CALCULO 1

Prévia do material em texto

IEM011 – Cálculo I 
1ª Lista de Exercícios – Funções e Gráficos 
1. Calcule 
 
2. Simplifique 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 (ℎ ≠ 0) sendo 𝑓(𝑥) igual a: 
 
3. Dê o domínio e esboce o gráfico 
 
IEM011 – Cálculo I 
1ª Lista de Exercícios – Funções e Gráficos 
 
 
4. a) Verifique que √1 + 𝑥2 − |𝑥| =
1
√1+𝑥2−|𝑥|
 . Conclua que medida 
|𝑥| cresce a diferença se entre √1 + 𝑥2 − |𝑥| se aproxima de zero. 
b) Esboce o gráfico de 𝑦 = √1 + 𝑥2 
 
5. Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implicitamente pela equação. 
 
6. Um móvel desloca-se (em movimento retilíneo) de (0,0) a (x,10) com 
uma velocidade constante de 1 m/s; em seguida, de (x,10) a (30,10) em 
MRU a 2 m/s. Expresse o tempo total T(x), gasto no percurso, em função 
de x. 
7. (x,y) é um ponto do plano cuja soma de distâncias a (-1,0) e (1,0) é 
igual a 4. 
a) Verifique que 
𝑥2
4
+
𝑦2
3
= 1 
b) Supondo 𝑦 ≥ 0, expresse em função de x e esboce o gráfico da 
função obtida. 
8. A reta r passa pelo ponto (1,2) e intercepta os eixos coordenados nos 
pontos A e B. Expresse a distância d entre A e B, em função do 
coeficiente angular m. (suponha m<0) 
9. Na fabricação de uma caixa, de forma cilíndrica, e volume 1 
m³,utilizam-se, nas laterais e no fundo, um material que custa $ 1000 o 
metro quadrado e na tampa um outro que custa $2000 o metro 
IEM011 – Cálculo I 
1ª Lista de Exercícios – Funções e Gráficos 
quadrado. Expresse o custo C do material utilizado, em função do raio 
r da base 
10. Expresse a área A de um triângulo equilátero em função do lado l 
11. Um retângulo está inscrito numa circunferência de raio r dado. 
Expresse a área A do retângulo em função de um dos lados do retângulo. 
12. Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio r dado. 
Expresse o volume V do cilindro em função da altura h do cilindro. 
13. Entre os retângulos de perímetro 2p dado, qual o de área 
máxima? 
14. Um arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em dois 
pedaços, um dos quais será torcido a formar um quadrado e o outro, a 
formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a 
soma das áreas limitadas pelas figuras obtidas seja mínima? 
15. 
 a) Justifique geometricamente: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 (𝑚 ≠ 0) e 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑛1 
são perpendiculares se e somente se 𝑚𝑚1 = −1 
b) Determine a equação da reta perpendicular à reta y=3x+1 em (-
1,1) 
16. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 =
1
2
[𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑎 − 𝑏)] 
b) 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏)]