Exercicios de aplicacoes do Calculo

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Estudo do Ca´lculo e Aplicac¸o˜es
Erick Bernardo
Escola de Engenharia de Sa˜o Carlos - USP Sa˜o Carlos
Bolsa: Ensinar com Pesquisa
Orientador: Janete Crema Simal
Instituto de Cieˆncias Matema´ticas e de Computac¸a˜o - ICMC - USP Sa˜o Carlos
Suma´rio
1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Aplicac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial e Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1 Func¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 A derivada como uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Crescimento e decrescimento de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Ma´ximos e mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9 A´reas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.10 Integrais impro´prias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11 Teorema do valor me´dio para integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 I´ndice Remissivo por A´reas de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2
1 Resumo
Todos os anos estudantes das cieˆncias exatas teˆm contato com o ca´lculo diferencial
e integral aplicado a func¸o˜es de uma varia´vel real. Pore´m, muitos teˆm dificuldade de visualizar
sua aplicabilidade em problemas das mais varia´veis a´reas. Assim, este material vem trazer uma
se´rie de questo˜es resolvidas explorando a aplicac¸a˜o da teoria de sala de aula em problemas
diversos do ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel.
2 Objetivos
Esta apostila tem como objetivo se tornar um banco de dados de questo˜es resolvidas
para uso na elaborac¸a˜o de listas de exerc´ıcios e exemplos que trazem uma aplicac¸a˜o diversificada
do ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel.
3
3 Aplicac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial e Integral
3.1 Func¸o˜es elementares
1. Sejam F e C as temperaturas em graus Fahrenheit e graus Celsius. Ache a equac¸a˜o que
relaciona F e C, sabendo-se que a func¸a˜o e´ linear e que F = 32 quando C = 0 e F = 212
quando C = 100.
Queremos encontrar F=f(C) (linear)
F = f(C) = aC + b
f(0) = a0 + b = 32⇒ b = 32
f(100) = a100 + b = 212⇒ a = 180
100
= 1, 8
F = f(C) = 1, 8C + 32
2. Numa certa viagem de bicicleta, a primeira metade da distaˆncia foi percorrida a 30 km/h
e a segunda metade, a 20 km/h. Qual foi a velocidade me´dia?
Seja d a distaˆncia percorrida na primeira e segunda metade
t1 =
d
30
e t2 =
d
20
Vm =
D
T
com D = 2d e T = t1 + t2
Assim, Vm =
D
T
= 2dd
30
+ d
20
= 30∗20
25
= 24 km/h
3. Uma agente de promoc¸a˜o considera que quanto mais ela divulga seus produtos na tele-
visa˜o, mais ela vendera´. A relac¸a˜o pode ser expressa por y = 3
2
x + 150, na qual y e´ o
nu´mero de vendas por semana, e x indica o nu´mero de vezes que o comercial foi divulgado
durante a semana. Reproduza o gra´fico dessa equac¸a˜o.
A func¸a˜o y = 3
2
x+ 150 e´ uma reta que cruza o eixo x em x=-100 e o eixo y em y=150.
Figura 1: y = 3
2
x+ 150
4. Em um laborato´rio ratos aprendem a pressionar um bota˜o para receberem comida. A
equac¸a˜o y = 1
2
x expressa o nu´mero de vezes que a bota˜o e´ pressionado em um minuto
4
(y) e a quantidade de comida dada (x). Fac¸a o gra´fico da equac¸a˜o dada. Quando quatro
unidades de comida e´ dada, quantas vezes os ratos pressionaram a barra?
A func¸a˜o y = 1
2
x representa uma reta que passa pela origem, como o gra´fico abaixo des-
creve.
Figura 2: y = 1
2
x
y = f(x) = 1
2
x, Assim, f(4) = 1
2
(4) = 2. O bota˜o foi pressionado 2 vezes.
5. O crescimento de uma determinada cultura pode ser estimada pela equac¸a˜o y = 0, 2x2,
na qual y e´ a quantidade apo´s x horas. Represente o gra´fico dessa equac¸a˜o e determine a
quantidade presente inicialmente (x = 0) e depois de uma e de duas horas.
As ra´ızes de f sa˜o obtidas por:
f(x) = 0, 2x2 = 0 =⇒ x = 0
Como x ≥ 0,
Em, f(0) = 0, f(1) = 0, 2 e f(2) = 0, 8
5
Figura 3: y = 0, 2x2
6. Um bio´logo determina que a temperatura da a´gua tem um efeito sobre o nu´mero de peixes
capturados em um dia. Ele encontrou a relac¸a˜o N = −1
2
t2 + 60t− 1300(t ≥ 25), na qual
N representa o nu´mero de peixes capturados em um dia, e t e´ a temperatura em oF.
(a) Represente o gra´fico dessa equac¸a˜o.
(b) Qual e´ a temperatura ideal da a´gua para capturar mais peixes?
(a)O gra´fico pode ser representado pela figura (4):
Figura 4: N = −1
2
t2 + 60t− 1300, (t ≥ 25)
(b) A expressa˜o N = −1
2
t2 + 60t − 1300 e´ uma func¸a˜o quadra´tica com um ponto de N
ma´ximo como podemos observar no gra´fico.
N = −1
2
t2 + 60t− 1300 = 0⇒ t = 91.62 e t = 28.38
6
Devido a simetria temos:
d =
91, 62 + 28, 38
2
= 31, 62 e t = 28, 38 + d = 60oF
A temperatura para a ma´xima captura de peixe e´ de 60oF.
7. Uma fa´brica possui um custo, y, em reais, para produzir x unidades de uma mercadoria
representado pela equac¸a˜o y = 1
3
x+ 212.
(a) Represente seu gra´fico;
(b) Qual e´ o custo de produc¸a˜o de 48 unidades?
(a) A equac¸a˜o representa uma reta. Ver figura (5).
Figura 5: y = 1
3
x+ 212, x ≥ 0
(b) Substituindo x=48 em y temos, y = f(48) = 1
3
(48) + 212 = 228 reais.
7
8. Uma fa´brica comprou uma ma´quina em 2000 por R$10000,00. Devido a depreciac¸a˜o a
ma´quina valia R$5000,00 em 2005. Se a depreciac¸a˜o e´ considerada linear, encontre a
equac¸a˜o que descreve o valor da ma´quina depois de x anos. Encontre tambe´m o valor da
ma´quina em 2007.
A equac¸a˜o de uma reta pode ser representada por y−y0 = m(x−x0), na qual m representa
o coeficiente angular da reta e (y0, x0) um ponto conhecido.
Em x0 = 0 temos y0 = 10
4 e um x = 2005− 2000 = 5 em y = 5000. Logo, m = 10000−5000
0−5
Assim, para x qualquer:
y − 10000 = 10000− 5000
0− 5 (x− 0) =⇒ y = −1000x+ 10000
A func¸a˜o y = −1000x + 10000 e´ linear e decrescente. Assim, o prec¸o y da ma´quina
decresce apo´s x anos.
Em 2007 temos x=7 anos, logo encontramos y = f(7) = −1000(7) + 10000 = 3000 reais.
9. Uma companhia tem R$20000,00 como custo fixo para produzir uma certa mercadoria e
mais R$5,00 por unidade produzida. Se cada unidade e´ vendida por R$9,00, encontre o
ponto em que a renda e´ igual ao custo.
A func¸a˜o custo e´ dada por C(x) = 20000 + 5x, a renda por R(x) = 9x e seja x o nu´mero
de items produzidos. Enta˜o,
C(x) = 20000 + 5x = 9x = R(x)
O que nos da´ x = 5000 unidades.
10. E´ usual para economistas desenvolverem suas equac¸o˜es de demandas com relac¸o˜es lineares.
A equac¸a˜o de demanda pode ser da forma y = ax+ b, a < 0 (quando o prec¸o y cresce,
a demanda pela mercadoria x ira´ cair). Uma equac¸a˜o tambe´m linear y = cx+ d, c > 0,
representa o efeito contra´rio ( a alta do prec¸o y ira´ aumentar a oferta da mercadoria x).
Neste contexto, um produtor de capas de chuva estabeleceu para seu produto a equac¸a˜o
de demanda y = −5
3
x+ 230
3
, e a equac¸a˜o de produc¸a˜o de y = 2
3
x+ 55
3
na qual x e´ o nu´mero
de capas de chuva em centenas e y e´ o prec¸o por capa.
(a)O que representa a intersecc¸a˜o entre as duas curvas?
(b)Encontre a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio.
(a) A intersecc¸a˜o dessas duas curvas, onde demanda e´ igual a oferta, representa a quan-
tidade e prec¸o de equil´ıbrio.
(b) Interceptandoas duas retas temos:
−5
3
x+
230
3
=
2
3
x+
55
3
=⇒ x = 25
Consequentemente, y = 2
3
25 + 55
3
= 35.
As coordenadas do ponto de equil´ıbrio sa˜o x=25 e y=35. Assim, quando 2500 capas de
chuva sa˜o oferecidas por um prec¸o de 35 reais cada, a oferta e demanda pelo produto sa˜o
iguais.
8
11. Em um laborato´rio de biologia um te´cnico e´ responsa´vel pelo fornecimento de uma deter-
minada bacte´ria utilizada em experimentos. Se a equac¸a˜o da demanda e´ y = −2
3
x + 16
3
e a equac¸a˜o da oferta e´ y = 10x−11
8
, com x em milhares de bacte´rias e y em centenas de
reais. Determine a quantidade de bacte´rias, o prec¸o de equil´ıbrio e represente seus gra´ficos.
No ponto de equil´ıbrio:
−2
3
x+
16
3
=
10x− 11
8
Resolvendo para x encontramos x = 3, 5. Substituindo em qualquer uma das equac¸o˜es
obtemos y = 3. O ponto de equil´ıbrio pode ser observado na figura (6)
Figura 6: Ponto de equil´ıbrio (7
2
, 3)
9
12. Uma companhia tem um custo fixo de R$26000,00. O custo de produzir um item e´ de
R$30,00. Se cada item e´ vendido por R$43,00, encontre o ponto em que a receita se iguala
ao custo.
O custo pode ser representado por C(x) = 30x+ 26000 e a renda por R(x) = 43x, sendo
x o nu´mero de itens produzidos. Igualando ambas:
C(x) = 30x+ 26000 = 43x = R(x)
26000 = 13x
x = 2000 unidades
13. Para produzir x pares de skis, uma companhia tem um custo de C(x) = 80 + 0, 2x2. A
renda e´ dada por R(x) = 150x− 0, 1x2. Encontre a func¸a˜o lucro e verifique qual o lucro
ma´ximo que se pode obter.
O lucro e´ representado por L(x) = R(x)− C(x). Assim,
L(x) = (150x− 0, 1x2)− (80 + 0, 2x2)
L(x) = −80 + 150x− 0, 12x2
Ponto de ma´ximo em L(x) = −b
2a
= −150−0,24 = 625 unidades
14. O tempo, em minutos, em que uma pessoa e´ testada e completa uma tarefa pode ser
encontrado por T (x) = 440√
x
, onde x e´ o QI da pessoa.
(a) Quanto tempo e´ necessa´rio para uma pessoa com QI de 100 completar a tarefa?
(b) Qual e´ o QI de uma pessoa que completa a tarefa em 40 minutos?
Seja T (x) = 440√
x
, e x o QI da pessoa. Assim,
(a) T (100) = 440√
100
= 44 minutos
(b) Sendo T=40 minutos:
40 = 440√
x
√
x = 11, x > 0
x = 121
O QI da pessoa e´ de 121.
15. O volume V, em cm3, de um vaso sangu´ıneo cil´ındrico de 8 cm de comprimento e´ func¸a˜o
do raio r, em cm. A relac¸a˜o e´ dada por V = 8pir2.
(a) Fac¸a o gra´fico.
(b) O que acontece com o volume se o raio e´ reduzido pela metade devido acu´mulo de
gordura nos vasos?
(a) Figura (7).
(b) Seja r0 o raio inicial do vaso e rf =
r0
2
o raio final. Enta˜o,
V olume inicial V0(r0) = 8pir0
2
V olume final Vf (rf =
r0
2
) = 8pi( r0
2
)2 =
8pir20
4
= V0
4
Assim, o volume do vazo sangu´ıneo e´ reduzido em quatro vezes.
10
Figura 7: V = 8pir2
16. A concentrac¸a˜o de bacte´rias num sistema de a´gua pu´blico tem aumentado, o que ocasionou
um tratamento com agentes anti-bacterianos. Bioqu´ımicos responsa´veis pelo tratamento
da a´gua estimam que N(t), o nu´mero de bacte´rias por cm3, pode ser descrito pela equac¸a˜o
N(t) = 40t2 − 320t+ 1000, onde t e´ o nu´mero de dias de tratamento.
