições financeirasintervêm com frequência nas operaçõesfinanceiras e 
importadistinguir a situação em que estas têm subjacente o recebimentode juros – 
operações activas, e a situação em que estas não têm subjacente o pagamento dejuros – 
operações passivas. Dali podemos referir a existencia de taxas de juro activas e 
passivas. A diferença entre elas (as taxas) designar-se por spread. 
O spread tem recebido outro significado como sendo o acréscimo aplicado pelas 
instituições bancárias a uma determinada taxa de referência para obter a taxa de juro que 
será aplicado na operação financeira. 
 
3. Capital, Tempo, e a Taxa de Juro 
A essência do Cálculo Financeiro reside num único conceito – o valor temporal do 
dinheiro. É intuitivo que qualquer quantia não tem o mesmo valor consoante fique 
disponível imediatamente ou apenas daqui a algum tempo. Este facto é justificado pela 
chamada “preferência pela liquidez”, descrita pelo economista John Maynard Keynes. 
Segundo aquele economista a preferência pela liquidez rigide no facto dedesejar-se estar 
na posse de activos líquidos, e facilmente podermos escolher a forma de aplicá-los (seja 
em consumoou em poupança). Logo, está ali mais uma vez o conceito do tempo, como 
sendo de extrema importância em qualquer análise que envolva capitais e, portanto, é 
necessário atribuir-lhe um valor. Esse valor denomina-se juro. 
 
Definição do juro: é o dinheiro pago ou o valor gerado pelo uso do dinheiro 
emprestado ou como sendo a remuneração recebida (ou paga) em troca do 
empréstimo de algum recurso financeiro ou de um factor produtivo empregue em 
actividades produtivas durante um certo período de tempo de capitalização, mas que só 
 
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está disponível no momento do seu vencimento (habitualmente o fim do período de 
capitalização)–geralmente de um ano. 
Quando você possui um recurso financeiro que excede as suas necessidades rotineiras, 
você pode, em geral, adquirir alguns bens anormais ao seu dia a dia (tais como bens 
imóveis, veículos, viagens etc.), pode também aplicá-los (ou mesmo emprestá-los). Se 
você empresta seus recursos financeiros, então, você abriu mão, temporariamente, da 
disponibilidade deles e em troca desta disponibilidade você receberá uma recompensa -
o juro. 
Portanto, o juro será função do prazo da utilização, do valor do recurso utlizado e do 
risco envolvido na transação. 
 J = f (c,n,i) 
Podemos assim identificar alguns factores que determinam a existência do juro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição de Capital ou principal: o valor monetário que originou o investimento. 
Ainda entende-se por capital, qualquer valor expresso em moeda e disponível em 
determinada época, que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outrem, 
temporariamente. Aquele que cede é chamado de investidor e aquele que recebe é 
chamado tomador. 
Para o investidor o juro é a remuneração do investimento; enquanto que para o 
tomadoro juro é o custo do capital obtido por empréstimo. 
 
Tempo: toda transacção financeira deve necessariamente prever quando (datas de início 
e do termino da operação) e por quanto tempo (duração da operação) se dará a cessação 
(o empréstimo) do capital. 
 Inflação – diminuição poder de compra da moeda. Com o tempo, como o 
custo de bens e serviçosa aumentar, o valor de uma unidade monetária vai cair 
porque uma pessoa não será capaz de comprar tanto com essa unidade 
monetária como ele / ela já fazia. 
 
 Risco - incerteza do investimento – a possibilidade de não corresponder às 
expectativas. 
 
 Utilidade – custo de oportunidade (tradeoff) de consumo. 
 
 Oportunidade–os recurso são limitados. Ao aceitar o investimento perde-se 
oportunidade de ganhos em outras alternativas, logo é preciso que o primeiro 
ofereça retorno satisfatório. 
 
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Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser: dia, 
mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.). 
O prazo é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação 
financeira. 
Considera-se que na prática, o prazo pode ser a partir de duas convenções: 
• Prazo exacto: é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias 
são contados pelo calendário, isto é, o mês pode ter 28 dias (fev.), 29 dias (fev., 
em anos bissextos, como em 2004, 2008, 2012, e etc.), 30 dias (abr., jun., e etc.) 
ou 31 dias (jan., mar., e etc.); assim o ano pode ter 365 dias ou 366 dias. 
• Prazo comercial (ou aproximado): é o que leva em conta o chamado ano 
comercial, isto é, aquele em que o mês (qualquer que seja ele), é considerado 
como tendo 30 dias e o ano (qualquer que sejaele), tem 360 dias. 
 
Taxa de Juro 
A taxa de juro será a razão entre os juros que serão cobrados no fim do periodo e o 
capital inicialmente empreque. 
Já que a taxa de juro em uma unidade de tempo, é o juro expresso como percentagem do 
capital, então se pode dizer que a taxa de juro é igual ao juro dividido pelo capital: 
C
J
i 
 
As taxas de juros refere-se sempre à um dado período financeiro, elas podem ser 
diarias, mensais, trimestrais, semestrais, anuais, etc. Existem duas maneiras de 
apresentação das taxas de juros: a taxa na forma percentual e a taxa na forma 
unitária. 
• Forma percentual 
Umarazãocentesimal pode ser indicada na forma percentual, anotando-se o 
antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se por 
cento). Ou seja,100 unidades do capital, no período referido como unidade de 
tempo. 
São exemplos: 
i = 30% a.m (lê-se: 30 por cento ao mês) 
i = 0.5% a.d (lê-se: meio por cento ao dia) 
 
 
 
 
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• Forma unitária 
Uma razão (ou centesimal) representa o juro de uma (1) unidade do capital, no 
período tomado como unidade de tempo. 
São exemplos: 
i = 0.3 a.m 
i = 0.005 a.d 
Nas fórmulas a serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adoptada será a unitária. 
 
Juro Comercial e Juro Exacto 
Nas operações financeiras em que o prazo é contabilizado em dias, o juro obtido recebe 
uma denominação especial, dependendo do tipo de prazo que se considera. 
Juro exacto: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério exacto, 
isto é, aquele que considera os dias do mês conforme foram concebidos no calendário. 
 
Juro comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do 
prazo comercial, isto é, considera-se em todos os meses 30 dias e os anos 360 dias. 
Este último é utilizado nas instituições financeiras. 
 
Simbologia a utilizar. 
Para este curso a simbologia a utilisar será a seguinte para cada um dos elementos ou 
variável de cálculo: 
C = capital; 
J = juro; 
n = o tempo; 
i = taxa de juro; 
 
Fórmulas derivadas 
Como ja referido a acima na definição sobre o juro, apresentamos aqui formulas 
algumas que são derivadas para o cálculo de juros em função dos prazo apresentados 
serem dias e meses. As variáveis, n e i são grandezas referidas à mesma unidade de 
tempo – homegeneização. 
Geralmente, a taxa de juro é referida ao ano. Entretanto nas operações de juro simples o 
período é o dia ou mês. 
Então teremos o seguinte na fórmula fundamental do juro simples. 
 
 
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Prazo expresso em dias e ano comercial ou ano cívil 
a) 
inCJ ..
 
Se a taxa de juro i é referida ao ano, e n é referida a dias, para converter esta fracção 
teremos 
360
n
. 
 A fórmula do juro será 
360
.
360
.
Cni
ji
n
Cj 
 
Prazo expresso em meses 
b) 
inCJ ..
 
 
Regra de Ouro e Princípios 
 
Do exposto acima resulta a regra de ouro docálculo financeiro: 
“Para comparar ou operar com capitais é necessário que estes estejam reportados 
aomesmo período de tempo”. 
Isto é: dados os capitais C e C’, pode fazer-se C + C’, ou C – C’, ouC > C’, ou C = C’, 
etc., se é só se eles estiverem referidos ao mesmo momento. 
É pois incorrecto afirmar que 100 unidades monetárias recebidos hoje mais 100 
unidades monetárias recebidos daqui a um mês são 200 unidades monetárias. 
 
Apresentamos em seguida três princípios, que gerem as relações entre as variáveis 
Capital, Tempo e (taxas de) juro e que são os seguintes: 
 
1ª Princípio: 
A presença de capital e a presença de tempo e a ausência de juro é uma 
impossibilidade em Cálculo Financeiro. 
A ausência de capital ou ausência de tempo e presença de juro é outra impossibilidade. 
Isto é: o juro zero pode ocorrer se e só se o capital for zero e/ou o prazo for zero. Para 
c =0, n=0, i=0, temos j=0, então, não estamos diante de uma operação financeira. 
 
