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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2013.1
Questa˜o 1: [1,4 pts] Em um dos semiplanos determinados pela reta AB e por um ponto O tomado
sobre a mesma trac¸am-se os aˆngulos adjacentes AÔC, CÔD e DÔB tais que a medida do aˆngulo
AÔC vale oito vezes a medida do aˆngulo DÔB e a soma desses dois aˆngulos representa o triplo da
medida do aˆngulos CÔD. Quanto mede cada aˆngulo?
Soluc¸a˜o: Seja a reta AB, em um dos semiplanos determinados pela reta AB e por um ponto O
sobre a mesma trac¸am-se os aˆngulos adjacentes AÔC, CÔD e DÔB.
Considere x = m(AÔC), y = m(DÔB) e z = m(CÔD)
AB O
D
C
x
y
z
Temos pelo enunciado
x = 8y
x+ y = 3z
x+ z + y = 180◦
⇒
{
8y + y = 3z
8y + z + y = 180◦
⇒
{
z = 3y
9y + z = 180◦
⇒ 9y + 3y = 180◦
y =
180◦
12
= 15◦, z = 3 · 15◦ = 45◦, x = 8 · 15◦ = 120◦
Logo m(AÔC) = 120◦, m(DÔB) = 15◦ e m(CÔD) = 45◦
Questa˜o 2: [1,2 pts] Mostre que em um triaˆngulo iso´sceles ABC (AB = AC) baixando de um
ponto P , sobre a base, perpendiculares aos lados iguais, a soma desses segmentos PM e PS e´
constante e igual a BH, onde BH e´ a altura relativa ao lado AC.
Atenc¸a˜o: P e´ um ponto qualquer sobre a base BC.
Soluc¸a˜o: De fato, tracemos a altura BH relativa ao lado AC e PF , perpendicular a` altura BH.
P
A
CB
S
H
F
M
Temos que PS = FH,
como segmentos de paralelas, compreendidos entre paralelas.
∆BPF = ∆BMP , pois BF̂P = BM̂PBP hipotenusa comum
MB̂P = B̂ = FP̂B = Ĉ
Logo PM = BF e portanto PM + PS = BF + FH = BH = constante.
Geometria Plana – Gabarito AD1 2
Questa˜o 3: [1,4 pts] Usando a questa˜o 2, encontre a soma das distaˆncias de um ponto P , interior
ao triaˆngulo equila´tero ABC, aos lados do mesmo sendo que a metade da altura deste triaˆngulo tem
medida 4 cm.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo equila´tero ABC de altura 8 cm.
P
A
CB
xD
y
z
E
Seja P interior ao triaˆngulo ABC.
Trac¸a-se uma reta paralela a BC passando por P .
Usando a questa˜o 2, no triaˆngulo iso´sceles ADE, temos que
a altura de ∆ADE e´ 8− z,
enta˜o:
8− z = x+ y ⇒ x+ y + z = 8 cm
Questa˜o 4: [1,5 pts] Considere duas retas paralelas r e s cortadas pela secante AB, onde A ∈ r
e B ∈ s. Sobre r, marcam-se os segmentos AM = AP = AB, onde A esta´ entre M e P . Mostre
que:
(i) BM e BP sa˜o as bissetrizes dos aˆngulos que AB faz com s.
(ii) o triaˆngulo MBP e´ retaˆngulo.
Soluc¸a˜o: Sejam r//s e AB secante as retas r e s onde A ∈ r e B ∈ s. Sobre r, marcam-se os
pontos distintos M e P , tal que AM = AP = AB.
a
a
rA
B
P
M
a
b
b
b
s
t
D
C
(i) Ligando B a M e P a B, e denote MB̂C = a, PB̂D = b, onde C e D sa˜o pontos sobre s,
conforme figura.
Temos: AM̂B = a pois sa˜o aˆngulos alternos internos. ∆AMB e´ iso´sceles de base BM , enta˜o
AB̂M = a.
De maneira ana´loga temos para ∆PAB, PB̂A = b. Logo BM e BP sa˜o bissetrizes dos aˆngulos
que AB faz com s.
(ii) Temos tambe´m que 2a + 2b = 180◦ ⇒ a + b = 90◦. Da´ı ∆MBP e´ retaˆngulo , ja´
que PB̂M = a+ b = 90◦.
Questa˜o 5: [1,5 pts] ABC e´ um triaˆngulo no qual a bissetriz interna relativa ao aˆngulo  e´ igual
ao lado AB e a bissetriz interna relativa ao aˆngulo Ĉ e´ igual ao lado AC. Calcule os aˆngulos do
triaˆngulo ABC, representando-os em graus, minutos e segundos.
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Geometria Plana – Gabarito AD1 3
Soluc¸a˜o: Seja ABC um triaˆngulo no qual a bissetriz interna AD relativa ao aˆngulo  e´ igual ao
lado AB e a bissetriz interna CE relativa ao aˆngulo Ĉ e´ igual ao lado AC.
