Gabarito da Lista 3 Geometria Analítica e Álgebra Linear II

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GABARITO DA 3a LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR II 
1. a) A aplicação T não é uma transformação linear. De fato, se ( ) ( ),4,3ue2,1u 21 == então ( ).6,4uu 21 =+ 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24646,4TuuT,12434,3TuT,2212,1TuT 2121 =⋅==+=⋅===⋅== e, portanto, 
( ) ( ) ( ).uTuT1221424uuT 2121 +=+=≠=+ 
b) A transformação T é linear. De fato: 
i) Se ( ) ( ),y,xuey,xu 222111 == então ( ).yy,xxuu 212121 ++=+ 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21212121212121 yy5xx2,yy3xxyy,xxTuuT ++++−+=++=+ 
 ( )22112211 y5x2y5x2,y3xy3x +++−+−= e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221111221121 y5x2,y3xy5x2,y3xy,xTy,xTuTuT +−++−=+=+ 
 ( )22112211 y5x2y5x2,y3xy3x +++−+−= . 
Portanto, ( ) ( ) ( )2121 uTuTuuT +=+ . 
ii) Se ( ) ,Rey,xu ∈α= então ( ).y,xu ⋅α⋅α=⋅α 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )y5x2,y3xy5x2,y3xy,xTuT +−α=⋅α+⋅α⋅α−⋅α=⋅α⋅α=⋅α e 
( ) ( ) ( )y5x2,y3xy,xTuT +−⋅α=⋅α=⋅α . 
Portanto, ( ) ( ).uTuT α=⋅α 
c) A aplicação T não é uma transformação linear. De fato, se ( ) ( ),0,1ue0,1u 21 =−= então ( ).0,0uu 21 =+ 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )0,002,|0|0,0TuuT 21 =⋅==+ e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,20,10,102,|1|02,|1|0,1T0,1TuTuT 21 =+=⋅+⋅−=+−=+ . 
Portanto, ( ) ( ) ( ).uTuTuuT 2121 +≠+ 
d) A transformação T é linear. De fato: 
i) Se ( ) ( ),z,y,xuez,y,xu 22221111 == então ( ).zz,yy,xxuu 21212121 +++=+ 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0,yyxx,yyxxzz,yy,xxTuuT 2121212121212121 ++++−+=+++=+ 
( )0,yyxx,yyxx 21212121 +++−−+= e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,yx,yx0,yx,yxy,xTy,xTuTuT 22221111221121 +−++−=+=+ 
( )0,yyxx,yyxx 21212121 +++−−+= . 
Portanto, ( ) ( ) ( )2121 uTuTuuT +=+ . 
ii) Se ( ) ,Rez,y,xu ∈α= então ( ).z,y,xu ⋅α⋅α⋅α=⋅α 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )0,yx,yx0,yx,yxz,y,xTuT +−α=⋅α+⋅α⋅α−⋅α=⋅α⋅α⋅α=⋅α e 
( ) ( ) ( )0,yx,yxz,y,xTuT +−α=⋅α=⋅α . 
Portanto, ( ) ( ).uTuT α=⋅α 
e) A aplicação T não é uma transformação linear. De fato, se ( ) ( ),0,0,1ue0,0,1u 21 =−= então ( ).0,0,0uu 21 =+ 
Logo, ( ) ( ) ( )0,0,00,0,0TuuT 21 ==+ e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0,1,03120,1,03120,0,1T0,0,1TuTuT 2221 ⋅+⋅+−⋅+−=+−=+ ( ) ( ) ( )0,0,40,1,20,1,2 =+−= . 
Portanto, ( ) ( ) ( ).uTuTuuT 2121 +≠+ 
f) A transformação T é linear. De fato: 
i) Se ( ) ( ),y,xuey,xu 222111 == então ( ).yy,xxuu 212121 ++=+ 
 
