6. EXPERIMENTO ALEATÓRIO

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6 	EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E): É aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente. Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar a priori qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, descrever todos os possíveis resultados (as probabilidades).
Experimento aleatório é qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é imprevisível, por depender exclusivamente do acaso.
Os exemplos abaixo mostram alguns experimentos aleatórios:
Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe;
Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas;
Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas;
Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima;
Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A.
Observa-se nestes experimentos que as seguintes características estão presentes:
Cada experimento poderá ser repetido uma infinidade de vezes;
Não se conhece um valor particular do resultado, mas se conhece todas as possibilidades possíveis;
Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, deverá surgir uma regularidade da fração f = r / n (freqüência relativa), onde n é o número de repetições e r é o número de sucessos de um particular resultado pré-estabelecido.
Ex: Uma moeda foi lançada 1000 vezes e o número de resultados “cara” foi 503, tem-se:
o número de lançamento: n = 1000
freqüência absoluta do resultado “cara”: r = 503
freqüência relativa do resultado “cara”: f = 503 = 0,503
 1000
Experimentalmente constata-se que, aumentando o número n, a freqüência relativa do resultado “cara” tende ao valor 0,5, ou seja, 1 / 2.
	A teoria das probabilidade se fundamenta em experimentos como esse para definir amostras equiprováveis.
7	ESPAÇO AMOSTRAL (S): Para cada Experimento Aleatório E, define-se Espaço Amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
Ex: 	a) E = Jogar um dado e observar o número da face de cima.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E = Jogar duas moedas e observar o resultado.
S = { (ca,ca); (ca,co); (co,ca); (co,co) }
8 	EVENTO: Evento é um conjunto de resultados do experimento ou, em termos de conjunto, é um subconjunto de S (espaço amostral).
	Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número voltado para cima.
	O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
8.1 	Evento Certo: é o próprio espaço amostral.
Exemplo: envento A ocorrência de um número menos que 8
		A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
8.2 	Evento Impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral
Exemplo: envento B ocorrência de um número maior que 10. 		B = 
8.3 	Evento União: é a reunião de dois eventos.
	A B - é um evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;
Ex: evento A ocorrência de um número ímpar A = {1, 3, 5}
	 evento B ocorrência de um número par primo B = {2} 
 evento A B ocorrência de um número ímpar ou de um número par primo A B = {1, 2, 3, 5}
8.4 	Evento Intersecção: é a intersecção de dois eventos.
	A B - é um evento que ocorre se A ocorre e B ocorre;
Ex: 	evento A ocorrência de um número par A = {2, 4, 6}
	evento B ocorrência de um número múltiplo de 4 B = {4} 
	evento A B ocorrência de um número par e múltiplo de 4 A B ={4}
8.5 	Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos D e E são denominados de mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, D E = .
Ex: 	evento D ocorrência de um número par A = {2, 4, 6}		
 	evento E ocorrência de um número ímpar E = { 1, 3 , 5}	 D E = 
8.6 	Eventos Complementares: Seja E um espaço amostral finito e não-vazio, e seja A um evento de E. Chama-se complementar de A, e indica-se por A , o evento formado por todos os elementos de E que não pertencem a A.
 A A = U (o evento união é o próprio espaço amostral) 
 A A = (o evento intersecção é o conjunto vazio) 
Ex: 1) evento A ocorrência de um número par A = {2, 4, 6}		
	evento A ocorrência de um número ímpar A = { 1, 3 , 5}
	 Observe que: A A = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 A A = 
	Note que A A = e A A = E. Pode-se então concluir que:
			n (A) + n (A) = n (E)
	Dividindo-se ambos os membros da igualdade anterior por n(E), tem-se:
		n (A) + n ( A ) = n (E) P (A) + P (A) = 1
 n (E) n (E) n (E)
2) Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é 5 / 17. Calcular a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.
