Exercícios de Estatística Descritiva

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat´ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerc´ıcios: Estat´ıstica Descritiva
1. Foram registradas as seguintes medidas para o tempo de secagem, em horas, de certa marca de
tinta la´tex:
3,4 2,5 4,8 2,9 3,6 2,8 3,3 5,6 3,7 2,8
4,4 4,0 5,2 3,0 4,8
Suponha que as medidas sejam uma amostra aleato´ria simples.
(a) Qual e´ o tamanho da amostra acima? R: n=15
(b) Calcule a me´dia amostral para esse conjunto de dados. R: x = 3, 7867
(c) Calcule a mediana amostral. R: x˜ = 3, 6
2. De acordo com uma publicac¸a˜o na a´rea de Engenharia Qu´ımica, uma importante propriedade
da fibra e´ sua absorc¸a˜o de a´gua. Uma amostra aleato´ria de 20 pedac¸os de fibra de algoda˜o foi
retirada e a absorc¸a˜o de cada pedac¸o foi medida. Temos os seguintes valores de absorc¸a˜o:
18,71 21,41 20,72 21,81 19,29 22,43 20,17
23,71 19,44 20,50 18,92 20,33 23,00 22,85
19,25 21,77 22,11 19,77 18,04 21,12
Calcule a me´dia e mediana amostrais para os valores de absorc¸a˜o. R: x = 20, 7675 e x˜ = 20, 61
3. Certo pol´ımero e´ usado em sistemas de evacuac¸a˜o para aeronaves. E´ importante que o pol´ımero
seja resistente ao processo de envelhecimento. Vinte espe´cimes dele foram usados no experi-
mento. Dez foram escolhidos aleatoriamente para ser expostos ao processo de acelerac¸a˜o de
envelhecimento que envolve exposic¸a˜o a altas temperaturas por dez dias. Foram tomadas as
medidas da resisteˆncia a` tensa˜o dos espe´cimes e os seguintes dados de resisteˆncia a` tensa˜o, em
psi, foram registrados:
1
Sem envelhecimento
227 222 218 217 225 218 216 229 228 221
Com envelhecimento
219 214 215 211 209 218 203 204 201 205
(a) Fac¸a um diagrama de pontos conjunto dos dados.
(b) Analisando o gra´fico, podemos dizer que o processo de envelhecimento tem efeito na re-
sisteˆncia a` tensa˜o desse pol´ımero? Explique. R: Sim. A resisteˆncia a` tensa˜o e´ fortemente
reduzida devido ao processo de envelhecimento.
(c) Calcule a me´dia amostral da resisteˆncia a` tensa˜o nas duas amostras; R: x (sem envelheci-
mento) = 222,1 e x (com envelhecimento) = 209,9.
(d) Calcule a mediana de ambas. Discuta a similaridade ou a falta dela entre a me´dia e a
mediana de cada grupo; R: x˜ (sem envelhecimento) = 221,5 e x˜ (com envelhecimento) =
210. A me´dia e a mediana, de cada grupo, sa˜o similares.
4. Em um estudo conduzido por um departamento de Engenharia Mecaˆnica de uma universidade,
as barras de ac¸o fornecidas por duas empresas diferentes foram comparadas. Dez amostras de
molas foram feitas dessas barras de ac¸o fornecidas por cada empresa e foi calculada a flexibilidade
de cada uma delas. Os dados sa˜o os que seguem:
Empresa A
9,3 8,8 6,8 8,7 8,5 6,7 8,0 6,5 9,2 7,0
Empresa B
11,0 9,8 9,9 10,2 10,1 9,7 11,0 11,1 10,2 9,6
(a) Calcule a me´dia e a mediana dos dados das duas empresas. R: xA = 7, 95; xB = 10, 26;
x˜A = 8, 25; x˜B = 10, 15
(b) Fac¸a um diagrama de pontos conjunto para as duas empresas e deˆ sua opinia˜o. R: As barras
de ac¸o fornecidas pela empresa B mostram mais flexibilidade.
5. Acredita-se que a resisteˆncia a` tensa˜o da borracha siliconizada seja uma func¸a˜o da temperatura
de cura. Um estudo foi realizado, no qual amostras de 12 espe´cimes de borracha foram preparadas
usando temperaturas de cura de 200C e 450C. Os dados mostram os valores de resisteˆncia a`
tensa˜o, em megapascals:
200C
2,07 2,14 2,22 2,03 2,21 2,03 2,05 2,18 2,09 2,14 2,11
2,02
2
450C
2,52 2,15 2,49 2,03 2,37 2,05 1,99 2,42 2,08 2,42 2,08
2,42 2,29 2,01
(a) Mostre o diagrama de pontos dos valores da resisteˆncia a` tensa˜o em temperaturas baixas e
altas.