2
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2121212121212121 yy,yyxx2,yy2xxyy,xxTuuT +++++−+=++=+ 
 ( )2121212121 yy,yyx2x2,y2y2xx ++++−−+= e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222211111221121 y,yx2,y2xy,yx2,y2xy,xTy,xTuTuT +−++−=+=+ 
 ( )2121212121 yy,yyx2x2,y2y2xx ++++−−+= . 
Portanto, ( ) ( ) ( )2121 uTuTuuT +=+ . 
ii) Se ( ) ,Rey,xu ∈α= então ( ).y,xu ⋅α⋅α=⋅α 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )y,yx2,y2xy,yx2,y2xy,xTuT +−α=⋅α⋅α+⋅α⋅α−⋅α=⋅α⋅α=⋅α e 
( ) ( ) ( )y,yx2,y2xy,xTuT +−α=⋅α=⋅α . 
Portanto, ( ) ( ).uTuT α=⋅α 
2. Em diagramas, temos a situação: 
 
Os vetores ( ) ( )7,4e5,3 formam uma base de 2R . 
Vamos escrever um vetor qualquer ( ) 2Rdoy,x como combinação linear desses vetores. Temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )



=+
=+
⇒++=⇒+=
yb7a5
xb4a3b7a5,b4a3y,x7,4b5,3ay,x 
( ) ( )( ) ( )( )7,4y3x55,3y4x7y,xy3x5bey4x7a +−+−=⇒+−=−=⇒ . Portanto, 
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )7,4Ty3x55,3Ty4x77,4y3x55,3y4x7Ty,xT +−+−=+−+−= 
 ( )( ) ( )( ) ( )y7x13,y11x193,1y3x54,2y4x7 −−=−+−+−= . 
3. Um vetor ( ) 3Rdoz,y,x se escreve como combinação linear dos vetores da base canônica de modo natural 
como ( ) ( ) ( ) ( ).1,0,0z0,1,0y0,0,1xz,y,x ++= 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )1,0,0Tz0,1,0Ty0,0,1Tx1,0,0z0,1,0y0,0,1xTz,y,xT ++=++= 
( ) ( ) ( ) ( ).zy,yx21,0z1,1y0,2x −+=−++= 
Se ( ) 3Rz,y,xu ∈= é tal que ( ) ( )2,3uT = , ( ) ( )




−=
−
=
⇒



=−
=+
⇒=−+
2yz
2
y3
x
2zy
3yx2
2,3zy,yx2 . Portanto, qualquer vetor 
da forma 





−
−
= 2y,y,
2
y3
u é tal que ( ) ( )2,3uT = . 
4. Os vetores ( ) ( )2,0e1,1 − formam uma base de 2R . 
 
3
Um vetor ( ) 2Rdoy,x se escreve como combinação linear desses vetores como ( ) ( ) ( )2,0
2
yx1,1xy,x −−+= 
(verifique!). 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0
2
yx1,2,3x2,0T
2
yx1,1Tx2,0
2
yx1,1xTy,xT −+=−−+=





−
−
+= 




 −
= x,
2
yx5
,x3 . 
Portanto, ( ) ( ) .0,
2
1
,01,0Te1,
2
5
,30,1T 





−=





= 
6. a) A matriz canônica é dada por [ ] .
13
13
T 





−
−
= 
b) A matriz canônica é dada por [ ] .
20
01
11
T










= 
c) A matriz canônica é dada por [ ] .
10
01
T 





−
= 
d) A matriz canônica é dada por [ ] [ ].014T −= 
e) Diretamente da expressão do operador linear, temos [ ]










−
−
−
=
101
101
031
T . 
f) A matriz canônica é dada por [ ] .
53
21
T 





−
−
= 
7. a) Temos ( ) ( )y,yx,xy,xT −+= . 
b) Temos ( ) ( )yx4,y3x2y,xT −+= . 
c) Temos ( ) ( )z2y4x,z3x5z,y,xT ++−−= . 
d) Temos ( ) ( )z4x,z3yx2,z3xz,y,xT +−++−= . 
8. Como [ ]










−
−
=
31
02
21
T é a matriz canônica da transformação linear T, temos a expressão da transformação dada 
por ( ) ( ).y3x,x2,y2xy,xT +−−= Logo, 
( ) ( ) ( ) ( ) 0ye2x
2y3x
4x2
2y2x
2,4,2y3x,x2,y2x2,4,2uT ==⇒