(a) A a´gua e´ considerada impro´pria para beber quando a concentrac¸a˜o excede 720 bacte´rias
por cm3. Quanto tempo apo´s o in´ıcio do tratamento a a´gua podera´ ser bebida novamente?
t ≥ 0 e t: nu´mero de dias de tratamento
N(t) ≤ 720
40t2 − 320t+ 1000 ≤ 720
f(t) = 40t2 − 320t+ 280 ≤ 0
40t2 − 320t+ 280 = 0⇒ t1 = 1 e t2 = 7
Como temos uma para´bola com concavidade para cima a a´gua podera´ ser consumida apo´s
um per´ıodo de tratamento entre 1 e 7 dias.
17. De acordo com um modelo desenvolvido por um grupo de sau´de pu´blica, o nu´mero de
pessoas N(t), em milhares, que estara˜o doentes devido uma gripe no tempo t, em meses,
no pro´ximo inverno e´ descrito por N(t) = 100 + 30t − 10t2, onde t = 0 corresponde ao
in´ıcio de junho.
(a) Quando a gripe atingira´ seu pico? Quantas pessoas estara˜o afetadas?
(b) Fac¸a o gra´fico.
(c) Quando o surto de gripe terminara´?
N(t) = 100 + 30t − 10t2 = 0 ⇒ t1 = −2 e t2 = 5. Como temos uma para´bola com
concavidade para baixo a func¸a˜o apresenta um ma´ximo.
Ponto de ma´ximo t = t1+t2
2
= −2+5
2
= 1, 5
Assim, N(1, 5) = 122, 5
11
(a) O pico ocorrera´ em t=1,5, o que corresponde a 45 dias apo´s o in´ıcio do surto. 122500
pessoas estara˜o infectadas.
(b) Figura (8)
Figura 8: N(t) para t ≥ 0
(c) Como confirmado pelo gra´fico a gripe terminara´ em t = 5 e portanto no final de
Outubro, como confirmado pelo gra´fico.
12
18. Mortes por trauma apo´s um se´rio acidente sa˜o conhecidas como sendo de dois tipos.
Tipo A e´ devido a um se´rio dano num o´rga˜o principal, como ce´rebro, corac¸a˜o . Tipo B
e´ devido perda de sangue ou atrave´s de hemorragia ou atrave´s de perda de sangue do
corpo. Considere as seguintes func¸o˜es respectivamente, associadas ao Tipo A e ao Tipo B.
f(t) =
25
t
, g(t) =
50
1 + (t− 2)2
(a) Em que tempo t as func¸o˜es se interceptam?
(b) Fazer os gra´ficos.
(a)
f(t) = g(t)
25
t
= 50
1+(t−2)2 com (t 6= 0)
1 + (t− 2)2 = 2t
t2 − 6t+ 5 = 0 ⇒ t1 = 1 e t2 = 5
As func¸o˜es se interceptam nos tempos t=1 e t=5.
(b)
Figura 9: Intersec¸o˜es de f(t) e g(t)
13
19. Nı´veis de dio´xido de carbono no po´lo sul teˆm aumentado de 315 partes por milha˜o em
1958 para 322 partes por milha˜o em 1966 e 329 partes por milha˜o em 1974.
(a) Considerando-se t = 0 o ano correspondente a 1958, achar a func¸a˜o linear que relaciona
o n´ıvel de dio´xido de carbono como func¸a˜o do tempo.
(b) Qual o n´ıvel previsto para 2014?
(a) Func¸a˜o Linear f(t) = at+ b , a e b constantes
f(0) = a0 + b = 315 ⇒ b = 315
f(8) = a8 + 315 = 322 ⇒ a = 7
8
f(t) = 7
8
t+ 315
(b) 2014⇒ t = 56 anos
f(56) = 364 partes por milha˜o
20. Se a pressa˜o for mantida constante, uma amostra de ga´s tem volume igual a V0 a 0
oC.
A relac¸a˜o entre o volume V do ga´s em litros e a temperatura T em graus cent´ıgrados e´
dada pela equac¸a˜o V = V0 +
V0
273
T
(a) Qual e´ a inclinac¸a˜o desta reta?
(b) Obter a expressa˜o da temperatura em graus cent´ıgrados em func¸a˜o do volume nas
condic¸o˜es acima?
(a) Func¸a˜o linear f(x) = ax+ b
a: coeficiente angular = inclinac¸a˜o da reta ⇒ a = V0
273
(b)
273V = 273V0 + V0T
T = 273V−273V0
V0
= 273
V0
V − 273
21. Define-se o trabalho T realizado por um mu´sculo por T = Px, sendo P o peso ou carga
aplicada e x o comprimento da contrac¸a˜o . Hill determinou que a energia E envolvida na
contrac¸a˜o muscular e´ expressa por E = T + ax = (P + a)x, onde ax representa o calor
decorrente da contrac¸a˜oA˙ raza˜o � entre o trabalho e a energia utilizada e´ definida como
eficieˆncia do mu´sculo.
(a) De acordo com o modelo, mostre que a eficieˆncia � independe do encurtamento x.
(b) Mostre que 1
�
depende linearmente de a, sendo ainda inversamente proporcional ao
peso ou carga aplicada.
(c) Ache a relac¸a˜o entre a e P para que ocorra uma eficieˆncia de 40%.
(a) � = T
E
= Px
(P+a)x
= P
P+a
(b) 1
�
= P+a
P
= 1 + 1
P
a
Logo 1
�
depende linearmente de a e o coeficiente angular e´ inversamente proporcional
ao peso P.
(c) Se � = 0.4 = P
P+a
0.4P + 0.4a = P
0.6P = 0.4a⇒ P = 2a
3
14
22. Biologistas descobriram que a velocidade do sangue arterial e´ uma func¸a˜o da distaˆncia
do sangue ao eixo central da arte´ria. De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade (em
cent´ımetros por segundo) do sangue que esta´ a r cent´ımetros do eixo central da arte´ria e´
dada por S(r) = C(R2 − r2), onde C = 1, 76× 105 cm e R = 1, 3× 10−2 cm e´ o raio da
arte´ria.
(a) Calcule a velocidade do sangue no eixo central da arte´ria.
(b) Calcule a velocidade do sangue na metade da distaˆncia entre a parede da arte´ria e o
eixo central.
(c) Em que caso a velocidadedo sangue sera´ a menor poss´ıvel?
(a) No eixo central r=0:
S(0) = C(R2 − 0) = 1.76 ∗ 105(1.3 ∗ 10−2)2 = 29.744 cm/s
(b) S(R
2
) = C(R2 − R2
4
) = 3
4
CR2 = 3
4
S(0) = 22.308 cm/s
(c) S(r) = 0⇒ r = R
23. Suponha que, durante um programa nacional de imunizac¸a˜o da populac¸a˜o contra uma
forma virulenta de gripe, representantes do Ministe´rio da Sau´de constataram que o custo
de vacinac¸a˜o de x por cento da populac¸a˜o era de, aproximadamente, f(x) = 150x
200−x milho˜es
de reais. Construa o gra´fico da func¸a˜o especificando sua parte relevante, tendo em vista
a situac¸a˜o pra´tica do problema em questa˜o .
Tem-se x dado em porcentagem, logo 0 ≤ x ≤ 100%. Enta˜o esboc¸aremos o gra´fico de
f(x) = 150x
200−x neste intervalo.
Reescrevemos f(x) = 150( x
200−x) = 150(
200
200−x−1). Observamos enta˜o que para x�[0, 100],
200 − x > 0 e 200
200−x cresce se x cresce. Ale´m disso f(0) = 0 e f(100) = 150. Logo um
esboc¸o plaus´ıvel e´:
Figura 10: f(x) = 150x
200−x , 0 ≤ x ≤ 100
15
24. Bio´logos afirmam, que sob condic¸o˜es ideais, o nu´mero de bacte´rias numa cultura cresce
exponencialmente. Suponha que existam inicialmente 2000 bacte´rias em certa cultura e
que existira˜o 6000 apo´s 20 minutos. Quantas bacte´rias existira˜o apo´s 1 hora?
N(t) = kat, sendo N(t) o nu´mero de bacte´rias no tempo t medido em horas.
t = 0⇒ 2000 = ka0 ⇒ k = 2000
20 minutos equivale a 1
3
de hora. Logo para
t = 1
3
⇒ 6000 = 2000a 13 ⇒ a = 27
Portanto N(t) = 2000(27)t (t : horas)
N(1) = 5400 bacte´rias
25. Meia-vida de uma substaˆncia radioativa e´ o tempo gasto para 50% de amostra da substaˆncia
se deteriorar. Considere que a quantidade remanescente de uma certa substaˆncia radioa-
tiva, apo´s t anos, e´ dada por Q(t) = Q0e
−0.003t. Calcule a meia-vida da substaˆncia.
Sendo Q(t) = Q0e
−0.003t encontraremos o tempo de meia vida substituindo Q(t) por Q0
2
e
encontrando o tempo correspondente.
Q(t) = Q0e
−0.003t
Q0
2
= Q0e
−0.003t
0.5 = e−0.003t
t = − ln0.5
0.003
= 231.05 anos
26. O ra´dio se deteriora exponencialmente. Sua meia-vida e´ de 1690 anos. Quanto tempo
levara´ para uma amostra de 50 g de ra´dio se reduzir a 5g?
Encontrando a constante c:
Q(t) = Q0e
ct
Q0
2
= Q0e
c1690
0.5 = ec1690
c = ln0.5
1690
= −4.1 ∗ 10−4
Encontrada a func¸a˜o Q(t), basta encontrar t para Q(t)= 5 g:
Q(t) = Q0e
ln0.5
1690
t
5 = 50e
ln0.5
1690
t
0.1 = e
ln0.5
1690
t
t = 1690ln0.1
ln0.5
= 5614.06 anos
27. A relac¸a˜o entre o peso P em quilogramas e a altura h em metros de um adulto sentado
e´ dada por ln(P ) = 1.9532 + 3.135ln(h) Encontrar P em func¸a˜o de h?
16
ln(P ) = 1.9532 + 3.135ln(h)
P = e1.9532+3.135ln(h)
28. Estima-se que, daqui t anos, a populac¸a˜o de um certo pa´ıs sera´ de P (t) = 80
8+12e−0.06t
milhares de habitantes.
(a) Qual e´ a populac¸a˜o atual?
(b) Qual sera´ a populac¸a˜o daqui a 50 anos?
(a) Considerando-se t = 0 o tempo atual. P (0) = 80
8+12
= 80
20
= 4 Ou seja, 4000 ha-
bitantes.
(b) P (50) = 80
8+12e−0.06∗50 = 9.3 Ou seja, 9300 habitantes.
29. O corpo concentra iodo na tiro´ide. Esta observac¸a˜o leva ao tratamento de cancer de
tiro´ide pela injec¸a˜o de iodo radioativo na corrente sangu´ınea. Um iso´topo usado tem
meia-vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo.
(a) Se 50 mg deste iso´topo sao injetados, que quantidade permanecera´ apo´s 3 semanas?
(b) Suponhamos que a quantidade desejada de iodo na corrente sangu´ınea seja mantida
sempre maior ou igual a 20 mg. Quando nova injec¸a˜o devera´ ser aplicada, considerando
que isto so´ podera´ ocorrer apo´s a quantidade original ter ca´ıdo para 20 mg?
Sabemos o tempo de meia-vida t 1
2
= 8 dias e o modelo exponencial para o decaimento
radioativo Q(t) = Q0e
kt. Assim, encontraremos a constante k:
Q(t) = Q0e
kt
Q0
2
= Q0e
k8
0.5 = e8k
k = ln0.5
8
(a) Q(21) = 50e
ln0.5
8
21 = 8.1 mg
(b) Tempo para que uma quantidade Q0 atinja 20 mg.
Q0e
ln0.5
8
t = 20⇒ t = 8
ln0.5
ln( 20
Q0
)
O tempo t para uma nova aplicac¸a˜o dependera´ da quantidade inicial Q0. Se considerarmos
Q0 = 50 mg, tem-se t=10.57, ou seja, praticamente 10 dias para uma nova aplicac¸a˜o.
30. Toda mate´ria viva tem dois tipos de carbono em suas mole´culas 14C e 12C. Enquanto o
organismo esta´ vivo a raza˜o entre 14C e 12C e´ constante. Quando o organismo morre nao
ha´ mais reposic¸a˜o de 14C e enta˜o ocorre decaimento exponencial de 14C com meia-vida
de 5760 anos. Examinando a raza˜o 14C/12C e´ poss´ıvel determinar a porcentagem da
quantidade original de 14C remanescente e enta˜o datar um fo´ssil.
(a) Que porcentagem da quantidade original de 14C existira´ apo´s 2000 anos?
(b) Se um fo´ssil conteˆm 10% da quantidade original de 14C, qual sua idade?
17
Conhecemos o modelo A(t) = A0e
kt. Para um tempo de meia-vida de 5760 anos achare-
mos a constante k:
A(t) = A0e
kt
A0
2
= A0e
k5760
0.5 = e8k
k = ln0.5
5760
(a)A(2000)
A0
= e
ln0.5
5760
2000 = 0.7861 Ou seja, 78.61% apo´s 2000 anos.