Resolução:
	Os eventos A= {bola vermelha} e A = {bola não vermelha} são complementares. Logo:
	P ( A ) + P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 - P ( A ) 
 P ( A ) = 1 - 5 = 17 – 5 = 12 Resposta: 12
 17 17 17 17
3) Uma bolsa contém 2 moedas de 25 centavos (p), 3 de 50 centavos (n) e 4 de 1 real. Duas moedas serão escolhidas da bolsa, ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
ambas as moedas sejam de 25 centavos;
uma moeda seja de 25 centavos e a outra de 1 real;
ambas as moedas sejam da mesma espécie;
nenhuma moeda se ja de 50 centavos;
pelo menos se consiga uma moeda de 50 centavos.
Resolução: 	2 moedas de 25 centavos (p)
3 moedas de 50 centavos (n)
4 moedas de 1 real (d)
2 moedas serão escolhidas:
Observe que ao todo você tem 9 moedas e que serão tiradas 2.
a) ambas as moedas sejam de 25 centavos.
P (pp) = 2 . 1 = 1 		ou 
 9 8 36
 2! 1
C2,2 = 2!.0! = 1 = 1 . 1 = 1
C9,2 9! 9.84.7! 9.4 36
 2!.7! 2. 7! 
b) uma moeda seja de 25 centavos e as outras de 1 real.
P (pd) + P (dp) = 2 . 4 + 4 . 2 = 1 + 1 = 1 + 1 = 2		ou
 9 8 9 8 9 9 9 9
 2 2
 2! . 4! 2.1 . 4.3! 2
C2,1 . C4,1 = 1!.1! 1!.3! = 1 1.3! = 8 . 1 = 2
 C9,2 9! 9.84.7! 9. 4 9
 2!.7! 2. 7! 
c) ambas as moedas sejam da mesma espécie.
P (pp) + P (nn) + P (dd) = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3 = 1 + 1 + 1 =
 9 8 9 8 9 8 36 12 6
 4 3 4 3 2
1 + 3 + 6 = 10 = 5		ou
 36 36 18
 
 					 2
 2! + 3! + 4! 1 + 3.2! + 4.3.2! 
C2,2 + C3,2 + C3,2 = 2!.0! 2!.1! 2!.2! = 1 2!.1 2!. 2 = 1+ 3 +6 = 10 = 5
 C9,2 9! 9.84.7! 36 36 18
 2!.7! 2. 7! 
d) nenhuma moeda seja de 50 centavos.
	Há 3 moedas de 50 centavos e 6 que não são de50 centavos. A probabilidade de se obter 2 moedas que não são de 50 centavos é:
 2
 6 . 5 = 5 		ou
 9 8 12
4 3
 6! 6.5. 4!
C6,2 = 2!.4! = 2. 4! = 15 = 5
C9,2 9! 9.84.7! 36 12
 2!.7! 2. 7! 
e) pelo menos se consiga uma moeda de 50 centavos.
	Esta probabilidade nos é dada por 1 menos a probabilidade de se obter 2 moedas que não sejam de 50 centavos.
	P(A) + P (A) = 1 temos que P (A) = 5 /12 , logo P(A) = 1 – P (A)
P(A) =	1 – 5 = 12 - 5 = 7
 12 12 12
8.7 	DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Considere-se um experimento aleatório de espaço amostral E e com n(E) amostras equiprováveis. Seja A um evento n (A) amostrais. 
	Chama-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que: P(A) = n (A)
							 n (E)
	A probabilidade de um evento A (P (A)) é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo às seguintes condições:
0 P(A) 1 0 P(A) 100% 
P(S) = 1
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então P(A B) = P(A) + P(B)
Ex: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter uma número par?
Resolução: 	O espaço amostral do experimento é: 
	E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n (E) = 6
	O vento A que se quer é: número par, isto é:
	A = { 2, 4, 6 } n (A) = 3
	Assim tem-se:
	P(A) = n (A) = 3 = 1
 n (E) 6 2
	Resposta : 1
 2
8.8 	PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE: 
	 Se é o conjunto vazio, então P() = 0
	 Se A’ é o complemento de A, então P(A’) = 1 – P(A)
	 Se A B, então P (A) P (B) 
	 Se A e B, são dois eventos quaisquer, então:
	 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 
Ex: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima, soma dos ponto igual a 8?