2ª Princípio: 
Qualquer operação matemática sobre dois ou mais capitais requer a sua 
homogeneização no tempo. Isto quer dizer que as variáveis devem estar reportadas ao 
mesmo tempo ou prazo. Por exemplo. Uma operação em que o periodo está em meses e 
 
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taxa de juro referida em anos, deve se converter ou transformar a taxa em meses ou os 
meses no prazo equivalente a anos
1
. 
 
3ª Princípio: 
O juro em cada período de capitalização é igual ao capital do início do período 
multiplicado pela taxa de juro. 
Isto é: sendo Jk o juro do período k, Ck-1 o stock de capital no iníciodo mesmo período, 
ou seja, no momento k-1, ik a taxa de juro emvigor no mesmo período teremos: 
Jk = ik x Ck-1(com k = 1, 2, 3, …) 
 
Temos pois que, qualquer capital aplicado durante um determinado período de tempo 
(períodode capitalização), a uma dada taxa de juro, gera uma remuneração (juro), que é 
o produto dessecapital pela taxa de juro em vigor nesse período. 
Todas as operações envolvendo capitais devem observar estes princípios. 
As práticas correntes como o empréstimo de dinheiro sem juros, comum entre amigos 
ou familiares,são considerados um erro e uma impossibilidade em termos de Cálculo 
Financeiro. 
 
4. VALOR ACUMULADO E ACTUAL DE UM 
CAPITAL. 
Vimos que o valor de um capital varia ao longo do tempo em que é cedido. Então para 
definirmos o seu valor precisamos referenciar-nos a um instante de tempo. 
Porconvenção utiliza-se normalmente o momento actual como o momento de 
referência. 
Ao valor desse capital nesse momento de referência dá-se o nome de valor actual. 
Noentanto, o momento de referência pode não ser o momento do vencimento desse 
capital e portanto haverá um momento posterior ao momento de referência. Ao valor 
desse capital nesse momento posterior dá-se o nome de valor acumulado. Tendo em 
contaque o desconto é o processo inverso da capitalização, podemos afirmar que o valor 
descontado de um capital acumulado é o seu valor actual. Como exemplo, considere-
 
1
 Entretanto, deve-se prestar atençaõ ao enunciado e principalmente sobre o periodo de capitalização. 
 
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seum capital, C0 (aplicado no momento de referência 0), que produz juro, j, 
quandoaplicado durante um período de tempo, n. No final desse período, n, teremos: 
 
jCS o 
 
em que Sé o valor acumulado de C0 durante o período n. Inversamente, teremos que C0 
é o valor actual (ou descontado) do capital S, ou seja: 
 
jSCo 
 
Pode então afirmar-se que o valor actual de um capital será sempre o seu valor 
nomomento de referência e que, para momentos posteriores ao de referência 
teremosvalores acumulados e, para momentos anteriores ao de referência, teremos 
valoresdescontados. Estes conceitos podem ser resumidos na tabela seguinte: 
 
5. DIAGRAMA TEMPORAL (ou RECTA DO 
TEMPO). 
O primeiro passo na resolução de um problema de Cálculo Financeiro deve ser a 
suarepresentação esquemática. A representação mais divulgada é a chamada 
representaçãodo problema num diagrama temporal (também chamado “recta do 
tempo”). Aconfiguração de um diagrama temporal é a seguinte: 
 
 
 
Figura 1: Diagrama Temporal 
 
Como foi visto anteriormente, em problemas de Cálculo Financeiro, um momento é 
umponto no tempo onde ocorre o vencimento de um capital. A representação 
acimasignifica que o capital C0 ocorre no (ou, como habitualmente se diz, está 
reportado aoou tem vencimento no) momento 0; O capital C1 está reportado ao 
momento 1, etc. O intervalo de tempo entre dois momentos consecutivos denomina-se 
 
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por período. Assim, no diagrama temporal existem sempre n períodos e n+1 momento. 
Os sinais ± sãoutilizados consoante os capitais representem uma entrada de capitais 
(inflows) ou saídasde capital (outflows) na perspectiva de uma das partes (do mutuário 
ou mutuante). 
Como exemplo considere-se a situação de representação, na óptica do depositante, de 
um depósito de 1.000 unidades monetárias que, três anos depois, dá lugar ao 
levantamento de 1.331 unidades monetárias. 
 
 
Figura 2: Operação Financeira na óptica do mutuante 
 
Na óptica do depositante (mutuante), no momento 0 há um outflow de 1.000 u.m., e 
nomomento 3 um inflow de 1.331 u.m. Na óptica do mutuário, a situação é 
precisamente ao contrário, i.e., no momento 0 há um inflow de capital e no momento 
três existe um outflow de capital. 
 
A representação de capitais desta forma (com os sinais + e -) apresenta-se com duas 
vantagens, a primeira permitir “visualizar” melhor o problema, sendo em muitos casos 
um auxiliar precioso na elaboração da equação de equivalência; e finalmente a 
representação é também fundamental para a resolução deste tipo de problemas atravês 
de calculadoras financeiras. 
 
6. Regimes de Capitalização 
Comecemos esta abordagem de forma simples e directa. 
Existem fundamentalmente, dois regimes de capitalização: o regime de juro simples e o 
regime de juro composto. Podemos desde logo preceber a palavra comum que nos 
interessa a “juro”. 
O processo de acréscimo que o capital disponivél sofre ao longo dos períodos de tempo 
dá-seo nome de capitalização, i.e., a capitalização é o processo que leva à formação de 
juros. O juro é a mãe de todos os problemas. 
A formação de juros verifica-se pela frequência com que em cada operação financeira 
se processa o juro designa-se por“ período de capitalização”. Importa referir que 
 
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existem diferentes regimes de capitalização, cujo processo degeração de juro é 
diferente. Os dois regimes de capitalização diferem essencialmentepelo o que acontece 
no final de um período de capitalização. Nesse instante podemocorrer duas coisas: 
a) O juro sai do processo de capitalização, isto é, não vai gerar juro no(s) 
período(s) seguinte(s). Esta situação é denominada de Regime de Juro 
Simples. Neste regime, encontramos dois sub-regimes – o Regime de Juro 
Simples “Puro” e o Regime de Juro “Dito” Simples. Este último na verdade 
deixa algumas dúvidas a sua real aplicabilidade. 
b) O juro é incorporado no capital com que se vai iniciar o período de tempo 
seguindo, vindo ele próprio a gerar juro no período seguinte, ou seja, 
capitaliza.A este fenómeno, juro de juro, dá-se o nome de anatocismo. 
Nestas condições, estamos napresença do chamado Regime de Juro 
Composto. 
c) Os regimes mistos: entre o regime de juro simples e o regime de juro 
composto a vida prática consagrou outros regimes. 
i. reintegração parcial dos juros e ou 
ii. novas entradas de capitais e redução de capital. 
Convenções: 
 Na ausência de outra informação, assume-se que as capitalizações são 
efectuadas de acordo com o periodo a que está referida a taxa de juro. 
 Na ausência de outra informação, sempre que relevante assume-se a utilização 
da base de cálculo o ano comercial (360). 
 
Fonte: Rogério Matias, 
 
 
 
 
 
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6.1. Taxas de Juros: Breve Referência 
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é 
empregada de váriasformas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias 
situações. Mostraremos as aplicabilidades dastaxas de juros do ponto de vista da 
matemática financeira os principais conceitos teóricos relativos às taxas, equivalência 
de taxas em juros simples e compostos, e as taxas nominais – taxas onde o período de 
capitalização difere do período do tempo, visando compreendê-las, identificá-las e 
diferenciá-las. 
 
6.1.1. Taxas nominais e Taxas efectivas 
Na abordagem das taxas importa referir à diferença existente entre taxas nominais e 
efectivas nos dois tipos regime de capitalização. 
É de fundamental importância o conhecimento e a compreensão da existência das taxas 
nominal efectiva. 
 
Taxa nominal 
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa 
efectiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da 
taxanominal. 
Denomina-se taxa nominal quando o prazo de formação, ou incorporação, de juros ao 
capital (capitalizações), não coincide com o prazo a que se refere a taxa. 
Neste caso, é comum adoptar-se a convenção de que a taxa, por período de 
capitalização, seja proporcionalà taxa nominal. 
 
