Lista Cadeia de Markov sem GABARITO 20170905 2001 20180827 1107

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EXEMPLOS – CADEIAS DE MARKOV 
 
 
Exemplo 1: 
 
Neste exemplo, os produtos são dois jornais de uma cidade, concorrentes entre si. 
A lealdade à marca está no fato de o assinante mudar ou não de jornal ao longo 
do tempo. Vejamos os detalhes. 
 
A cidade de Lagoa Rasa, no estado gaúcho, possui apenas dois jornais: O Diário 
de Lagoa Rasa e a Gazeta de Lagoa Rasa. Atualmente (chamemos o momento 
atual de t), há 4.000 assinantes de Jornal em Lagoa Rasa, sendo 2.400 assinantes 
do Diário, que detém 60% do mercado e 1.600 assinantes da Gazeta, que detém 
40% do mercado. 
 
Uma pesquisa conduzida no momento seguinte (t+1) revela que o número de 
assinantes ainda é 4.000, mas agora temos: 2.300 assinantes do Diário e 1.700 
assinantes da Gazeta. Assim, o Diário passa a contar agora com 57,5% dos 
assinantes, e a Gazeta, com 42,5%. 
 
Podemos considerar que temos um experimento – na linguagem estatística – com 
dois resultados possíveis: ser assinante do Diário ou ser assinante da Gazeta. 
Esses resultados têm probabilidades de ocorrência variáveis. 
 
Por outro lado, uma análise apressada pode sugerir que o Diário simplesmente 
perdeu 100 assinantes para a Gazeta; assim, o número de assinantes do Diário 
teria baixado de 2.400 para 2.300, enquanto o número de assinantes da Gazeta 
teria aumentado de 1.600 para 1.700. Tudo isso nos leva a crer que o Diário, com 
o tempo, poderá perder todos os seus assinantes para a Gazeta. Entretanto, essa 
conclusão seria apressada. 
 
Vamos por partes. Em primeiro lugar, deveríamos considerar a hipótese de que 
novos assinantes estivessem agora no mercado, enquanto velhos assinantes 
tivessem se retirado. Muitas combinações seriam possíveis para se chegar aos 
números da pesquisa. Vamos, entretanto, supor que uma nova pesquisa revelou 
que não houve alteração nas listas de assinantes, ou seja, ninguém entrou e 
ninguém saiu; houve apenas troca de um jornal pelo outro, mas da seguinte 
maneira: 240 assinantes do Diário passaram a assinar a Gazeta, mas em 
compensação 140 assinantes da Gazeta passaram a assinar o Diário. A Gazeta, 
portanto, um ganho líquido de (240-140), isto é, de 100 assinantes. 
 
a) Faça alguns cálculos, que nos definam as probabilidades de transição 
(transições da assinatura de um jornal para a assinatura do mesmo jornal 
ou do outro). 
b) Considerando a matriz de probabilidades de estado no momento inicial t, 
calcular as probabilidades de estado nos 3 momentos posteriores. 
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c) Calcular as probabilidades de estado no equilíbrio e interpretar os 
resultados. 
d) Admita que as probabilidades de transição do Diário para o Diário e para a 
Gazeta permaneçam as mesmas. Assuma agora que a probabilidade de 
que um assinante da Gazeta permaneça com a mesma assinatura seja 1,0, 
isto é, seja nula a probabilidade de que um assinante da Gazeta migre para 
o Diário. Calcule as probabilidades de estado no equilíbrio e interprete os 
resultados. 
 
 
Exemplo 2: 
 
Vamos supor que a equipe dirigente do Diário aceite que, na pior das hipóteses, o 
mercado seja dividido igualmente entre os dois jornais. Sem alterar as 
probabilidades de transição de G (Gazeta), de quanto deverá ser a probabilidade 
de retenção de assinantes de D (Diário) para que ambos os jornais atinjam 50% 
do mercado de assinantes cada um? 
 
 
Exemplo 3: 
 
Voltemos à cidade de Lagoa Rasa, para estudar agora o seu mercado regional de 
aguardente de cana. Operam ali três marcas, com as seguintes fatias de mercado: 
 
- Caninha Trinta e Três (50% do mercado) 
- Aguardente Velho Tropeiro (30% do mercado) 
- Caninha Cachorrinho (20% do mercado) 
 
Chamemos essas marcas, respectivamente, por T, V e C. 
Por outro lado, é conhecida a seguinte matriz de transição, referente às três 
marcas. 
 