−=+−
=
=−
⇒−=+−−⇔−= , ou seja, o vetor procurado é 
( )0,2u= . 
9. i) Temos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )y,y2x2y,x2Sy,xTSy,xTS −+=−==o ou 
[ ] [ ] [ ] ,
10
22
10
02
10
21
TSTS 





−
=





−
⋅




 −
=⋅=o ou seja, ( )( ) ( )y,y2x2y,xTS −+=o . 
ii) Temos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )y,y4x2y,y2xTy,xSTy,xST −−=−==o ou 
[ ] [ ] [ ] ,
10
42
10
21
10
02STST 





−
−
=




 −
⋅





−
=⋅=o ou seja, ( )( ) ( )y,y4x2y,xST −−=o . 
iii) Temos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )y,y4xy,y2xSy,xSSy,xSS −=−==o ou 
 
4
[ ] [ ] [ ] ,
10
41
10
21
10
21SSSS 




 −
=




 −
⋅




 −
=⋅=o ou seja, ( )( ) ( )y,y4xy,xSS −=o . 
iv) Temos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )y,x4y,x2Ty,xTTy,xTT =−==o ou 
[ ] [ ] [ ] ,
10
04
10
02
10
02
TTTT 





=





−
⋅





−
=⋅=o ou seja, ( )( ) ( )y,x4y,xTT =o . 
10. Consideremos as transformações vistas em sala de aula: 
i) Reflexão em torno da reta y = x : ( ) ( ) [ ] .
01
10
Toux,yy,xT 11 





== 
ii) Contração na direção Oy de fator :
3
1
 ( ) [ ] .
3
10
01
Touy
3
1
,xy,xT 22








=





= 
iii) Rotação de o90 no sentido anti-horário: 
 
( ) ( ) ( ) [ ] .
01
10
Toux,yy90cosx90sen,y90senx90cosy,xT 33 




 −
=−=+−= oooo 
a) Temos ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) .y,x
3
1
x
3
1
,yTx,yTTy,xTTTy,xTTT 323123123 





−=





===oo 
Logicamente, poderíamos resolver matricialmente, [ ] [ ] [ ] [ ].TTTTTT 123123 ⋅⋅=oo 
b) ( )( ) ( ).2,12,3TTT 123 −=oo 
c) Diretamente da transformação da composta, [ ] .
10
0
3
1
TTT 123








−
=oo 
11. a) Consideremos as transformações 
i) Dilatação de fator 2 na direção Ox: ( ) ( ) [ ] .
10
02
Touy,x2y,xT 11 





== 
ii) Reflexão em relação ao eixo Ox : ( ) ( ) [ ] .
10
01
Touy,xy,xT 22 





−
=−= 
Logo, [ ] [ ] [ ] .
10
02
10
02
10
01
TTTT 1212 





−
=





⋅





−
=⋅=o 
b) Consideremos as transformações 
i) Contração de 
2
1
: ( ) [ ] .
2
20
0
2
2
Touy
2
1
,x
2
1y,xT 11











=







= 
ii) Rotação horária de o45 : 
( ) ( ) [ ] .
2
2
2
2
2
2
2
2
Touy45cosx45sen,y45senx45cosy,xT 22












−
=+−+= oooo 
Logo, [ ] [ ] [ ] .
2
1
2
1
2
1
2
1
2
20
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
TTTT 1212










−
=












⋅












−
=⋅=o 
 
5
c) Consideremos as transformações 
i) Rotação de o60 : ( ) ( ) [ ] .
2
1
2
3
2
3
2
1
Touy60cosx60sen,y60senx60cosy,xT 11












−
=+−= oooo 
ii) Reflexão em relação ao eixo Oy: ( ) ( ) [ ] .
10
01
Touy,xy,xT 22 




−
=−= 
Logo, [ ] [ ] [ ] .
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
10
01
TTTT 1212












−
=












−
⋅




−
=⋅=o 
d) Consideremos as transformações 
i) Rotação de o45 : ( ) ( ) [ ] .
2
2
2
2
2
2
2
2
Touy45cosx45sen,y45senx45cosy,xT 11