Em outras palavras, a taxa nominal, não pode ser tomada como referência para decisões 
na contrataçãode um empréstimo, ou aplicação de recursos. 
Exemplos: 
1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 
3. 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 
 
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Taxa Nominal de 36% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal). Calcular as taxas 
efectivas por período de capitalização. 
 
Taxa efectiva: A taxa efectiva é quando o período de formação e incorporação dos 
juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
1. 120% ao mês com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 
3. 1300% ao ano com capitalização anual. 
● Para o tomador de empréstimos, a melhor opção é o menor n.°de capitalizações. 
● Para o investidor, a melhor opção é o maior n.°de capitalizações. 
 
6.1.2. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes 
Duas taxas, referidas a períodos de tempo diferentes, dizem-se proprocionais se a razão 
(quociente) entre elas for a mesma que existe entre os períodos de tempo a que se 
referem. 
Em termos de equivalência, diz-se que duas ou mais taxas, referidas a períodos 
diferentes, sãoequivalentes quando aplicadas a capitais iguais durante períodos de 
tempo também iguais,produzem o mesmo juro ou montante e/ou valor acumulado. 
 
Taxa Equivalente para juros simples (mesmo que proporcional). 
Fórmulas: 
 
kii
k
i
i
k
k
. )2
 )1

 
sqtbmda iiiiiii .2.3.4.612.360 
 
 
Equivalência de Taxas em Juros Compostos 
Fórmulas: 
11 3)
1)1( )2
1)1( )1
1



k
k
k
kk
k
k
ii
ii
ii
 
Onde: 
ik = Taxa do menor periodo 
i = Taxa do maior periodo 
k = Maior / menor periodo 
 
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6.2. Capitalização em Regime de Juro Simples 
Breve descrição 
É aquele regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial e que 
portanto não incide sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa 
varia linearmente em função do tempo. 
No caso diz-se que vigora o Regime de Juro Simples, podendo aindadistinguir-se dentro 
dele dois sub-regimes – o Regime de Juro Simples “Puro” e Regime de Juro “Dito” 
Simples. No primeiro sub-regime, o juro produzido em cadaperíodo de tempo é 
efectivamente pago, enquanto que no segundo o juro produzidoé simplesmente retido 
(i.e. ainda que não sendo pago, ele não vai gerar juro nosperíodos seguintes). De forma 
resumida importa reter que em ambos os casos, o juroproduzido num determinado 
período de capitalização não irá gerar juro nos períodos subsequentes. 
 
Simbologia e Regras Básicas; 
C = Capital Inicial (principal): representativo de uma aplicação financeira ou 
daobtenção de um crédito. 
i = Taxa Nominal: taxa de juros de uma aplicação ou seja a taxa 
contratada na operação. 
j = Valor dos Juros: resultado em dinheiro de uma operação, a pagar ou 
 receber. 
n = Período: a quntidade de tempo considerada numa operação. 
S = Montante: é o valor total da operação, isto é, representa a 
soma do principal mais os juros obtidos em uma 
operação. 
 
Neste regime de capitalização o juro produzido é constante em cada período; assim um 
capital C sob regime de juro simples à taxa iproduzirá: 
 
Esquematicamente (capitalizaçao em regime de juro Simples) 
 
 
Página | 17 
 
 
Fórmulas fundamental do juro e do capital: 
(i) Aplicação por um Período 
No fim de 1 período 
iCj .1 
 
)1(1 iCCiCS 
 
- Qual o rendimento produzido por uma aplicação financeira com o valor 2.000 u.m., 
por 1 ano, à taxa de juro anual de 15%? 
 
(ii) Aplicação por dois Períodos 
No fim de 2 período 
iCj .2.2 
 
)21(.2.2 iCiCCS 
 
 
- Qual o rendimento produzido pelo investimento de um capital de 2.000 u.m., por 2 
anos, à taxa dejuro anual de 15%? 
 
(iii) Aplicação por n Períodos 
No fim de n período 
inCjn ..
 
).1(.. inCinCCSn 
 
Utilizando um quadro resumo teremos: 
Periodo Capital Juro total Juro periodico Capital Acumulado 
1 C J1 = c.1.i J1 = c.1.i = c.i S1 = c + j1 = c+c.i = c(1+i) 
2 C J2 = c.2.i J2 = c.1.i = c.i S2 = c+j2 = c+c.2.i = c(1+2.i) 
3 C J3 = c.3.i J3 = c.1.i = c.i S3 = c + j3 = c+ c.3.i = c(1+3.i) 
.... .... ... .... 
n C Jn = c.n.i Jn = c.1.i = c.i Sn = c + Jn = c + c.n.i = 
c(1+n.i) 
 
 
A fórmula canónica do juro total é: 
inCJ ..
 
 
A equação de capitalização ou fórmula geral de capitalização no regime de 
juro simples é:
).1( niCS 
. 
 
 
Página | 18 
 
Da equação de capitalização 
).1( niCS 
 vem,a EQUAÇÃO DE ACTUALIZAÇÃO 
no regime de juros simples: 
).1( ni
S
C


 
É importante ter em atenção na resolução dos problemas que as variáveis sejam 
expressas ne mesma unidade tempo, como asseguir iremos verificar. 
 
 Exemplo 2.1 
 Qual o juro produzido por um capital de 8.000,00 u.m aplicado em 
 regime de juro simples, à taxa anual de 24% durante 
a) 7 meses 
b) 1 ano e 4 meses 
c) 180 dias 
 
Resolução: 
Como a unidade de tempo do periodo e da taxa não coincidem ou seja 
temos meses e dias e a é taxa anual, logo teremos que homogeneiza-
los.Geralmente, expressa-se o periodo na mesma unidade da taxa. 
 a) 
120.124,0
12
7
 x 8.000 c.n.i j  x
 
 b) 
560.224,0
12
16
 x 8.000 c.n.i j  x
 
 c) 
96024,0
360
180
 x 8.000 c.n.i j  x
 
Exemplo 2.2 
 Qual o valor acumulado (total a ser recebido) da aplicação em regime 
 dejuro simples no valor de 280,00 u.m durante 15 meses, à taxa anual 
de 3%. 
 
Resolução: 
 Temos duas formas para resolver o problema. Calcular o valor total a 
receber de uma só vez ou obter o valor do juro e adicionar ao capital 
inicial. 
i- Calculo pela fórmula do valor acumulado 
).1( niCS 
 
5,290)
12
15
03,01(280  xS
 
 
Página | 19 
 
ii- Calcular obtendo primeiro o juro total: 
inCJ ..
 
5,10
12
15
03,0280  xxJ
 
5,2905,10280  SSjCS 
 
6.2.1. Taxas em Regime de Juro Simples 
Lembrar o que ja foi abordado sobre taxa nominal e taxa efectiva ou entre taxa 
proporcional e taxa equivalente. No regime de juro simples, o cálculo do juro incide 
sempre sobre o capital inicial, c ou seja como já referido não há o efeito de juro sobre 
juros. Podemos fácilmente perceber que uma taxa será simultaneamente taxa nominal e 
taxa efectiva ou entre taxa proporcional e taxa equivalente, desde que observada a regra 
da homegeneização. 
Exemplo 2.3 
Qual o valor acumulado (total a receber) de uma aplicação de 10.000 
u.m., durante o periodo de um ano em regime de juro simples, à taxa 
anual de 20% ou à taxa semestral de 10%? 
Solução: 
 1. Taxa anual de 20% a capitalização será anual. 
Como o periodo de capitalização (anual) coincide com o horizonte temporal da 
taxa de juro (anual), então teremos: 
200.10
)1*2,01(000.10
).1(



S
S
niCS
 
 2. Taxa semestral de 10% a capitalização será semestral 
Neste caso, notamos que o periodo de investimento não coincide com o 
horizonte temporal da taxa de juro (semestral). Logo, teremos que conformar o 
periodo do investimento, no caso serão 2 semestres que temos no ano. Então, o 
nosso n =2. 
200.10
)2*1,01(000.10
).1(



S
S
niCS
 
Nos dois casos o resultado não sofreu alterações, quer em capitalização anual ou 
semestral. A taxa de juro utilizada foi a proporcional ao periodo de capitalização. 
 
Página | 20 
 
6.3. Capitalização em Regime de Juro Composto 
No regime de juro composto os juros de cada período são somados ao capital para o 
cálculo de novo(s) juro(s) no(s) período(s) seguinte(s). Os juros são capitalizados ou 
seja reintroduzidos no processo de formação de novo capitale, consequentemente, rende 
juro, originando “juros de juros” – anatocismo. 
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a 
soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da 
aplicação ou da dívida. 
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, S indica o montante ou valor acumulado, 
c o capital inicial, n o prazo e i ataxa de juro. 
Diagrama temporal: 
 Co C1 C2 C3 C4 
 
 
 Juro do período Valor acumulado 
No fim do 1 período 
iC.
 
