Lista 3 Geometria Analítica e Álgebra Linear I

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA 
CURSOS DE ENGENHARIAS CIVIL E MECATRÔNICA 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR I 
 
1. Dados os vetores ji2wejiv,j3i2u rrrrrrrrr +−=−=−= , determine: 
vu2)a rr − wv2u
2
1)b rrr −− 
w2uv)c rrr +− w
2
1
v
2
1
u3)d rrr −− 
2. Determine o vetor soma vu
rr
+ (inclusive geometricamente) sendo: 
( ) ( )5,2ve3,4u)a == rr ( ) ( )3,1ve3,1u)b =−= rr 
( ) ( )6,3ve4,2u)c −−=−= rr ( ) ( )5,1ve3,3u)d −=−= rr 
3. Represente num gráfico o vetor 
→
AB e o correspondente vetor posição, nos seguintes casos: 
( ) ( )5,3Be3,1A)a − ( ) ( )2,0Be0,4A)b − 
( ) ( )1,4Be4,1A)c − ( ) ( )4,3Be1,3A)d 
4. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ( )5,2v −=r , sabendo que sua origem é o ponto 
( )3,1A − . 
5. Num mesmo sistema cartesiano xOy, represente: 
a) os vetores ( ) ( )3,2ve1,2u −=−= rr , com origem nos pontos ( ) ( )4,1Be4,1A − , respectivamente 
b) os vetores posição de veu rr . 
6. Escreva w
r
 como combinação linear dos vetores veu rr se: 
( ) ( ) ( )6,12we1,5v,4,2u)a −=−=−= rrr ( ) ( ) ( )3,1we4,2v,2,3u)b === rrr , 
7. Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: 
a) ( ) ( ) ( )5,5Ce2,4B,1,3A −− b) ( ) ( ) ( )4,3Ce3,7B,1,5A 
8. Determine a de modo que os vetores ( ) ( )a,6ve1,4u == rr sejam paralelos. 
9. Verifique se são colineares os pontos: 
 ( ) ( ) ( ).3,3Ce3,0B,6,1A)a −− ( ) ( ) ( ).5,2Ce2,1B,7,2A)b −− 
10. Dados os vetores ( ) ( )4,3ve1,1u −=−= rr , calcule: 
a) ur b) vr 
c) vu rr + d) vu rr + 
11. Calcule os valores de a para que o vetor: 
a) ( )2,au −=r tenha módulo 4. b) 





=
2
1
,au
r
 seja unitário. 
12. Ache um ponto P do eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto ( )3,2A − seja igual a 5. 
13. Encontre os versores dos seguintes vetores: 
 a) jiv rrr +−= b) ji3v rrr −= 
c) ( )3,1v =r d) ( )4,0v =r 
14. Dado o vetor ( )3,1v −=r , determine o vetor paralelo a vr que tenha: 
 
 
2 
a) sentido contrário ao de vr e duas vezes o módulo de vr ; 
b) o mesmo sentido de vr e módulo 2; 
c) sentido contrário ao de vr e módulo 4. 
15. Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da figura 1 abaixo, sabendo que .2Fe1F,3F 321 === 
16. Determine como deve variar o módulo e o sentido de 21 FeF (isto é, por quais constantes se deve multiplicar 
21 FeF ) para que a resultante destas forças seja F , sendo 1Fe2F,3F 21 === (figura 2). 
 
 Figura 1 Figura 2 
17. Num ponto atuam três forças ( ) ( ) ( ).1,2Fe2,1F,4,3F 321 =−=−−= 
a) Elas estão em equilíbrio (resultante zero)? 
b) Mantendo a direção e o sentido de 32 FeF , como podemos modificá-las de modo que o sistema fique em 
equilíbrio? 
c) É possível colocar o sistema em equilíbrio mantendo-se 31 FeF fixas e variando apenas o módulo e o 
sentido de 2F ? 
18. Dados os pontos ( ) ( )0,2,4Be3,2,1A −− , determine o vetor posição de →AB e determine o ponto P tal que 
.AB3AP
→
=
→
 
19. Escreva w
r
 como combinação linear dos vetores veu rr , se ( ) ( ) ( )14,4,4we4,0,2v,1,2,1u −−=−=−= rrr . 
20. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )0,1,2ve2,0,1v,1,2,1v 321 −−==−= rrr . Expresse cada um dos vetores ( )1,4,8u −=r , 
( ) ( )0,0,0ze3,2,0w == rr como combinação linear dos vetores .vev,v 321 rrr 
21. Dados os pontos ( ) ( ),0,1,2Be2,4,3A −−− determine o ponto N pertencente ao segmento AB tal que 
→→
= AB
5
2AN . 
22. Verifique se são colineares os pontos: 
 ( ) ( ) ( )1,7,2Ce3,1,2B,0,5,1A)a −−−−− . ( ) ( ) ( )4,0,1Ce0,1,3B,1,1,2A)b −− . 
23. Calcule a e b de modo que sejam colineares os pontos ( ) ( ) ( )7,b,aCe1,5,1B,2,1,3A − . 
24. Encontre o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para 
 ( ) ( ) ( ).5,2,3Ce2,1,1B,3,0,1A)a −− ( ) ( ) ( ).5,2,3Ce3,1,5B,1,0,4A)b 
25. Determine o simétrico do ponto ( )2,1,3P − em relação ao ponto ( ).3,0,1A −− 
26. Determine o valor de n para que o vetor 





−=
4
3
,
2
1
,nv
r
 seja unitário. 
 
3 
27. Seja o vetor ( ).5,2m,7mv ++=r Calcule m de modo que .38v =r 
28. Calcule o módulo dos seguintes vetores: 
( )1,4,2u)a −=r k2ji2v)b rrrr +−= 
( )0,3,4w)c =r k8i6z)d rrr −= 
29. Determine o versor de cada um dos vetores do exercício anterior. 
30. Determine m de modo que o vetor km2jm2imv rrrr ++= seja um versor. 
31. Obtenha um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos ( )4,1,3A − e ( )3,2,1B −− . 
32. Obtenha um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto ( )2,2,1A −− seja igual a 3. 
33. Dado o vetor ( )3,1,2v −−=r , determine o vetor paralelo a vr que tenha 
a) sentido contrário ao de vr e três vezes o módulo de vr ; 
b) o mesmo sentido de vr e módulo 4; 
c) sentido contrário ao de vr e módulo 5.