(b) Calcule a me´dia amostral da resisteˆncia a` tensa˜o em ambas as amostras. R: x200C = 2, 1075
e x450C = 2, 2371
(c) A temperatura de cura parece ter influeˆncia na resisteˆncia a` tensa˜o baseando-se no gra´fico?
Comente. R: Baseando-se no gra´fico, parece que temperaturas altas produzem resisteˆncias
a` tensa˜o maiores, juntamente com alguns valores baixos de resisteˆncia a` tensa˜o. Em geral,
a temperatura tem influeˆncia sobre a resisteˆncia a` tensa˜o.
(d) Alguma outra coisa parece ser influenciada pelo aumento na temperatura de cura? Explique.
R: Parece que a variabilidade da resisteˆncia a` tensa˜o torna-se maior quando ocorre o aumento
da temperatura.
6. Considere os dados do tempo de secagem do Exerc´ıcio 1. Calcule a variaˆncia e o desvio padra˜o
amostrais. R: s = 0, 9709 e s2 = 0, 9427.
7. Calcule a variaˆncia e o desvio padra˜o amostrais para os dados sobre absorc¸a˜o de a´gua do Exerc´ıcio
2. R: s = 1, 5915 e s2 = 2, 5329.
8. Calcule a variaˆncia e o desvio padra˜o amostrais para os dados da resisteˆncia a` tensa˜o em ambas
as amostras do Exerc´ıcio 3. R: s (sem envelhecimento) = 4,8637; s2 (sem envelhecimento) =
23,6556; s (com envelhecimento) = 6,4884; s2 (com envelhecimento) = 42,1.
9. Calcule a variaˆncia da flexibilidade para as empresas A e B, do exerc´ıcio 4. R: s2A = 1, 2072;
s2B = 0, 3249.
10. Para o exerc´ıcio 5, calcule o desvio padra˜o amostral da resisteˆncia a` tensa˜o separadamente
para as duas temperaturas. O aumento nas temperaturas parece influenciar a variabilidade da
resisteˆncia a` tensa˜o? Explique. R: s200C = 0, 0708; s450C = 0, 1985; Sim. A variabilidade da
resisteˆncia a` tensa˜o e´ influenciada pelo aumneto da temperatura de cura.
11. Uma indu´stria de componentes eletroˆnicos esta´ interessada em determinar a vida u´til de certo
tipo de bateria. Uma amostra, em horas, segue abaixo:
123, 116, 122, 110, 175, 126, 125, 111, 118, 117
(a) Encontre a me´dia e a mediana amostrais. R: x = 124, 3; x˜ = 120.
3
(b) Qual caracter´ıstica nessa amostra e´ responsa´vel pela considera´vel diferenc¸a entre as duas?
R: 175 e´ um valor discrepante.
12. Uma indu´stria de pneus quer determinar o diaˆmetro interno de certa graduac¸a˜o de pneu. Ideal-
mente, o diaˆmetro deveria ser de 570 mm. Os dados seguem abaixo:
572, 572, 573, 568, 569, 575, 565, 570
(a) Encontre a me´dia e a mediana amostrais. R: x = 570, 5; x˜ = 571;
(b) Encontre a variaˆncia, o desvio padra˜o e a amplitude amostrais. R: s = 3, 1623; s2 = 10;
R = 10;
(c) Usando as estat´ısticas calculadas em (a) e (b), voceˆ pode comentar a qualidade dos pneus?
R: A variabilidade dos diaˆmetros parece estar grande.
13. Um estudo dos efeitos do tabagismo nos padro˜es de sono e´ conduzido. A medida observada e´ o
tempo, em minutos, que se leva para dormir. Os dados obtidos sa˜o:
Fumantes
69,3 56,0 22,1 47,6 53,2 48,1 52,7 34,4 60,2 43,8 23,2
13,8
Na˜o-fumantes
28,6 25,1 26,4 34,9 29,8 28,4 38,5 30,2 30,6 31,8 41,6
21,1 36,0 37,9 13,9
(a) Encontre a me´dia amostral de cada grupo. R: x (fumantes)=43,7; x (na˜o-fumantes)=30,32;
(b) Encontre o desvio padra˜o amostral de cada grupo. R: s (fumantes)=16,9277; s (na˜o-
fumantes)=7,1278;
(c) Fac¸a um diagrama de pontos dos dois conjuntos de dados.
(d) Comente o tipo de impacto que o fumo aparenta ter no tempo que se leva para dormir. R:
Os fumantes aparentam levar mais tempo para dormir e o tempo para dormir do grupo de
fumantes e´ mais varia´vel, ou seja, apresenta maior variabilidade.