)1(. iCiCC 
 
No fim do 2 período 
iiC ).1( 
 
2)1().1()1( iCiiCiC 
 
......... ............... ......................................................... 
n período 
iiC n .)1( 1
 
nnn iCiiCiC )1(.)1()1( 11  
 
 
Periodo Capital Juro total (ano) Capital Acumulado 
1 C J1 = c.1.i S1 = c + j1 = c+c.i = c(1+i) 
2 C(1+i) J2 = c(1+i)x1xi=c.i(1+i) = S1i S2 = S1+j2 = c(1+i)+ c(1+i).i = 
c(1+i) (1+i) = c(1+i)
2
 
3 C(1+i)
2
 J3 = c(1+i)
2
x1xi=c.i(1+i)
2
 = S2i S3 = S2+j3 = c(1+i)
2
+ c(1+i)
2
.i = 
c(1+i)
2
 (1+i) = c(1+i)
3
 
.... .... .... 
n C(1+i)
(n-1)
 Jn = c.i(1+i)
(n-1) 
= Sn-1i Sn = Sn-1+jn = c(1+i)
(n-1)
+ 
c(1+i)
(n-1)
.i = c(1+i)
n
 
 
Fórmulas de capitalização em regime de juro composto: 
niCS )1( )1( 
 
É a equação de capitalização ou fórmula geral de capitalização no regime de juro 
composto 
 
Página | 21 
 
 1)1(
)1( )2(


n
n
n
iC
CiCJ 
É a equação do juro acumulado pelo capital C ao fim de n períodos de capitalização à 
taxa i. 
JCS
C
S
i
n








 )4(
1 )3(
1
 
Da equação de capitalização 
niCS )1( 
 temos, 
n
n
iS
i
S
C 

 )1(
)1(
 
Que é A EQUAÇÃO DE ACTUALIZAÇÃO no regime de juros compostos. 
Exemplo 2.5 
Determine o juro composto produzido por um capital inicial de 
10.000,00 u.m., à taxa trimestral de 4%, durante 2 anos? 
 
Exemplo 2.6 
Um Capital de 7.500 u.m., foi investido em regime de juro composto, 
durante 1 ano, à taxa anual de 6%. Qual era o valor acumulado ao fim 
desse prazo? 
Mostrar a importância da periodicidade das capitalizações. 
 
Exemplo 2.7 
Caso você aplique 7.000,00 u.m., em regime de juro composto em uma 
instituição, ao final de 4 trimestres receba a importância de 1.640,12 
u.m, de juros. Qual terá sido a taxa de juros dessa operação? 
 
Exemplo 2.8 
Qual o tempo necessário para que um capital de 10.000,00 u.m., dobre 
de valor, se aplicado a taxa de 20% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 22 
 
6.3.1. Imagens geometricas dos valores acumulados nos dois tipos de 
regimes de capitalização 
niCS )1( )1( 
, é uma exponencial e: 
 Para 
)1(1
0
iCSn
CSn


 
(2) 
).1( niCS 
, é uma função linear e tem uma recta 
 
)1(1
0
iCSn
CSn


 
 
Verificamos, assim o seguinte: 
 - no interior do primeiro período o valor acumulado no regime de juro simples é 
superior ao valor acumulado noregime de juros composto. 
 - a partir do primeiro período o valor acumulado no regime de juro composto 
distancia-se cada vez mais do valor acumulado no regime de juro simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.9 
Determine, para ambos os regimes de capitalização (juro simples e juro 
composto), o capital ou valor acumulado produzido por um capital de 
1.250 u.m., à taxa de juro anual de 8%, durante: 
a) 6 meses 
b) 1 ano 
c) 2 anos 
 
1 n 
S 
 
 
 
 
 
c 
S = c(1+in) 
Regime de juro Simples 
S = c(1+i)
n
 
Regime de juro Composto 
 
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6.3.2. Cálculo do valor de n e i no factor ni)1(  
Na resolução de determinado exercício em regime de juro composto com as incognitas 
citadas, podemos seguir as seguintes vias para a resolução do problema 
 
a. Aplicação de logaritmos ou potências a fórmula geral de capitalização 
b. Existindo tabelas financeiras completas, isto é, que permitam calcular o 
valor acumulado a juro composto. Através de interpolação linear 
c. Directamente com utilização de calculadoras electrónicas/financeiras. 
 
Exemplo 2.10 
Foi efectuado um depósito de 7.000 u.m., que após 8 trimestres de 
capitalização em regime de juro composto, produziu o valor acumulado 
de 7.715,20 u.m. A que taxa foi remunerado este deposito? 
a) Através de logaritmos ou potências 
A equação matemática que traduz o problema é a seguinte: 
 S = c(1+i)
n 
b) Através de interpolação linear 
1,102171 = (1+i)
8 
Exemplo 2.11 
Foi efectuado um depósito de 40.000 u.m., em regime de juro composto à 
taxa anual de 5%. Após algum tempo, o capital acumulado era de 
48.620,25 u.m. Qual a duração deste depósito? 
 
6.4. Estudo de Taxas de Juro 
Vamos fazer uma abordagem sobre o funcionamento e aplicação das taxas de juro 
principalmente no regime de juro composto diferente ao regime de juro simples. 
Geralmente, a taxa de juro está expressa em termos anuais. 
Importa realçar alguns conceitos na nossa abordagem e sabemos que capitalização 
significa vecimento do juro. Periodicidade da capitalização é a frequência com que se 
processa (vence) o juro.Página | 24 
 
Taxas anuais e taxas periódicas 
Mostrar a diferença entre estes dois conceitos 
Taxas equivalentes e taxas proporcionais. 
Sóexiste distinção em regime de juro composto. Neste regime a compreensão do 
conceito de taxas equivalentes e de capital importância. 
Por definição dizemos que duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando referidas a 
periódos diferentes, mas aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo lapso de tempo 
produzem o mesmo juro ou capital acumulado.A taxa de 21% ao ano e 10% ao semestre 
são pois, taxas equivalentes, uma vez que 
 
 (1+0,21)
1
 = (1+0,10)
2
 
Duas taxas, referidas a peridos diferentes, dizem-se proporcionais entre si a razão 
(quociente) entre elas coincide com razão (quociente) entre os respectivos períodos a 
que estão reportadas. 
 
Taxas efectivas e taxas nominais 
A distinção entre elas reside no facto de reflectirem ou não o efeito de suceesivas 
capitalizações. 
A taxa efectiva, siginifica que ela já tem conta o efeito de sucessivas capitalizaões ou 
seja são a taxa que deve ser utilizada para a resolução de um determinado problema, 
pelo que a taxa periódica deve ser calculada usando o princípio da equivalência. Sendo 
ela nominal a taxa periódica deve ser obtida pelo princípio da proporcionalidade. 
 
Vejamos agora como calcular cada um dos tipos de taxas atrás referidas. Simbologia a 
utilizar: 
 i taxa anual efectiva 
 i(k) taxa anual nominal, composta (ou capitalizada) k vezes por ano 
 ik taxa periódica efectiva (semestral, mensal, etc.). 
 Partindo de uma taxa efectiva, a taxa periódica é calculada através de 
 uma relação de equivalência; partindo de uma taxa nominal, a taxa 
periódica é calculada através de uma relação de proporcionalidade. 
 
 
 
 
Relação de 
equivalência 
entre taxas 
Taxas proporcionais 
 
Página | 25 
 
 
Aplicações e conversão das taxas de juro 
 
 Cálculo da taxa periódica efectiva, ik, a partir da taxa anual efectiva, i: 
 
k
kii )1() (1
1 
 
 
O essencial aqui é perceber que procuramos uma taxa, ik,tal que seja indiferenteefectuar 
uma capitalização anual à taxa anual efectiva i, ou k capitalizações durante uma ano à 
taxa ik. 
 
