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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat´ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerc´ıcios: Varia´veis Aleato´rias Discretas
1. A distribuic¸a˜o de probabilidade de X, o nu´mero de imperfeic¸o˜es a cada dez metros de um tecido
sinte´tico produzido em rolos cont´ınuos de largura uniforme, e´ dada por:
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
Construa a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X. R: F(x)=0; 0,41; 0,78; 0,94; 0,99;1
2. Suponha que se saiba, com base em um grande nu´mero de dados histo´ricos, que X, o nu´mero de
carros que chegam a uma intersec¸a˜o espec´ıfica durante um per´ıodo de tempo de 20 segundos, e´
caracterizado pela seguinte func¸a˜o de probabilidade discreta
f(x) = e−6 6
x
x! , x = 0, 1, 2, · · ·
(a) Determine a probabilidade de que, em um per´ıodo espec´ıfico de 20 segundos, mais de oito
carros cheguem a` intersec¸a˜o; R: 0,1528
(b) Determine a probabilidade de que apenas dois carros cheguem. R: 0,0446
3. Determine o nu´mero me´dio de imperfeic¸o˜es por dez metros de tecido, referente ao exerc´ıcio 1.
R: 0,88
4. Um atendente e´ pago de acordo com o nu´mero de carros que passam pelo lava-ra´pido. Suponha
que as probabilidades sejam 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 e 1/6, respectivamente, de que o atendente
receba R$ 7, R$ 9, R$ 11, R$ 13, R$ 15 ou R$ 17, entre as 16h e 17h, em uma sexta-feira
ensolarada. Determine os ganhos esperados do atendente para esse per´ıodo em particular. R:
R$ 12,67
1
5. Ao investir em uma ac¸a˜o espec´ıfica, uma pessoa pode gerar um lucro de R$ 4.000 em uma ano
com probabilidade de 0,3, ou perder R$ 1.000 em um ano com probabilidade de 0,7. Qual e´ o
ganho esperado da pessoa? R: R$ 500
6. Encontre a variaˆncia da varia´vel aleato´ria X do exerc´ıcio anterior? R: R$ 5.250.000
7. Determine a variaˆncia e o desvio padra˜o do nu´mero de imperfeic¸o˜es. R: 0,8456; 0,9196
8. De acordo com uma publicac¸a˜o na a´rea de Engenharia Qu´ımica, aproximadamente 30% de todas
as falhas nas tubulac¸o˜es das indu´strias sa˜o causadas por erro do operador.
(a) Qual e´ a probabilidade de que, das pro´ximas 20 falhas na tubulac¸a˜o, pelo menos dez sejam
por erro do operador? R: 0,0480
(b) Qual e´ a probabilidade de que na˜o mais que quatro de 20 falhas sejam causadas por erro do
operador? R: 0,2375
9. Ao testar certo tipo de pneu de caminha˜o em um terreno irregular, descobriu-se que 25% dos
caminho˜es falhavam ao tentar completar o percurso do teste sem ter pneus estourados. Dos
pro´ximos 15 caminho˜es testados, determine a probabilidade de que:
(a) de treˆs a seis tera˜o pneus furados; R: 0,7073
(b) menos de quatro tera˜o pneus furados; R: 0,4613
(c) mais de cinco tera˜o pneus furados. R: 0,1484
10. Um engenheiro de controle de tra´fego relata que 75% dos ve´ıculos que passam por um ponto
de checagem sa˜o do estado. Qual e´ a probabilidade de que menos de quatro dos pro´ximos nove
ve´ıculos sejam de fora do estado? R: 0,8343
11. Um engenheiro de seguranc¸a afirma 40% de todos os trabalhadores usam capacetes quando
almoc¸am no local de trabalho. Assumindo que a afirmac¸a˜o esteja correta, determine a probabili-
dade de que quatro de seis trabalhadores, escolhidos aleatoriamente, estejam usando os capacetes
enquanto almoc¸am no local de trabalho. R: 0,1382
12. Suponha que, para um grande carregamento de chips de circuito integrado, a probabilidade de
falha em qualquer um deles seja de 0,10. Assumindo que as suposic¸o˜es que fundamentam as
distribuic¸o˜es binomiais sejam satisfeitas, determine a probabilidade de que, no ma´ximo, treˆs
chips falhem em uma amostra aleato´ria de 20. R: 0,8670
13. Assumindo que seis em cada dez acidentes de automo´vel sejam causados principalmente por
violac¸a˜o aos limites de velocidade, determine a probabilidade de que seis entre oito acidentes
ocorram devido a essa violac¸a˜o. R: 0,209
2
14. Se a probabilidade de uma laˆmpada fluorescente ter vida u´til de pelo menos 800 horas e´ de 0,9,
determine a probabilidade de que, entre 20 laˆmpadas,
(a) exatamente 18 tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas; R: 0,2852
(b) pelo menos 15 tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas; R: 0,9887
(c) pelo menos duas na˜o tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas. R: 0,6083
15. O estudo de um estoque mostra que, em me´dia, as demandas por um item em particular do
depo´sito sa˜o feitas cinco vezes por dia. Qual e´ a probabilidade de que, em determinado dia, esse
item
(a) seja pedido mais de cinco vezes; R: 0,384
(b) na˜o seja pedido nenhuma vez. R: 0,0067
16. Certo cruzamento resulta em treˆs acidentes por meˆs em me´dia. Qual e´ a probabilidade de que
em certo meˆs nesse cruzamento ocorram
(a) exatamente cinco acidentes? R: 0,1008
(b) menos de treˆs acidentes? R: 0,4232
(c) pelo menos dois acidentes? R: 0,8009
17. Uma indu´stria de automo´veis esta´ preocupada com uma falha no mecanismo dos freios de de-
terminado modelo. Essa falha pode, em raras ocasio˜es, causar uma cata´strofe em uma rodovia.
