tensoes em maciços de terra carregamento

Prévia do material em texto

Mecânica dos Solos 1
Profa MSc Paula de Carvalho Palma Vitor
Email: paula.vitor@unipacuberlandia.com.br
Whatsapp: (31) 99165-4302
Bibliografia desta aula
Capítulo 12: CAPUTO, H. P; CAPUTO, A.N. Mecânica dos solos e suas
aplicações: mecânica das rochas, fundações e obras de terra. 7. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2016. V. 2, 557 p.
Capítulo 8: PINTO, Carlos de Sousa. Curso Básico de Mecânica dos Solos
em 16 aulas. 3. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006. 355p.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Tensões horizontais
 A tensão horizontal é importante no estudo de
estruturas de contenções, muros de arrimo, etc.
 Sendo o maciço de material homogêneo, considerado
elástico, a tensão horizontal 𝜎′ℎ é proporcional a
tensão 𝜎′𝑣 .
 Quando o solo está no repouso (não há deformação
horizontal) a tensão horizontal efetiva é dada por:
𝜎′ℎ = 𝑘0 × 𝜎′𝑣
Onde:
𝑘0: coeficiente de empuxo em repouso.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Tensões horizontais
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Carregamento 
na superfície
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 Teoria da elasticidade: é empregada para a estimativa das
tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude
de carregamentos na superfície.
 Lei de Hooke
 O solo é um material elástico????
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
O comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material
elástico. Por que aplicar a teoria da elasticidade?
• Até um certo nível de tensão ( proporcionalidade entre tensões e
deformações), módulo de elasticidade constante;
• Avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 Teoria da elasticidade: utilizada para determinar o
acréscimo de tensões no solo e os recalques devido a
carregamentos externos.
 Os carregamentos externos induzem a uma distribuição
de tensões na massa de solo cuja magnitude em um
ponto no interior da massa de solo é função da posição no
interior do terreno em relação ao carregamento externo.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 As relações tensão-deformação não são lineares porém,
para fins práticos é considerada elasticidade linear.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Hipóteses da T.E.:
• Semi-espaço infinito.
• O solo é homogêneo
(propriedades iguais em todos
os pontos do maciço).
• O solo é isotrópico
(propriedades iguais em todas
as direções).
• O solo é um meio continuo.
• A relação entre as tensões e as
deformações é linear.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
1.1 Distribuição de Tensões:
 Na aplicação de uma carga na superfície de um terreno, numa área
bem definida, os acréscimos de tensão numa certa profundidade
não se limitam à projeção da área carregada;
 Nas laterais da área carregada também ocorrem aumentos de
tensão.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
1.1 Distribuição de Tensões:
 Os acréscimos das tensões imediatamente abaixo da
área carregada diminuem à medida que a
profundidade aumenta, porque a área atingida
aumenta com a profundidade.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
1.1 Distribuição de Tensões:
 A distribuição das tensões no solo é visualizada
através das isóbaras, que são linhas de iguais
valores de tensão.
 As isóbaras representam a união de pontos no
interior do subsolo em que os acréscimos de
tensões são de mesmo valor ( percentual da
tensão aplicada na superfície).
 O conjunto de isóbaras é denominado de bulbo de
tensões.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Em termos práticos
considera-se o bulbo de
tensões até 10% da carga
aplicada, a partir desta
isóbara negligencia-se o
efeito do carregamento.
Bulbo de tensões considera a
Teoria da Elasticidade.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
 Uma forma simplificada de estimar a distribuição
de tensões é considerar um espraiamento
uniforme, segundo um ângulo.
 O ângulo de espraiamento depende das
características do material. Para fins práticos
pode-se utilizar um ângulo de espraiamento de
30º.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
𝜎𝑣 =
2𝐿
2𝐿 + 2 × 𝑧 × 𝑡𝑔 30°
𝜎0
Método estimativa grosseira.
• A tensões, a uma certa
profundidade, não são
uniformemente distribuídas.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
A tensões, a uma certa
profundidade, não são
uniformemente distribuídas.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1. Tensões verticais devidas a cargas
aplicadas na superfície do terreno:
 1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
• Não satisfaz ao princípio da
superposição dos efeitos.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
1.2.1 Solução de Boussinesq:
 A distribuição de tensões devido a uma carga pontual
aplicada perpendicularmente à superfície do terreno.
 Hipóteses:
 Maciço homogêneo;
 Isotrópico;
 Semi-espaço infinito de superfície horizontal;
 Comportamento elástico linear;
 Variação de volume do solo é desconsiderada.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
1.2.1 Solução de Boussinesq:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Os acréscimos das tensões
verticais resultantes, em
qualquer ponto, devido a
aplicação de uma carga
pontual Q na superfície.