O horizonte temporal comum (dorante designado por HTC), esta relação pode tomar 
uma forma mais geral: 
k
k
h
h ii )1() (1  
 
 
 Cálculo da taxa anual efectiva i, a partir da taxa anual nominal, com k 
capitalizações durante o ano i(k): 
k
i
i
k
k
)(
 
 
 
 Cálculo da taxa anual nominal capitalizada k vezes por ano i(k) ou da taxa 
anual efectiva, i, a partir de uma taxa periódica efectiva, ik: 
 
Exemplo 2.12 
 Dada a taxa trimestral efectiva d 3% qual é: 
a) A taxa anual nominal subjacente? 
b) A taxa anual efectiva subjacente? 
 
horizonte 
temporal: 
um ano 
Taxa periódica 
ik (horizonte 
temporal: um 
ano) 
A compreensão desta relação é 
eterna; 
A memorização da fórmula é 
efémera. 
h capitalizações durante um 
ano à taxa periódica ih 
(horizonte temporal: um 
ano) 
k capitalizações 
durante um ano à taxa 
periódica ik (horizonte 
temporal: um ano) 
Caso geral 
Regra de proporcionaidade 
enre taxas 
 
Página | 26 
 
 Cálculo da taxa periódica, ik, a partir da taxa anual nominal capitalizada k 
vezes por ano, i(k): 
 
Exemplo 2.13 
Considere a taxa anual nominal de 9% composta trimestralmente e 
calcule as seguintes taxas efectivas: 
 
a) Bimensal 
b) Quadrimestral 
c) Semestral 
d) Anual 
 
Exemplo 2.14 
Determinada empresa solicitou propostas a três instituições financeiras 
com vista à contratação de um empréstimo. 
A instituição financeira A propôs a taxa anual efectiva de 8,15%; a 
instituição financeira B propôs a taxa anual nominal de 8%, composta 
semestralmente; por fim, a instituição financeira C propôs a taxa anual 
nominal de 7,9% composta mensalmente. 
Qual das propostas apresenta a taxa mais atractiva para o investidor? 
 
 Capitalização Contínua e Taxa Instantânea 
 
Quando há mudança na periódicidade a que são efectuadas as capitalizações os 
sub-periódos passam de
k
1
do ano, à taxa proporcional, 
k
i
i
k
k
)(
 
. 
Assim, haverá k capitalizações num ano, após as quais o capital acumulado será 
k
k
k
i
CS 








)(
1
 
Assumamos que a periodicidade aumenta para sub-periodos ainda menores, 
tendo para 0 (zero), e número de capitalizações, k, vai tender para ∞. Do ponto 
de vista matemático, uma vez que 
,k
então 
.0
1

k
 
 
 
Página | 27 
 
Como se sabe 
e
n
n
n








1
1lim
 
Por outro temos 
)(
)(
)()(
)( 1
1
1
11
k
k
i
i
k
k
k
k
k
k
i
k
i
kk
i
















































 
Assim, podemos dizer que, quando 
,k
e
i
k
i
k
















)(
)(
1
1 
Pelo que 
)()(1 








 i
k
e
k
i 
Donde, em capitalização contínua, após um ano, o capital acumulado será: 
)(
i
CeS
 
Dito de outro modo, a taxa anual efectiva que está subjacente à taxa nominal 
)(i
 
(isto é, composta continuamente ou instantaneamente é i,tal que 
)() (1 
i
ei 
Ou seja 
1)(  
i
ei 
 
 
 
 
Página | 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 29 
 
7. Equivalência de Capitais 
A abordagem sobre a equivalência de capitais traz consigo interessantes noções e 
ferramentas úteis para a análise financeira. 
 
O valor temporal do dinheiro está aqui mais uma vez a ser testado. Como temos vindo a 
enfatizar a importância deste conceito, uma vez que um capital tem um determinado 
valor num certo momento; reportado a outro momento, o seu valor será outro. 
 
Qualquer diferimento de pagamentos contempla a contagem de juros a favor do credor e 
qualquer antecipação de pagamentos contempla a contagem de juros a favor do devedor. 
Isto quer dizer que qualquer operação sobre dois ou mais capitais obriga a referi-los ao 
mesmo momento. Assim, dois ou mais capitais dizem-se equivalentes se a soma dos 
seus valores num determinado momento for igual. 
 
Quando este valor esta reportado a um momento anterior dizemos que esta a se efectuar 
uma actualização ou descontar aquele valor; e a capitalização será reportar esse capital 
a um momento posterior. 
Objectivos 
 
 Compreender a necessidade de tornar dois ou mais capitais equivalentes (VTD); 
 Compreender que a equivalência é feita para um determinado momento (data 
focal); 
 Compreender o conceito de equação de equivalência ( ou equação de valor). 
 Compreender que a definição da data focal (data para o qual é efectuada a 
equivalência, isto é, para a qual são reportadas todos os capitais, é vital quando 
se utiliza o desconto comercial simples. 
 
Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados 
tanto em regime de juro simples quanto em regime de juro composto. 
O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto 
Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adoptada pelo 
mercado. 
 
Página | 30 
 
 
 
O desconto é portanto o preço pago para tornar disponivel um capital ainda não vencido. No 
caso de antecipação dovencimento a taxa de juro passa a denominar-se por taxa de 
desconto. 
 
Actualização é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde à trazermos 
um valor futuro para a data presente, descontando os juros que estão imbutidos no valor 
futuro. 
Acontece que é possivel conceber duas formas de calcular o valor D. Em regime de 
juro simples, podemos considerar. 
 
1. Solução Comercial – a taxa de actualização i incide sobre o valor nominal 
2. Solução Racional – a taxa de actualização i incide sobre o valor actual. 
 
 
 
 
 
Simbologia utilizada nas operações de desconto: 
 
N - Valor Nominal 
Drs - Valor do desconto Racional Simples 
Vrs – Valor Actual Racional Simples 
drs - Taxa de desconto racional Simples 
Dcs -Valor do Desconto Comercial 
Simples 
Vcs - Valor Actual Comercial Simples 
 dcs - Taxa de desconto comercial 
 
Drc - Valor do Desconto Racional 
Composto 
Vrc – Valor Actual Racional Composto 
i - Taxa de Juro 
drc - Taxa de Desconto racional composto 
n - Número de períodos que faltam para o 
vencimento 
 
 
Períodos 
Actualização ou desconto 
 
Página | 31 
 
7.1.1. – Desconto Racional Composto 
O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, 
sendo que agora a modalidade utilizada é a do juro composto. 
Na prática, em que se tratando de operações com juro composto, utiliza-se apenas o 
Desconto Racional. 
Assim para actualizar um capital c, basta dividi-lo por 
 ni1
 ou, o que é o mesmo, 
multiplica-lo por 
  ni 1
, que é precisamente o factor de actualização de um capital 
único em regime de juro composto,s egundo a solução racional. 
 
 
 
 
Fórmulas de Desconto Racional Composto 
 
A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional 
Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo. 
 
 n
n
n
iNDrcou
i
N
DrcVrcN
iVrcN










)1(1 
)1(
1
1Drc )3
 )2
).1( )1
 
 
Taxa “real” em desconto racional composto 
 
A taxa “real” associada ao desconto racional composto, será 
rcd
, necessariamente igual 
a i. De facto, 
rcd
 será a taxa tal que, aplicada ao capital 
rcV
, resulte no capital c, após n 
periódos de capitalização em regime de juro composto, ou seja: 
 
n
n
n i
iN
i
N
NVrcNDrc
)1(
]1)1[(
)1( 




 
Página | 32 
 
 
   
   
 
 
   
id
id
i
d
di
CdiC
CdV
rc
nn
rc
n
n
rc
n
rc
n
n
rc
n
n
rcrc










11
1
1
1
111
11
1
 
Pelo que a equivalência segundo o desconto racional composto é perfeita. 
 
7.1.2. Equações de Equivalência 
A abordagem sobre o quadro geral da equivalência de capitais e deduzidas as formas 
necessarias, estamos em condições para poder avançar e estabelecer equivalência entre 
dois ou mais capitais. Reforça-se que os factores de equivalência permitem capitalizar 
ou actualizar um capital único nos regimes ja estudados (juro simples e juro composto) 
e no caso de actualização, segundo cada uma das abordagens (comercial ou racional). 
Esta necessidade como é sabido resulta do “valor temporal o dinheiro” que obriga a que 
para operar e/ou comparar capitais, eles estejam reportados a um mesmo momento. 
 
Na matemática financeira, qualquer diferimento nos pagamentos contempla a contagem 
de juros a favor do credor e qualquer antecipação de pagamento contempla a contagem 
de juros a favor do devedor. Deriva do princípio da variabilidade dos valores dos 
capitais em função do tempo; significa isto que as situações de juro nulo não podem ser 
tratadas na base dos princípios da matemática financeira. 
 