Matriz de Probabilidades de Transição 
 
 Marcas de Aguardente 
 Para 
 T V C 
De T 0,70 0,15 0,15 
De V 0,04 0,80 0,16 
De C 0,07 0,08 0,85 
 
 
a) Considerando a matriz de probabilidades de estado no momento inicial, 
calcular as probabilidades de estado nos 2 momentos posteriores. 
b) Calcular as probabilidades de estado no equilíbrio e interpretar os 
resultados. 
 
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Exemplo 4: 
 
Duas marcas de sabonete disputam um certo segmento de mercado, e essa 
disputa poder ser expressa como um processo de Markov com as seguintes 
probabilidades de transição: 
 
 
Para 
De Imensée Perfume Maior 
Imensée 0,90 0,10 
Perfume Maior 0,07 0,93 
 
a) Qual marca parece ter os clientes mais leais? Por quê? 
b) Calcular as fatias de mercado projetadas para cada uma das marcas. 
 
 
Exemplo 5: 
 
Dada a tabela de probabilidades de transição a seguir, determinar as 
probabilidades de estado no equilíbrio. 
 
 
Para 
De Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 
Estado 1 1 0 0 0 
Estado 2 0 1 0 0 
Estado 3 0,5 0,1 0,2 0,2 
Estado 4 0,6 0,1 0,1 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 6: 
 
Um professor de engenharia compra um novo computador cada dois anos e tem 
preferência por três modelos: M1, M2 e M3. Se o modelo atual for M1, o próximo 
computador pode ser M2 com probabilidade 0,2 ou M3 com probabilidade 0,15. Se 
o modelo atual for M2, as probabilidades de trocar para M1 e M3 são 0,6 e 0,25, 
respectivamente, e, se o modelo atual for M3, então as probabilidades de trocar 
para M1 e M2 são 0,5 e 0,1, respectivamente. 
 
Represente a situação como uma cadeia de Markov. 
 
 
Exemplo 7: 
 
Um carro de polícia está patrulhando uma região conhecida pelas atividades de 
gangues. Durante uma patrulha, há 60% de chance de a localidade que precisar 
de ajuda ser atendida a tempo, senão o carro continuará sua patrulha normal. Ao 
receber uma chamada, há 10% de chance de cancelamento (quando o carro volta 
a sua patrulha normal) e 30% de chance de o carro já estar atendendo a uma 
chamada anterior. 
 
Quando o carro de polícia chega à cena, há 10% de chance de os arruaceiros 
terem fugido (então o carro volta à patrulha) e 40% de chance de uma prisão 
imediata. Caso contrário, os policiais farão uma busca na área. Se ocorrer uma 
prisão, há 60% de chance de transportar os suspeitos até o distrito policial; caso 
contrário, serão liberados e o carro volta à patrulha. 
 
Expresse as atividades probabilísticas da patrulha policial sob a forma de uma 
matriz de transição. 
 
 
Exemplo 8: 
 
Pacientes que sofrem de falência renal podem fazer um transplante ou diálise 
periódica. Durante qualquer ano, 30% conseguem transplantes de pessoas que 
morreram e 10% recebem rins de um doador vivo. No ano seguinte a um 
transplante, 30% dos transplantados com rins de pessoas mortas e 15% dos que 
receberam rins de doadores vivos voltam à diálise. As porcentagens de óbitos 
entre os dois grupos são 20% e 10%, respectivamente. Entre os que continuam 
com a diálise, 10% morrem, e, entre os que sobrevivem mais de um ano após o 
transplante, 5% morrem e 5% voltam à diálise. 
 
Represente a situação como uma cadeia de Markov. 
 