−
=+−= oooo 
ii) Dilatação de fator 2 na direção Ox: ( ) ( ) [ ] .
10
02Touy,x2y,xT 22








== 
iii) Dilatação de fator 22 na direção Oy: ( ) ( ) [ ] .
220
01
Touy22,xy,xT 33 





== 
Logo, [ ] [ ] [ ] [ ] .
22
11
2
2
2
2
2
2
2
2
10
02
220
01
TTTTTT 123123 




 −
=












−
⋅








⋅





=⋅⋅=oo 
12. a) Temos ( ) ( ) [ ] .
11
11
Tyx,yxy,xT 





−
=⇒−+= 
A equação característica de T é ( ) .2e2020
11
110Tdet 212 −=λ=λ⇒=−λ⇒=λ−−
λ−
⇒=Ιλ− 
Se 21 =λ , então 
( ) ( ) ( ) .x12y0y21x 0yx2100yx211 121 −=⇒



=+−
=+−
⇒





=













−−
−
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 21 =λ são da forma ( )( ) =−= x12,xu1 ( ) .0x,12,1x ≠− 
Se 22 −=λ , então 
( ) ( ) ( ) .x12y0y21x 0yx2100yx211 121 −−=⇒



=+−+
=++
⇒





=













+−
+
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 22 −=λ são da forma ( )( ) =−−= x12,xu2 ( ) .0x,12,1x ≠−− 
b) Temos ( ) ( ) [ ] .
10
01
Ty,xy,xT 





−
−
=⇒−−= 
 
A equação característica de T é ( ) ( ) .1010
10
010Tdet 212 −=λ=λ⇒=λ−−⇒=λ−−
λ−−
⇒=Ιλ− 
 
 
6
Se 1−=λ , então ( )y,x
0
0
y
x
00
00
∀⇒





=











 é solução. 
Logo, qualquer vetor não nulo é autovetor associado ao autovalor 1−=λ . 
c) Temos ( ) ( ) [ ] .
31
15
Ty3x,yx5y,xT 




 −
=⇒+−= 
 
A equação característica de T é ( ) .401680
31
150Tdet 212 =λ=λ⇒=+λ−λ⇒=λ−
−λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 4=λ , então .xy0yx
0
0
y
x
11
11
=⇒=−⇒





=











−
−
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 4=λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1xx,xu1 ≠== 
d) Temos ( ) ( ) [ ] .
01
10
Tx,yy,xT 





−
=⇒−= 
 
A equação característica de T é ( ) .010
1
10Tdet 2 =+λ⇒=
λ−−
λ−
⇒=Ιλ− 
Portanto, não existem autovalores reais. 
13. a) Temos ( ) ( ) [ ]










−
−=⇒−++−+=
112
211
011
Tzyx2,z2yx,yxz,y,xT . 
A equação característica de T é 
 
( ) .2e2,10440
112
211
011
0Tdet 32123 −=λ=λ−=λ⇒=+λ+λ−λ−⇒=
λ−−
λ−−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 11 −=λ , então .
2
x
z
x2y
0yx2
0z2x
0yx2
0
0
0
z
y
x
012
201
012




−=
−=
⇒





=+
=+
=+
⇒










=




















 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 11 −=λ são da forma .0x,2
1
,2,1x
2
x
,x2,xu1 ≠





−−=





−−= 
Se 22 =λ , então 
.zyx
0z3x3
0z2x2
0z3yx2
0z2y3x
yx
0z3yx2
0z2y3x
0yx
0
0
0
z
y
x
312
231
011
==⇒



=−
=+−
⇒





=−+
=+−
=
⇒





=−+
=+−
=+−
⇒










=




















−
−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 22 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1,1xx,x,xu2 ≠== 
Se 23 −=λ , então 
.z3yezx
0zx
0z2x2
0zyx2
0z2yx
x3y
0zyx2
0z2yx
0yx3
0
0
0
z
y
x
112
211
013
−==⇒



=+−
=+−
⇒





=++
=++
−=
⇒





=++
=++
=+
⇒










=




















 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 23 −=λ são da forma ( ) ( ) .0z,1,3,1zz,z3,zu3 ≠−=−= 
b) Temos ( ) ( ) [ ]










=⇒++++=
320
120
111
Tz3y2,zy2,zyxz,y,xT . 
 