Este princípio origina, como consequência, que qualquer operação sobre dois ou mais 
capitais obriga a referi-los ao mesmo momento. 
Assim, dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos capitais 
equivalentes quando, transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, 
nessa data, valores iguais. 
 
 Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. 
 Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juro. 
 
 
Página | 33 
 
A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de 
juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa 
que definida uma taxa de juro, e a forma de cálculo (se racional ou comercial), dois 
capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para 
uma certa data, e podem não ser equivalentes, se transportados para uma outra data, 
mesmo mantendo-se todas as outras condições do problema. 
 
A fim de fazer o transporte de um capital para a data focal, destaca-se dois casos: 
 
• 1º Caso: o capital está localizado em data posterior à data focal. 
 
 
Nesse caso, deve-se encontrar o valor actual do capital na data focal, fazendo uso da 
fórmula do valor actual (racional ou comercial, conforme o caso). 
 
• 2º Caso: o capital está localizado em data anterior à data focal. 
 
Nesse caso, deve-se encontrar o valor futuro do capital, fazendo uso da fórmula do valor 
nominal (racional ou comercial, conforme o caso). 
 
50.000 
3 meses 
Data focal 
Capital 
Data focal 
 
Página | 34 
 
A expressão da equivalência depende do regime de capitalização considerado, e 
designa-se por EQUAÇÃO DO VALOR ou EQUAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA. Desde logo, a 
equação de valor assume uma importância fundamental em Cálculo Financeiro. 
 
A Equação de valor ou equação de equivalência: matematicamente representa a equação 
do problema dos capitais envolvidos, devidamente reportados a esse momento comum 
(a data focal), de acordo com o regime (juro simples ou juro composto) e, no caso de ser 
necessário actualizar capitais, a abordagem (comercial ou racional) adoptados. 
 
Assim, em função da data comum (focal) estabelecida e dos vencimentos iniciais dos 
capitais envolvidos podemos ter uma operação de equivalência em que seja necessario: 
 
 Actualizar todos os capitais 
 Capitalizar todos os capitais 
 Actualizar alguns capitais e capitalizar outros 
 
São igualmente possivel que um ou mais capitais não necessitem de ser capitalizados ou 
actualizados – desde que o seu vencimento coincida com a data focal estabelecida ou 
escolhida. 
Então podemos ter três tipos: 
1. Equivalência entre dois capitais 
2. Equivalência entre um capital e um conjunto de capitais 
3. Equivalência entre dois conjuntos de capitais 
 
Este último acaba também abrangendo os dois anteriores. 
 
O valor de cada conjunto de capitais, num dado momento, corresponde à soma dos 
valores de cada um desses capitais nesse mesmo momento e pode constituir: 
 a soma dos valores actuais ou descontados de todos os capitais desse conjunto se 
o vencimento de todos eles forem posteriores ao momento de referência; 
 a soma dos valores capitalizados de todos os capitais se o vencimento de todos 
eles forem anteriores ao momento de referência; 
 a soma dos valores capitalizados dos capitais com vencimentos anteriores ao 
momento de referência, acrescida da soma dos valores actuais dos capitais com 
vencimento posteriores ao momento de referência. 
 
Página | 35 
 
De salientar que numa equação de valor estão sempre presentes as três variáveis 
fundamentais do Cálculo Financeiro: capital, tempo e taxa. Estas variáveis podem 
representaruma das incógnitas da equação de valor para serem calculadas – um capital, 
um prazo ou uma taxa. 
 
A formulação e interpretação correcta do problema e fazendo recurso de algumas 
ferramentas ja estudadas facilita a vizualização para uma melhor solução. No fundo, 
qualquer equação de valor deve ser elaborada respondendo a três questões de formal 
sequencial: o que, quando, como. 
 
O que? Entre que capital ou capitais, por um lado (1º membro da equação) e que capital 
ou capitais, por outro (2º membro da equação), se pretende estabelecer a equivalência? 
 
Quando? Para que data se pretende estabelecer a equivalência (isto é, qual é a data 
focal da operação de equivalência)? 
 
Como? De que forma se pretende operar ou realizar a equivalência? 
 
Exemplo: O quadro seguinte mostra 4 capitais com diferentes datas de vencimento, se 
utilizarmos uma taxa composta de 10% ao mês podemos encontrar a equivalência dos 
mesmos. 
Capital Data de vencimento 
2.000 1 
2.200 2 
2.420 3 
2.662 4 
 
Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional 
Composto 
1. Um determinado bem custa 5.000 u.m à pronto. Caso você queira adquirir esse 
bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês 
após a compra, qual será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de 
Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao mês? 
 
 
Página | 36 
 
2. Uma compra pode ser paga à vista por 1.400 u.m ou financiada por meio de uma 
entrada de 30% e dois pagamentos mensais, sendo o segundo pagamento 50% 
maior que o primeiro. Qual o valor dos pagamentos mensais, sabendo que o 
inicio dos pagamentos será ao término de um periodo de carência de 4 mês e que 
a taxa de juros aplicada é de 5% ao mês. 
 
3. Uma pessoa tem uma divida de 3.000 u.m com vencimento em 2 anos e outra de 
4.500 u.m com vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus debitos por meio de 
um pagamento único, a ser realizado ao fim de 4 anos. Qual o valor do 
pagamento unico que liquida a divida, considerando uma taxa de juros efectiva 
de 10% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 37 
 
 
7. Rendas 
 
7.1. Introdução 
O conceito de renda é utilizado no nosso quotidiano, muito mais do que nós 
imaginamos. 
A abordagem do conceito de rendas financeiras é feita no regime de juro composto e, 
quando relevante, a solução racional. 
Uma renda, em cálculo financeiro ou matemática financeira é um conjunto finito ou 
infinito de valores com vencimento (equidistantes) de periodicidade certa, ou seja, 
valores que são pagos ou recebidos com intervalos de tempo constantes. 
Por exemplo, o pagamento de um empréstimo para habitação faz-se habitualmente 
através de pagamentos com periodicidade constante, em geral num determinado dia de 
cada mês. Pode pois ser considerado uma renda em termos de matemática financeira. Os 
recebimentos dos juros de um depósito em regime de juros simples, se o intervalo do 
seu vencimento for constante, é também considerado uma renda. 
Muitas das operações financeiras envolvem a utilização de rendas, nomeadamente para 
o pagamento ou amortização de empréstimos ou investimentos. Os cálculos do valor de 
cada prestação (que em matemática financeira se designa por termo), da taxa de juro 
associada ou do número de prestações necessárias, são baseados nos princípios 
apresentados nos pontos sobre capitalização e actualização em regime de juro composto. 
 
O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efectuado 
em varias prestações sequencialmente, ou existindo um período de carência para o 
início dos pagamentos, ou ser pagas em períodos não sequênciais, etc., 
dependendo do acordo ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não 
diferencia em todos os tipos de Rendas e que sempre haverá a incidência de juros, 
proporcional ao tempo e/ou ao número de prestações. 
 
 
 
 
 
Página | 38 
 
 
Objectivos do capítulo 
No final deste capítulo deverá ser capaz de: 
- compreeder quando é que um conjunto de capítais pode ser considerado uma renda; 
- descrever o comportamento das diversas séries de pagamento; 
- compreender porque é que em termos práticos, a importância reside nas rendas inteiras 
(as rendas fraccionadas são transformadas em inteiras, através da previa conversão da 
taxa); 
- Reportar o valor de uma renda a qualquer momento; 
- compreender os conceitos de valor acumulado e do valor actual de uma renda; 
- calcular qualquer variavel envolvida nas rendas, conhecidas as restantes. 
 
7.2. Conceitos Fundamentais 
RENDA = Sucessão de capitais que se vencem periódicamente sendo o intervalo de 
tempo entre períodos constante; 
TERMO da renda, T = é cada um dos capitais da sucessão. T1, T2, T3….Tn; 
PERÍODO da renda, n = intervalo de tempo constante que separa ou medeia os 
vencimentos consecutivos. 
 
Momentos relevantes da vida de uma renda : 
 
Momento zero – em que se convenciona a constituição da renda, podendo 
esta começara produzir-se imediatamente ou não ( renda 
imediata ou renda diferida). 
 
Momento w - de início do primeiro período da renda. 
Prazo de diferimento (o;w) decorre desde a constituição 
da renda até que começa a produzir-se. 
 