(b)A(t)
A0
= 0.1 = e
ln0.5
5760
t
t = 5760ln0.1
ln0.5
= 19134.3 anos.
31. A meia-vida de um elemento radioativo e´ o tempo necessa´rio para que sua massa radioa-
tiva diminua pela metade. A massa do elemento radioativo no instante t e´ representada
por
m(t) = m0�
−kt
na qual m0 e´ a massa inicial do elemento e k sua constante de decaimento.
(a) Mostre que a meia-vida de um elemento radioativo e´
ln2
k
.
(b) Se a meia-vida do carbono-14, ou C14 e´ de 5600 anos calcule a sua constante de de-
caimento k.
(c) O carbono-14 e´ usado para estimarmos a idade de achados arqueolo´gicos, fo´sseis, etc.
Se o carva˜o de uma a´rvore morta durante a erupc¸a˜o do vulca˜o que formou o Lago Crater,
em Oregon, continha 44, 5% do carbono-14 que e´ encontrado numa a´rvore viva, qual a
idade aproximada do Lago Crater?
(a) Seja m0 a massa inicial do elemento radioativo e tm seu tempo de meia vida. Assim,
m(tm) =
m0
2
= m0�
−k0
2−ktm = ln(12)
tm =
ln2
k
(b) A massa de carbono-14 em seu tempo de meia vida sera´ m(5600) = m0
2
. Assim,
m−k56000 =
m0
2−k5600 = −ln2
k = 1, 238 ∗ 10−4
(c) m(t) = 0, 445m0 = m0�
−kt
−kt = ln0, 445 =⇒ t = 6541, 49 anos
18
32. Ha´ va´rios dados que mostram que se x e y sa˜o medidas de dois particulares o´rga˜os de um
animal, enta˜o x e y sa˜o relacionados pela equac¸a˜o de alometria lny − klnx = lnc, onde
k > 0 e c > 0 dependem dos o´rga˜os.
(a) Resolver esta equac¸a˜o para y em func¸a˜o de x, k, c.
lny = lnc+ klnx
lny = lnc+ lnxk = ln(cxk)
y = cxk
33. Suponha que um ecologista tenha estimado que apo´s uma indu´stria se instalar em certo
local sera˜o depositados A(t) = 400te2−t
2
gramas de material to´xico, para cada ano t de
sua instalac¸a˜o.
(a) Calcular a quantidade total depositada nos quatro primeiros anos.
(a) Basta calcular A(4), assim
A(4) = 400(4)e2−4 = 1600e−2 = 216.54 g
34. No estudo de epidemias a equac¸a˜o ln(1− y)− lny = c− rt aparece frequentemente, onde
y e´ a frac¸a˜o da populac¸a˜o que tem uma certa doenc¸a no tempo t, sendo c e r constantes
positivas. (a) Resolver esta equac¸a˜o para y em termos de t, c, r.
Isolando y,
ln(1− y)− lny = c− rt
ln(1−y
y
) = c− rt
1−y
y
= ec−rt
1 = y(1 + ec−rt)
y = 1
1+ec−rt
35. Coelhos e raposas ocupam o mesmo nicho ecolo´gico. Raposas predam coelhos e coelhos
se alimentam de vegetac¸ao. Como resultado a populac¸a˜o de raposas e´ dada pela func¸a˜o
F (t) = 200−40sen2t, e a de coelhos como R(t) = 500+100cos2t, onde t e´ dado em anos.
(a) Fazer os gra´ficos de F(t) e de R(t).
(b) As curvas se interceptam em algum ponto? E o que isso significa nesse problema?
(a) Figura (11).
(b) Analisando os gra´ficos observa-se que os gra´ficos na˜o se interceptam em nenhumponto. Se as duas func¸o˜es se interceptassem dever´ıamos ter ra´ızes reais para a equac¸a˜o
F (t) = R(t), o que na˜o ocorre. Logo nunca a populac¸a˜o de coelhos sera´ igual a de raposas,
segundo este modelo matema´tico.
F (t) = R(t)⇒ 221(tg(2t))2 − 20tg(2t) + 200 = 0⇒ ∆ < 0⇒ na˜o ha´ ra´ızes reais
19
Figura 11: F(t) e R(t)
36. A temperatura me´dia numa cidade dos EUA e´ modelada por f(t) = 55+35sen(2pi( t−90
365
)),
t dado em dias e f(t) em graus Fahrenheit.
(a) Considerando-se t = 0 o primeiro dia do inverno, depois de quantos dias ocorre a
temperatura ma´xima?
(b) Quando ocorre o dia mais frio?
Analisando a func¸a˜o trigonome´trica f(t) = 55+35sen(2pi( t−90
365
)), observa-se que o ma´ximo
ocorre quando sen(2pi( t−90
365
)) = 1 e o mı´nimo quando sen(2pi( t−90
365
)) = −1, pois a func¸a˜o
trigonome´trica e´ limitada. Assim,
sen(2pi(
t− 90
365
)) = k, k = 1 e − 1
2pi(
t− 90
365
) = arcsenk
t =
365
2pi
arcsenk + 90
k = 1⇒ t = 181.25
k = −1⇒ t = 363.75
(a) Aproximadamente depois de 181 dias.
(b) O dia mais frio ocorre aproximadamente depois de 364 dias.
37. Um modelo presa-predador consiste de duas espe´cies, x e y, onde x preda y. Uma soluc¸a˜o
t´ıpica para tal modelo e´ da forma x(t) = 10 + 2sen(t+ pi
2
), y(t) = 20 + 5cos(t+ pi
2
).
(a) Encontrar ma´ximo e/ou mı´nimo para x(t) e y(t).
20
As func¸o˜es x(t) e y(t) sa˜o func¸o˜es trigonome´tricas e atingem seus ma´ximos quando
sen(t + pi
2
) = 1 e cos(t + pi
2
) = 1. Da mesma forma, os mı´nimos sa˜o atingidos quando
sen(t+ pi
2
) = −1 e cos(t+ pi
2
) = −1. Assim,
xma´x = 12 yma´x = 25
xmin = 8 ymin = 15
38. Uma ilha e´ habitada por uma populac¸a˜o de lebres, sendo esta populac¸a˜o representada
por P (t) = 300 + 120sen(pi(2+t
5
)), t medido em anos.
(a) O tamanho populacional oscila? Por queˆ?
(b) Qual o tempo entre os dois ma´ximos?
(c) Para 0 < t < 10 quando ocorre o mı´nimo da populac¸a˜o
(a) Sim, pois a func¸a˜o P(t) e´ uma func¸a˜o trigonome´trica que e´ perio´dica e oscila.
(b) Os ma´ximos ocorrem quando sen(pi(2+t
5
)) = 1, assim:
sen(pi(2+t
5
)) = 1⇒ pi(2+t
5
) = pi
2
+ 2kpi ⇒ t = 1
2
+ 10k, k inteiro
Como t representa o nu´mero de anos t ≥ 0 e k= 0, 1, 2,...
k = 0⇒ t = 0.5
k = 1⇒ t = 10.5
Assim, ∆t = 10 anos
(c) Os mı´nimos ocorrem quando sen(pi(2+t
5
)) = −1, assim:
sen(pi(2+t
5
)) = −1⇒ t = 11
2
+ 10k, k inteiro
k = 0⇒ t = 5.5
k = 1⇒ t = 15.5
O mı´nimo ocorre para t = 5.5 anos, ou seja, 5 anos e 6 meses.
Desigualdades
39. Sr. Samuel recebe uma comissa˜o mensal de 20% sobre todas as vendas acima de R$1000,00.
Se ele deseja que sua comissa˜o mensal seja maior que R$500,00, quanto ele deve vender
em um meˆs?
Seja x as vendas em reais durante o meˆs.
0, 20(x− 1000) > 500
0, 20x− 200 > 500
0, 20x > 700
x > 3500
Assim, as vendas devem ser superiores a R$3500,00.
21
40. Apo´s estudos chegou-se a conclusa˜o que para se ter um mı´nimo de conforto em ambientes
fechados cada pessoa necessita de 120m3 de ar. Assim um certo centro de convenc¸a˜o quer
restringir o nu´mero de pessoas numa sala de confereˆncia para atingir esta meta. Se a sala
tem 45 m de comprimento 30 m de largura e 10 m de altura, qual o nu´mero ma´ximo de
pessoas admitidas na sala?
Se x denota o nu´mero de pessoas na sala e o volume total e´ dado por V = (45)(30)(10) =
13500m3. Temos:
13500
x
≥ 120
13500
120
≥ x
x ≤ 112, 5
Assim, o nu´mero ma´ximo e´ de 112 pessoas na sala de confereˆncia.
41. A pressa˜o sangu´ınea de uma pessoa e´ dada por P (t) = 105 + 12sen(5t), onde t e´ dado
em segundos.
(a) Achar a pressa˜o ma´xima.
(b) Achar a pressa˜o mı´nima.
Desenvolveremos a func¸a˜o P (t) = 105 + 12sen(5t), partindo de −1 ≤ sen(5t) ≤ 1.
Assim,
−1 ≤ sen(5t) ≤ 1
−12 ≤ 12sen(5t) ≤ 12
105− 12 ≤ 105 + 12sen(5t) ≤ 105 + 12
93 ≤ 105 + 12sen(5t) ≤ 117
93 ≤ P (t) ≤ 117
Assim, obtemos os extremos de P(t) com ma´ximo igual 117 e mı´nimo igual a 93.
3.2 Limites
1. Eco´logos estudando uma determinada regia˜o determinaram que o tamanho de uma de-
terminada planta, B(x), e´ func¸a˜o do n´ıvel de precipitac¸a˜ox, dado por
B(x) =
40x√
1 + x2
+ 20
.
(a) Calcular B′(x).
(b) Calcular limx→∞B′(x). Interpretar este resultado.
(a) B′(x) = 40
√
1+x2−40x2(1+x2)− 12
1+x2
= 40
(1+x2)
3
2
(b) limx→∞B′(x) = 0
Quando o n´ıvel de precipitac¸a˜o x tende a +∞ a taxa de crescimento da planta tende a
zero.
22
2. A populac¸a˜o de uma cidade esta´ crescendo de acordo com a func¸a˜o
P (t) =
20000
20 + 40e−0,2t
.
(a) Achar a ass´ıntota horizontal.
(b) Interprete o resultado da ass´ıntota horizontal a` direita.
Acharemos as ass´ıntotas horizontais calculando os valores limites quando t −→ +∞ e
t −→ −∞. Assim,
lim
t→+∞
20000
20 + 40e−0,2t
= 1000 e lim
t→−∞
20000
20 + 40e−0,2t
= 0
As ass´ıntotas horizontais sa˜o as retas y=1000 e y=0.
(b) O limite quando t −→ ∞,nos fala da populac¸a˜o apo´s longo per´ıodo de tempo que
ira´ estabilizar-se em torno do valor P = 1000.
3.3 A derivada como uma func¸a˜o
1. Um capacitor de um circuito ele´trico e´ um aparelho para armazenar carga ele´trica. Se
a quantidade de carga num dado capacitor no instante t e´ Q = 3t2 + 5t + 2 Coulombs,
determine a corrente I = ds
dt
no circuito quando t = 3.
Q = 3t2 + 5t+ 2
I = dQ
dt
= 6t+ 5
I(3) = 6(3) + 5 = 23A
2. Duas part´ıculas partem da origem do eixo s no instante t = 0 e movem-se ao longo desse
eixo, de acordo com as fo´rmulas s1 = t
2 − 6t e s2 = 8t− t2, onde s1 e s2 sa˜o medidos em
metros e t, em segundos.
(a) Quando e´ que as duas part´ıculas teˆm a mesma velocidade?
(b) Quais sa˜o as velocidades das duas part´ıculas nos instantes em que elas teˆm a mesma
posic¸a˜o?
(a) Calculando a derivada pela raza˜o incremental da func¸a˜o gene´rica si = at
2 + bt:
dsi
dt
= si
′
(t) = lim∆t→0
si(t+∆t)−si(t)
∆t
dsi
dt
= s
′
i(t) = lim∆t→0
a(t+∆t)2+b(t+∆t)−at2−bt
∆t
= lim∆t→0 2at+b+a∆t∆t = 2at+ b
Assim, se si
′
(t) = vi(t) temos v1 = 2t− 6 e v2 = 8− 2t
v1 = v2
2t− 6 = 8− 2t
4t = 14
t = 14
4
= 3, 5s
23
(b) Com s1 = s2 tem-se:
t2 − 6t = 8t− t2
2t2 − 14t = 0
t(2t− 14) = 0
t ∈ {7, 0}
v1(7) = 8 m/s v1(0) = −6 m/s
v2(7) = −6 m/s v2(0) = 8 m/s
3. Suponha que um proje´til disparado do solo para cima com uma velocidade inicial de v0
m/s atinja uma altura se s metros em t segundos, onde
s = v0t− 4, 9t2
(a) Calcule a velocidade v num instante t qualquer.