 
 
 
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Exemplo 9: 
 
Todo ano, no início da estação de plantio de mudas (março a setembro), um 
jardineiro usa um teste químico para verificar a condição do solo. Dependendo do 
resultado do teste, a produtividade para a nova estação cai em três estados: 1) 
bom; 2) razoável e 3) ruim. Ao longo dos anos, o jardineiro observou que a 
condição do solo no ano anterior causava um impacto sobre a produtividade no 
ano corrente e que a situação podia ser descrita pela seguinte cadeia de Markov: 
 
 Estado do sistema no ano seguinte 
1 2 3 
Estado do 
sistema 
neste ano 
1 0,2 0,5 0,3 
2 0 0,5 0,5 
3 0 0 1 
 
Porém, o jardineiro pode alterar as probabilidades de transição (P) usando 
fertilizante para melhorar a condição do solo. Nesse caso, a matriz de transição se 
torna: 
 Estado do sistema no ano seguinte1 2 3 
Estado do 
sistema 
neste ano 
1 0,30 0,60 0,10 
2 0,10 0,60 0,30 
3 0,05 0,40 0,55 
 
Suponha que o custo do fertilizante seja R$50 por saco e que o jardim precise de 
dois sacos se o solo estiver bom. A quantidade de fertilizante é 25% maior se o 
solo estiver razoável e 60% maior se o solo estiver ruim. O jardineiro estima que o 
rendimento anual será de R$250 se não for utilizado fertilizante e R$420 se ele for 
aplicado. Vale a pena utilizar o fertilizante? 
 
 
Exemplo 10: 
 
Em um domingo ensolarado de primavera, o MiniGolf pode obter R$2.000 de 
receita bruta. Se o dia estiver nublado, a receita cai 20%. Um dia chuvoso reduz a 
receita em 80%. Se o dia de hoje estiver ensolarado, há 80% de chance que 
amanhã o tempo também vai estar ensolarado, sem nenhuma chance de chuva. 
Se o dia estiver nublado, há 20% de chance de chover amanhã e 30% de chance 
de fazer sol. A chuva continuará no dia seguinte com uma probabilidade de 0,8, 
mas há 10% de chance de fazer sol. 
 
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a) Determine a receita diária esperada para o MiniGolf. 
b) Determine o número médio de dias em que o tempo não estará ensolarado. 
 
 
Exemplo 11: 
 
Joe adora jantar em restaurantes de comida típica. Seus pratos favoritos são os 
mexicanos, italianos, chineses e tailandeses. Na média ele paga R$10 por uma 
refeição mexicana, R$15 por uma refeição italiana, R$9 por uma refeição chinesa 
e R$11 por uma refeição tailandesa. Os hábitos alimentares de Joe são 
previsíveis: há 70% de chance de a refeição de hoje ser uma repetição da de 
ontem e probabilidades iguais de trocar para uma das três restantes. 
 
a) Quanto Joe pagará em média por seu jantar diário? 
b) Com que freqüência Joe come um prato mexicano? 
 
 
Exemplo 12: 
 
Alguns ex-detentos passam o resto de suas vidas em um de quatro estados: em 
liberdade, em julgamento, na prisão ou em liberdade condicional. As estatísticas 
mostram que, no início de cada ano, há 50% de chance de um ex-detento em 
liberdade cometer um novo crime e ir a julgamento. O juiz pode mandá-lo para a 
prisão com probabilidade 0,6 ou lhe conceder liberdade condicional com 
probabilidade 0,4. 
 
Uma vez na prisão, 10% dos ex-detentos serão postos em liberdade por bom 
comportamento. Dos que estão em liberdade condicional, 10% cometem novos 
crimes e são levados a novos julgamentos, 50% voltarão para a prisão para 
cumprir o resto de suas sentenças por violação das condições da liberdade 
condicional e 10% serão postos em liberdade por falta de provas. Os contribuintes 
de imposto de renda financiam os custos associados à punição de ex-
condenados. Estima-se que um julgamento custará aproximadamente R$5.000, 
uma sentença de prisão R$20.000 e um período de liberdade condicional 
R$2.000. 
 
a) Determine o custo esperado por ex-detento? 
b) Qual é o tempo de um ex-detento voltar para a prisão? 
c) Qual é o tempo de um ex-detento voltar para julgamento? 
 