Denotando BÂD = DÂC = a, BĈE = EĈA = b :
E
A
B
a
a
D
b
b
C
180º-a
2
2a
Do enunciado temos que ∆ABD e ∆AEC sa˜o iso´sceles.
No triaˆngulo ABD, AB̂D = AD̂B =
180◦ − a
2
e
pelo aˆngulo externo AD̂B = a+ 2b, enta˜o
180◦ − a
2
= a+ 2b ⇒ 3a+ 4b = 180◦ (1)
No triaˆngulo AEC,temos que CÊA = CÂE = 2a, assim
4a+ b = 180◦ (2)
De (1) e (2), temos {
3a+ 4b = 180◦
4a+ b = 180◦
⇒ 3a+ 4(180◦ − 4a) = 180◦
⇒ 3a− 16a = 180◦ − 720◦ ⇒ 13a = 540◦ ⇒ a ≈ 41◦32′18”
 = 2a ≈ 83◦04′36”, B̂ = 180− a
2
≈ 69◦13′50” e Ĉ = 2b = 180◦ − Â− B̂ ≈ 27◦41′32”
Questa˜o 6: [1,5 pts] Num triaˆngulo ABC, as bissetrizes dos aˆngulos externos em B e C formam
um aˆngulo de 40◦ e a altura relativa ao lado BC forma com a bissetriz do aˆngulo  um aˆngulo de
25◦. Calcule os aˆngulos do triaˆngulo.
Soluc¸a˜o:
F
G
b
a
A
B
C
a
a
40º
c
c
25º
b
b
D
E
H
J
Sejam ∆ABC, as bissetrizes dos aˆngulos externos em B e
em C forma um aˆngulo de 40◦ e a altura relativa ao lado BC
forma com a bissetriz do aˆngulo  um aˆngulo de 25◦.
Seja a = AB̂E = EB̂F = CB̂D,
b = GĈH = HĈA = BĈD,
BD̂C = 40◦.
a+ b+ 40◦ = 180◦, (∆BCD)
90◦ = 180◦ − 2a+ c− 25◦, (∆ABJ)
90◦ = c+ 25◦ + 180◦ − 2b, (∆ACJ)
a+ b = 140◦ (1)
2a− c = 65◦ (2)
2b− c = 115◦ (3)
De (2) e (3) vem: 2a− 2b = 65◦ − 115◦ ⇒ −a+ b = 25◦ (4)
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Geometria Plana – Gabarito AD1 4
De (1) e (4), temos:
2b = 165◦
logo
BĈA = 180◦ − 2b = 180◦ − 165◦ = 15◦
De (3) vem:
2b− c = 115◦ ⇒ c = 165◦ − 115◦ = 50◦
Da´ı
BÂC = 2c = 100◦ e AB̂C + 100◦ + 15◦ = 180◦ ⇒ AB̂C = 65◦
Portanto os aˆngulos do triaˆngulos ABC sa˜o  = 100◦, B̂ = 65◦ e Ĉ = 15◦.
Questa˜o 7: [1,5 pts] Num triaˆngulo retaˆngulo, a bissetriz interna do maior dos aˆngulos agudos
e´ igual ao maior dos dois segmentos que ela determina no cateto oposto. Encontre os aˆngulos que
esta bissetriz forma com este cateto.
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo retaˆngulo ABC,
E
a
A C
B
a
a
trace a bissetriz interna do maior dos aˆngulos agudos e,
pelo enunciado, sabemos que e´ igual ao maior dos dois
segmentos que ela determina no cateto oposto.
Suponha que AC > AB, enta˜o B̂ > Ĉ.
A bissetriz interna BE e´ tal que BE = EC e AB̂E = EB̂C = BĈE = a. Logo AÊB = 2a.
No ∆ABE,
a+ 2a+ 90◦ = 180◦ ⇒ a = 30◦
Da´ı AÊB = 2a = 60◦ e BÊC = 120◦.
Questa˜o 8: [boˆnus: 0,5 pt] P e´ um ponto da bissetriz de um aˆngulo XÔY . A mediatriz do
segmento OP intercepta OX em M . Mostre que MP e OY sa˜o paralelas.
Soluc¸a˜o: Seja P um ponto da bissetriz de um aˆngulo XÔY . Temos PÔY = PÔX = a.
P
R
M
a
a
Y
O
X
A mediatriz de OP intercepta OX em M . Da definic¸a˜o de
mediatriz OR = RP e OR̂M = PR̂M = 90◦.
Da´ı ∆ORM ≡ ∆MPR pelo crite´rio LAL,
pois
OR̂M = PR̂M = 90
◦
OR = RP
RM lado comum
⇒ RP̂M = RÔM = a. Enta˜o XM̂P = a+ a, (aˆngulo externo).
Logo Y ÔM = PM̂X = 2a, (aˆngulos correspondentes).
Portanto OY//MP .
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