(b) Qual tempo decorre para que o proje´til atinja a altura ma´xima?
(c) Qual e´ a altura ma´xima sm que o proje´til atingira´?
(d) Qual e´ a velocidade do proje´til no instante em que atinge o solo?
(e) Qual deve ser a velocidade inicial para que o proje´til atinja o solo 15 segundos apo´s o
disparo?
(a) v = ds
dt
= v0 − 9, 8t
(b) Altura ma´xima implica que v = 0. Assim, v(0) = v0 − 9, 8t =⇒ t = v09,8
(c) sm = s(
v0
9,8
) = v0
v0
9,8
− 4, 9( v0
9,8
)2 =
v20
9,8
− 0, 05v20
(d) Tempo de retorno ao solo: s = vt− 4, 9t2 = 0 =⇒t0 = v04,9 Logo, v( v04,9) = −v0
(e) Como calculado em (d), temos: t0 =
v0
4,9
= 15 =⇒ v0 = 73, 5 m/s
4. Uma laˆmpada esta´ no topo de um poste de 24 m de altura. Uma bola e´ largada da mesma
altura de um ponto situado a 6 m de distaˆncia da laˆmpada. Encontre a velocidade com
que a sombra da bola se move no cha˜o (a) 1 segundo depois de largada a bola e (b)
2 segundos depois. (c) Qual a interpretac¸a˜o da velocidade quando t tende a infinito.(
Pressuponha que a bola cai s = 4, 9t2 metros em t segundos.)
Considere a figura (12), onde x(t) e´ a sombra da bola no instante t, na qual por seme-
lhanc¸a de triaˆngulos obtemos a relac¸a˜o,
24
24− 4, 9t2 =
x
x− 6
De onde encontramos x = 29,39
t2
. Derivando esta equac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo t, encon-
tramosdx
dt
(t) =
−58, 77
t3
Assim,
24
Figura 12: Triaˆngulos semelhantes
dx
dt
(1) = −58, 77m/s e dx
dt
(2) = −7, 35m/s
(c) Quando t −→ 0, temos a velocidade tendendo para infinito. Observa-se que a veloci-
dade da sombra decresce conforme o tempo transcorre.
5. Durante os primeiros 50 dias seguintes ao in´ıcio de um surto de gripe num cole´gio o
nu´mero N(t) de estudantes infectados apo´s t dias e´ dado pela func¸a˜o N(t) = 25t − t2
2
,
0 ≤ t ≤ 50.
(a) Fazer o gra´fico.
(b) Achar a inclinac¸a˜o da reta tangente em t = 1.
(c) Quando o nu´mero de infectados sera´ ma´ximo e qual o nu´mero de infectados nesse
instante?
(a)
(b)A inclinac¸a˜o da reta pode ser encontrada pelo valor da derivada de N(t) no ponto t=1.
Assim,
dN
dt
= 25− t⇒ dN(1)
dt
= 24
(c) De acordo com o gra´fico, observa-se que o ponto de ma´ximo ocorre em t = 24 dias e
e´ de 312 estudantes infectados.
6. A lei de Beer-Lambert relaciona a absorc¸a˜o de luz passando por um material, com a
concentrac¸a˜o e a espessura do mesmo. Se I0 e I denotam, respectivamente, a intensidade
de luz de um particular comprimento de onda antes e depois de passar pelo material, e se
x denota o comprimento do caminho a ser seguido pelo feixe de luz atrave´s do material,
admitamos que
log10(
I
I0
) = kx,
onde k e´ constante dependente do material
(a) Encontrar I(x) e enta˜o derivar esta func¸a˜o .
25
Figura 13: N(t) = 25t− t2
2
, 0 ≤ t ≤ 50
(a) Encontrando I(x):
log10(
I
I0
) = kx
I
I0
= 10kx
I(x) = I010
kx
Derivando I(x):
I ′(x) = I010kx(ln10)k = I0k(10kx)ln10
3.4 Crescimento e decrescimento de func¸o˜es
1. Uma cidade e´ atingida por uma epidemia de gripe. O departamento de sau´de pu´blica da
prefeitura registra que t dias apo´s o in´ıcio da epidemia o nu´mero de cidada˜os infectados e´
N(t) = 20000 + 20t2 − 2t3, t > 0
(a) Em que intervalo a epidemia cresce?
(b) Em que intervalo a epidemia decresce?
N ′(t) = 40t− 6t2
Analisando-se a func¸a˜o N ′(t) = 40t − 6t2, encontra-se como ra´ızes t = 0 e t = 20
3
.
O gra´fico de N ′(t) e´ uma para´bola com concavidade para baixo.
(a) Se 0 < t < 20
3
⇒ N ′(t) > 0⇒ N(t) cresce
(b) Se t > 20
3
⇒ N ′(t) < 0⇒ N(t) decresce
26
Figura 14: N ′(t) = 40t− 6t2
2. Demo´grafos predizem que a populac¸a˜o de uma certa regia˜o urbana e´ modelada por
P (t) =
kt
100 + t2
,
t > 0, para os pro´ximos 20 anos, onde k e´ uma constante positiva.
(a) Em qual intervalo de tempo P(t) cresce?
(b) Em qual intervalo de tempo P(t) decresce?
Sabe-se que:
Se P ′(t) > 0 para t num intervalo I ⇒ P (t) cresceemI
SeP’(t)¡0paratnumintervaloI ⇒ P (t) decresceemI
P’(t)=100k-kt2
(100+t2)2
Como k e´ constante e maior que 0, basta analisar o sinal da func¸a˜o f(t) = 100 − t2
para t > 0.
Se 0 ≤ t < 10⇒ f(t) > 0⇒ P ′(t) > 0⇒ P (t) cresce
Se t > 10⇒ f(t) < 0⇒ P ′(t) < 0⇒ P (t) decresce
3. Uma populac¸a˜o N(t) e´ composta de pessoas imunes a uma epidemia, I(t), e de pessoas
suscet´ıveis, S(t), ie,
N(t) = I(t) + S(t),
I(t) inclui aqueles que contra´ıram a doenc¸a e aqueles que na˜o podem contra´ı-la. Se a
taxa de crescimento do nu´mero de suscet´ıveis e´ de 20 pessoas por dia, e que a taxa de
27
Figura 15: f(t) = 100− t2
crescimento do nu´mero de imunes e´ de 24 pessoas por dia, qual a taxa que a populac¸a˜o
esta´ crescendo?
Queremos analisar o crscimento da populac¸a˜o N(t), assim um aumento em S(t) e´ uma
taxa negativa e I(t) e´ uma taxa positiva. Derivando ambos os lados da equac¸a˜o N(t) =
I(t) + S(t) obtemos:
N ′(t) = I ′(t) + S ′(t) = 24− 20 = +4
Assim, a taxa de crescimento e´ de 4 pessoas por dia.
4. A func¸a˜o
L(t) = a+ b(1− e−ct)
e´ usada para modelar o tamanho de crianc¸as como func¸a˜o do tempo em anos, onde a, b
e c sao constantes positivas na˜o nulas.
(a) Calcular L′(t). Interpretar a resposta dada.
(b) L(t) tem ponto de ma´ximo?
(c) Calcular L′′(t). Interpretar a resposta dada.
(d) Mostrar que L′′ < 0 se b > 0.
(e) O que ocorre se t −→∞?
(a) L′(t) = bce−ct. Representa a taxa de crescimento da crianc¸a no instante t.
(b) L′(t) = bce−ct 6= 0, ∀t. Assim, a func¸a˜o L(t) na˜o tem ma´ximo entre (0,∞).
(c) Derivada segunda: L′′(t) = −bc2e−ct. Se b > 0 ⇒ L′′(t) = −bc2e−ct < 0, ∀t. Ou
28
seja, a taxa de crescimento da crianc¸a durante os anos vai diminuindo conforme ela vai
crescendo, o que corresponde com o normalmente observado. Pore´m, se b < 0⇒ L′′(t) =
−bc2e−ct > 0, ∀t o que corresponde ao efeito contra´rio.
(d) O sinal de L′′(t) = −bc2e−ct depende exclusivamente de b. Assim, se b > 0 ⇒
L′′(t) = −bc2e−ct < 0, ∀t. Isto e´, a velocidade de crescimento e´ decrescente, durante a
vida a velocidade com que crescemos decresce.
3.5 Ma´ximos e mı´nimos
Preaˆmbulo
1) Ma´ximos e mı´nimos em intervalos limitados: Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo
fechado [a, b]. Suponhamos f(x) deriva´vel em ]a, b[, assim se f(x0) e´ ponto de ma´ximo de f(x),
enta˜o x0 e´ extremidade de [a, b] ou x0 ∈]a, b[ e f ′(x0) = 0. Logo, basta compararmos os valores
que f(x) assume nas extremidades com os assumidos nos pontos cr´ıticos.
2) Ma´ximos e mı´nimos locais em intervalos abertos: Sejam f(x) uma func¸a˜o que admite deri-
vada de segunda ordem cont´ınua no intervalo aberto I e x0 ∈ I.
a) f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) > 0 =⇒ x0 e´ ponto de mı´nimo local.
b) f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0 =⇒ x0 e´ ponto de ma´ximo local.
3) Ma´ximos e mı´nimos em intervalos na˜o limitados: No caso de intervalos na˜o limitados como
[a,+∞[, ]−∞, a] ou ]−∞,+∞[, deve-se avaliar e comparar os valores das situac¸o˜es poss´ıveis:
lim
x→a
f(x) = f(a), lim
x→∞
f(x) = k, k ∈ <, lim
x→∞
f(x) = ∞ e f(x0), tal que x0 e´ ponto cr´ıtico do
intervalo.
1. Um jardim retangular de 50m2 de a´rea deve ser protegido contra animais. Se um lado do
jardim ja´ esta´ protegido por uma parede de celeiro, quais as dimenso˜es da cerca de menor
per´ımetro que cumprira´ esse papel?
A figura (16) introduz uma notac¸a˜o conveniente para tratarmos com a a´rea do jardim e
o comprimento total da cerca.
Figura 16: Jardim retangular
Denotamos por L o comprimento da cerca. Queremos minimizar
L = 2x+ y
29
sujeito a restric¸a˜o
xy = 50
Assim,
y =
50
x
=⇒ L = 2x+ 50
x
=⇒ dL
dx
= 2− 50
x2
=⇒ d
2L
dx2
=
100
x3
Igualando-se a 0,
2− 50
x2
= 0 =⇒ x2 = 25 =⇒ x = 5.
Logo, d
2L(5)
dx2
> 0 e x=5 e´ ponto de mı´nimo de L(x).
Retornando a y = 50
x
= 50
5
= 10
Logo, o jardim com a menor cerca tem 5 m de largura e 10 m de comprimento.
2. Um arame de comprimento L e´ cortado em dois pedac¸os, sendo um dobrado em forma de
quadrado e o outro em forma de c´ırculo. Como devemos cortar o arame para que a soma
das a´reas englobadas pelos dois pedac¸os seja:
(a) Ma´xima?
(b) Mı´nima?
Denotamos por x o lado do quadrado e r o raio do c´ırculo, como ilustrado na figura (17).
Figura 17: Ilustrac¸a˜o do problema
a soma das a´reas sera´
A = x2 + pir2, (1)
onde x e r sa˜o relacionados por
4x+ 2pir = L. (2)
Usando (2) expressamos r em termos de x,
r =
1
2pi
(L− 4x),
30
onde r ≥ 0 o que implica em 0 ≤ x ≤ L
4
. Usamos essa expressa˜o para exprimirmos A em
termos apenas de x.
A = x2 + pi
1
4pi2
(L− 4x)2 = x2 + 1
4pi
(L− 4x)2, x ∈ [0, L
4
] (3)
Procuramos pontos x0, x1 ∈ (0, L4 ) tais que
A(x0) ≤ A(x) ≤ A(x1),∀x ∈ [0, L
4
].
Se tais pontos estiverem em (0, L
4
) estes sera˜o pontos cr´ıticos de A(x), ja´ que sera˜o extre-
mos locais. Se na˜o estes estara˜o na fronteira.
Os pontos cr´ıticos de A(x) sobre (0, L
4
) sa˜o tais que A′(x) = 0⇒ x = L
4+pi
Logo,analisando os pontos 0, L
4+pi
e L
4
temos,
A(0) = L
2
4pi
A( L
4+pi
) = L
2
(4+pi)2
(1 + pi
4
)
A(L
4
) = L
2
16
(a) A a´rea sera´ ma´xima quando x=0, ou seja, todo o arame deve serusado para o c´ırculo.