7
A equação característica de T é 
( ) .4e104960
320
120
111
0Tdet 32123 =λ=λ=λ⇒=+λ−λ+λ−⇒=
λ−
λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 11 =λ , então .zy0z2y2
0zy
0
0
0
z
y
x
220
110
110
−=⇒



=+
=+
⇒










=




















 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 11 =λ são da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0ze0x,1,1,0z0,0,1xz,z,00,0,xz,z,xu1 ≠≠−+=−+=−= 
Se 43 =λ , então .y2zeyxy2z
0zyx3
0zy2
0zy2
0zyx3
0
0
0
z
y
x
120
120
113
==⇒



=
=++−
⇒





=−
=+−
=++−
⇒










=




















−
−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 43 =λ são da forma ( ) ( ) .0y,2,1,1yy2,y,yu3 ≠== 
c) Temos ( ) ( ) [ ]










=⇒+=
100
010
011
Tz,y,yxz,y,xT . 
A equação característica de T é ( ) ( ) .1010
100
010
011
0Tdet 3213 =λ=λ=λ⇒=λ−⇒=
λ−
λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 1=λ , então .0y
0
0
0
z
y
x
000
000
010
=⇒










=




















 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 1=λ são da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0ze0x,1,0,0z0,0,1xz,0,00,0,xz,0,xu ≠≠+=+== 
d) Temos [ ]










=
120
210
322
T . A equação característica de T é 
 
( ) .3e2,10640
120
210
322
0Tdet 32123 =λ=λ−=λ⇒=−λ−λ+λ−⇒=
λ−
λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 11 −=λ , então .
x3z
x3y
0z2y2
0z2y2
0z3y2x3
0
0
0
z
y
x
220
220
323



−=
=
⇒





=+
=+
=++
⇒










=




















 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 11 −=λ são da forma ( ) ( ) .0x,3,3,1xx3,x3,xu1 ≠−=−= 
Se 22 =λ , então .0zy
0zy2
0z2y
0z3y2
0
0
0
z
y
x
120
210
320
==⇒





=−
=+−
=+
⇒










=




















−
− 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 22 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,0,0,1x0,0,xu2 ≠== 
 
8
Se33 =λ , então .zyez5x
0z2y2
0z2y2
0z3y2x
0
0
0
z
y
x
220
220
321
==⇒





=−
=+−
=++−
⇒










=




















−
−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 33 =λ são da forma ( ) ( ) .0z,1,1,5zz,z,z5u3 ≠== 
e) Temos [ ]










−=
200
100
500
T . A equação característica de T é 
 
( ) ( ) .2e0020
200
10
50
0Tdet 3212 =λ=λ=λ⇒=λ−λ⇒=
λ−
−λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 01 =λ , então .0z
0z2
0z
0z5
0
0
0
z
y
x
200
100
500
=⇒





=
=−
=
⇒










=




















− 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 01 =λ são da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0y,0x,0,1,0y0,0,1x0,y,00,0,x0,y,xu1 ≠≠+=+== 
Se 23 =λ , então .z2
5
xe
2
zy
0zy2
0z5x2
0
0
0
z
y
x
000
120
502
=−=⇒



=−−
=+−
⇒










=




















−−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 23 =λ são da forma .0z,1,2
1
,
2
5
zz,
2
z
,z
2
5
u3 ≠





−=





−= 
14. a) A equação característica de A é 
 
( ) ( )( ) .1e10110
10
210Adet 21 =λ−=λ⇒=λ−−λ−⇒=λ−−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 11 −=λ , então .xy0y2x20
0
y
x
00
22
−=⇒=+⇒





=











 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 11 −=λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1xx,xu1 ≠−=−= 
Se 12 =λ , então .0y0y2
0y2
0
0
y
x
20
20
=⇒