Resolução: 	O espaço amostral do experimento é: 
 (1,1), (1,2), (1,3), ... , (1,6),
 E = (2,1), (2,2), (2,3), ... , (2,6),
 	 .	.	.	.	.
 (6,1), (6,2), (6,3), ... , (6,6).	
	Logo, n(E) = 36,
	O evento de E que satisfaz a condição do problema é:
	A = {(2, 6), (3,5 ), (4, 4), (6, 2)}
	Assim: n(A) = 5
	Portanto: P(A) = n(A) = 5 Resposta: 5
 n(E) 36 36
8.9 PROBABILIDADE CONDICIONAL: Consiste em calcular a probabilidade de um evento ocorrer quando um outro evento tenha ocorrido.
	Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é: P (A) = P (A/B )
	Portanto:	 P(A B) = P(A) . P(B)
					De uma forma geral: P ( A/ B ) = P(A B) 
							 P(B) 
Ex:	 E - Lançar um dado
A - Sair o número 3
	B - Sair um número ímpar	
Calcular a probabilidade de ocorrer o evento A, sendo que o evento B ocorreu.
De uma forma geral, tem-se:
Resolução: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = P (A) = 1 A = { 3 }
 6
B = P ( B ) = 3 = 1 B = { 1, 3, 5 }
2
P (A B) = P(A) . P(B)
P (A B) = 1 . 1 = 1	
 6 2 12 
P ( A/ B ) = P(A B) 
 P (B)	
 1
P (A/B) = 12 = 1 . 2
 1 12
 2
P (A/B) = 1 
 6
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Nº 17:
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:
o número 2;
um número par;
o número múltiplo de 3.
2) No lançamento de dois dados, calcular o número de elementos do seguinte evento: soma de pontos maior que 9 nas faces voltadas para cima.
3) Lançando-se um dado duas vezes, obter o número de elementos do evento: “número par no primeiro lançamento e soma dos pontos igual a 7”, consideradas as faces voltadas para cima.
4) Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
ambas não estejam estragadas.
b) pelo menos uma esteja estragada.
5) Uma escola possui 25 professores cadastrados para lecionar nas séries do ensino fundamental. Destes professores possui 20 que podem lecionar matemática. Se 4 professores forem escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de:
todos os 4 serem professor de matemática.
2 serem de matemática e 2 não serem.
6) Uma urna contém 6 bolas pretas, 4 bolas brancas, 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. São retiradas 5 bolas. Calcule a Probabilidade de se obter:
5 bolas pretas;
2 pretas, 1 branca, 1 azul e 1 vermelha;
3 bolas pretas e 2 bolas vermelhas;
d) 2 bolas brancas, 1 azul e 2 vermelhas.
7) Suponhamos que uma urna contenha 4 bolas azuis (A) e 3 bolas vermelhas (V). Vamos sortear 2 bolas, em momentos distintos:
I – COM A REPOSIÇÃO da primeira bola sorteada na urna:
Qual a Probabilidade de sair uma bola azul e depois uma vermelha?
Qual a Probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes?
II – SEM A REPOSIÇÃO da primeira bola sorteada:
Qual a Probabilidade de sair uma bola azul e depois uma vermelha?
Qual a Probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes?
8) Se uma lista de 20 indivíduos que se ofereceram como voluntários para doar sangue quando necessário para transfusão, possui 15 indivíduos com sangue tipo B e se 3 indivíduos forem escolhidos, ao acaso, desta lista qual a probabilidade de:
todos os 3 serem do tipo B;
2 serem do tipo B e um não.
9) Uma caixa de 15 peças sobressalentes para certo tipo de máquina contém 10 peças boas e 5 defeituosas. Se 3 unidades forem tiradas, ao acaso, da caixa, qual a probabilidade de que:
sejam todas boas;
sejam todas defeituosas;
2 sejam boas e 1 defeituosa.
10) Uma caixa contém 2 bolas pretas, 2 brancas e 1 verde. Duas bolas devem ser retiradas da caixa. Calcule a probabilidade de se obter:
2 bolas pretas;
1 bola preta e 1 bola branca;
1 bola preta e 1 bola verde.