(b) A a´rea sera´ mı´nima quando x = L
4+pi
. Nota-se que a a´rea mı´nima e´ atingida quando
o diaˆmetro da circunfereˆncia e´ igual ao lado do quadrado, pois
2r =
1
pi
(L− 4x) = 1
pi
piL
4 + pi
=
L
4 + pi
3. Ao prec¸o de R$ 1,50 um vendedor ambulante pode vender 500 unidades de uma certa
mercadoria que custa 70 centavos cada. Para cada centavo que o vendedor baixa no
prec¸o, a quantidade de unidades vendidas pode aumentar de 25. Que prec¸o de venda
maximizara´ o lucro?
Fac¸amos x denotar o nu´mero de unidades moneta´rias que o vendedor baixa no prec¸o; o
lucro na venda de cada mercadoria sera´ 1, 50−0, 70−x = 80−x centavos, e a quantidade
vendida sera´ 500 + 25x. O lucro total e´, portanto:
P = (80− x)(500 + 25x) = 40000 + 1500x− 25x2.
Buscamos o valor ma´ximo de P procurando seu ponto cr´ıtico.
dP
dx
= 1500− 50x = 0, 50x = 1500, x = 30.
O prec¸o de venda mais vantajoso e´, portanto, R$ 1,20
4. Mostre que o quadrado tem a maior a´rea dentre todos os retaˆngulos inscritos numa dada
circunfereˆncia x2 + y2 = a2.
Sejam L e l os lados do retaˆngulo inscrito na circunfereˆncia de raio a. A a´rea do retaˆngulo
e´ dada por A = lL e do Teorema de Pita´goras temos L2 + l2 = 4a2 Assim,
A = lL = l
√
4a2 − l2
31
Figura 18: Ilustrac¸a˜o do problema
Para l2 ≤ 4a2 e como l ≥ 0, 0 ≤ l ≤ 2a. O valor de l que maximiza A neste intervalo
tambe´m maximiza A2
A2 = 4a2l2 − l4 = f(l)
Assim A(l) sera´ ma´xima no intervalo [0,2a] se l=0, l=2a ou l= ponto cr´ıtico de f(l).
df
dl
= 8a2l − 4l3 = 0 =⇒ l = 0, l = a
√
2 e l = −a
√
2
Comparando os valores de A para l ∈ {0, a√2, 2a} teremos que l = a√2 e como L2 + l2 =
4a2 =⇒ L = a√2
Ou seja, L=l e o retaˆngulo com a´rea ma´xima inscrito em uma circunfereˆncia e´ um qua-
drado.
5. Ao meio-dia , um barco A esta´ a 50 milhas ao norte de um barco B, dirigindo-se para o
Sul a 16 mi/h. O barco B esta´ indo para Oeste a 12 mi/h. Em que instante eles ficara˜o
o mais pro´ximo poss´ıvel e qual e´ a distaˆcia mı´nima entre eles?
Seja d a distaˆncia em linha reta entre os barcos A e B. Os catetos do triaˆngulo retaˆngulo
podem ser representados como observa-se na figura (19).
Pelo Teorema de Pita´goras:
d2 = 122t2 + (50− 16t)2 = 400t2 − 1600t+ 2500 = f(t)
Derivando e igualando a zero:
df
dt
= 800t− 1600, df
dt
= 800t− 1600 = 0, t = 2
32
Figura 19: Distaˆncia d entre os barcos
A func¸a˜o f(t) e´ uma func¸a˜o quadra´tica com concavidade para cima, assim o valor encon-
trado t = 2 h e´ ponto de mı´nimo.Agora descobrimos o valor de d = f(t),
d(2) =
√
400(22)− 1600(2) + 2500 =
√
900 = 30 milhas/h
Ou seja, a`s 14:00h d = 30 milhas.
6. Um retaˆngulo tem a´rea de 32cm2. Quais sa˜o suas dimenso˜es se a distaˆncia de um ve´rtice
ao ponto me´dio de um lado na˜o-adjacente e´ a menor poss´ıvel?
Consideremos o ponto me´dio de um cateto na˜o adjacente de coordenadas (x
2
, y). Assim,
o quadrado da distaˆncia do ve´rtice (0, 0) a (x
2
, y) sera´ d2 = x
2
4
+ y2.
Figura 20: Ilustrac¸a˜o do problema
Como xy = 32 temos y = 32
x
e portanto temos f(x) = d(x)2 = x
2
4
+ y2 = x
2
4
+ 32
2
x2
Buscando pontos cr´ıticos de f
df
dx
=
x
2
− 2(32
2)
x3
= 0, x 6= 0 =⇒ x4 − 4(322) = 0 =⇒ x = 8
33
Analisando o valor da derivada segunda em x=8,
d2f
dx2
=
1
2
− 2(322)(−3x
2
x6
) =
1
2
+
6(322)
x4
> 0,∀x ∈ < =⇒ Ponto de mı´nimo!
Assim, x = 8 cm e y = 32
8
= 4 cm sa˜o as dimenso˜es do retaˆngulo.
7. Um fabricante de latas de conservas de formato cil´ındrico recebe um pedido muito grande
de latas com determinado volume V0. Quais as dimenso˜es que minimizara˜o a a´rea total
da superf´ıcie de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessa´rio para
fabrica´-la?
Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cil´ındrica seu volume
e´
V0 = pir
2h (4)
e a a´rea total da superf´ıcie e´
A = 2pir2 + 2pirh (5)
Devemos minimizar A, que e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis, notando que a equac¸a˜o (4)
relaciona essas varia´veis. Logo, resolvendo (4) para h, h = V0
pir2
e substitu´ımos em (5)
para expressar A como func¸a˜o so´ de r,
A(r) = 2pir2 + 2pir
V0
pir2
= 2pir2 +
2V0
r
, r > 0 (6)
Observemos que lim
r→0+
A(r) = ∞. Assim, buscamos r > 0 que minimize A(r). r deve ser
um ponto cr´ıtico de A(r) e portanto
dA
dr
= 4pir − 2V0
r2
= 0, 2V0 = 4pir
3 =⇒ r = 3
√
V0
2pi
Note que d
2A
dr2
= 4pi + 4V0
r
> 0 para r = 3
√
V0
2pi
Logo r = 3
√
V0
2pi
minimiza A(r). A lata tera´ as seguintes dimenso˜es r = 3
√
V0
2pi
e h = 2 3
√
V0
2pi
8. Determine a raza˜o entre a altura e o diaˆmetro da base do cilindro de volume ma´ximo que
pode ser inscrito numa esfera de raio R.
Esboc¸ando um cilindro inscrito na esfera e colocando os dados como indicados na figura
vemos que o volume do cilindro sera´
V = 2pix2y (7)
onde x2 + y2 = R2 (8)
Visualizando os casos extremos, percebemos que V e´ pequeno quando x esta´ perto de zero
34
Figura 21: Cil´ındro inscrito na esfera
e tambe´m quando x esta´ perto de R, e assim entre esses extremos existe uma posic¸a˜o de
volume ma´ximo. Para acha´-la, usamos (8) em (7).
V = 2piy(R2 − y2) = 2pi(R2y − y3), onde 0 ≤ y ≤ R
Buscamos os pontos cr´ıticos de V (y), temos
dV
dy
= 2pi(R2 − 3y2) = 0
o que nos da´
y =
R√
3
e consequentemente x =
√
2
3
R.
Como V (0) = V (R) = 0 este sera´ o ponto de ma´ximo de V e a raza˜o entre a altura e o
diaˆmetro da base deste cilindro e´ portanto,
2y
2x
=
√
2
2
.
9. Um raio de luz parte de um ponto A a um ponto P de um espelho plano sendo enta˜o
refletido e passando pelo ponto B (ver figura). O raio de luz segue o caminho mais curto
APB. Medidas acuradas mostram que o aˆngulo do raio incidente α e o aˆngulo do raio
refletido β sa˜o iguais. Demonstre este fato.
Considere que o ponto P assuma va´rias posic¸o˜es no espelho, sendo cada posic¸a˜o determi-
nada por um valor de x. Desejamos minimizar o comprimento L do percurso como uma
func¸a˜o de x. A partir da figura, fica claro que essa func¸a˜o tem a seguinte expressa˜o:
L =
√
a2 + x2 +
√
b2 + (c− x)2 = (a2 + x2) 12 + [b2 + (c− x)2] 12 .
Buscamos x tal que,
dL(x)
dx
=
x√
a2 + x2
− c− x√
b2 + (c− x)2 = 0 (9)
Logo,
35
Figura 22: Raio de luz refletido
x√
a2 + x2
=
c− x√
b2 + (c− x)2 , (10)
ou equivalente
√
a2 + x2
x
=
√
b2 + (c− x)2
c− x =⇒
√
(
a
x
)2 + 1 =
√
(
b
c− x)
2 + 1
Como 0 ≤ x ≤ c temos a
x
= b
c−x =⇒ x = acb+a
Interpretando esse resultado temos que a
x
= tan(α) e b
c−x = tan(β) =⇒ tan(α) = tan(β)
Onde α > 0, β < pi
2
. Como tan(Θ) e´ injetiva neste intervalo, conclu´ımos que α = β.
10. O raio de luz refletido do exerc´ıcio anterior tem o percurso em um u´nico meio a uma
velocidade constante. No entanto, em meios diferentes (ar, a´gua, vidro), a luz tem velo-
cidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a a´gua, ele e´ refratado passando a
uma direc¸a˜o mais pro´xima da perdendicular a` interface. O percurso APB, nitidamente,
na˜o e´ mais o caminho mais curto de A a B. Em 1621 o cientista holaˆndes Snell descobriu
empiricamente que o caminho real do raio de luz e´ o que satisfaz a relac¸a˜o
senα
senβ
= constante, (11)
onde essa constante e´ independente das posic¸o˜es A e B. Esse fato e´ chamado Lei de
refrac¸a˜o de Snell. Prove a Lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio de luz
percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o tempo total de percurso.
De acordo com o diagrama acima, se a velocidade da luz no ar e´ va e na a´gua e´ vw, enta˜o
o tempo total de percurso T e´ o tempo da luz percorrer o ar mais o tempo da luz percorrer
a a´gua. Isto e´,
T =
DV
=
1
va
(a2 + x2)
1
2 +
1
vw
[b2 + (c− x)2] 12 , 0 ≤ x ≤ c.
Se calcularmos a derivada dessa func¸a˜o e observarmos o seu significado em termos da
figura (23),obteremos
36
Figura 23: Lei de refrac¸a˜o de Snell
dT
dx
=
1
va
x√
a2 + x2
− 1
v − w
c− x√
b2 + (c− x)2
=
senα
va
− senβ
vw
(12)
Para obter o T mı´nimo igualamos essa derivada a zero, obtendo
senα
va
=
senβ
vw
(13)
Essa e´ a forma mais reveladora da Lei de Snell, porque nos da´ significado f´ısico da cons-
tante a` direita de (11): e´ a raza˜o entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor)
da luz na a´gua. Essa constante chama-se ı´ndice de refrac¸a˜o da a´gua. Se a a´gua dessa
experieˆncia for substitu´ıda por qualquer outro meio translu´cido, tal como a´lcool, glicerina
ou vidro, enta˜o a constante tera´ um valor nume´rico diferente que sera´ o ı´ndice de refrac¸a˜o
do meio em questa˜o.
11. Um espia˜o e´ deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 milhas de
um ponto P numa praia reta com direc¸a˜o Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa ma
praia a 6 milhas ao norte de P. Remando ele percorre 3 mi/h e, andando, 5 mi/h. Sua
intenc¸a˜o e´ remar em direc¸a˜o a um certo ponto Q e depois andar o resto do caminho.
(a) A que distaˆncia ao norte de P ele deve desembarcar para chegar a` casa no menor
tempo poss´ıvel?
(b) Qual a durac¸a˜o da viagem?
(c) Quanto tempo a mais ele gastara´ se remar diretamente a P e depois andar para a
casa?
(a) Seja Q um ponto qualquer na praia ao norte de P de tal forma que P¯Q = x onde
0 ≤ x ≤ 6. Assim, o tempo total para se chegar na casa pode ser expresso como func¸a˜o
de x por,
37
Figura 24: Ilustrac¸a˜o do problema
T (x) =
√
x2 + 4
3
+
6− x
5
Procurando o ponto cr´ıtico
dT
dx
=
x
3
√
x2 + 4
− 1
5
= 0
Encontramos x = 3
2
= 1, 5 mi ao norte de P. Como T (0) = 1, 87h, T (6) = 2, 11h e
T (1, 5) = 1, 73h o menor tempo ocorre em x = 1, 5.
(b) A durac¸a˜o e´ de T (1, 5) = 1, 73h.
(c) Se o espia˜o remar diretamente a P e depois andar para a casa, o que equivale a x = 0,
gastara´ um tempo total dado por t = 2
3
+ 6
5
= 1, 87 h. Assim, a diferenc¸a sera´ de 0,14h
equivalente a 8 min e 24 s.
12. A func¸a˜o lucro L, definida por L(x), e´ o lucro da produc¸a˜o, marketing e venda de x
unidades de uma mercadoria. L(x) e´ representado por L(x)) = R(x)−C(x), com R(x) =
90x − x2 a renda e C(x) = 50 + 30x o custo. Encontre a func¸a˜o lucro, seus valores em
L(20), L(30), L(50) e encontre seu valor ma´ximo.