Momento w + n fim do último período da renda quando esta tem n termos 
e é diferida de w períodos. 
 
Renda de termos constantes = T1=T2=T3=T4……=Tn 
 
 
Página | 39 
 
Renda de termos variáveis = T1; T2; T3; T4…… Tn , os termos variam de 
acordo com uma lei conhecida (progressão aritmética, 
progressão geométrica etc) ou não 
 
Renda anual - chama-se aos termos anuidades 
Renda semestral - chama-se aos termos semestralidades 
Renda mensal - chama-se os termos mensalidade, etc. 
Simbologia 
Nas operações com Rendas financeiras será utilizada a seguinte simbologia: 
T – Termos da Renda 
A – Valor Actual. 
S – Montante. 
i – Taxa de Juros. 
n – Número de Termos. 
 
Informações importantes: 
 As operações com Rendas utilizam juros compostos. 
 O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. 
 O Valor Actual (A) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Actuais de 
seus Termos. 
 Numa renda é importante conhecer o momento em que ocorre o primeiro termo, 
tendo em vista situar o momento que passamos a designar por origem ou 
referência da renda. 
 
7.3. Classificação das rendas 
As rendas podem classificar-se segundo diferentes ópticas: 
a) quanto ao número de termos : temporárias (n finito) ou perpétuas ( n infinito) 
 
b) quanto à sua dependência de factores aleatórios: certas (se a disponibilidade de 
todos os termos é absoluta) ou incertas ( se o vencimento dos termos está condicionado 
por qualquer factor aleatório). 
 
c) Quanto ao momento a que são referidos os seus valores actuais: imediatas ( se o 
seu valor actual é referido a um momento que coincide com o inicio do seu primeiro 
 
Página | 40 
 
periodo) ou diferidas ( se o valor actual se refere a um momento anterior ao inicio do 
seu primeiro periodo) 
 
d) Quanto à relação entre o periodo da renda e o da taxa: rendas inteiras (quando o 
periodo da renda e o da taxa coincidem) ou rendas fraccionadas ( quando o periodo da 
renda e o da taxa não coincidem) 
 
e, os termos da renda também se poderão classificar : 
 
1) quanto ao momento de vencimento : termos normais ou postecipados ( quando se 
vencerem no final do periodo a que dizem respeito) ou termos antecipados (quando se 
vencerem no inicio do periodo a que correspondem)2) quanto ao seu valor : termos constantes ( se todos tiverem o mesmo valor) ou termos 
variáveis ( se o valor dos termos for desigual- a variação poderá obedecer a uma certa 
lei matemática : progressão aritmética ou geométrica- ou não). 
 
Esquema das Rendas 
 
 Postecipas 
 
 Imediatas 
 Antecipadas 
 Constantes 
 Temporárias Diferidas 
 Variáveis 
 Períodicas 
 Certas Perpétuas 
 
 Não-períodicas 
Rendas 
 Aleatórias 
 
 
 
 
 
 
Página | 41 
 
 
Quadro resumo da Classificação 
 
 Critério Classificação da Renda Definição 
1 Variabilidade dos termos 
Constante Os termos são iguais 
Variável (PA ou PG) Dois ou mais termos são diferentes 
2 Nº de termos 
Temporária Existe um número definido de termos 
Perpétua Existe um número indefinido de termos 
3 Período da renda e da i (taxa) 
Inteira Os períodos são iguais 
Fraccionada Os períodos são diferentes 
4 
Localização do vencimento em cada 
período 
Postecipada (normal) O termos vencem no fim de cada período 
Antecipada Os termos vencem no início de cada período 
5 
Diferimentos (Nota: Importa saber 1º 
localização do vencimento) 
Imediata No período de referência há vencimento 
Diferida No período de referência não há vencimento 
6 Contingência 
Incerta Depende de factores aleatórios 
Certa Não depende de factores aleatórios 
7 Objectivo de constituição 
Remuneração Pagamento/recebimento de uma quantia 
Amortização Eliminar uma dívida contraída 
Acumulação Acumular uma quantia 
A classificação em negrito é a mais simples de ser analisada. 
 
Exemplo: 
 
 Salário auferido por um trabalhador durante um determinado tempo; 
 Propina paga mensalmente a Universidade. 
 
Período Vs Momento 
 Período Momentos Acontecimento 
Zero Período de referência Momento de referência Contrato 
Primeiro Período do 1º vencimento Momento do 1º vencimento 1º Pagamento 
Último Período do último vencimento Momento do último vencimento Último pagamento 
Fazer pequenos momentos grandes instantes 
 
 
Modo de resolução dos problemas apresentados 
Passos para resolução de um problema básico: 
1º 
Retirar os seguintes dados dos exercícios 
 - Termo (s) 
 - Nº de termos 
 - Taxa de juro 
2º 
Saber o que se pretende determinar 
 - Valor actual 
 - Valor acumulado 
3º Analisar a fórmula a aplicar (classificação) 
4º Aplicação da fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 42 
 
 
7.4. Estudo das rendas 
Por via de regra, e salvo excepções, no estudo das rendas interessa-nos conhecer o seu 
valor num de dois momentos de referência: 
 
a) - valor actual, ou seja, o valor da renda reportado ao momento zero, que coincide 
com o inicio do primeiro periodo da renda se esta é imediata ou a um momento anterior 
se a renda é diferida. An i 
 
b) - valor acumulado, ou seja, o montante capitalizado por uma renda no fim do seu 
ultimo periodo como a determinação daqueles valores vai depender da classificação da 
renda e da natureza dos seus termos, torna-se necessário desenvolver e determinar os 
respectivos algoritmos caso a caso. Sn 
 
7.5. Rendas temporárias, certas, imediatas e inteiras 
7.5.1. -de termos normais ( ou postcipados) e constantes 
 Modelo Básico da Série Uniforme de Pagamento 
 
Trata-se da renda mais simples e que, como tal, irá servir de referencial para todas as 
restantes. 
Por modelo básico de uma série uniforme de pagamentos entendemos as séries que são 
simultaneamente: temporárias, periódicas, certas, imediatas e postecipadas e que a taxa 
seja referida ao mesmo período dos pagamentos. As séries uniformes postecipadas são 
aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 da série (0+n). 
 
a) Cálculo do valor actual: 
nA
 expresssão que simboliza o valor actual de uma renda, temporária, certa, imediata e inteira, de n 
termos normais e unitários. 
 
Para quaisquer outros termos constantes que não são unitários, terá de ser multiplicada por essa constante. 
 
 
Página | 43 
 
Para calcular o valor actual da renda basta somar o valor de todos os termos, depois de 
actualizados para o momento zero (zero = actual, por convenção), à taxa de juro 
estipulada, ou seja: 
 nn i
i
T
A  )1(1
. 
Considera-se uma renda composta por n termos anuais de t unidades cada (constantes, 
portanto), aos quais estão associados juros compostos à taxa anual efectiva i. 
Admitamos também por generalidades que o primeiro termo ocorre no final do primeiro 
periodo (ano). Assim estamos perante uma renda temporária, inteira, imediata, de 
termos normais e constantes. 
 





 















 i
i
iiii
A
n
nnn
)1(1
)1(
1
)1(
1
...
)1(
1
)1(
1
1
12
 
 
 Ou 
          nnn iTiTiTiTiTA

 11...111
)1(321
 
 
Na realidade estamos diante uma equação de equivalência. 
 
Analisando a equação, verificamos que a soma que constitui o seu 2º membro é a soma 
dos termos de uma progressõ geometrica assim definida. 
 1º termo = 
  niT 1
 
 Número de termos = n 
 Razão = (1+i) 
Como sabemos, a soma dos n termos de um progressão geometrica de razão r e cujo 
primeiro termo é t1 é genericamente dada por 
1
1
1



r
r
TS
n
PG
 
 
Assim, neste caso, temos 
1)1(
1)1(
.)1(


 
i
i
iTA
n
n
n
 
 
Ou seja, 
 
i
i
iTA
n
n
n
1)1(
.)1(

 
 
 
Página | 44 
 
Donde, 
 
i
i
iTA
n
n
1)1(
.)1( 0


 
 
E finalmente 
i
i
TA
n
n


)1(1
 
 
A epressão do valor actual de uma renda de termos constantes: 
 









1.)1(
1)1(
n
n
i
i
TP
 
 
O valor de 
i
i n )1(1
 
é reportado em tabelas 
financeiras para 
diferentes valores de n e i e representa-se por pelo simbolo 
ian
. 
 
i
i
ia
n
n


)1(1
 
 
 
O valor actual de uma renda constituida por n termos constantes no valor de T unidades 
monetários cada pode, então, ser simbolicamente representada por 
iTaA nn 
. 
 
a.1. Estudo da função 
i
i
ia
n
n


)1(1
 
A função 
i
i
ia
n
n


)1(1
 depende somente de duas variáveis: i e n. Logo, o 
comportamento destas variáveis é importante. 
 