𝜎𝑣 =
3 × 𝑧3
2𝜋 𝑟2 + 𝑧2
5
2
𝑄
Quando mantida a relação r/z,
a tensão é inversamente
proporcional ao quadrado da
profundidade.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
1.2.1 Solução de Boussinesq:
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Na verticalabaixo do
ponto de aplicação da
carga (r=0)
𝜎𝑣 =
0,48𝑄
𝑧2
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Exemplo 1: Utilizando a solução de Boussinesq,
determinar o acréscimo de tensão no ponto A e B.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
Na vertical abaixo do
ponto de aplicação da
carga, ponto A (r=0)
𝜎𝑣 =
0,48𝑄
𝑧2
𝜎𝑣 =
0,48 × 200 𝑘𝑁
16 𝑚2
= 6 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Exemplo 1: Utilizando a solução de Boussinesq,
determinar o acréscimo de tensão no ponto A e B.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
Na vertical ponto B (r≠0)
𝜎𝑣 =
3 × 𝑧3
2𝜋 𝑟2 + 𝑧2
5
2
𝑄
𝜎𝑣 =
3 × 43
2𝜋 9 + 16
5
2
× 200 = 1,96 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Exemplo 2: Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga
de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as
tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à
sobrecarga e as tensões finais no ponto A.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
Tensões iniciais:
𝜎′𝑣 = 𝛾 × 𝑧 = 19 × 3 = 57 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Exemplo 2: Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga
de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as
tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à
sobrecarga e as tensões finais no ponto A.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
Acréscimos:
∆𝜎𝑣=
3 × 𝑧3
2𝜋 𝑟2 + 𝑧2
5
2
𝑄
∆𝜎𝑣 =
3 × 33
2𝜋 9 + 9
5
2
1500 = 14,07 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
 Exemplo 2: Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga
de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as
tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à
sobrecarga e as tensões finais no ponto A.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
Tensões finais:
𝜎′𝑣𝑓 = 𝜎′𝑣 + ∆𝜎𝑣= 57 + 14,07 = 71,07 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.1 Solução de Boussinesq:
 Sem aplicação prática.
 A partir dela pode-se integrar diferentes formas de
carregamento.
1.2 Estimativa da Distribuição de Tensões:
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
 Newmark apresentou uma solução para determinar a tensão
vertical induzida no canto de uma área retangular
uniformemente carregada.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
 Parâmetros m e n.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
 O acréscimo de tensão devido ao carregamento é dado
por:
∆𝜎𝑣= 𝐼 × 𝜎0
Onde:
𝜎0: tensão devido ao carregamento dada por:
𝜎0 𝑜𝑢 𝑞 =
𝑄
𝑎 × 𝑏
𝐼 ou 𝐼𝑟: é um coeficiente de influência que depende somente de m
e n. Utilizado ábacos ou tabelas.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
 Exemplo 3: Calcular os acréscimo de carga, na vertical
do ponto A, a profundidade de 5 m. A placa superficial
tem 4,0 m x 10,0 m e está submetida a uma pressão
uniforme de 340 kPa.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Solução:
∆𝜎𝑣= 𝐼 × 𝜎0
𝑚 =
𝑏
𝑧
=
4
5
= 0,8
𝑛 =
𝑎
𝑧
=
10
5
= 2
Na tabela ou ábaco
I=0,181
∆𝜎𝑣= 0,181 × 340 = 61,54 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares: solução de
Newmark
 Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro
ponto que não abaixo da aresta da área retangular deve-
se:
 Dividir a área carregada em retângulos com uma
aresta na posição do ponto considerado.
 Considerar separadamente o efeito de cada retângulo.
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
 Ponto no centro da placa
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Centro da placa:
Decompor a área em 4
retângulos de modo que o
ponto A seja o vértice dos 4
retângulos.
A tensão vertical será 4
vezes a tensão vertical de
cada retângulo menor.
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
Outra situação
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
A placa mostrada na Figura 
pode ser dividida em 3 
retângulos (I, II e III) e a 
tensão vertical no ponto B 
será a soma da 
contribuição das 3 placas 
(I, II e III). 
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.2 Carregamento em áreas retangulares:
solução de Newmark
Ponto externo a placa de carregamento
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Ponto P:
Considerar a ação da área
PKDM.
Subtrair os efeitos dos
retângulos: PKBL e PJCM
Somar o efeito do retângulo
PJAL (subtraída duas vezes)
Exemplo 4: Uma construção industrial apresenta uma 
planta retangular, com 12 m de largura e 48 m de 
comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão 
uniformemente distribuída de 50 kPa. 
 Determine o acréscimo de tensão, segundo a vertical
nos pontos A, D e E a 6 m de profundidade.
Ponto Área (m2) Nº de 
áreas
m (a/z) n (b/z) I da
área
I 
total
Tensão
kPa
A 6 x24=144 4 6/6=1 24/6=4 0,204 4xI=0,816 40,8
D 12 x 48=576 1 12/6=2 48/6=8 0,239 1x0,239=0,239 24
Ponto E ( fora da área):
Efeito da área EFGH-EFIJ-EKLH+EKDJ
Ponto Área (m2) m (a/z) n (b/z) I da
área
EFGH 18X54=972 18/6=3 54/6=9 0,247
EFIJ 18 X 6=108 18/6=3 6/6=1 0,203
EKLH 6 X 54=324 6/6=1 54/6=9 0,205
EKDJ 6X6=36 6/6=1 6/6=1 0,175
Efeito da área efetivamente
carregada, Ponto E.
∆𝜎𝑣
= 50 × (0,247 − 0,203 − 0,205
+ 0,175)
∆𝜎𝑣 = 0,7 𝑘𝑃𝑎
Tensões atuantes em maciços de 
terra
1.2.3 Carregamento uniformemente distribuídos
em área circular.
 Quando o carregamento é uniformemente distribuído
sobre uma placa circular utiliza-se os bulbos de
tensões que representam coeficientes de influência (
coeficientes que, multiplicado pela tensão aplicada na
superfície, fornece a tensão atuante no ponto)
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Profa Paula de Carvalho Palma Vitor– Disciplina Mecânica dos Solos 1
Dados de 
entrada: 
Z/R 
x/R 
Onde:
z:profundidade 
r: raio da placa 
x: distância 
horizontal em 
relação ao 
centro da placa. 
Exemplo 5: Uma construção industrial apresenta uma 
planta retangular, com 12 m de largura e 48 m de 
comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão 
uniformemente distribuída de 50 kPa. 
 Determine o acréscimo de tensão, segundo a vertical
nos pontos G, I e F a 18 m de profundidade.