A func¸a˜o lucro sera´ :
L(x) = R(x)− C(x) = (90x− x2)− (50 + 30x) = −x2 + 60x− 50
Substituindo os valores correspondentes em x: L(20) = 750 L(30) = 850 e L(50) =
450
Procuramos os pontos cr´ıticos de L(x),
dL
dx
= −2x+ 60 = 0 =⇒ x = 30
A func¸a˜o lucro e´ uma para´bola com um ponto de ma´ximo. O lucro ma´ximo ocorre em
x=30 unidades e e´ de R$850,00.
38
13. (a) Suponha que um fabricante possa vender x bicicletas por ano ao prec¸o de p = 3000−
0, 1x reais cada uma e que o custo para ele produzir x bicicletas seja C(x) = 600000+750x
reais. Para obter lucro ma´ximo, qual deve ser sua produc¸a˜o e a que prec¸o o fabricante
deve vender cada bicicleta?
(b) Se o governo cobra do fabricante um imposto de 250 reais por cada bicicleta comer-
cializada e os outros aspectos da situac¸a˜o na˜o se alteram, qual parcela do imposto ele
mesmo deve absorver e qual deve repassar aos consumidores para continuar tendo lucro
ma´ximo?
(a) Seja a func¸a˜o lucro L(x) = p(x)x−C(x), sendo p(x)x = R(x) a receita anual e C(x)
o custo anual.
L(x) = (3000− 0, 1x)x− (600000 + 750x) = −0, 1x2 + 2250x− 600000
Procuramos os pontos cr´ıticos de L(x),
dL
dx
= −0, 2x+ 2250 = 0 =⇒ x = 2250
0, 2
= 11250 bicicletas
Assim, o prec¸o sera´ p(11250) = 3000− 0, 1(11250) = 1875 reais
(b) Novo custo C(x) = 600000 + 750x+ I(x), com I(x) = 250x o imposto pago por cada
bicicleta produzida.
L(x) = (3000− 0, 1x)x− (600000 + 750x+ I(x)) = −0, 1x2 + 2000x− 600000
Procuramos os pontos cr´ıticos de L(x),
dL
dx
= −0, 2x+ 2000 = 0 =⇒ x = 10000
O novo prec¸o sera´ p(10000) = 2000 reais. Assim, ∆p = 2000− 1875 = 125 reais, exata-
mente 50% de 250. O vendedor deve absorver 50% e repassar o resto para os clientes.
14. Se a receita marginal de produzir x unidades de um certo bem e´ 40 − 1
60
x2 reais por
unidade e custo marginal e´ 10 + 1
60
x2 reais por unidade, quantas unidades devem ser
produzidas para maximizar o lucro?
Seja a receita marginal dR
dx
= 40− x2
60
e custo marginal dC
dx
= 10 + x
2
60
.
O lucro e´ dado por L(x) = R(x)− C(x). Procurando os pontos cr´ıticos de L(x),
dL
dx
= dR
dx
− dC
dx
= 0
dR
dx
= dC
dx
40− x2
60
= 10 + x
2
60
x2 = 302
x = 30 (x > 0)
Assim, deve-se produzir 30 unidades.
39
15. A proprieta´ria de um restaurante considera que seus fregueses bebem 540 caixas de um
certo vinho por ano. Os gastos de encomendas sa˜o 10 reais e os custos de transporte sa˜o
3 reais por caixa por ano. Quantas caixas ela deve encomendar de cada vez?
Temos 540
x
encomendas. Assim, o custo total das encomendas em um ano e´ dado por,
C(x) = (10 + 3x)
540
x
=
5400
x
+ 1620
Como dC
dx
= −5400
x2
= 0 somente quando x tende ao infinito. Conclu´ımos que deve-se fazer
uma u´nica encomenda de 540 caixas.
16. Um impressor concordou em imprimir 135000 co´pias de um pequeno carta˜o de propa-
ganda. Ele gasta 12 reais por hora com o funcionamento da prensa, que produz 600
impresso˜es por hora. Em cada impressa˜o sa˜o impressos n carto˜es, onde n e´ o nu´mero de
eletrotipos ( co´pias meta´licas de colec¸a˜o de tipos) usados na impressa˜o. Cada eletrotipo
custa para ele 3 reais. Quantos eletrotipos deve ele usar em sua prensa para minimizar o
custo do trabalho?
Nu´mero de horas para imprimir os 135000 carto˜es:
135000
600n
Logo, o custo de produc¸a˜o dos 135000 carto˜es sera´ C(n) = 12225
n
+ 3n. Procuramos os
pontos cr´ıticos de C(n), assim
dC
dn
= −2700
n2
+ 3 = 0 =⇒ n = 30
Logo, temos que utilizar n=30 eletrotipos para minimizar os custos.
17. O n´ıvel de anti-a´cido no estoˆmago de uma pessoa t minutos apo´s a ingesta˜o de um com-
primido anti-a´cido e´ dado por f(t) = 6t
t2+2t+1
.
(a) Em que tempo t ocorre o n´ıvel ma´ximo do anti-a´cido?
Obtemos os pontos cr´ıticos da func¸a˜o:
df(x)
dt
= 6(t
2+2t+1)−6t(2t+2)
(t2+2t+1)2
= 0
−t2 + 1 = 0
t2 = 1⇒ t = 1 e t = −1
Como t ≥ 0, pois t representa o tempo em minutos, interessa-nos apenas t=1 que e´
ponto de ma´ximo uma vez que f ′′(1) < 0. Assim, f(1) = 1.5 e o n´ıvel de anti-a´cido
ma´ximo ocorre apo´s 1 minuto.
18. Observac¸o˜es feitas por botaˆnicos suportam a tese que a raza˜o de sobreviveˆncia de see-
dlings nas vizinhanc¸as de uma a´rvore ma˜e e´ proporcional ao produto da densidade de
sementes no cha˜o e sua probabilidade de sobreviveˆncia de ser comido por herb´ıvoros. A
densidade de herb´ıvoros tende a decrescer a` medida que a distaˆncia da a´rvore ma˜e au-
menta ja´ que a densidade de comida decresce. Seja x a distaˆncia em metros do tronco da
40
a´rvore ma˜e. Os resultados de amostragem indicam que a densidade de sementes no cha˜o
para 0 ≤ x ≤ 10 e´ dado por d(x) = 1
1+(0,2x)2
e a probabilidade de sobreviveˆncia de na˜o
ser comido por herb´ıvoros e´ p(x) = 0, 1x.
(a) Para que distaˆncia a raza˜o de sobreviveˆncia e´ ma´xima?
Seja RS: raza˜o de sobreviveˆncia
RS = kd(x)p(x) = k 1
1+(0.2x)2
0.1x = f(x), k constante de proporcionalidade
Procurando os pontos cr´ıticos de f(x):
f ′(x) = 0.1k(1+(0.2x)
2)−k0.1x2(0.2x)0.2
(1+(0.2x)2)2
= 0
0.1 + 4 ∗ 10−3x2 − 8 ∗ 10−3x2 = 0
x2 = 100
4
⇒ x = ±5
Como 0 ≤ x ≤ 10⇒ x = 5 m
19. Um certo tipo de faisa˜o foi introduzido numa ilha norte americana e o nu´mero de in-div´ıduos e´ dado por, P (t) = 10 + 100t
t2+9
, t > 0.
(a) Calcular P ′(t).
(b) Inicialmente a populac¸a˜o cresce ou decresce?
(c) Podemos especular sobre um eventual tamanho populacional?
(a) P ′(t) = 100(t
2+9)−100t(2t)
(t2+9)2
= 900−100t
2
(t2+9)2
(b) t = 0⇒ P ′(0) = 900
81
> 0⇒ P (t) cresce inicialmente
(c) Procurando os pontos cr´ıticos:
P ′(t) = 900−100t
2
(t2+9)2
= 0⇒ t2 = 9⇒ t = ±3
Como t > 0 interessa-nos saber o comportamento da func¸a˜o em t=3. Assim, analisa-
remos os valores das derivadas primeira e segunda no ponto t=3.
P ′′(t) = 200t
3−5400t
(t2+9)3
⇒ P ′′(3) < 0
O que nos leva a concluir que em t=3 ocorre um ma´ximo, com P (3) = 80
3
= 26.67
indiv´ıduos.
20. A populac¸a˜o de uma certa cidade e´ prevista ser de P (t) = 100000 + 48t
3
2 − 4t2 pessoas t
anos apo´s 1985. Em que ano a populac¸a˜o atingira´ seu ma´ximo?
Encontraremos os pontos cr´ıticos da func¸a˜o.
P ′(t) = 72
√
t− 8t = 0⇒ t2 − 81 |t| = 0
Como t ≥ 0⇒ t(t− 81) = 0⇒ t = 0 e t = 81
41
P (0) = 100000 e P (81) = 108748
Sendo P ′′(t) = 36√
t
− 8 e P ′′(81) = −4 < 0 ⇒ t = 81 e´ ponto de ma´ximo. Ou seja,
a populac¸a˜o atingira´ seu ma´ximo em 2066.
21. Quando uma pessoa tosse, a traque´ia se contrai. Sejam r0 o raio da traque´ia, r o raio
da traque´ia durante a tosse, P pressa˜o do ar na traque´ia durante a tosse e v velocidade
do ar na traque´ia durante a tosse. Use os seguintes princ´ıpios de fluxo de flu´ıdos para
determinar quanto a traque´ia deve se contrair, ou seja, determine r, de modo que ocorra a
maior velocidade de ar (condic¸a˜o mais favora´vel para limpeza de pulmo˜es e da traque´ia).
⇒r0 = r = aP , a > 0 constante. Experimentalmente, observa-se que durante a tosse
a diminuic¸a˜o do raio da traque´ia e´ aproximadamente proporcional a` pressa˜o do ar na
traque´ia.
⇒v = bPpir2, b > 0 constante. Pela teoria de flu´ıdos, a velocidade do ar pela traque´ia e´
proporcional ao produto da pressa˜o do ar e a a´rea da sec¸a˜o da traque´ia. Considerar que
a traque´ia seja um c´ırculo, enta˜o a a´rea e´ pir2.
∆r = aP, a > 0, ∆r e´ a variac¸a˜o do raio da traque´ia.
r = r0 −∆r ⇒ r = r0 − aP
Utilizando v = bPpir2 ⇒ v(r) = b
a
r0pir
2 − b
a
pir3
Pontos cr´ıticos de v(r):
v′(r) = b
a
r0pi2r − bapi3r2 = 0
r(2r0 − 3r) = 0⇒ r = 0 e r = 23r0
Utilizando r = 2
3
r0 obtemos:
v′′(r) = b
a
r0pi2− bapi6r ⇒ v′′(23r0) = −2br0pia < 0⇒ Ponto de ma´ximo
Assim, em r = 2
3
r0 a velocidade e´ ma´xima.
22. A populac¸a˜o de uma certa cidade e´ prevista ser de P (t) = 100000(1 + 5t)e−0,005t em t
anos. Quando a populac¸a˜o atingira´ seu ma´ximo?
Encontraremos os pontos cr´ıticos de P(t) igualando sua derivada primeira a zero e o
que eles representam analisando o sinal de sua derivada segunda em cada t cr´ıtico.
P ′(t) = 100000(4.995e−0.005t − 0.025te−0.005t)
e
P ′′(t) = 100000(−0.049975e−0.005t + 1.25 ∗ 10−4te−0.005t)
Ponto cr´ıtico: P ′(t) = 0⇒ t = 4.995
0.025
= 199.8
Analisando em t=199.8 : P ′′(199.8) = −920.602 < 0⇒ A populac¸a˜o atinge seu ma´ximo
em t=199.8 anos
42
23. A func¸a˜o
f(x) =
1
σ
√
2pi
e−
x2
2σ2
e´ chamada de func¸a˜o de densidade de probabilidade normal. A constante σ e´ dita desvio-
padra˜o para a curva normal.
(a) Mostrar que o ma´ximo de f(x) ocorre em x = 0 e que os pontos de inflexa˜o ocorrem
em x = ±σ.
(b) Construir o gra´fico
(a) Procurando os pontos cr´ıticos de f(x):
f ′(x) = 1
σ
√
2pi
(−x
σ2
)e−
x2
2σ2 = 0⇒ Ponto cr´ıtico em x=0
f ′′(x) = 1
σ3
√
2pi
(x
2
σ2
− 1)e− x
2
2σ2
f ′′(0) = −1
σ3
√
2pi
< 0⇒ x = 0 e´ ponto de ma´ximo de f(x).
Encontra-se os pontos de inflexa˜o igualando-se a derivada segunda a zero.
f ′′(x) = 0⇒ x = ±σ (Pontos de inflexa˜o)
(b)
f(x) =
1
σ
√
2pi
e−
x2
2σ2
Figura 25: Func¸a˜o densidade de probabilidade normal
24. Pesquisadores interessados em modelar a raza˜o na qual animais crescem teˆm usado o
seguinte modelo y = t+ senpit
4
+B, onde y e´ a altura em cm, B e´ a altura ao nascer, t e´
dado em meses.