Em relação a variável i (assumindo n constante) 
É simples perceber que é uma função que se comport de forma decrescente em relação a 
variável i. 
Valor actual de uma renda temporária, inteira, imediata, 
de n termos normais e constantes no valor de T, à taxa i. 
Factor de actualização de uma renda composta por n 
termos (capitais) de valor unitário à taxa i (reporta o 
valor de todos esses n termos à origem, ou seja, ao 
momento que fica situado 1 período antes do vencimento 
do primeiro desses termos). 
 
Página | 45 
 
 
Em relação a variável n (assumindo i constante) 
Da mesma forma podemos rapidamente perceber que a função é crescente em relação a 
variável n. Na verdade, quanto mais termos houver, a uma dada taxa (i constante), 
maior será a soma dos seusvalores actuais. 
Contudo, deve perceber-se que o valor actual de cada termo vai diminuindo à medida 
que n aumenta. A função 
ian
 (com i constante) apresentará, pois, uma assimptota 
(valor limite que nunca é ultrapassado). De facto, quando 
n
, temos. 
 
i
i
ia




)1(1
 
 
Donde, 
i
ia
1

 
 
Calculos relacionados com o valor actual 
i
i
TA
n
n


)1(1
 
Dado que são quatro variáveis envolvidas, podemos deparar-nos com a necessidade de 
obter qualquer uma delas: 
 
1) Qual o valor actual, 
nA
, de um certo número de termos, n¸de T 
unidades cada, a uma dada taxa, i . 
2) Qual o valor de cada termo, T, sabendo que n termos de T 
unidades cada conduzem ao valor actual 
nA
, à taxa i. 
3) Qual o número de termos, n, de T unidades monetárias cada que, 
a taxa i, conduzem ao valor actual 
nA
, a uma dada taxa, i . 
4) Qual a taxa, i, que aplicada a um certo número de termos, n, de T 
unidades monetárias cada que, à taxa i, conduzem ao valor actual 
n 
nA
. 
b) Cálculo do valor acumulado 
nS
: expresssão que simboliza o valor acumulado de uma renda, 
temporária, certa, imediata e inteira, de n termos normais e unitários. 
Para quaisquer outros termos constantes que não sejam unitários, 
terá de ser multiplicada por essa constante. 
 
Página | 46 
 
 
Para calcular o valor acumulado da renda, teremos de somar os valores capitalizados ou 
acumulados de todos os termos para o momento n, ou seja o fim do periodo do último 
termo da renda, à taxa de juro convencionada, i, pelo que teremos: 
 
  




 
 
i
i
iiiS
n
nn
n
1)1(
1)1(...)1()1(1 21
 
Ou seja 
TiTiTiTiTiTS nnnn 
 12321 )1()1(...)1()1()1(
 
Na realidade estamos diante de uma equação de equivalência. 
Analisando a equação, verificamos que a soma que constitui o seu 2º membro é a soma 
dos termos de uma progressõ geometrica assim definida. 
 1º termo = 
T
 
 Número de termos = n 
 Razão = (1+i) 
Como sabemos, a soma dos n termos de um progressão geometrica de razão r e cujo 
primeiro termo é T1 é genericamente dada por 
1
1
1



r
r
TS
n
PG
 
 
Assim, neste caso, temos 
1)1(
1)1(



i
i
TS
n
n
 
Ou seja, 
i
i
TS
n
n
1)1( 

 
 
 
 
O valor de 
i
i n 1)1( 
 é reportado em tabelas financeiras para diferentes valores de n e i 
e representa-se por pelo simbolo 
iSn
. 
Valor acumulado de uma renda temporária, inteira, 
imediata, de n termos normais e constantes no valor de 
T, à taxa i. 
 
Página | 47 
 
Então, 
i
i
iS
n
n
1)1( 

 
 
O valor acumulado de uma renda constituida por n termos constantes no valor de T 
unidades monetários cada pode, então, ser simbolicamente representada por 
iTSS nn 
. 
 
b.1 Estudo da função 
i
i
iS
n
n
1)1( 

 
A função 
i
i
iS
n
n
1)1( 

 depende somente de duas variáveis: i e n. Logo, o 
comportamento destas variáveis é importante. 
 
Em relação a variável i (assumindo n constante) 
É simples perceber que é uma função que se comport de forma crescente em relação a 
variável i. Na realidade não há duvida que quanto mais elevada for a taxa, para um dado 
número de termos, n, maior será o valor acumulado por todos esses termos. 
 
Em relação a variável n (assumindo i constante) 
Da mesma forma podemos rapidamente perceber que a função é crescente em relação a 
variável n. Na verdade, quanto mais n termos houver, a uma dada taxa (i constante), 
maior será a soma dos seus valores acumulados por todos esses termos. 
Deve referir-se que, apesar de n ser uma variável discreta (uma vez que n representa o 
número de termos, só pode tomar um valor inteiro positivo), nas análises que se segue 
será tratada como variável contínua, o que não prejudica em nada essas análises. 
 
 
Calculos relacionados 
com o valor 
acumulado 
i
i
TS
n
n
1)1( 

 
Dado que são quatro variáveis envolvidas, podemos deparar-nos com a necessidade de 
obter qualquer uma delas: 
Factor de capitalização de uma renda composta por n 
termos (capitais) de valor unitário à taxa i (reporta o 
valor de todos esses n termos ao momento de 
vencimento do último). 
 
Página | 48 
 
1) Qual o valor acumulado, 
nS
, de um certo número de termos, 
n¸de T unidades cada, a uma dada taxa, i . 
2) 
Q
u
a
l o valor de cada termo, T, sabendo que n termos de T unidades 
monetárias cada conduzem ao valor acumulado
nS
, à taxa i. 
3) Qu
al 
o 
nú
me
ro de termos, n, de T unidades monetárias cada que, a taxa i, 
conduzem ao valor acumulado 
nS
, a uma dada taxa, i . 
4) Qual a taxa, i, que aplicada a um certo número de termos, n, de T 
unidades monetárias cada que, à taxa i, conduzem ao valor 
acumulado 
nS
. 
Comparando as duas expressões, fácilmente se conclui que existe uma relação directa 
entre as mesmas, que se traduz : 
 
n
nn iiAS )1( 
 
 
Ou seja, o valor actual capitalizado para o fim do último periodo é igual ao valor 
acumulado pelos termos da renda. 
E, a inversa também é verdadeira. 
 
n
nn iiSA
 )1(
 
 
 
 
 
 
 
Valor acumulado de uma renda de termos constantes é 
igual à capitalização do valor actual da renda, à mesma 
taxa, durante n períodos. 
Valor actual de uma renda de termos constantes é igual 
à actualização do valor acumulado da renda, à mesma 
taxa, para a origem. 
 
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Exemplos de Rendas do Modelo Básico 
 
(1) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $500,00, vencendo 
a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% ao mês, determine o 
valor à vista desse bem. 
 
(2) Caso você efectue 24 depósitos mensais e iguais de $300,00 em uma instituição que 
pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do último deposito? 
 
(3) Um determinado bem custa $10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem 
a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um 
mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. 
 
(4) Caso você queira dispor de $10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar 
mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês para que no 
último deposito obtenha a quantia desejada? 
 
7.6. - Renda de termos antecipados e constantes 
“Os termos da renda ocorrem nos INÍCIOS dos períodos de pagamento” 
 
Ao contrário da modalidade anterior, os termos da renda vencem-se no inicio de cada 
período e não no fim, o que corresponde a antecipar um periodo no vencimento de todos 
os termos da renda. 
Como consequência, o valor actual de cada um e de todos os termos aumenta, pois, é 
actualizado menos um periodo. 
 
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...
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
 
Do mesmo modo, o valor acumulado pelo somatório dos termos da renda no fim do 
ultimo periodo, também aumenta de igual modo, uma vez que cada termo da renda irá 
acumular mais um periodo de juros; sofre ou beneficia de um periodo adicional de 
capitalização. 
 
 
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Representa-se por: 
  )1(1)1()1(1)1(...)1()1(1)1( 21 i
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