 
Exemplo 13: 
 
Há três categorias de contribuintes do Imposto de Renda nos Estados Unidos: os 
que nunca sonegam impostos, os que sonegam às vezes e os que sempre 
sonegam. Um exame de auditorias de declarações de Imposto de Renda de um 
ano para o ano seguinte mostra que 95% dos que não sonegaram impostos no 
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ano anterior continuam na mesma categoria no ano corrente, 4% passam para a 
categoria “às vezes” e o restante passa para a categoria “sempre”. No caso dos 
que sonegam às vezes, 6% passam para “nunca”, 90% continuam na mesma 
categoria e 4% passam para “sempre”. Quanto aos que “sempre” sonegam, as 
porcentagens respectivas são 0%, 10% e 90%. 
 
a) Expresse o problema como uma cadeia de Markov. 
b) No longo prazo, quais seriam as porcentagens de sonegadores nas 
categorias “nunca”, “às vezes” e “sempre”? 
c) Estatísticas mostram que o contribuinte da categoria “às vezes” sonega 
impostos de aproximadamente $5.000 por declaração, e os da categoria 
“sempre”, de aproximadamente $12.000. Considerando uma taxa de 
imposto sobre a renda de 12% e uma população de contribuintes de 70 
milhões, determine a redução anual no recolhimento de impostos devido à 
sonegação. 
 
 
Exemplo 14: 
 
Um labirinto para camundongos consiste nos caminhos mostrados na Figura: 
 
 
 
A interseção 1 é a entrada do labirinto e a interseção 5 é a saída. Em qualquer 
interseção, o camundongo tem probabilidades iguais de selecionar qualquer um 
dos caminhos disponíveis. Quando chegar na interseção 5, o camundongo poderá 
voltar a circular no labirinto. 
 
a) Determine o labirinto como uma cadeia de Markov. 
b) Determine a probabilidade de o camundongo chegar à saída após três 
tentativas se começar na interseção 1. 
c) Determine a probabilidade de longo prazo de o camundongo localizar a 
interseção de saída. 
d) Determine o número médio de tentativas necessárias para chegar ao ponto 
de saída partindo da interseção 1. 
 
 
 
 
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Exemplo 15: 
 
Cliente tendem a demonstrar fidelidade a marcas de produtos, mas podem ser 
persuadidos a trocar de marcas por meio de marketing e propaganda inteligentes. 
Considere o caso de três marcas: A, B e C. A fidelidade “inabalável” do cliente a 
uma dada marca é estimada em 75%, o que dá aos concorrentes uma margem de 
apenas 25% para conseguir uma troca. Os concorrentes lançam suas campanhas 
publicitárias uma vez por ano. Para os cliente da marca A, as probabilidades de 
trocar para as marcas B e C são 0,1 e 0,15; respectivamente. Clientes da marca B 
têm probabilidades 0,2 e 0,05, respectivamente, de trocar para A e C. Clientes da 
marca C podem trocar para as marcas A e B com probabilidades iguais. 
 
a) Expresse a situação como uma cadeia de Markov. 
b) Qual será a participação de cada marca no longo prazo? 
c) Quanto tempo levará em média para um cliente da marca A trocar para a 
marca B? e para a marca C? 
 
 
Exemplo 16: 
 
Estudantes do PURO ficaram insatisfeitos com a rapidez com que se deu a 
disciplina de Cálculo I. Para enfrentar esse problema, agora o departamento de 
matemática está oferecendo Cálculo I em 4 módulos. Os estudantes 
estabelecerão seu ritmo individual para cada módulo e, quando estiverem prontos, 
farão testes que os levará para o próximo módulo. Os testes são aplicados uma 
vez a cada 4 semanas, de modo que um estudante aplicado pode concluir os 4 
módulos em um semestre. Após dois anos de aplicação desse programa 
autocontrolado observou-se que 20% dos estudantes não concluem o primeiro 
módulo a tempo. As porcentagens para os módulos 2 a 4 são 22%, 25% e 30%, 
respectivamente. 
 
a) Expresse o problema como uma cadeia de Markov. 
b) Na média, um estudante que começa com o módulo I no início do semestre 
corrente poderia fazer Calculo II no semestre seguinte (Cálculo I é um pré-
requisito para Cálculo II? 
c) Um estudante que concluísse somente um módulo no semestre anterior 
conseguiria terminar Cálculo I ao final do semestre corrente? 
d) Você recomendaria que a utilização da idéia do módulo fosse estendida a 
outras matérias básicas de matemática? Porque?