A distribuic¸a˜o do nu´mero de carros, por ano, que sofrera˜o essa falha e´ uma varia´vel aleato´ria de
Poisson com λ = 5.
(a) Qual e´ a probabilidade de que no ma´ximo treˆs carros por ano experimentem essa cata´strofe?
R: 0,265
(b) Qual e´ a probabilidade de que mais de um carro por ano experimente essa cata´strofe? R:
0,9596
18. Assumimos que o nu´mero de clientes que chegam a cada hora em certo posto de servic¸os auto-
mobil´ısticos segue uma distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia de λ = 7.
(a) Calcule a probabilidade de que mais de dez clientes cheguem em um per´ıodo de 2 horas? R:
0,8243
(b) Qual e´ o nu´mero me´dio de chegadas durante o per´ıodo de duas horas? R: 14
3
19. Mudanc¸as nos procedimentos em um aeroporto requerem um planejamento considera´vel. As
taxas de chegada de aeronaves sa˜o fatores importantes que devem ser levados em considerac¸a˜o.
Suponha que pequenas aeronaves cheguem a certo aeroporto de acordo com um processo de
Poisson, com taxa de seis por hora. Enta˜o, o paraˆmetro de Poisson para chegadas por hora e´ de
µ = 6.
(a) Qual e´ a probabilidade de que exatamente quatro pequenas aeronaves cheguem durante um
per´ıodo de uma hora? R: 0,1339
(b) Qual e´ a probabilidade de que pelo menos quatro cheguem durante o per´ıodo de uma hora?
R: 0,8488
20. Uma empresa compra grandes lotes de um tipo de equipamento eletroˆnico. E´ utilizado um
me´todo que rejeita um lote se duas ou mais unidades forem encontradas com defeito em uma
amostra aleato´ria de 100 unidades.
(a) Qual e´ o nu´mero me´dio de unidades defeituosas encontrado em uma amostra de 100 unidades
se o lote tem 1% de defeitos? R: 1
(b) Qual e´ a variaˆncia? R: 0,99
21. Em certo fio de cobre, sabe-se que, em me´dia, ocorre 1,5 falha por mil´ımetro. Assumindo que
o nu´mero de falhas seja uma varia´vel aleato´ria de Poisson, qual e´ a probabilidade de que na˜o
ocorram falhas em certa porc¸a˜o de fio com comprimento de cinco mil´ımetros? Qual e´ o nu´mero
me´dio de falhas em uma porc¸a˜o de extensa˜o de cinco mil´ımetros? R: 5, 53 × 10−4; 7,5
22. Os buracos de uma estrada podem ser um grave problema e precisam de constantes reparos.
Para um certo tipo de terreno e pista feita de concreto, experieˆncias passadas sugerem uma
me´dia de dois buracos po milha (1.609 km) depois de certo tempo de uso. Assumimos que o
processo de Poisson se aplica para a varia´vel aleato´ria ‘nu´mero de buracos’.
(a) Qual e´ a probabilidade de que na˜o mais do que um buraco aparec¸a em um seguimento de
uma milha (1.609 km)? R: 0,406
(b) Qual e´ a probabilidade de que na˜o mais do que quatro buracos aparec¸am em determinado
seguimento de cinco milhas (8.045 km)?R: 0,0293
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