14. Suponha que a seguinte informac¸a˜o sobre defeitos estruturais nas portas dos automo´veis seja
obtida: 4 arranho˜es, 4 buracos, 21 pec¸as subaparadas, 8 fendas perdidas, 5 pec¸as na˜o lubrificadas,
30 pec¸as fora de contorno e 3 pec¸as com rebarbas. A Figura 1 apresenta o diagrama de Pareto.
Interprete! R: Podemos observar que a melhoria da qualidade das portas dos automo´veis pode
ser alcanc¸ada se dois pontos principais de defeitos forem analisados: pec¸as fora do contorno e
pec¸as subaparadas.4
Figura 1: Diagrama de Pareto para defeito em portas de automo´veis.
15. Os dados no diagrama de ramo-e-folhas abaixo sa˜o valores de compressa˜o (psi) de corpos-de-
prova de uma nova liga de alumı´nio-l´ıtio estudada para compor partes estruturais de aeronaves.
Legenda: 07 | 6 = 76
07 | 6
08 | 7
09 | 7
10 | 15
11 | 058
12 | 013
13 | 133455
14 | 12356899
15 | 001344678888
16 | 0003357789
17 | 0112445668
18 | 0011346
19 | 034699
20 | 0178
21 | 8
22 | 189
23 | 7
Figura 2: Diagrama de ramo-e-folhas para compressa˜o.
Obtenha:
(a) O nu´mero de elementos da amostra. R: n = 79;
5
(b) A amplitude da amostra. R: R = 161;
(c) A mediana da amostra. R: x˜ = 160;
(d) A frequeˆncia absoluta de cada classe (ramo) do diagrama. R: 1; 1; 1; 2; 3; · · · ; 3; 1;
(e) A frequeˆncia relativa de cada classe (ramo) do diagrama. R: 1/79; 1/79; 1/79; 2/79; 3/79; · · · ; 3/79; 1/79.
16. O histograma, a seguir, representa o tempo (em segundos) para carga de um aplicativo, num
sistema compartilhado.
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,8 4,9 4,9 4,9 4,9 5,1 5,1
5,1 5,1 5,1 5,2 5,3 5,4 5,4 5,4 5,5 5,6 5,6 5,7 5,7 5,7 5,7
5,9 6,0 6,0 6,2 6,2 6,2 6,3 6,3 6,4 6,5 6,7 6,8 6,8 6,9
7,0 7,1 7,3 7,3 8,2 8,2 8,3 8,4 8,9 9,1 9,9 14,1
Figura 3: Histograma para o tempo (em segundos) para carga de um aplicativo.
Obtenha:
(a) Quantas classes? R: 10;
(b) Quais sa˜o as classes? R: [4, 1; 5, 1); [5, 1; 6, 1); · · ·; [13, 1; 14, 1];
(c) Qual o tamanho de cada classe? R: 1 s;
(d) A frequeˆncia absoluta de cada classe. R: [4, 1; 5, 1) = 13; · · ·; [13, 1; 14, 1] = 1;
(e) A frequeˆncia relativa de cada classe. R: [4, 1; 5, 1) = 13/56; · · ·; [13, 1; 14, 1] = 1/56;
(f) A densidade de cada classe. R: [4, 1; 5, 1) = 13/56; · · ·; [13, 1; 14, 1] = 1/56;
(g) O nu´mero de elementos da amostra. R: n = 56;
(h) A amplitude da amostra. R: R = 10.
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17. Considere a seguinte amostra aleato´ria de um experimento:
0,5 2,3 8,0 9,8 4,0 15,3 6,4 13,5 12,0 0,6 31,0
Calcule:
(a) Mediana? R: 8,0;
(b) Primeiro Quartil? R: 2,3;
(c) Terceiro Quartil? R: 13,5;
(d) Amplitude interquartil. R: 11,2;
(e) Existe(m) valor(es) discrepante(s)? R: Sim. A observac¸a˜o 31 e´ um valor discrepante.
18. A Figura 4 mostra os diagramas de caixa comparativos para o ı´ndice de qualidade de fabricac¸a˜o
de dispositivos semicondutores em treˆs plantas de fabricac¸a˜o.
Figura 4: Diagramas de caixas comparativos de um ı´ndice de qualidade em treˆs plantas.
Interprete! R: A ana´lise da comparac¸a˜o entre os diagramas de caixa revela que existe muito
mais variabilidade na planta 2 e que as plantas 2 e 3 precisam melhorar o desempenho de seus
ı´ndices de qualidade.
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