(a) Achar os valores ma´ximo e mı´nimo da raza˜o de crescimento, dy
dt
, e os tempos em que
elas ocorrem no primeiro ano de vida.
Seja a raza˜o de crescimento igual a R(t) = dy
dt
, assim:
43
R(t) = 1 + pi
4
cos( tpi
4
)
R′(t) = −pi2
16
sen( tpi
4
)
R′′(t) = −pi
3
64
cos( tpi
4
)
Pontos cr´ıticos:
R′(t) = −pi2
16
sen( tpi
4
) = 0⇒ t = 4k, k inteiro
Primeiros 12 meses: 0 ≤ t ≤ 12⇒ t = 0, 4, 8 e 12
R(0) = 1 + pi
4
= 1.78
R(4) = 1− pi
4
= 0.215
R(8) = 1 + pi
4
= 1.78
R(12) = 1− pi
4
= 0.215
Ma´ximo R=1.78 (R′′(0) < 0) e mı´nimo R=0.215 (R′′(4) > 0). Assim, ocorrem dois
ma´ximos e dois mı´nimos em 12 meses.
25. Um certo lago pode suportar uma populac¸a˜o ma´xima de 20000 peixes. Se ha´ poucos peixes
no lago, a taxa de crescimento populacional sera´ proporcional ao produto da populac¸a˜o
existente pela diferenc¸a da populac¸a˜o existente a partir de 20000. Para que populac¸a˜o a
taxa de crescimento sera´ ma´xima?
Seja P(t) a populac¸a˜o de peixes no tempo t. A taxa de crescimento populacional sera´:
P ′(t) = kP (20000− P ) = f(P ) = −kP 2 + 20000kP , k constante de proporcionalidade
f(P) e´ uma equac¸a˜o do segundo grau com um ponto ma´ximo dado por:
f ′(P ) = −2kP + 20000k = 0⇒ P = 10000
Para uma populac¸a˜o de 10000 peixes a taxa de crescimento sera´ ma´xima.
26. Cinquenta animais ameac¸ados de extinc¸a˜o sa˜o colocados numa reserva. Decorridos t anos
a populac¸a˜o x desses animais e´ estimada em x(t) = 50 t
2+6t+30
t2+30
. Em que instante essa
populac¸a˜o animal atinge seu ma´ximo? Quanto ele vale?
A func¸a˜o x(t) = 50 t
2+6t+30
t2+30
apresenta o gra´fico a seguir:
Derivando x(t):
x′(t) = 9000−300t
2
(t2+30)2
x′′(t) = −54000t+600t
3
(t2+30)3
44
Figura 26: x(t) = 50( t
2+6t+30
t2+30
)
Pontos cr´ıticos:
x′(t) = 9000−300t
2
(t2+30)2
= 0⇒ t±√30 ∼= ±5.48
Ma´ximo: x(
√
30) = 77.39 ⇐ (x′′(√30) < 0)
Mı´nimo: x(−√30) = 22.61 ⇐ (x”(-√30) > 0)
3.6 Taxas relacionadas
1. Um grande bala˜o esfe´rico de borracha esta´ sendo cheio de ga´s a uma taxa constante de
8m3/s. Calcule com que velocidade o raio r do bala˜o cresce:
(a) Quando r = 2 m;
(b) Quando r = 4 m.
Considere um bala˜o esfe´rico de raio r e volume V. O volume do bala˜o e´ dado pela fo´rmula
V =
4
3
pir3 (14)
Temos que dV
dt
= 8 e precisamos achar dr
dt
para dois valores espec´ıficos de r. V e r sa˜o
ambas varia´veis dependentes, tendo o tempo t como varia´vel independente. Com isto em
mente, e´ natural introduzir as taxas de variac¸a˜o de V e r, derivando (14) em relac¸a˜o a t,
dV
dt
=
4
3
pi3r2
dr
dt
= 4pir2
dr
dt
(15)
onde a regra da cadeia foi aplicada. Segue-se de (15) que
45
dr
dt
=
1
4pir2
dV
dt
=
2
pir2
pois dV
dt
= 8. No caso (a), temos, portanto,
dr
dt
=
1
2pi
= 0, 16 m/min,
e no caso (b),
dr
dt
=
1
8pi
= 0, 04 m/min.
2. Uma escada de 13 m esta´ apoiada em uma parede. A base da escada esa´ sendo empurrada
no sentido contra´rio ao da parede, a uma taxa constante de 6 m/min. Qual velocidade
com a qual o topo da escada se move para baixo, encostado a` parede, quando a base da
escada esta´ a 5m da parede?
O diagrama da situac¸a˜o ilustra o problema. Usamos letras para representar as quantida-
des que esta˜o variando.
Figura 27: Situac¸a˜o
dx
dt
= 6 − dy
dt
=? quando x = 5
O uso do sinal negativo aqui pode ser melhor entendido pensando em dy
dt
como a taxa
com que y esta´ crescendo, e −dy
dt
como a taxa com que y esta´ decrescendo. O problema
pede o segundo caso.Conhecemos uma derivada em relac¸a˜o ao tempo e queremos achar a
outra. Logo, procuramos uma equac¸a˜o ligando x e y da qual possamos obter uma segundaequac¸a˜o relacionando suas taxas de variac¸a˜o. Pela figura obtemos:
x2 + y2 = 169 (16)
Derivando essa expressa˜o em relac¸a˜o a t,
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0 ou
dy
dt
= −x
y
dx
dt
46
e portanto
−dy
dt
=
6x
y
, (17)
visto que dx
dt
= 6. Finalmente, a equac¸a˜o (16) revela que y = 12 quando x = 5; logo, (17)
nos leva a concluir que
dy
dt
=
6(5)
12
= 2, 5m/min
3. Um tanque em forma de cone com o ve´rtice para baixo mede 12 m de altura e tem no
topo um diaˆmetro de 12m. Bombea-se a´gua a` taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o
n´ıvel da a´gua sobe (a) quando tem 2 m de profundidade e (b) quando a a´gua tem 8 m de
profundidade.
Como no exerc´ıcio anterior, analisamos a figura com o propo´sito de visualizar a situac¸a˜o
e estabelecer a notac¸a˜o. Nosso passo seguinte e´ usar essa notac¸a˜o para fixar, como se
segue, o que e´ dado e o que estamos procurando:
dV
dt
= 4,
dx
dt
=? quando x = 2 e x = 8.
Figura 28: Situac¸a˜o problema
O volume varia´vel da a´gua no tanque tem a forma de um cone; logo, nosso ponto de
partida e´ a fo´rmula
V =
4
3
piy2x. (18)
As u´nicas varia´veis dependentes que nos interessam sa˜o V e x; logo, queremos eliminar
a varia´vel y. Da figura usando triaˆngulos semelhantes, vemos que
y
x
=
6
12
=
1
2
ou y =
1
2
x (19)
e, substituindo em (18), obtemos
V =
pi
12
x3 (20)
47
Introduzimos as taxas de variac¸a˜o derivando (20) com relac¸a˜o a t, o que leva a
dV
dt
=
pi
4
x2
dx
dt
(21)
visto que dV
dt
= 4. Dessa fo´rmula obtemos, para x=2,
dx
dt
=
4
pi
∼= 1, 27m/min
e, para x=8,
dx
dt
=
1
4pi
∼= 0, 08m/min
4. Uma pedra lanc¸ada numa lagoa provoca uma se´rie de ondulac¸o˜es conceˆntricas. Se o raio
r da onda exterior cresce uniformemente a` taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a
a´rea de a´gua pertubada esta´ crescendo (a) quando r = 3 m e (b) quando r = 6 m.
Seja A = pir2 a a´rea da circunfereˆncia de raio r. Assim, sua derivada e´ dada por,
dA
dt
= pi2r
dr
dt
Substituindo dr
dt
= 1, 8 m/s na equac¸a˜o anterior, obtemos dA
dt
(r) = 3, 6pir. Assim,
dA
dt
(3) = 33, 9m2/s e
dA
dt
(6) = 67, 82m2/s
5. Uma grande bola de neve esfe´rica esta´ se derretendo a` taxa de 0, 06pim3/h. No momento
em que esta´ com 76 cm de diaˆmetro, determine (a) a velocidade com que o raio esta´
variando e (b) a velocidade com que a a´rea da superf´ıcie esta´ variando.
Seja o volume e a a´rea da esfera dados por, V = 4
3
pir3 e A = 4pir2 respectivamente.
Derivando V e A em relac¸a˜o ao tempo obtemos:
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
e
dA
dt
= 8pir
dr
dt
(a) Substituindo dV
dt
= −0, 06pim3/h e r = 0, 34m na equac¸a˜o da esquerda obtemos dr
dt
=
−0, 104m/h
(b) Utilizando o resultado anterior de dr
dt
= −0, 104m/h obtemos dA
dt
= −0, 993m2/h
6. Um menino empina um papagaio a 24 m de altura e o vento sopra horizontalmente
distanciando-o do menino a 6 m/s. Com que velocidade o menino solta a linha quando o
papagaio esta´ 30 m longe dele?
A distaˆncia do menino ate´ o papagaio representada por L, a altura de 24 m do papagaio
e e a distaˆncia do menino ate´ o ponto logo abaixo da posic¸a˜o do papagaio formam um
triaˆngulo retaˆngulo, da qual se retira a seguinte relac¸a˜o:
48
L2 = x2 + 242
Figura 29: Situac¸a˜o
Derivando em relac¸a˜o ao tempo ambos os lados da equac¸a˜o obtemos:
dL
dt
=
x
L
dx
dt
Sabendo que dx
dt
= 6 m/s tem-se dL
dt
= 6x
L
. Agora, basta substituirmos L = 30m e x = 18m
e obtemos
dL
dt
= 3, 6m/s
7. Um barco esta´ sendo puxado para o cais por meio de um cabo com uma extremidade
atada na proa do barco e a outra passando atrave´s de um anel fixo no cais num ponto
situado a 1,5 m acima do n´ıvel da proa do barco. Se o cabo esta´ sendo puxado a uma
taxa de 1,2 m/s com que velocidade o barco se move na a´gua quando ja´ foram puxados
3,9 m de cabo?
Seja x a distaˆncia horizontal do barco ao cais, L o comprimento da corda que liga a borda
do cais ao barco e 1,5 m a altura da borda do cais. Como observado na figura (30). Assim,
pelo Teorema de Pita´goras, podemos obter a relac¸a˜o L2 = 1, 52 +x2. Derivando ambos os
lados em relac¸a˜o ao tempo obtemos:
2L
dL
dt
= 2x
dx
dt
ou L
dL
dt
= xVb
Sendo Vb a velocidade do barco. Quando L=3,9 m encontramos x=3,6 m da relac¸a˜o de
Pita´goras. Assim, substituindo na equac¸a˜o LdL
dt
= xVb obtemos:
Vb = 1, 3m/s
49
Figura 30: Situac¸a˜o
8. A maioria dos gases obedece a` Lei de Boyle: numa amostra de ga´s mantida a uma
temperatura constante enquanto esta´ sendo comprimida por um pista˜o num cilindro, sua
pressa˜o p e seu volume V esta˜o relacionados pela equac¸a˜o pV = c, onde c e´ uma constante.
Ache dp
dt
em termos de p e dV
dt
.
Temos temperatura e c contantes. Derivando a relac¸a˜o pV = c em relac¸a˜o ao tempo
obtemos:
dp
dt
V + p
dV
dt
= 0 ou
dp
dt
= − p
V
dV
dt
Substitu´ımos agora p
c
por 1
V
que e´ obtida de pV = c e encontramos
dp
dt
= −p
2
c
dV
dt
9. Num certo instante, uma amostra de ga´s que obedece a` Lei de Boyle ocupa um volume de
1000m3 a uma pressa˜o de 10N/m2. Se esse ga´s esta´ sendo comprimido isotermicamente
a` taxa d 12m3/min, ache a taxa com que a pressa˜o esta´ crescendo no instante em que o
volume e´ 600m3.
Da relac¸a˜o de Boyle pV = c com c constante, conhecendo V0 = 1000m
3, p0 = 10N/m
2 e
Vf = 600m
3 obtemos pf .
p0V0 = pfVf =⇒ pf = 50
3
N/m2
Derivando a equac¸a˜o pV = c em relac¸a˜o ao tempo obtemos:
dp
dt
V + p
dV
dt
= 0
Na qual substituimos dV
dt
= −12m3/min, Vf = 600m3 e pf = 503 N/m2 obtendo:
50
dp
dt
=
1
3
N
m2min
10. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional a` a´rea de sua superf´ıcie,
mostre que seu raio decresce a uma taxa constante.
A bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional a` a´rea de sua superf´ıcie, assim
dV
dt
= kA = k4pir2
com k constante e r o raio da bolinha esfe´rica. O volume da esfera e´ representado por
V = 4
3
pir3, derivando ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo e substituindo dV
dt
na primeira equac¸a˜o obtemos:
dV
dt
= k4pir2 = 4pir2
dr
dt
=⇒ k = dr
dt
constante
11. Uma escada com 6 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede de 3,6 m de altura,
num ponto abaixo de sua extremidade. Sua base esta´ sendo puxada de modo a se afastar
da parede a uma taxa constante de 1,5 m/min. Ache a velocidade com que o topo da
escada esta´ se aproximando do cha˜o (a) quando ele esta´ a 1,5m do topo da parede e (b)
quando atinge o topo da parede.
A altura h do ponto de apoio da escada na parede, o comprimento de 6 m da escada e
a distaˆncia x de seu apoio no solo formam um triaˆngulo retaˆngulo, do qual obtemos a
relac¸a˜o:
62 = x2 + h2
Figura 31: Situac¸a˜o
Derivando a relac¸a˜o acima em relac¸a˜o ao tempo, obtemos a equac¸a˜o dh
dt
= V = −x
h
dx
dt
.
51
Em cada caso encontramos a posic¸a˜o x correspondente a cada altura h e substitu´ımos a
velocidade da base da escada (Vb) com o sinal adequado.
(a) h = 2, 1m implica x = 5, 62m e com Vb=1,5 m/min obtemos V = −4, 01m/min
(b) h = 3, 6m implica x = 4, 8m e com Vb=-1,5 m/min obtemos V = 2m/min
12. Um ponto se move na circunfereˆncia x2 + y2 = a2 de tal modo que a componente x de
sua velocidade e´ dx
dt
= −y. Ache dy
dt
e determine se o sentido do movimento e´ hora´rio ou
anti-hora´rio.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com origem exatamente so-
bre o centro da circunfereˆncia. x e y representam as posic¸o˜es do ponto sobre a circun-
fereˆncia de raio a. Do Teorema de Pita´goras temos:
x2 + y2 = a2
Derivando a equac¸a˜o acima emrelac¸a˜o ao tempo obtemos:
x
dx
dt
+ y
dy
dt
= 0
Substituindo dx
dt
= −y na equac¸a˜o acima encontramos dy
dt
= x. Analisando o ponto sobre
o primeiro quadrante, quando temos x > 0 e y > 0 conclu´ımos que o ponto move-se no
sentido anti-hora´rio.
13. Um procedimento cl´ınico comum para se estudar o metabolismo do ca´lcio em pessoas (a
raza˜o na qual o corpo assimila e usa o ca´lcio) e´ injetar ca´lcio quimicamente marcado na
corrente sangu´ınea e enta˜o medir qua˜o rapidamente este ca´lcio e´ removido do sangue.
Suponhamos t dado em dias contado apo´s a injec¸a˜o de ca´lcio marcado, A a quantidade
restante de ca´lcio marcado no sangue dado por A = t−
3
2 , t ≥ 0, 5.
(a) Qua˜o ra´pido esta´ o corpo removendo ca´lcio do sangue quanto t = 1?
A taxa de remoc¸a˜o e´ dado por A′(t). Assim,
A′(t) = −3
2
t−
5
2
A′(1) = −3
2
(1)−
5
2 = −3
2
quantidade/dia
14. Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso no tempo t e´ w(t) = 0, 1t2, onde
t e´ medido em semanas. Qual a raza˜o de crescimento do tumor, em gramas por semana,
quando t = 5?
A taxa de crescimento do tumor e´ dado por:
w′(t) = 0.2t
w′(5) = 0.2(5) = 1 g/semana. O tumor cresce a uma taxa de 1 g por semana na quinta
semana.
52
3.7 Integral indefinida
1. O custo fixo de produc¸a˜o de uma empresa e´ de R$800, 00. O custo marginal e´ dado por
C ′(x) = 0.03x2 − 0.12x+ 5. Ache a func¸a˜o custo total.
O custo marginal C ′(x) e´ a derivada da func¸a˜o custo total C(x). Assim, para encon-
trar C(x) integramos a func¸a˜o custo marginal.
C(x) =
∫
(0.03x2 − 0.12x+ 5)dx
C(x) = 0.03
∫
x2dx− 0.12 ∫ xdx+ 5 ∫ dx
C(x) = 0.03
3
x3 − 0.12
2
x2 + 5x+ k
C(x) = 0.01x3 − 0.06x2 + 5x+ k
Inicialmente em x = 0 a empresa possui um custo fixo de R$800, 00.
800 = 0.01(0)3 − 0.06(0)2 + 50(0) + k ⇒ k = 800
C(x)=0.01x3 − 0.06x2 + 5x+ 800
2. O lucro marginal de uma empresa para um determinado item e´ dada pela equac¸a˜o
L′(x) = 20 − 0.6x2, na qual x e´ o nu´mero de itens vendidos. O lucro quando dois
itens sa˜o vendidos e´ de R$4.20. Encontre a equac¸a˜o do lucro total.
O lucro marginal L′(x) e´ a derivada da func¸a˜o lucro total L(x). Assim, para encon-
trar L(x) integramos a func¸a˜o lucro marginal.
L(x) =
∫
(20− 0.6x2)dx
L(x) = 20x− 0.6x3
3
+ k
L(x) = 20x− 0.2x3 + k
Em x = 2 a empresa possui um lucro de R$4.20.
4.20 = 20(4.20)− 0.2(4.20)3 + k ⇒ k = −34.2
L(x) = 20x− 0.2x3 − 34.2
3. Uma empresa, observando sua produc¸a˜o e vendas, encontrou seu lucro marginal L′(X) =
28 − 0.09x2 quando x unidades de determinado produto sa˜o vendidas. A empresa sofre
uma perda de R$500, 00 quando nenhuma unidade e´ vendida. Assim, encontre a func¸a˜o
lucro.
O lucro marginal L′(x) e´ a derivada da func¸a˜o lucro total L(x). Assim, para encon-
trar L(x) integramos a func¸a˜o lucro marginal.
L(x) =
∫
(28− 0.09x2)dx
L(x) = 28x− 0.03x3 + k
Em x = 0 a empresa sofre uma perda de R$500.00.
53
−500 = 28(0)− 0.03(0)3 + k ⇒ k = −500
L(x) = 28x− 0.03x3 − 500
4. O custo me´dio total de produc¸a˜o de um determinado item e´ dado por C¯ ′(x) = 1
4
− 17
x2
, na
qual x e´ o nu´mero de unidades produzidas.
(a) Encontre a func¸a˜o custo me´dio C¯(x), sabendo que C¯(4) = 57.
(b) Encontre a func¸a˜o custo total C(x).
(a) O custo me´dio marginal C¯ ′(x) e´ a derivada da func¸a˜o custo me´dio total C¯(x). Assim,
para encontrar C¯(x) integramos a func¸a˜o custo me´dio marginal.
C¯(x) =
∫
(1
4
− 17
x2
)dx
C¯(x) = x
4
+ 17
x
+ k
Em x = 4 temos C¯(4) = 57.
57 = 117
4
+ k ⇒ k = 207
4
C¯(x) = x
4
+ 17
x
+ 207
4
(b) O custo total e´ dado por C¯(x) = C(x)
x
⇒ C(x) = xC¯(x). Logo,
C(x) = x
2
4
+ 207
4
x+ 17
5. A inclinac¸a˜o da reta tangente a uma curva em qualquer ponto e´ dado por 3x2 + 5. En-
contre a equac¸a˜o da curva se ela conte´m o ponto (3, 8).
Seja f(x) a curva, logo:
f(x) =
∫
(3x2 + 5)dx = x3 + 5x+ k
Em f(3) = 27 + 15 + k = 8⇒ k = −34
f(x) = x3 + 5x− 34
6. Um poc¸o de petro´leo extrai petro´leo a uma taxa de R′(t) = 70 + 4.5t− 0.5t2, t em horas.
Encontre a fo´rmula para a produc¸a˜o total apo´s t horas.
R(t) =
∫
R′(t)dt
R(t) =
∫
(70 + 4.5t− 0.5t2)dt
R(t) = 70t+ 4.5
2
t2 − 0.5
3
t3 + k
Em R(0) = 0⇒ k = 0
R(t) = 70t+ 4.5
2
t2 − 0.5
3
t3
7. A func¸a˜o velocidade de um determinado ve´ıculo e´ dada por v(t) = t2 − 2t + 4, t em
segundos. Encontre a func¸a˜o posic¸a˜o s(t), sendo que em s(0) = 0.
54
s(t) =
∫
v(t)dt
s(t) =
∫
(t2 − 2t+ 4)dt
s(t) = t
3
3
− t2 + 4t+ k
Em s(0) = 0⇒ k = 0
s(t) = t
3
3
− t2 + 4t
8. A func¸a˜o acelerac¸a˜o de um determinado ve´ıculo e´ dada por a(t) = 4−66t, t em segundos.
Encontre a func¸a˜o velocidade v(t), sendo que em v(0) = 0.
v(t) =
∫
a(t)dt
v(t) =
∫
(4− 66t)dt
v(t) = 4t− 33t2 + k
Em v(0) = 0⇒ k = 0
v(t) = 4t− 33t2
9. O tempo de parada de um ve´ıculo e´ dado resolvendo-se a equac¸a˜o diferencial W
g
d2x
dt2
=
−fW , na qual W e´ o peso do ve´ıculo, f o coeficiente de fricc¸a˜o, g a constante gravitacio-
nal, x a distaˆncia percorrida e t o tempo.
(a) Determine a func¸a˜o velocidade.
(b) Determine o tempo que o ve´ıculo demora para parar.
(c) Determine a func¸a˜o deslocamento.
(e) Determine a distaˆncia percorrida pelo ve´ıculo ate´ parar.
(a) Sendo a(t) = d
2x(t)
dt2
= dv(t)
dt
e a = −fg temos:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(−fg)dt
v(t) = −fgt+ k
v(0) = 0 + k = v0
Logo, v(t) = −fgt+ v0
(b) Procuramos t quando v(t) = 0, assim
v(t) = −fgt+ v0 = 0⇒ t = v0fg
(c) Integramos a func¸a˜o velocidade para obter a func¸a˜o deslocamento, impondo a condic¸a˜o
de que em t = 0, x = 0.
x(t) =
∫
v(t)dt = −fg t2
2
+ v0t+ k x(0) = k = 0⇒ x(t) = v0t− fg t22
(d) Encontraremos x( v0
fg
), assim x( v0
fg
) = v0
2
2fg
10. Se uma reac¸a˜o qu´ımica ocorre a um volume constante a entalpia e´ dada por ∆H =
∫
Cvdt,
na qual Cv e´ definida como capacidade te´rmica a volume constante. Se Cv = 2t
2 + 3t+ 7
encontre ∆H.
55
∆H =
∫
Cvdt
∆H =
∫
(2t2 + 3t+ 7)dt
∆H = 2 t
3
3
+ 3 t
2
2
+ 7t+ k
Com ∆H(0) = 0⇒ k = 0⇒ ∆H = 2 t3
3
+ 3 t
2
2
+ 7t
11. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, t ≥ 0, a velocidade
e´ v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o
x = 1. Determine a posic¸a˜o x = x(t) da part´ıcula no instante t.
dx
dt
= 2t+ 1 e x(0) = 1
dx
dt
= 2t+ 1⇒ x = ∫ (2t+ 1)dt = t2 + t+ k
Para k = 1, teremos x = 1 para t = 0. Assim, x(t) = t2 + t+ 1
12. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = t+ 3, t ≥ 0. Sabe-se que,
no instante t = 0, a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 2.
(a) Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t?
(b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2.
(c) Determine a acelerac¸a˜o.
(a)
dx
dt
= t+ 3 e x(0) = 2 m
x(t) =
∫
(t+ 3)dt = t
2
2
+ 3t+ k
Em x(0) = 2⇒ k = 2⇒ x(t) = t2
2
+ 3t+ 2
(b) x(2) = 4
2
+ 6 + 2 = 10 m
(c) a(t) = dv
dt
= 1m/s2
13. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t− 3, t ≥ 0. Sabe-se que
no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 5. Determine o instante em que
a part´ıcula estara´ mais pro´xima da origem.
x(t) =
∫
(2t− 3)dt = t2 − 3t+ k
x(0) = 5⇒ k = 5
Logo, x(t) = t2 − 3t+ 5
A part´ıcula estara´ mais pro´xima da origem no xmin. Como a func¸a˜o e´ uma para´bola
com um ponto de mı´nimo basta encontrar t, tal que dx
dt
= 0.
56
dx
dt
= 2t− 3 = 0⇒ t = 1.5s
14. Um produtor descobre que o custo marginal e´ de 3q2 − 60q + 400 u.m. por unidade,
quando q unidades do produto sa˜o produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2
unidades e´ de R$900, 00. Qual e´ o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?
O custo marginal