Lista 3 Geometria Analítica e Álgebra Linear II

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA 
CURSOS DE ENGENHARIAS CIVIL E MECATRÔNICA 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS – GEOM. ANALÍTICA E ÁLG. LINEAR II 
 
1. Dentre as transformações T definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: 
a) ( ) .yxy,xT,RR:T 2 ⋅=→ b) ( ) ( ).y5x2,y3xy,xT,RR:T 22 +−=→ 
c) ( ) ( ).y2,|x|y,xT,RR:T 22 =→ d) ( ) ( ).0,yx,yxz,y,xT,RR:T 33 +−=→ 
e) ( ) ( ).z,x,y3x2z,y,xT,RR:T 233 +=→ f) ( ) ( ).y,yx2,y2xy,xT,RR:T 32 +−=→ 
2. Ache a transformação linear 22 RR:T → tal que ( ) ( ) ( ) ( ).3,17,4Te4,25,3T −== 
3. Ache a transformação linear 23 RR:T → tal que ( ) ( ) ( ) ( ) e1,10,1,0T,0,20,0,1T == 
( ) ( ).1,01,0,0T −= Encontre u de 3R tal que ( ) ( )2,3uT = . 
4. Ache a transformação linear 32 RR:T → tal que ( ) ( ) ( ) ( ).0,1,02,0Te1,2,31,1T =−= Calcule 
( ) ( ).1,0Te0,1T 
5. Ache a transformação linear 22 RR:T → tal que ( ) ( ) ( ) ( ).2,22,0Te1,21,1T −=−= Calcule 
( )0,1T e ( ).1,0T 
6. Escreva a matriz canônica das seguintes transformações lineares: 
( ) ( )yx3,yx3y,xT,RR:T)a 22 +−−=→ . ( ) ( )y2,x,yxy,xT,RR:T)b 32 +=→ . 
( ) ( )y,xy,xT,RR:T)c 22 −=→ . ( ) yx4z,y,xT,RR:T)d 3 −=→ . 
( ) ( )xz,zx,y3xz,y,xT,RR:T)e 33 −−−=→ . ( ) ( )y5x3,y2xy,xT,RR:T)f 22 +−+−=→ . 
7. Determine a transformação linear a partir da matriz canônica nos seguintes casos: 
a) [ ]










−
=
10
11
01
T . b) [ ] 





−
=
14
32
T . 
c) [ ] 





−
−
=
241
305
T . d) [ ]










−
−
=
401
312
031
T . 
8. Seja [ ]










−
−
=
31
02
21
T a matriz canônica de uma transformação linear 32 RR:T → . Se 
( ) ( ),2,4,2uT −= determine u. 
9. Sejam S e T operadores lineares de 2R definidos por ( ) ( ) ( ) ( ).y,x2y,xTey,y2xy,xS −=−= 
Determine TTeSS,ST,TS oooo . 
 
 
 
2 
10. O vetor ( )2,3v = experimenta seqüencialmente 
i) uma reflexão em torno da reta u = x; 
ii) uma contração na direção Oy de fator ;
3
1
 
iii) uma rotação de o90 no sentido anti-horário. 
Pede-se: 
a) Calcule o vetor resultante dessa seqüência de operações; 
b) Encontre a expressão da transformação linear 22 RR:T → que representa a composta 
das três operações; 
c) Determine a matriz canônica da composta das operações. 
11. Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 22 RemR que representa a 
seqüência de tranformações dadas: 
a) Dilatação de fator 2 na direção Ox, seguida de uma reflexão em relação ao eixo Ox. 
b) Contração de 
2
1
, seguida de uma rotação horária de o45 . 
c) Rotação de o60 , seguida de uma reflexão em relação ao eixo Oy. 
d) Rotação de o45 , seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e depois uma 
dilatação de fator 22 na direção Oy. 
12. Ache os autovalores e os autovetores do operador T de 2R definidos por: 
( ) ( )yx,yxy,xT)a −+= ( ) ( )y,xy,xT)b −−= 
( ) ( )y3x,yx5y,xT)c +−= ( ) ( )x,yy,xT)d −= 
13. Ache os autovalores e os autovetores do operador T de 3R definidos por: 
( ) ( )zyx2,z2yx,yxz,y,xT)a −++−+= ( ) ( )z3y2,zy2,zyxz,y,xT)b ++++= 
( ) ( )z,y,yxz,y,xT)c += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2,31,0,0Te2,1,20,1,0T,0,0,20,0,1T)d === 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,1,51,0,0Te0,0,00,1,0T,0,0,00,0,1T)e −=== 
14. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: 






−
=
10
21
A)a 





=
11
11
A)b 










−=
211
101
201
A)c 










−
−
−−
=
1142
1472
1441
A)d 










−
−
−
=
568
010
233
A)e 










=
321
141
123
A)f