=−
=
⇒





=











−
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 12 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,0,1x0,xu2 ≠== 
b) A equação característica de A é 
 
( ) .2e0020
11
110Adet 212 =λ=λ⇒=λ−λ⇒=λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 01 =λ , então .xy0yx0
0
y
x
11
11
−=⇒=+⇒





=











 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 01 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1xx,xu1 ≠−=−= 
Se 22 =λ , então .xy0yx
0yx
0
0
y
x
11
11
=⇒



=−
=+−
⇒





=











−
−
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 22 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1xx,xu2 ≠== 
 
9
c) A equação característica de A é 
 
( ) .3e1,10330
211
11
201
0Adet 32123 =λ=λ−=λ⇒=−λ+λ+λ−⇒=
λ−
λ−−
λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 11 −=λ , então .z2yezx
0z3yx
0zyx
0z2x2
0
0
0
z
y
x
311
111
202
−=−=⇒





=++
=++−
=+
⇒










=




















− 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 11 −=λ são da forma ( ) ( ) .0z,1,2,1zz,z2,zu1 ≠−−=−−= 
Se 12 =λ , então .xye0z
0zyx
0zyx
0z2
0
0
0
z
y
x
111
111
200
−==⇒





=++
=+−−
=
⇒










=




















−− 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 12 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,0,1,1x0,x,xu2 ≠−=−= 
Se 33 =λ , então .0yezx
0zyx
0zy3x
0z2x2
0
0
0
z
y
x
111
131
202
==⇒





=−+
=+−−
=+−
⇒










=




















−
−−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 33 =λ são da forma ( ) ( ) .0z,1,0,1zz,0,zu3 ≠== 
d) A equação característica de A é 
 
( ) .9e30814530
1142
1472
1441
0Adet 32123 =λ−=λ=λ⇒=+λ+λ+λ−⇒=
λ−−
λ−−
−λ−−
⇒=Ιλ− 
 
Se 31 −=λ , então .z7y2x0z14y4x2
0
0
0
z
y
x
1442
1442
1442
−=⇒=+−⇒










=




















−
−
−
 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 31 −=λ são da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0ze0y,1,0,7z0,1,2yz,0,z70,y,y2z,y,z7y2u1 ≠≠−+=−+=−= 
Se 93 =λ , então 
.zyx
0z2y4x2
0z14y16x2
0z14y4x10
0
0
0
z
y
x
242
14162
14410
==⇒





=+−
=+−
=+−−
⇒










=




















−
−
−−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 93 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1,1xx,x,xu3 ≠== 
e) A equação característica de A é 
 
( ) .10
568
010
233
0Adet 321 −=λ=λ=λ⇒=
λ−−
λ−−
−λ−
⇒=Ιλ− 
 
Se 1−=λ , então .y
2
3
x2z0z2y3x4
0
0
0
z
y
x
468
000
234
+=⇒=−+⇒










=




















−
−
 
 
10
Logo, os autovetores associados ao autovalor 1−=λ são da forma 
( ) ( ) .0ye0x,
2
3
,1,0y2,0,1xy
2
3
,y,0x2,0,xy
2
3
x2,y,xu1 ≠≠





+=





+=





+= 
f) A equação característica de A é 
 
( ) .6e202428100
321
141
123
0Adet 32123 =λ=λ=λ⇒=+λ−λ+λ−⇒=
λ−
λ−
λ−
⇒=Ιλ− 
Se 21 =λ , então .zy2x0zy2x
0
0
0
z
y
x
121
121
121
−−=⇒=++⇒










=




















 
Logo, os autovetores associados ao autovalor 21 =λ são da forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0ze0y,1,0,1z0,1,2yz,0,z0,y,y2z,y,zy2u1 ≠≠−+−=−+−=−−= 
Se 63 =λ , então 
.zyx
0z3y2x
0zy2x
0zy2x3
0
0
0
z
y
x
321
121
123
==⇒





=−+
=+−
=++−
⇒










=




















−
−
−
 
 Logo, os autovetores associados ao autovalor 63 =λ são da forma ( ) ( ) .0x,1,1,1xx,x,xu3 ≠==